专题02 平面向量的运算（六大题型）
【题型1向量的加减运算】
【题型2 三角形( 平行四边形 ) 法则的应用】
【题型3向量的线性运算】
【题型4 用已知向量表示相关向量】
【题型5 向量共线定理的应用】
【题型6向量线性运算在三角形中的运用】
【题型1向量的加减运算】
1．化简：（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由向量加法的三角形法则可知.
【详解】.
故选：C.
2．在矩形中，，，则等于（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】A
【详解】根据向量的加法运算法化简，根据矩形的特征可求对角线的长度，进而可求模长．
【分析】在矩形中，由，可得，
又因为，故，故．
故选：A.
3．已知四边形是平行四边形，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用平面向量加法法则可化简.
【详解】.
故选：D.
4．四边形是梯形，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量的加法运算法则即可求解.
【详解】,
故选：B
5．若向量表示“向东航行”，向量表示“向北航行”，则向量表示（ ）
A．向东北方向航行
B．向北偏东方向航行
C．向正北方向航行
D．向正东方向航行
【答案】B
【分析】根据向量的方向，画出图形，利用向量的加法运算，计算结果.
【详解】如图，
易知，所以．故的方向是北偏东．又.
故选：B．
6．化简
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
（2）
【题型2 三角形( 平行四边形 ) 法则的应用】
7．如图所示，在中，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解.
【详解】根据向量的线性运算法则，可得：
.
故选：A.
8．如图，已知中，是边上一点，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平面向量加减法运算求解即可.
【详解】连接，如图所示：
因为，
所以，
所以，所以.
故选：B
9．如图，在平行四边形中，，，则可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量加法的平行四边形法则判断即可.
【详解】在平行四边形中.
故选：B
10．在平行四边形中，O为对角线的交点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用平面向量的加法运算求解.
【详解】解：在平行四边形中，O为对角线的交点，
易知，
所以．
故选：D
11．在四边形中，若，则（ ）
A．四边形是矩形 B．四边形是菱形
C．四边形是正方形 D．四边形是平行四边形
【答案】D
【分析】根据平面向量加法的运算法则及向量相等的充要条件判断即可；
【详解】解：，，
，且，四边形是平行四边形．
故选：D．
12．已知是平面上一点，，且四边形为平行四边形，则( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据在平行四边形ABCD中，有和向量的加减法即可计算.
【详解】易知，
而在平行四边形中有，
∴，即，也即.
故选：B.
13．如图，在平行四边形ABCD中，下列计算结果错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据向量运算的几何意义，结合条件逐项分析即得.
【详解】因为四边形为平行四边形，
对A，，正确；
对B，，错误；
对C，，正确；
对D，，正确.
故选：B.
14．点是平行四边形的两条对角线的交点，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据图形关系，结合向量的加减法，即可容易求得结果.
【详解】数形结合可知：
.
故选：.
【点睛】本题考查平面向量加减法的图形表示，属综合简单题.
15．若，则（ ）
A．一定可以构成三角形
B．都是非零向量时可以构成一个三角形
C．一定不可以构成一个三角形
D．都是非零向量时也可能无法构成三角形
【答案】D
【分析】根据向量是否共线判断．
【详解】，则都是非零向量且不共线时可以构成一个三角形，而共线时不能构成三角形，
故选：D．
16．在平行四边形中，为边上靠近点的三等分点，，则 ．
【答案】
【分析】根据向量的三角形法则，将向量用来表示即可；
【详解】因为E为BC边上靠近点B的三等分点，所以，
所以，
所以 ，，故．
故答案为：
【题型3向量的线性运算】
17．化简：
(1)；
(2).
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）（2）根据给定条件，利用向量的线性运算求解作答.
【详解】（1）.
（2）.
18．已知向量，计算
【答案】
【分析】利用向量运算即可求出结果.
【详解】，
所以
19．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量的加减和数乘运算即可求得结果；
（2）按照向量的运算法则依次计算即可.
【详解】（1）原式
．
（2）原式
20．化简：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】根据向量的加减、数乘运算化简即可.
【详解】（1）.
（2）
.
21．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】根据向量的线性运算计算即可.
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
.
22．计算：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用平面向量线性运算的运算律进行计算.
（2）利用平面向量线性运算的运算律进行计算.
【详解】（1）原式=
.
（2）原式=
.
23．解关于，的方程或方程组：
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）.
【分析】根据向量的运算法则，分别求解方程和方程组.
【详解】（1），
即，解得：；
（2），整理为，两式相减得，
代入其中一个式子得，
所以方程组的解是.
【题型4 用已知向量表示相关向量】
24．设，若用与表示，求的表达式.
【答案】
【分析】利用向量加法的三角形法则及数乘向量运算律求解即得.
【详解】因，
则，
所以.
25．若，，其中，是已知向量，求，.
【答案】
【解析】根据向量的线性运算解方程组，即可.
【详解】把已知中的两个等式看作关于，的方程
联立得方程组解得
【点睛】本题考查向量的线性运算，属于较易题.
26．已知与，且，，求，．
【答案】
【解析】根据题意列出方程组，求出，即可.
【详解】把已知中的两个等式看成关于，的方程，
联立得，解方程组得.
【点睛】本题考查了向量的线性运算，考查了二元一次方程组的解法，属于基础题.
27．已知3(2－＋)＋＝2(－＋3)，求.
【答案】＝－8＋9－3.
【分析】根据向量的数乘运算，移项，直接解出即可.
【详解】因为3(2－＋)＋＝2(－＋3)，所以6－3＋3＋＝－2＋6，
即＝－8＋9－3.
28．已知向量，，且，求向量．
【答案】
【分析】利用向量的线性运算化简即可求解.
【详解】因为，
所以，
所以，可得.
【题型5 向量共线定理的应用】
29．已知点为平面上四点，且向量且．
(1)求证：三点共线；
(2)若点在线段上，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】化简且
得且，由向量共线定理即可证出.
由（1），若点B在线段上，则与同向且，
即
【详解】(1)证明：
,，
且
又与有公共点A,∴三点共线.
(2)由(1)知，若点B在线段上，则与同向且（如图所示）
故实数的取值范围为．
【点睛】本题考查向量的运算法则、向量共线的充要条件、利用向量共线解决三点共线问题，此题体现了向量共线定理的灵活应用.
30．设是两个不共线向量，已知，，．若，且B，D，F三点共线，求k的值．
【答案】
【解析】由B，D，F三点共线，可设存在，使得，化简整理即可得解.
【详解】，
∵B，D，F三点共线，∴，即．
由题意知不共线，得，解得．
【点睛】本题考查了三点共线问题，熟练应用向量共线定理是解题的关键.
31．已知向量，，其中，不共线，向量，问是否存在这样的实数λ，μ，使向量与共线？
【答案】存在
【分析】由已知得，所以要使与共线，则应有实数，使，即，从而得，进而可求得结果
【详解】因为向量，，
所以
要使与共线，则应有实数，使，
即，
即得.
故存在这样的实数λ，μ，只要，就能使与共线.
32．设是不共线的两个非零向量．若与共线，求实数的值．
【答案】k＝±4.
【分析】由题意与共线，结合向量共线定理即可求得答案.
【详解】由不共线可知为非零向量，而与共线，所以存在唯一实数，使得，即.
因为不共线，所以.
33．已知.其中与不共线且B，C，D三点共线，求的值.
【答案】.
【分析】利用平面向量的线性运算、共线的性质进行求解.
【详解】由B，C，D三点共线，得，
又，
所以，
，
所以，即，
所以，解得.
【题型6向量线性运算在三角形中的运用】
34．如图所示，在中，、、分别为、、边的中点，求证.
【答案】证明见解析.
【分析】由向量线性运算，结合中线向量的结论进行证明，即把题中向量用三角形三边线段对应的向量表示后可得．
【详解】、、分别为、、边的中点，
，，.
.
35．如图，在△中，D，E为边的两个三等分点，，求．
【答案】，
【分析】由各向量对应线段的几何关系，结合向量加减、数乘的几何意义有，，再根据、求关于的表达式.
【详解】∵，
∴．又D，E为边的两个三等分点，
∴，
∴，．
36．如图所示，已知D，E分别是边的中点．求证：，且．
【答案】证明见解析
【分析】利用平面向量的加减和数乘运算，将转化为即可得到答案.
【详解】．
因为D，E分别为边的中点，所以，
所以，所以且．
36．如图，已知点是的重心，若过的重心，且，，，（，），试求的最小值．
【答案】
【分析】根据重心的几何性质和三点共线的向量表示，依据线段长的比例进行运算即可.
【详解】∵是的重心，∴是边上的中线，，
∴，
∴，
又∵，（，），∴，，
∴，
又∵，，三点共线，
∴.
又∵，，∴由基本不等式，有
，
当且仅当，即，时，等号成立，
∴的最小值为.专题02 平面向量的运算（六大题型）
【题型1向量的加减运算】
【题型2 三角形( 平行四边形 ) 法则的应用】
【题型3向量的线性运算】
【题型4 用已知向量表示相关向量】
【题型5 向量共线定理的应用】
【题型6向量线性运算在三角形中的运用】
【题型1向量的加减运算】
1．化简：（ ）
A． B． C． D．
2．在矩形中，，，则等于（ ）
A． B． C．3 D．4
3．已知四边形是平行四边形，则（ ）
A． B． C． D．
4．四边形是梯形，，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．若向量表示“向东航行”，向量表示“向北航行”，则向量表示（ ）
A．向东北方向航行
B．向北偏东方向航行
C．向正北方向航行
D．向正东方向航行
6．化简
(1)；
(2)．
【题型2 三角形( 平行四边形 ) 法则的应用】
7．如图所示，在中，，则（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，已知中，是边上一点，若，，则（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在平行四边形中，，，则可以表示为（ ）
A． B． C． D．
10．在平行四边形中，O为对角线的交点，则（ ）
A． B． C． D．
11．在四边形中，若，则（ ）
A．四边形是矩形 B．四边形是菱形
C．四边形是正方形 D．四边形是平行四边形
12．已知是平面上一点，，且四边形为平行四边形，则( )
A． B．
C． D．
13．如图，在平行四边形ABCD中，下列计算结果错误的是（ ）
A． B．
C． D．
14．点是平行四边形的两条对角线的交点，则等于（ ）
A． B． C． D．
15．若，则（ ）
A．一定可以构成三角形
B．都是非零向量时可以构成一个三角形
C．一定不可以构成一个三角形
D．都是非零向量时也可能无法构成三角形
16．在平行四边形中，为边上靠近点的三等分点，，则 ．
【题型3向量的线性运算】
17．化简：
(1)； (2).
18．已知向量，计算
19．计算：
(1)； (2)．
20．化简：
(1)； (2).
21．计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
22．计算：
(1)；
(2).
23．解关于，的方程或方程组：
（1）； （2）.
【题型4 用已知向量表示相关向量】
24．设，若用与表示，求的表达式.
25．若，，其中，是已知向量，求，.
26．已知与，且，，求，．
27．已知3(2－＋)＋＝2(－＋3)，求.
28．已知向量，，且，求向量．
【题型5 向量共线定理的应用】
29．已知点为平面上四点，且向量且．
(1)求证：三点共线；
(2)若点在线段上，求实数的取值范围.
30．设是两个不共线向量，已知，，．若，且B，D，F三点共线，求k的值．
31．已知向量，，其中，不共线，向量，问是否存在这样的实数λ，μ，使向量与共线？
32．设是不共线的两个非零向量．若与共线，求实数的值．
33．已知.其中与不共线且B，C，D三点共线，求的值.
【题型6向量线性运算在三角形中的运用】
34．如图所示，在中，、、分别为、、边的中点，求证.
35．如图，在△中，D，E为边的两个三等分点，，求．
36．如图所示，已知D，E分别是边的中点．求证：，且．
36．如图，已知点是的重心，若过的重心，且，，，（，），试求的最小值．
