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8.1 基本立体图形
基本立体图形主要包括：棱柱、棱锥、棱台；圆柱、圆锥、圆台；球；简单组合体.需要掌握的题型有：
（1）能够识别几种基本立体图形的结构，并掌握其性质；
（2）球是考察的重点，了解其基本性质是重要前提；
（3）根据几何体的性质进行一些简单的计算，如体对角线、圆柱中的最短路径问题等.
一．选择题
1．下列几何体中，多面体是
A． B．
C． D．
2．以下空间几何体是旋转体的是
A．圆台 B．棱台 C．正方体 D．三棱锥
3．下列几何体中是棱锥的有
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．下列关于棱柱的说法中，错误的是
A．三棱柱的底面为三角形
B．一个棱柱至少有五个面
C．五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形
D．若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等
5．棱台不具备的性质是
A．两底面相似 B．侧面都是梯形
C．侧棱都相等 D．侧棱延长后都交于一点
6．一正方体的各顶点都在同一球面上，用过球心的平面去截这个组合体，截面图不能是
A． B．
C． D．
7．如图所示，在三棱台中，沿截去三棱锥，则剩余的部分是
A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．组合体
8．圆锥的侧面展开图是直径为的半圆面，那么此圆锥的轴截面是
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．顶角为的等腰三角形 D．其他等腰三角形
9．如图，各棱长都相等的三棱锥内接于一个球，则经过球心的一个截面图形可能是
A．①③ B．①② C．②④ D．②③
10．设集合正四棱柱，长方体，直四棱柱，正方体，则这四个集合之间的关系是
A． B． C． D．
11．如图，长方体被两平面分成三部分，其中，则这三个几何体中是棱柱的个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
12．如图，以棱长为1的正方体的顶点为球心，以为半径做一个球面，则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为
A． B． C． D．
13．三个半径为的球互相外切，且每个球都同时与另两个半径为的球外切．如果这两个半径为的球也互相外切，则与的关系是
A． B． C． D．
二．多选题
14．正方体的截面可能是
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．菱形 D．正六边形
15．下列物体中属于多面体的有
A．球 B．建筑用的方砖 C．茶杯 D．埃及的金字塔
16．下列关于圆柱的说法中，正确的是
A．分别以矩形（非正方形）的长和宽所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的面所围成的两个圆柱是两个不同的圆柱
B．用平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是与底面全等的圆面
C．用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个圆面
D．以矩形的一组对边中点的连线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的面所围成的几何体是圆柱
17．下列命题正确的是
A．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体为棱台
B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台
C．棱锥是由一个底面为多边形，其余各面为具有公共顶点的三角形围成的几何体
D．球面可以看作一个圆绕着它的直径所在的直线旋转所形成的曲面
三．填空题
18．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长方体对角线的长是 ．
19．边长为5的正方形是圆柱的轴截面，则从点沿圆柱的侧面到相对顶点的最短距离是 ．
20．设、、、是球表面上的四个点，、、两两垂直，且，，，则球的半径为 ．
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8.1 基本立体图形
基本立体图形主要包括：棱柱、棱锥、棱台；圆柱、圆锥、圆台；球；简单组合体.需要掌握的题型有：
（1）能够识别几种基本立体图形的结构，并掌握其性质；
（2）球是考察的重点，了解其基本性质是重要前提；
（3）根据几何体的性质进行一些简单的计算，如体对角线、圆柱中的最短路径问题等.
一．选择题
1．下列几何体中，多面体是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】选项中给的几何体是球，它是旋转体，故错误；
选项中给的几何体是三棱柱，它是多面体，故正确；
选项给的几何体是圆柱，它是旋转体，故错误；
选项给的几何体是圆锥，它是旋转体，故错误．
故选．
【点评】本题考查多面体的判断，涉及到旋转体、多面体等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力，考查数形结合思想，是基础题．
2．以下空间几何体是旋转体的是
A．圆台 B．棱台 C．正方体 D．三棱锥
【答案】
【解析】一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；
该定直线叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．
所以选项正确．
故选．
【点评】本题考查旋转体的定义的应用，空间几何体的判定，是基础题．
3．下列几何体中是棱锥的有
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】
【解析】由棱锥的结构特征：有一个面为多边形，其余各面是有公共顶点的三角形可知，
题中几何体为棱锥的有⑤⑥2个．
故选．
【点评】本题考查棱锥的结构特征，是基础题．
4．下列关于棱柱的说法中，错误的是
A．三棱柱的底面为三角形
B．一个棱柱至少有五个面
C．五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形
D．若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等
【答案】
【解析】棱柱的具体特征为：底面是边形，共条棱，个面，其中个侧面，2个底面，侧面为平行四边形，侧棱长相等．
因为三棱柱的底面为三角形，故选项正确；
因为底面最少要为三角形，故有3个侧面，2个底面，所以至少要有五个面，故选项正确；
五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形，故选项正确；
棱柱的底面边长相等，它的各个侧面为平行四边形，即边长对应相等，但夹角不一定相等，故各个侧面不全等，故选项错误．
故选．
【点评】本题考查了棱柱结构特征的理解和应用，解题的关键是掌握棱柱所具有的结构特征，考查了空间想象能力与逻辑推理能力，属于基础题．
5．棱台不具备的性质是
A．两底面相似 B．侧面都是梯形
C．侧棱都相等 D．侧棱延长后都交于一点
【答案】
【解析】根据棱台的定义，由平行于棱锥底面的平面截棱锥，截面与底面之间的部分叫棱台．
棱台的两底面是相似多边形；侧面的上下底边平行；侧棱延长后交于一点，故、、成立，
不一定成立，
故选．
【点评】本题考查棱台的性质．
6．一正方体的各顶点都在同一球面上，用过球心的平面去截这个组合体，截面图不能是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】是经过正方体对角面的截面；是经过球心且平行于正方体侧面的截面；是经过一对平行的侧面的中心，但不是对角面的截面．
故选．
【点评】本题考查用过球心的平面去截这个组合体的截面图，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
7．如图所示，在三棱台中，沿截去三棱锥，则剩余的部分是
A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．组合体
【答案】
【解析】如图所示，
三棱台中，沿截去三棱锥，
剩余部分是四棱锥．
故选．
【点评】本题考查了空间几何体结构特征的应用问题，是基础题目．
8．圆锥的侧面展开图是直径为的半圆面，那么此圆锥的轴截面是
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．顶角为的等腰三角形 D．其他等腰三角形
【答案】
【解析】圆锥的母线长就是展开半圆的半径，半圆的弧长为就是圆锥的底面周长，
所以圆锥的底面直径为，
圆锥的轴截面是等边三角形．
故选．
【点评】本题考查圆锥的结构特征，考查侧面展开图等知识，考查计算能力，是基础题．
9．如图，各棱长都相等的三棱锥内接于一个球，则经过球心的一个截面图形可能是
A．①③ B．①② C．②④ D．②③
【答案】
【解析】当平行于三棱锥一底面，过球心的截面如③图所示；
过三棱锥的一条棱和球心所得截面如①图所示；
棱长都相等的正三棱锥和球心不可能在同一个面上，所以②④是错误的．
故选．
【点评】本题考查了三棱锥的截面图，综合了球的截面图，增加了难度，考查学生的空间想象力．从点线面入手，想一下 有没有可能．
10．设集合正四棱柱，长方体，直四棱柱，正方体，则这四个集合之间的关系是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由题意可知，正方体是特殊的正四棱柱，正四棱柱是特殊的长方体，长方体是特殊的直四棱柱，
所以．
故选．
【点评】本题考查了正方体、正四棱柱、长方体、直四棱柱的定义以及结构特征的理解和应用，属于基础题．
11．如图，长方体被两平面分成三部分，其中，则这三个几何体中是棱柱的个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】
【解析】长方体被两平面分成三部分，其中，
其中两个三棱柱，底面是直角三角形；另一个是底面为5边形的直棱柱，
所以这三个几何体中是棱柱的个数为：3
故选．
【点评】本题考查简单组合体的结构特征，考查空间想象能力，是基础题．注意图形的放倒情况与正放的区别．
12．如图，以棱长为1的正方体的顶点为球心，以为半径做一个球面，则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】正方体的表面被该球面被所截得的弧长有相等的三部分，
例如，与上底面截得的弧长，是球的大圆的周长的，
故其弧长为，所以弧长之和为．
故选．
【点评】本题考查球与平面的截得的弧长问题，属于基础题．
13．三个半径为的球互相外切，且每个球都同时与另两个半径为的球外切．如果这两个半径为的球也互相外切，则与的关系是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】设，，分别是半径为的三个球的球心，，分别是半径为的两个球的球心，则它们构成立体图形（如图），是△的中心．因为△是边长为的正三角形，．又△是以为直角的直角三角形，故，即，
解得．
故选．
【点评】本题主要考查了球的性质、三棱锥的几何特征，同时考查了转化与化归的思想，以及空间想象力和计算能力，属于中档题．
二．多选题
14．正方体的截面可能是
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．菱形 D．正六边形
【答案】
【解析】如图①所示截面为三角形，，，，
所以，，，
所以，
所以为锐角，同理和也为锐角，即为锐角三角形，
所以正方体的截面若是三角形，则一定是锐角三角形，不可能是钝角三角形和直角三角形，故选项，错误；
如图②，若是四边形，则可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形、矩形、正方形，但不可能是直角梯形，故选项正确；
正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得到六边形，如图③为正六边形，故若是六边形，则可以是正六边形，故选项正确．
故选．
【点评】本题考查了正方体的截面问题，考查了空间想象能力与逻辑推理能力，属于中档题．
15．下列物体中属于多面体的有
A．球 B．建筑用的方砖 C．茶杯 D．埃及的金字塔
【答案】
【解析】根据题意，依次分析选项：
对于，球体是旋转体，故错误；
对于，建筑用的方砖是棱柱，属于多面体，故正确；
对于，茶杯一般为圆柱体，属于旋转体，故错误；
对于，埃及的金字塔时棱锥，属于多面体，故正确．
故选．
【点评】本题考查多面体的结构特征，注意多面体的定义，属于基础题．
16．下列关于圆柱的说法中，正确的是
A．分别以矩形（非正方形）的长和宽所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的面所围成的两个圆柱是两个不同的圆柱
B．用平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是与底面全等的圆面
C．用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个圆面
D．以矩形的一组对边中点的连线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的面所围成的几何体是圆柱
【答案】
【解析】由旋转体的定义可知，故选项正确；
由圆柱的结构特征可知，用平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是与底面全等的圆面，故选项正确；
用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面不是圆面，故选项错误；
由旋转体的定义可知，选项正确．
故选．
【点评】本题考查了旋转体的定义的理解和应用，主要考查了圆柱的定义以及结构特征，考查了空间想象能力与逻辑推理能力，属于基础题．
17．下列命题正确的是
A．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体为棱台
B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台
C．棱锥是由一个底面为多边形，其余各面为具有公共顶点的三角形围成的几何体
D．球面可以看作一个圆绕着它的直径所在的直线旋转所形成的曲面
【答案】
【解析】对于：有两个平面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体不一定为棱台，
因为不能保证各侧棱的延长线交于一点，故错误；
对于：用一个平面截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不一定为棱台，因为不能保证截面与底面平行，故错误；
对于：由棱锥的定义知由一个底面为多边形，其余各面为具有公共点的三角形围成的几何体，故正确；
对于：球面可以看作一个圆绕着它的直径所在的直线旋转所形成的曲面，故正确．
故选．
【点评】本题考查命题的真假，解题中需要掌握几何体的特征，属于中档题．
三．填空题
18．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长方体对角线的长是 ．
【答案】
【解析】设三个边的长分别是，，，则有，
可得，故可解得，，
故长方体的对角线长是
故答案为
【点评】本题考查的结构特征，求解本题关键是根据面积公式建立关于三边的方程求出三边的长度，再由公式求出体对角线的长度，本题考查了空间想像能力及运算能力.
19．边长为5的正方形是圆柱的轴截面，则从点沿圆柱的侧面到相对顶点的最短距离是 ．
【答案】
【解析】从点沿圆柱的侧面到相对顶点的最短距离即为圆柱侧面展开图一个顶点到对边中点的距离，
圆柱的轴截面的边长为5，
故，，
，
故答案为：.
【点评】本题考查的知识点是旋转体的展开图，其中将问题转化为平面上两点之间的距离线段最短是解答的关键．
20．设、、、是球表面上的四个点，、、两两垂直，且，，，则球的半径为 ．
【答案】
【解析】因为、、两两相互垂直，所以我们可以在球内做一个内切长方体，长方体的三条长宽高分别是5、4、3．
长方体的体对角线就是球的直径．
所以
故答案为：
【点评】本题主要考查了球的性质．考查了学生形象思维能力，创造性思维能力的．
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