第03讲 简单几何体的表面积和体积
考点1：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们各个面的面积的和．
求解正棱台的表面积时注意棱台的四个基本量：底面边长、高、斜高、侧棱，并注意两个直角梯形的应用
(1)高、侧棱、上、下底面多边形的中心与顶点连线所成的直角梯形．
(2)高、斜高、上、下底面边心距所成的直角梯形．
考点2：棱柱、棱锥、棱台的体积
棱柱：V棱柱＝Sh （S为棱柱的底面积，h为棱柱的高）
棱锥：V棱锥＝Sh（S为棱锥的底面积，h为棱锥的高）
棱台：V棱台＝(S′＋＋S)h（S′，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高）
求解正棱台的体积时，注意棱台的五个基本量(上、下底面边长、高、斜高、侧棱)．
常用两种解题思路：一是把基本量转化到直角梯形中解决问题；二是把正棱台还原成正棱锥．利用正棱锥的有关知识来解决问题．
考点3：简单组合体的表面积与体积
求组合体的表面积和体积，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减．求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减．
表面积公式：底面积：S底＝2πr2
旋转体侧面积：S侧＝2πrl
圆柱：表面积：S＝2πr(r＋l)；
圆锥：底面积：S底＝πr2；侧面积：S侧＝πrl；表面积：S＝πr(r＋l)
圆台：上底面面积：S上底＝πr′2；
下底面面积：S下底＝πr2；
侧面积：S侧＝π(r′l＋rl)；
表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算，
而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．
考点4:圆柱、圆锥、圆台的体积
圆柱：V圆柱＝Sh＝πr2h（圆柱底面圆的半径为r，面积为S，高为h）
圆锥：V圆锥＝Sh＝πr2h（圆锥底面圆的半径为r，面积为S，高为h）
圆台：V圆台＝(S＋＋S′)h＝π(r2＋rr′＋r′2)h
圆台上底面圆的半径为r′，面积为S′，下底面圆的半径为r，面积为S，高为h
考点5：球的表面积与体积
1．球的表面积公式S＝4πR2(R为球的半径)．
2．球的体积公式V＝πR3.
计算球的表面积与体积，关键是确定球心与半径．
【题型1多面体的表面积与体积】
【典例1】已知正三棱柱所有棱长均为2，则该正三棱柱的体积为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【分析】根据三棱棱柱体积的计算公式直接计算，判断选项.
【详解】,
故选:A
【变式1-1】若正四棱柱的底面周长为，高为，则该正四棱柱的表面积为 .
【答案】10
【分析】求出侧面积和上下底面积，相加即可得答案.
【详解】因为正四棱柱的底面周长为4，所以底面正方形边长为1，
则该正四棱柱的表面积，
故答案为：10.
【变式1-2】在正四棱锥中，，则该棱锥的体积为 ．
【答案】
【分析】根据题意，利用勾股定理算出底面中心到顶点的距离为，再由锥体的体积公式加以计算，即可得到该棱锥的体积．
【详解】在平面上的投影是，因为是正四棱锥，
所以是正方形对角线的交点，连结，
，，
所以，于是.
故答案为：.
【变式1-3】如图，正四面体的各棱长均为1，则它的表面积是 .
【答案】
【分析】利用椎体的表面积求法求解.
【详解】因为是正三角形，其边长为1，所以,
因此，四面体的表面积.
故答案为: .
【题型 2圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积】
【典例2-1】已知圆锥PO的母线长为2，O为底面的圆心，其侧面积等于，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用圆锥侧面积公式求出底面圆半径，进而求出高即可计算得解.
【详解】设圆锥PO的底面圆半径为，由母线长为2，侧面积等于，得，
解得，因此圆锥的高，
所以该圆锥的体积为.
故选：C
【典例2-2】如图，圆台高为，轴截面中母线与底面直径的夹角为，轴截面中一条对角线垂直于腰，求：圆台的体积.
【答案】
【分析】利用圆台的体积公式求解即可.
【详解】设上、下底面半径分别为，，过作底面交于，
由题意可知，，
所以，
所以，，
所以，
解得，，
所以.
【变式2-1】如图所示，圆锥的顶点为，底面中心为，母线，底面半径与的夹角为，且.求该圆锥的表面积.
【答案】
【分析】根据圆锥的侧面积公式及圆的面积公式求解.
【详解】圆锥的侧面积公式，
底面圆的面积，
故圆锥的表面积.
故答案为：
【变式2-2】如图，已知圆柱的底面半径为2，母线长为3，
(1)求该圆柱的体积和表面积
(2)直角三角形绕旋转一周，求所得圆锥的侧面积
【答案】(1)体积为，表面积为；
(2)
【分析】（1）由圆柱体积公式可得体积，由侧面积公式先求侧面积，表面积为侧面积加上两个底面积可得；
（2）先求圆锥母线长，再由侧面积公式可得.
【详解】（1）圆柱的底面半径，母线长，即高，
体积，
表面积.
（2）由题意，圆锥母线，
所得圆锥的侧面积为.
【变式2-3】已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线与下底面所成的角为，则该圆台的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出上下底面的面积，作出辅助线，得到母线长，从而得到圆台的表面积.
【详解】由题意，得上底面面积为，下底面面积为，
由图形可得，，
母线与下底面所成的角为，故，
故圆台的母线长为2，所以侧面积为，
所以该圆台的表面积为．
故选：C．
【变式2-4】现有一个圆台形的杯子，杯口的内径为，杯底的内径为，杯中盛满溶液时溶液的高度为，当杯中盛满溶液时，杯中溶液的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由台体体积公式结合题目条件可得答案.
【详解】由题可得，杯底面积为，杯口面积为，又溶液高度为.
当杯中盛满溶液时，溶液的体积．
故选：A
【题型 3球的表面积与体积】
【典例3】已知球的表面积为，则该球的体积为 ．
【答案】
【分析】根据球体表面积计算公式求出球体半径，再根据球体体积计算公式求出球体体积即可.
【详解】设球体的半径为，根据已知有：，解得，所以球体体积为：
.
故答案为：.
【变式3-1】A，B，C，D是球的球面上四点，，球心是的中点，四面体的体积为，则球的表面积为 .
【答案】
【分析】利用棱锥的体积公式结合球的表面积公式计算即可.
【详解】由题意可知为球的直径，设到面的距离为，
易知等边的面积为，
所以，则球心到面的距离为1，
设面，易知为等边的外心，
所以，
故.
故答案为：
【变式3-2】球面上三点、、所确定的截面到球心的距离等于球半径的，且，，，则该球的体积为 .
【答案】
【分析】设球的半径为，计算出的外接圆半径，根据题意可得出关于的等式，解出的值，再利用球体的体积公式可求得该球的体积.
【详解】设球的半径为，因为，，，则，
所以，，则为直角三角形，且为斜边，
所以，的外接圆半径为，
因为所确定的截面到球心的距离等于球半径的，
则，可得，
因此，该球的体积为.
故答案为：.
【题型4组合体的表面积与体积】
【典例4】如图，某几何体的下部分是长 宽均为8，高为3的长方体，上部分是侧棱长都相等且高为3的四棱锥，求：
（1）该几何体的体积；
（2）该几何体的表面积.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）按照公式求出长方体和四棱锥的体积，求和即可；（2）先找到四棱锥侧面的高，然后可求出四棱锥的侧面积，继而求长方体的表面积，求和即可.
【详解】连接，交于点，取的中点，连接，，
（1）
∴
（2）∵，
∴
【点睛】易错点睛：求棱锥的表面积时要注意高为面的高，而不是棱锥的高.
【变式4-1】如图1所示，宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一．图2是小明为自家设计的一个花灯的直观图，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为和，正六棱台与正六棱柱的高分别为和，则该花灯的表面积为（ ）
A．B． C． D．
【答案】A
【分析】作出辅助线，求出正六棱台的侧高，从而求出正六棱台的侧面积，再求出正六棱台的下底面面积，圆柱的侧面积和底面积，相加得到该花灯的表面积.
【详解】正六棱柱的六个侧面面积之和为，
正六棱柱的底面面积为，
如图所示，正六棱台中，，
过点分别作垂直于底面于点，
连接相交于点，则分别为的中点，
过点作⊥于点，连接，则为正六棱台的斜高，
其中，，，
由勾股定理得，故，
所以正六棱台的斜高为，
故正六棱台的侧面积为，
又正六棱台的下底面面积为，
所以该花灯的表面积为．
故选：A．
【变式4-2】某个实心零部件的直观图如图所示，其下部是上、下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱.现需要对该零部件表面进行防腐处理，已知，，，，每平方厘米的加工处理费为0.2元，则需加工处理费多少元？
【答案】484元
【分析】需计算上面四棱柱的表面积（除去下底面的面积），四棱台的表面积（除去下底面的面积）即可．
【详解】因为四棱柱的底面是正方形，侧面是全等的矩形，
所以该零部件上部的表面积.
又四棱台的上、下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形，
所以该零部件下部的表面积.
于是该实心零部件的表面积，
又（元），
故所需加工处理费为484元.
【题型5球的截面问题】
【典例5】已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且，，求球面面积与球的体积.
【答案】，
【分析】求出外接圆半径，再利用勾股定理求出球半径即可.
【详解】如图，设球心为O，球半径为R，作平面ABC于点，
由于，则是的外心，
设M是AB的中点，由于，则.
设，易知，
则，，
又，∴，
解得，∴.
在中，，，，
由勾股定理得，解得，
则，.
【变式5-1】若将上底面半径为2，下底面半径为4的圆台型木块，削成体积最大的球，则该球的表面积为 ．
【答案】
【分析】球的体积最大，当且仅当该球为圆台的内切球，利用圆台轴截面与球的截面大圆关系求出球半径即可.
【详解】依题意，削成的球体积最大，当且仅当该球为圆台的内切球，设球半径为，
过圆台轴的截面截球所得大圆是圆台轴截面等腰梯形的内切圆，则梯形的高为，
由圆的外切四边形性质可知，等腰梯形的腰长为，
因此，解得，
所以球的表面积.
故答案为：
【变式5-2】已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直OA的平面截球得到圆M，若圆M的面积为，则球O的表面积为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，利用圆的面积公式和球的截面圆的性质，求得球的半径，结合球的表面积公式，即可求解.
【详解】设圆的半径为，因为圆M的面积为，可得，解得，
设球O的半径为，由截面圆的性质，可得，即，
解得，所以球的表面积为．
故选：C．
【变式5-3】用与球心O距离为2的平面截球，所得截面与球心O构成的圆锥的体积为6π，则球的表面积为（ ）
A．13π B．52π
C．20π D．36π
【答案】B
【分析】根据球中截面圆的性质，结合锥体体积公式即可求解半径，进而由球表面积公式求解.
【详解】设平面截得截面圆的半径为，球半径为,
所以，
所以外接球的表面积为，
故选：B
【变式5-4】若平面截球所得截面圆的面积为，且球心到平面的距离为，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用球的截面小圆性质及球的面积公式计算即得.
【详解】由平面截球所得截面圆的面积为，得此截面小圆半径，而球心到此小圆距离，
因此球的半径，有，
所以球的表面积.
故选：C
【题型 6 几何体与球的切、接问题】
【典例6】三棱锥中，平面，为等边三角形，且，，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先作图构造外接球的球心，再根据几何关系求外接球的半径，最后代入三棱锥外接球的表面积公式.
【详解】如图，点为外接圆的圆心，过点作平面的垂线，
点为的中点，过点作线段的垂线，所作两条垂线交于点，
则点为三棱锥外接球的球心，
因为平面，且为等边三角形，，
所以四边形为矩形，，，
所以，即三棱锥外接球的半径，
则该三棱锥外接球的表面积为.
故选：B
【变式6-1】已知在直三棱柱中存在内切球，若，则该三棱柱外接球的表面积为 .
【答案】
【分析】求出底面直角三角形内切圆半径，即可得直棱柱的高，如图，分别取的中点，连接，的中点是其外接球球心，求出半径后可得表面积．
【详解】由已知是直角三角形，，的内切圆半径为，
直三棱柱中存在内切球，则其高为，
分别取的中点，连接，则也是该直三棱柱的高，的中点是其外接球球心，
，
所以外接球的表面积为．
故答案为：．
【变式6-2】棱长为2的正方体外接球的表面积是 ．
【答案】
【分析】直接求出正方体的对角线的长度，就是它的外接球的直径，求出半径即可求出球的体积，
【详解】由题意得正方体的对角线的长度，就是它的外接球的直径，
所以球的直径为：，半径为，
球的表面积为：.
故答案为：.
【题型 7实际应用问题】
【典例7】西安市建造圆锥形仓库用于储存粮食，已建的仓库底面直径为，高为.随着西安市经济的发展，粮食产量的增大，西安市拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多的粮食.现有两种方案：一是新建的仓库底面半径比原来大（高不变）；二是高度增加（底面直径不变）.
（1）分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；
（2）分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；
（3）哪个方案更经济些？
【答案】（1）；.（2）；.（3）方案二比方案一更加经济.
【分析】（1）根据方案一，则仓库的底面直径变成，由圆锥的体积公式建立模型；根据方案二，则仓库的高变成，由圆锥的体积公式建立模型；
（2）根据方案一，仓库的底面直径变成，由表面积公式建立模型；根据方案二，则仓库的高变成，由表面积公式建立模型.
（3）比较两种方案的体积和表面积，得出结论.
【详解】（1）如果按方案一：仓库的底面直径变成，
则仓库的体积：
（），
如果按方案二，仓库的高变成，则仓库的体积：
（）；
（2）如果按方案一，仓库的底面直径变成，半径为，
圆锥的母线长为（），
则仓库的表面积（），
如果按方案二，仓库的高变成，
圆锥的母线长为，
则仓库的表面积（）.
（3）由（1）（2）可知，第二种方案的体积大，可以贮藏更多的粮食，第二种方案的表面积小，则用料少，成本低，所以选择方案二更经济.
【点睛】关键点睛：本题考查圆锥的实际应用，解题的关键是熟练掌握圆锥的体积和表面积公式，要求有计算能力、分析能力.
【变式7-1】某企业要设计一款由同底等高的圆柱和圆锥组成的油罐（如图），设计要求：圆锥和圆柱的总高度与圆柱的底面半径相等，均为10m.
（1）已知制作这种油罐的材料单价为1万元/m2，则制作一个油罐所需费用为多少万元？（取3.14，结果精确到0.01万元）
（2）已知该油罐的储油量为0.95吨/m3，则一个油罐可储存多少吨油？（取3.14，结果精确到0.01吨）
【答案】（1）979.56万元；（2）1989.68吨.
【分析】由题意知，求得圆柱和圆锥的高以及圆锥的母线长；
（1）求得组合体的表面积，从而求得造价；
（2）求得组合体体积，从而求得储油量.
【详解】由题意知，圆柱和圆锥的底面半径，圆柱和圆锥的高均为；
则圆锥的母线长，
（1）由上知，组合体的表面积为：
，
则总造价为万元；
（2）组合体的体积为：，
又储油量为吨/，则一个油罐可以储存油量为：吨
【变式7-2】一座仓库的屋顶呈正四棱锥形，底面的边长为2.7 m，侧棱长为2.3 m，如果要在屋顶上铺一层油毡纸，则需多少油毡纸？（精确到0.1 ）
【答案】
【分析】由棱锥侧面积的求法求屋顶上铺一层油毡纸的面积即可.
【详解】如图所示，设SE是侧面三角形ABS的高，则SE就是正四棱锥的斜高．
在中，m，m，
所以m，而底面周长m，
所以需油毡纸，故需要油毡纸约.
【变式7-3】某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为，高为30，圆锥的母线长为20．
(1)求这种“笼具”的体积（结果精确到）；
(2)现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？
【答案】(1)
(2)元
【分析】（1）根据题意，结合圆锥和圆柱的体积公式，即可求解；
（2）根据题意，求得该组合体的表面积，结合题意，即可求解.
【详解】（1）设圆柱的底面半径为，高为，圆锥的母线长为，高为，
则，可得，且，
所以笼具的体积.
（2）圆柱的侧面积，
圆柱的底面积，
圆锥的侧面积为，
故笼具的表面积．
故制造50个这样的笼具总造价为：元，
答：这种笼具的体积约为，生产50个笼具需要元．
一、单选题
1．如图，在直角梯形中，，，，，，以所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】所得几何体为圆柱挖去一个同底的圆锥的组合体，分别求出圆柱与圆锥的体积，相减可得几何体的体积．
【详解】旋转后所得几何体为圆柱挖去一个同底的圆锥的组合体，如图所示：
其中圆柱与圆锥的底面半径都等于
圆柱的高等于，圆锥的高等于，
底面圆的面积为，
圆锥的体积为，圆柱的体积为，
所以所得几何体的体积为．
故选：C.
2．已知圆锥的母线长为，为底面的圆心，高，其轴截面的面积为，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设圆锥的底面半径为，高为，根据已知条件可得出关于方程组，解出的值，即可求得该圆锥的的体积.
【详解】设圆锥的底面半径为，高为，由题意可得，解得：，
因此，该圆锥的体积为.
故选：C
3．如图，在正三棱柱中，，则三棱锥的体积为（ ）．
A． B．3 C． D．6
【答案】A
【分析】利用棱柱和棱锥公式结合整体减部分的方法即可.
【详解】因为正三棱柱，
所以，
则
，
故选：A.
4．《九章算术》中的方亭指的是正四面形棱台体建筑物，正四面形棱台即今天的正四棱台.如图，某方亭的上底面与下底面的边长分别为4和8，每个侧面与下底面夹角的正切值均为，则方亭的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用侧面与下底面的夹角的正切值均为，求得正棱台的高，进而求得其斜高，结合侧面积公式，即可求解.
【详解】设上底面为，下底面为，取的中点，的中点，连接，
设上底面的中心为，下底面的中心为，连接，
过点作于点，如图所示，
因为，
所以即为侧面与下底面夹角的平面角，即，
又因为，
所以，所以，
所以，
所以方亭的侧面积为.
故选：B.
5．已知圆锥SO的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则圆锥SO的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，利用圆锥的体积公式计算即可．
【详解】解：如图所示，
圆锥SO中，底面圆半径为，
高为；
所以圆锥SO的体积为：
.
故选：D．
6．曲池几何体是我国古代数学名著《九章算术》中研究的一种几何体，该几何体是上下底面均为扇环的柱体.下图是某一曲池几何体的正视图与侧视图，则该几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】结合曲池几何体的特点，求出各个面的面积相加即可求解.
【详解】解：由正视图与侧视图可知，上下底面均为半圆环，
所以上、下底面的面积均为，
其侧面积为，
所以该几何体的表面积为.
故选：B．
二、填空题
7．已知圆锥的侧面展开图是半径为8的直角扇形，则此圆锥的表面积为 ．
【答案】
【分析】利用弧长公式和圆的周长公式求出底面半径，然后可得表面积.
【详解】如图，设圆锥底面半径为r，
则，解得，
所以，该圆锥的表面积为.
故答案为：
8．一个正四棱柱底面边长为2，高为，上底面对角线交点与下底面四个顶点构成几何体的内切球表面积为 .
【答案】
【分析】根据题意该几何体为正四棱锥，利用正四棱锥的结构特征，求出内切球半径得解.
【详解】由题意可知该几何体为正四棱锥，如图，为内切球的球心，是棱锥的高，分别是的中点，
连接，是球与侧面的切点，可知在上，，
设内切球半径为，则，，，，由，
，即，解得，
所以内切球表面积为.
故答案为：.
9．已知圆台上、下底面半径分别为1和2，一条母线长为，则该圆台的体积为 ．
【答案】/
【分析】根据上下底面半径和母线长求得圆台的高，然后再利用圆台的体积公式计算得到答案.
【详解】由题意知作出圆台示意图，如图，所以可得圆台的高，
所以圆台的体积．
故答案为：.
10．正多面体被古希腊哲学家柏拉图认为是构成宇宙的基本元素，也是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一．如图，该几何体是一个棱长为2的正八面体，则此正八面体的体积为 ，平面截此正八面体的外接球所得截面的面积为 ．
【答案】
【分析】根据几何体的特征求高，即可求其体积；根据球的截面性质即可求其截面面积.
【详解】如图，取的中点，连接，取的中点，连接．
由棱长为2，可得正八面体上半部分的斜高为，高为，
则正八面体的体积为．
此正八面体的外接球的球心为，半径为，到平面的距离等于到平面的距离，
在中，过作的垂线，垂足为，则平面．
由，得，平面截正八面体的外接球所得截面是圆，
其半径，所以所得截面的面积为．
故答案为：；.
11．如图所示的几何体是一棱长为4 cm的正方体，若在其中一个面的中心位置上，挖一个直径为2 cm、深为1 cm的圆柱形的洞，则挖洞后几何体的表面积是 ．（取3.14）
【答案】102.28
【分析】根据题意求出正方体的表面积，圆柱的侧面积，进而求出打孔后的表面积.
【详解】正方体的表面积为，圆柱的侧面积为，
则挖洞后几何体的表面积为．
故答案为：102.28.
12．米斗是称量粮食的量器，它有着吉祥的宫意，是丰饶富足的象征，是古代官仓、粮栈、米行及地主家里必备的用具.某课外兴趣小组为了解米斗的几何结构，在通用技术教师的指导下，用木制榫卯结构的方式制作了一个米斗如图，上宽下窄呈方形，近似于一个正四棱台，斗口边长为3米，斗底边长为2米，斗高3米，则该米斗能装米 升（忽略木板厚度，1升立方米）.
【答案】
【分析】根据题意，由棱台的体积计算公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意可得，上底面面积，下底面面积，高，
则米斗的体积，
则该米斗能装米升.
故答案为：
13．在四面体中，，，且满足，，．若该三棱锥的体积为，则该锥体的外接球的体积为 ．
【答案】
【分析】将四面体放在长方体中，通过求长方体的外接球半径得出结果.
【详解】如图，依题意将四面体放在长方体中，设长方体的高为.
根据锥体的体积，解得，
所以长方体的长宽高分别为，和4，
所以长方体的外接球直径即为对角线，解得.
所以四面体外接球的体积为．
故答案为：.
14．若用与球心距离为3的平面截球体所得的圆面半径为4，则球的体积为 .
【答案】/
【分析】利用球的截面小圆性质，求出求半径及体积.
【详解】依题意，球的半径，所以球的体积.
故答案为：
15．如图，已知正四棱台的两底面均为正方形，且边长分别为20cm和10cm，侧面积为，则其体积为 ．
【答案】
【分析】利用四棱台的结构特征，作出辅助线，根据侧面积列出方程，求出正四棱台的高，结合棱台的体积公式计算得结论
【详解】如图，取的中点、的中点，上、下底面的中心、，
则为斜高，四边形为直角梯形．
正四棱台的侧面积，
，
在直角梯形中，过点作⊥于点，
则，，
因为，，
所以cm，
cm，
该四棱台的体积为
故答案为：
三、解答题
16．已知正四棱锥底面边长为4，高与斜高夹角为.求它的侧面积和表面积．
【答案】侧面积是32，表面积是48
【分析】由正四棱锥的高，斜高，边心距组成的直角三角形，依据题意可以求出高与斜高，即可求得正四棱锥的侧面积和表面积．
【详解】如图所示，设正四棱锥的高为，斜高为，
底面边心距为，它们组成一个直角三角形；
，
，
所以正四棱锥的侧面积，
底面正方形面积为，
则正四棱锥的表面积为，
即该正四棱锥的侧面积是32，表面积是48.
17．一个直角梯形的两底长为2和5，高为4，将其绕较长的底旋转一周，求所得旋转体的表面积．
【答案】
【分析】根据图形特征旋转后根据圆锥侧面积及圆柱表面积公式计算可得.
【详解】如图所示，直角梯形中，，
作，垂足为，则，
故，
在旋转生成的旋转体中，形成了一个圆面，
形成一个圆柱的侧面，形成一个圆锥的侧面，
设其面积分别为，
则，
所以次旋转体的表面积为.
18．如图是一个正四棱台形的石墩．已知它的上底面边长为30cm，下底面边长为40cm，侧面梯形的高为30cm．在不计下底面所占面积的情况下，试计算这个物体的表面积（结果单位为）．
【答案】
【分析】根据棱台表面积公式求解即可.
【详解】由题意可知，上底面周长为，
下底面周长为，
则．
又上底面积为，所以表面积为．
又，
因此，在不计下底面所占面积的情况下，这个物体的表面积为．
19．如图，三棱柱内接于一个圆柱，且底面是正三角形，圆柱的体积是，底面直径与母线长相等.
(1)求圆柱的底面半径；
(2)求三棱柱的体积.
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）根据圆柱体积公式直接计算；
（2）根据三棱柱体积公式以及正弦定理进行计算即可.
【详解】（1）设底面圆的直径为2r，
由题可知,圆柱的体积，
解得，即圆柱的底面半径为1
（2）因为为正三角形，底面圆的半径为1，
由正弦定理，边长，
所以三棱柱的体积第03讲 简单几何体的表面积和体积
考点1：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们各个面的面积的和．
求解正棱台的表面积时注意棱台的四个基本量：底面边长、高、斜高、侧棱，并注意两个直角梯形的应用
(1)高、侧棱、上、下底面多边形的中心与顶点连线所成的直角梯形．
(2)高、斜高、上、下底面边心距所成的直角梯形．
考点2：棱柱、棱锥、棱台的体积
棱柱：V棱柱＝Sh （S为棱柱的底面积，h为棱柱的高）
棱锥：V棱锥＝Sh（S为棱锥的底面积，h为棱锥的高）
棱台：V棱台＝(S′＋＋S)h（S′，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高）
求解正棱台的体积时，注意棱台的五个基本量(上、下底面边长、高、斜高、侧棱)．
常用两种解题思路：一是把基本量转化到直角梯形中解决问题；二是把正棱台还原成正棱锥．利用正棱锥的有关知识来解决问题．
考点3：简单组合体的表面积与体积
求组合体的表面积和体积，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减．求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减．
表面积公式：底面积：S底＝2πr2
旋转体侧面积：S侧＝2πrl
圆柱：表面积：S＝2πr(r＋l)；
圆锥：底面积：S底＝πr2；侧面积：S侧＝πrl；表面积：S＝πr(r＋l)
圆台：上底面面积：S上底＝πr′2；
下底面面积：S下底＝πr2；
侧面积：S侧＝π(r′l＋rl)；
表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算，
而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．
考点4:圆柱、圆锥、圆台的体积
圆柱：V圆柱＝Sh＝πr2h（圆柱底面圆的半径为r，面积为S，高为h）
圆锥：V圆锥＝Sh＝πr2h（圆锥底面圆的半径为r，面积为S，高为h）
圆台：V圆台＝(S＋＋S′)h＝π(r2＋rr′＋r′2)h
圆台上底面圆的半径为r′，面积为S′，下底面圆的半径为r，面积为S，高为h
考点5：球的表面积与体积
1．球的表面积公式S＝4πR2(R为球的半径)．
2．球的体积公式V＝πR3.
计算球的表面积与体积，关键是确定球心与半径．
【题型1多面体的表面积与体积】
【典例1】已知正三棱柱所有棱长均为2，则该正三棱柱的体积为（ ）
A． B．4 C． D．
【变式1-1】若正四棱柱的底面周长为，高为，则该正四棱柱的表面积为 .
【变式1-2】在正四棱锥中，，则该棱锥的体积为 ．
【变式1-3】如图，正四面体的各棱长均为1，则它的表面积是 .
【题型 2圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积】
【典例2-1】已知圆锥PO的母线长为2，O为底面的圆心，其侧面积等于，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【典例2-2】如图，圆台高为，轴截面中母线与底面直径的夹角为，轴截面中一条对角线垂直于腰，求：圆台的体积.
【变式2-1】如图所示，圆锥的顶点为，底面中心为，母线，底面半径与的夹角为，且.求该圆锥的表面积.
【变式2-2】如图，已知圆柱的底面半径为2，母线长为3，
(1)求该圆柱的体积和表面积
(2)直角三角形绕旋转一周，求所得圆锥的侧面积
【变式2-3】已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线与下底面所成的角为，则该圆台的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-4】现有一个圆台形的杯子，杯口的内径为，杯底的内径为，杯中盛满溶液时溶液的高度为，当杯中盛满溶液时，杯中溶液的体积为（ ）
A． B． C． D．
【题型 3球的表面积与体积】
【典例3】已知球的表面积为，则该球的体积为 ．
【变式3-1】A，B，C，D是球的球面上四点，，球心是的中点，四面体的体积为，则球的表面积为 .
【变式3-2】球面上三点、、所确定的截面到球心的距离等于球半径的，且，，，则该球的体积为 .
【题型4组合体的表面积与体积】
【典例4】如图，某几何体的下部分是长 宽均为8，高为3的长方体，上部分是侧棱长都相等且高为3的四棱锥，求：
（1）该几何体的体积；
（2）该几何体的表面积.
【变式4-1】如图1所示，宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一．图2是小明为自家设计的一个花灯的直观图，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为和，正六棱台与正六棱柱的高分别为和，则该花灯的表面积为（ ）
A．B． C． D．
【变式4-2】某个实心零部件的直观图如图所示，其下部是上、下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱.现需要对该零部件表面进行防腐处理，已知，，，，每平方厘米的加工处理费为0.2元，则需加工处理费多少元？
【题型5球的截面问题】
【典例5】已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且，，求球面面积与球的体积.
【变式5-1】若将上底面半径为2，下底面半径为4的圆台型木块，削成体积最大的球，则该球的表面积为 ．
【变式5-2】已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直OA的平面截球得到圆M，若圆M的面积为，则球O的表面积为（ ）．
A． B． C． D．
【变式5-3】用与球心O距离为2的平面截球，所得截面与球心O构成的圆锥的体积为6π，则球的表面积为（ ）
A．13π B．52π C．20π D．36π
【变式5-4】若平面截球所得截面圆的面积为，且球心到平面的距离为，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【题型 6 几何体与球的切、接问题】
【典例6】三棱锥中，平面，为等边三角形，且，，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】已知在直三棱柱中存在内切球，若，则该三棱柱外接球的表面积为 .
【变式6-2】棱长为2的正方体外接球的表面积是 ．
【题型 7实际应用问题】
【典例7】西安市建造圆锥形仓库用于储存粮食，已建的仓库底面直径为，高为.随着西安市经济的发展，粮食产量的增大，西安市拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多的粮食.现有两种方案：一是新建的仓库底面半径比原来大（高不变）；二是高度增加（底面直径不变）.
（1）分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；
（2）分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；
（3）哪个方案更经济些？
【变式7-1】某企业要设计一款由同底等高的圆柱和圆锥组成的油罐（如图），设计要求：圆锥和圆柱的总高度与圆柱的底面半径相等，均为10m.
（1）已知制作这种油罐的材料单价为1万元/m2，则制作一个油罐所需费用为多少万元？（取3.14，结果精确到0.01万元）
（2）已知该油罐的储油量为0.95吨/m3，则一个油罐可储存多少吨油？（取3.14，结果精确到0.01吨）
【变式7-2】一座仓库的屋顶呈正四棱锥形，底面的边长为2.7 m，侧棱长为2.3 m，如果要在屋顶上铺一层油毡纸，则需多少油毡纸？（精确到0.1 ）
【变式7-3】某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为，高为30，圆锥的母线长为20．
(1)求这种“笼具”的体积（结果精确到）；
(2)现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？
一、单选题
1．如图，在直角梯形中，，，，，，以所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
2．已知圆锥的母线长为，为底面的圆心，高，其轴截面的面积为，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在正三棱柱中，，则三棱锥的体积为（ ）．
A． B．3 C． D．6
4．《九章算术》中的方亭指的是正四面形棱台体建筑物，正四面形棱台即今天的正四棱台.如图，某方亭的上底面与下底面的边长分别为4和8，每个侧面与下底面夹角的正切值均为，则方亭的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
5．已知圆锥SO的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则圆锥SO的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．曲池几何体是我国古代数学名著《九章算术》中研究的一种几何体，该几何体是上下底面均为扇环的柱体.下图是某一曲池几何体的正视图与侧视图，则该几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．已知圆锥的侧面展开图是半径为8的直角扇形，则此圆锥的表面积为 ．
8．一个正四棱柱底面边长为2，高为，上底面对角线交点与下底面四个顶点构成几何体的内切球表面积为 .
9．已知圆台上、下底面半径分别为1和2，一条母线长为，则该圆台的体积为 ．
10．正多面体被古希腊哲学家柏拉图认为是构成宇宙的基本元素，也是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一．如图，该几何体是一个棱长为2的正八面体，则此正八面体的体积为 ，平面截此正八面体的外接球所得截面的面积为 ．
11．如图所示的几何体是一棱长为4 cm的正方体，若在其中一个面的中心位置上，挖一个直径为2 cm、深为1 cm的圆柱形的洞，则挖洞后几何体的表面积是 ．（取3.14）
12．米斗是称量粮食的量器，它有着吉祥的宫意，是丰饶富足的象征，是古代官仓、粮栈、米行及地主家里必备的用具.某课外兴趣小组为了解米斗的几何结构，在通用技术教师的指导下，用木制榫卯结构的方式制作了一个米斗如图，上宽下窄呈方形，近似于一个正四棱台，斗口边长为3米，斗底边长为2米，斗高3米，则该米斗能装米 升（忽略木板厚度，1升立方米）.
13．在四面体中，，，且满足，，．若该三棱锥的体积为，则该锥体的外接球的体积为 ．
14．若用与球心距离为3的平面截球体所得的圆面半径为4，则球的体积为 .
15．如图，已知正四棱台的两底面均为正方形，且边长分别为20cm和10cm，侧面积为，则其体积为 ．
三、解答题
16．已知正四棱锥底面边长为4，高与斜高夹角为.求它的侧面积和表面积．
一个直角梯形的两底长为2和5，高为4，将其绕较长的底旋转一周，求所得旋转体的表面积．
18．如图是一个正四棱台形的石墩．已知它的上底面边长为30cm，下底面边长为40cm，侧面梯形的高为30cm．在不计下底面所占面积的情况下，试计算这个物体的表面积（结果单位为）．
19．如图，三棱柱内接于一个圆柱，且底面是正三角形，圆柱的体积是，底面直径与母线长相等.
(1)求圆柱的底面半径；
(2)求三棱柱的体积.
