专题01 平面向量的概念（四大题型）
【题型1题型1 向量的概念】
【题型2 向量的几何表示】
【题型3向量相等或共线】
【题型4 用向量关系研究几何图形的性质】
【题型1 向量的概念】
1．对下面图形的表示恰当的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】图像是个有向线段，可知其表达是一个向量.
【详解】图像有起点有终点，有箭头有方向，可知其代表的是向量.
故选：C.
2．给出下列物理量：（1）质量；（2）速度；（3）力；（4）加速度；（5）路程；（6）密度；（7）功；（8）电流强度；（9）体积.其中不是向量的有（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【答案】A
【分析】根据向量的概念，即可得出答案.
【详解】看一个量是不是向量，就要看它是否具备向量的两个要素：大小和方向.
（2）（3）（4）既有大小也有方向，是向量，
（1）（5）（6）（7）（8）（9）只有大小没有方向，不是向量.
故选：A.
3．分别以正方形ABCD的四个顶点为起点与终点的所有有向线段能表示的不同向量有（ ）
A．4个 B．6个 C．8个 D．12个
【答案】C
【分析】由图形一一列出可得答案.
【详解】如图，以正方形ABCD的四个顶点为起点与终点的所有有向线段能表示的不同向量为：
，共8个．
故选：C．
【题型2 向量的几何表示】
4．已知正方形ABCD的边长为1，点M满足，则（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【分析】根据几何关系求解.
【详解】
如图，，所以M是AC的中点，；
故选：C.
5．在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且，，则等于（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【分析】根据，可得，进一步得出答案.
【详解】如图，连接AC，
由，得.
因为为半圆上的点，所以，
所以．
故选：A.
6．数轴上点A，B分别对应，则向量的长度是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】根据数轴上的点的位置，直接计算长度，即可得解.
【详解】数轴上点A，B分别对应，
则向量的长度即.
故选：C．
7．如图，是某人行走的路线，那么的几何意义是某人从A点沿西偏南 方向行走了 km．
【答案】 60° 2
【分析】直接由图求解即可
【详解】解析：由已知图形可知，的几何意义是从A点沿西偏南60°方向，行走了2km．
故答案为：60°；2
8．已知向量，将按向量平移后得向量，则 ．
【答案】
【分析】根据向量相等的定义判断即可得.
【详解】与方向相同长度相等则向量相等,.
故答案为: .
9．已知点满足，若，，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】由知为、的中点，由中点坐标公式求解.
【详解】解：由可得，所以为、的中点，
又，，
所以点的坐标为.
故答案为：.
10．在如图的方格纸上，已知向量，每个小正方形的边长为1．
(1)试以为终点画一个有向线段，设该有向线段表示的向量为，使．
(2)在图中画一个以为起点的有向线段，设该有向线段表示的向量为，且，并说出点的轨迹是什么？
【答案】(1)图见解析
(2)点的轨迹是以A为圆心，半径为的圆
【分析】（1）根据相等向量的定义，即可画出向量；
（2）根据模长，画出向量，在判断轨迹.
【详解】（1）如图，感觉向量相等的定义，与的方向相同，长度相等，即，即可得到向量；
（2）如图，画出一个满足条件的向量，点的轨迹是以点为圆心，半径的圆.
11．如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：
（1）与相等的向量共有几个；
（2）与方向相同且模为的向量共有几个；
【答案】（1）5；（2）2.
【分析】根据共线向量和相等向量的定义、以及模的计算和对正方形的对角线即可.
【详解】解：由题可知，每个小方格都是单位正方形，
每个小正方形的对角线的长度为且都与平行，
则，
（1）由于相等向量是指方向和大小都相等的两个向量，
则与相等的向量共有5个，如图1；
（2）与方向相同且模为的向量共有2个，如图2.
【点睛】本题考查共线向量和相等向量的定义，以及向量的模的计算，考查理解能力和数形结合思想.
12．某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了 米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．
（1）作出向量，，；
（2）求 的模．
【答案】（1）见解析；（2）米
【分析】（1）利用方位根据向量的定义作出向量.
（2）根据（1）作出的平面图形，利用平面几何知识求解.
【详解】（1）作出向量，，；如图所示：
（2）由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10 米，CD＝10米，
所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，
所以AD＝＝(米)，
所以|米.
【点睛】本题主要考查平面向量的画法和向量模的求法，还考查了方位问题和平面几何知识，属于基础题.
13．如图所示，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方.
（1）作出向量，，（图中1个单位长度表示100m）；
（2）求向量的模.
【答案】（1）作图见解析（2）
【分析】（1）根据题意直接画图即可；
（2）根据（1）的作图，可以通过平行四边形的性质、勾股定理得到向量的模.
【详解】解：（1）如图，即为所求.
（2）如图，作向量，由题意可知，四边形是平行四边形，
∴.
【点睛】本题考查了在直角坐标系内画出向量，考查了利用勾股定理求向量的模，属于基础题.
【题型3向量相等或共线】
14．设是正方形ABCD的中心，则（ ）
A．向量，，，是相等的向量
B．向量，，，是平行的向量
C．向量，，，是模不全相等的向量
D．，
【答案】D
【分析】根据正方形的性质，以及向量的概念，即可得出答案.
【详解】
对于A项，，不共线，故A项错误；
对于B项，显然不平行，且三点不共线，故B项错误；
对于C项，根据正方形的性质，可知，，，的长度相等，故C项错误；
对于D项，根据正方形的性质，方向相同，方向相同.
又，，，的长度相等，所以，，故D项正确.
故选：D.
13．下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若 ， ，则
C．长度不相等而方向相反的两个向量是平行向量
D．单位向量都相等
【答案】C
【分析】根据向量的相关性质逐项分析.
【详解】对于A，若，只能说明两个向量的模长相等，但是方向不确定，所以A错误；
对于B，如果，结论B不正确；
对于C，根据平行向量的定义，C正确；
对于D，单位向量长度相等，但是方向不确定，所以D错误；
故选：C.
14．如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，下列向量中，与相等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据相等向量的定义即可得答案.
【详解】解：因为相等向量是指长度相等且方向相同的向量,O为正六边形ABCDEF的中心，
所以与模相等求且方向相同，所以是相等向量，故A正确；
与只是模相等的向量，故B错误；
与只是模相等的向量，故C错误；
与只是模相等的向量，故D错误.
故选：A.
15．如图，在四棱柱的上底面ABCD中，，则下列向量相等的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】D
【分析】由可知四边形是平行四边形，根据相等向量的定义即可判断.
【详解】因为，则四边形是平行四边形，结合题图，
，A错误；
，B错误；
与方向不相同，C错误；
，D正确.
故选：D
16．如图所示，在中，分别为的中点．图中与相等的向量为 ．
【答案】
【分析】根据相等向量的定义判断.
【详解】由几何性质，平行且相等，平行且相等，
所以．
故答案为：．
17．如图所示，在正三角形ABC中，P、Q、R分别是AB、BC、AC的中点，则与向量相等的向量是 ．
【答案】,
【分析】根据相等向量的定义确定即可.
【详解】因为P、Q、R分别是AB、BC、AC的中点，所以，,
因为方向相同，大小相等的向量为相等向量，所以与相等的向量为，.
故答案为：，.
18．如图所示，四边形为正方形，为平行四边形，
(1)与模长相等的向量有多少个？
(2)写出与相等的向量有哪些？
(3)与共线的向量有哪些？
(4)请列出与相等的向量．
【答案】(1)有9个
(2)，
(3)，，，，，，
(4)
【分析】（1）（2）（3）（4）根据平面几何的性质及相等向量、共线向量的定义判断即可.
【详解】（1）因为四边形为正方形，为平行四边形，
所以，
所以与模长相等的向量有、、、、、、、、共个.
（2）与相等的向量有、.
（3）与共线的向量有，，，，，，.
（4）因为为平行四边形，所以且，
所以与相等的向量为.
【题型4 用向量关系研究几何图形的性质】
19．已知在四边形ABCD中，，则四边形ABCD的形状是 .
【答案】平行四边形
【分析】根据平面向量的概念，可知AB与CD之间的关系，从而得到四边形ABCD的形状.
【详解】由，可知与为相等向量，
∴与方向相同且长度相等，即ABDC，且AB=DC，
又∵ABCD为四边形，
∴四边形ABCD为平行四边形（根据对边平行且相等可知），
故答案为：平行四边形.
20．如图，半圆的直径，是半圆上的一点，、分别是、上的点，且，，.
（1）求证：；
（2）求.
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】(1)本题首先可以根据勾股定理得出是直角三角形，然后根据点为半圆上一点得出，最后根据即可得出结果；
(2)本题首先可以根据得出，然后根据计算出，最后即可得出结果。
【详解】(1)由题意知，在中，，，，
所以，是直角三角形，
因为点为半圆上一点，所以
所以，故
(2)因为，所以，，
即，解得，即。
【点睛】本题考查向量平行的证明以及向量的模的计算，若两向量所在直线平行或重合，则说明这两个向量平行，向量所在线段的长即向量的模，考查计算能力，是中档题。
21．在平行四边形中，，分别为边、的中点，如图．
(1)写出与向量共线的向量；
(2)求证：．
【答案】(1),
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意直接写出与向量共线的向量即可；
（2）证明四边形是平行四边形即可证明.
【详解】（1）据题意，与向量共线的向量为：, ；
（2）证明：是平行四边形，且，分别为边，的中点，
，且，
四边形是平行四边形，
，且，
．
22．如图，点D，E，F分别是△ABC的三边BC，AB，AC上的点，且都不与A，B，C重合，＝.求证：△BDE∽△DCF.
【答案】证明见解析
【分析】根据＝，可得且，从而可得DE∥AF，即可证得∠C＝∠BDE，∠FDC＝∠B，即可得证.
【详解】证明：因为＝，所以且，故四边形AEDF是平行四边形，
所以DE∥AF，则∠C＝∠BDE，
由DF∥EA，得∠FDC＝∠B，
故△BDE∽△DCF.专题01 平面向量的概念（四大题型）
【题型1题型1 向量的概念】
【题型2 向量的几何表示】
【题型3向量相等或共线】
【题型4 用向量关系研究几何图形的性质】
【题型1 向量的概念】
1．对下面图形的表示恰当的是（ ）．
A． B． C． D．
2．给出下列物理量：（1）质量；（2）速度；（3）力；（4）加速度；（5）路程；（6）密度；（7）功；（8）电流强度；（9）体积.其中不是向量的有（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
3．分别以正方形ABCD的四个顶点为起点与终点的所有有向线段能表示的不同向量有（ ）
A．4个 B．6个 C．8个 D．12个
【题型2 向量的几何表示】
4．已知正方形ABCD的边长为1，点M满足，则（ ）
A． B．1 C． D．
5．在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且，，则等于（ ）
A．1 B． C． D．2
6．数轴上点A，B分别对应，则向量的长度是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．如图，是某人行走的路线，那么的几何意义是某人从A点沿西偏南 方向行走了 km．
8．已知向量，将按向量平移后得向量，则 ．
9．已知点满足，若，，则点的坐标为 ．
10．在如图的方格纸上，已知向量，每个小正方形的边长为1．
(1)试以为终点画一个有向线段，设该有向线段表示的向量为，使．
(2)在图中画一个以为起点的有向线段，设该有向线段表示的向量为，且，并说出点的轨迹是什么？
11．如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：
（1）与相等的向量共有几个；
（2）与方向相同且模为的向量共有几个；
12．某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了 米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．
（1）作出向量，，；
（2）求 的模．
13．如图所示，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方.
（1）作出向量，，（图中1个单位长度表示100m）；
（2）求向量的模.
【题型3向量相等或共线】
14．设是正方形ABCD的中心，则（ ）
A．向量，，，是相等的向量
B．向量，，，是平行的向量
C．向量，，，是模不全相等的向量
D．，
13．下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若 ， ，则
C．长度不相等而方向相反的两个向量是平行向量
D．单位向量都相等
14．如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，下列向量中，与相等的是（ ）
A． B． C． D．
15．如图，在四棱柱的上底面ABCD中，，则下列向量相等的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
16．如图所示，在中，分别为的中点．图中与相等的向量为 ．
17．如图所示，在正三角形ABC中，P、Q、R分别是AB、BC、AC的中点，则与向量相等的向量是 ．
18．如图所示，四边形为正方形，为平行四边形，
(1)与模长相等的向量有多少个？
(2)写出与相等的向量有哪些？
(3)与共线的向量有哪些？
(4)请列出与相等的向量．
【题型4 用向量关系研究几何图形的性质】
19．已知在四边形ABCD中，，则四边形ABCD的形状是 .
20．如图，半圆的直径，是半圆上的一点，、分别是、上的点，且，，.
（1）求证：；
（2）求.
21．在平行四边形中，，分别为边、的中点，如图．
(1)写出与向量共线的向量；
(2)求证：．
22．如图，点D，E，F分别是△ABC的三边BC，AB，AC上的点，且都不与A，B，C重合，＝.求证：△BDE∽△DCF.
