专题03 向量的数量积（六大题型）
【题型1 向量的投影】
【题型2 向量数量积的计算】
【题型3求向量的夹角(夹角的余弦值)】
【题型4 已知向量的夹角求参数】
【题型5 向量的模】
【题型6 向量数量积的最值问题】
【题型1 向量的投影】
1．已知，为单位向量，当向量，的夹角等于时，向量在向量上的投影向量为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知条件，结合向量的投影公式，即可求解
【详解】，为单位向量，当向量，的夹角等于时，
则在上的投影向量为．
故选：．
2．已知，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由向量的投影向量公式直接求得.
【详解】依题意在上的投影向量为
.
故选：A.
3．已知点，，．则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量的坐标公式，结合投影向量的定义进行求解即可.
【详解】因为，，．
所以，，
，
所以向量与的夹角为钝角，
因此量在上的投影向量与方向相反，
而，，
所以在上的投影向量为，
故选：C
4．已知，，，则向量在向量方向上的投影向量的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用平面向量数量积的定义可求得向量在向量方向上的投影向量的长度.
【详解】向量在向量方向上的投影向量的长度为.
故选：B.
5．在中，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据平面向量的数量积运算及性质，结合平面向量的线性运算求解即可．
【详解】因为，所以，又因为，
所以，
故选：B．
6．已知，，，则向量在向量上的投影向量为 ．
【答案】
【分析】求出和即得解.
【详解】∵，又，
∴，又，
所以向量在向量方向上的投影向量为.
故答案为：
7．已知，，若与的夹角.
(1)求；
(2)求在上的投影向量.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用平面向量数量积的定义可求得的值；
（2）利用投影向量的定义可求得在上的投影向量.
【详解】（1）解：因为，，若与的夹角，则.
（2）解：在上的投影向量为.
【题型2 向量数量积的计算】
8．如图，已知，，的模均为4，且，则（ ）
A．24 B．－24 C．8 D．－8
【答案】A
【分析】由，应用向量数量积的运算律及定义求值即可.
【详解】由，，
所以
.
故选：A
9．若正方形的边长为，则（ ）
A．8 B． C．4 D．
【答案】A
【分析】将向量用表示，再根据数量积运算律即可得解.
【详解】.
故选：A.
10．已知向量，满足，，，则（ ）
A． B． C．12 D．24
【答案】C
【分析】根据数量积的运算律即可求解．
【详解】由，
所以．
故选：C．
11．在中，若O为外接圆的圆心，则的值为（ ）
A．-16 B．-8 C．8 D．16
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律，结合圆的性质计算作答.
【详解】取AB，AC的中点D，E，连接，如图，
当圆心O与点E不重合时，则OD⊥AB，OE⊥AC，，
则＝
，
当圆心O与点E重合时，，，
所以.
故选：D.
12．在中，AB＝5，AC＝6，D是BC的中点，H是的垂心，则 .
【答案】
【分析】利用利用中点公式及垂直，向量数量积的运算及其性质解决本题.
【详解】因为H是的垂心，可得，所以.
又因为D是BC的中点，可得AD是中线，所以.
从而
.
故答案为：
【题型3求向量的夹角(夹角的余弦值)】
13．已知非零向量，满足，且向量在向量方向的投影向量是，则向量与的夹角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】运用数量积和投影向量的定义求解.
【详解】由题意，，则，即 ，
设与的夹角为 ，则在方向的投影，
，则；
故选：C.
14．已知向量，，，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将平方，求得，再根据向量的夹角公式即可求得答案.
【详解】由题意向量，，，
则，即，
所以，
故，而，
故，
故选：C
15．已知向量，满足，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】把两边平方化简即得解.
【详解】因为，
所以，
即，
所以，
因为，所以.
故选：C
16．已知平面向量，满足，，，则，夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】对进行平方可得，可算出，最后利用夹角公式即可
【详解】依题意，，解得，
故，
故，
故选：A．
17．若非零向量满足，则夹角的余弦值为 ．
【答案】/
【分析】利用给定等式，结合数量积的运算律求出的表达式，再利用向量夹角公式计算作答.
【详解】由，，得，则，
因此，
所以夹角的余弦值为.
故答案为：
18．已知向量、的夹角为，且，.
(1)求的值；
(2)求与的夹角的余弦.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先由题意求出，再由向量模的计算公式，即可得出结果；
（2）先由题意，求出，再由向量夹角公式，即可得出结果.
【详解】（1）∵向量、的夹角为，且，，所以，
∴；
（2）由题意，，
∴.
19．已知.
(1)求与的夹角；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将两边同时平方可得，再利用向量数量积公式即可得夹角为；
（2）根据平面向量运算法则即可求得.
【详解】（1）由可得，即；
将代入可得，
设与的夹角为，则，
解得，
即，所以与的夹角为；
（2）利用向量运算法则可知，
，
即的值为.
20．已知是两个单位向量，且与的夹角为．
(1)求；
(2)求与的夹角的余弦值
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用数量积定义和运算律可求得，由此可得模长；
（2）利用向量夹角公式直接求解即可.
【详解】（1），
，.
（2），
.
21．已知两向量的夹角为，．
(1)求的值；
(2)求向量与夹角的余弦值．
【答案】(1)7
(2)
【分析】（1）根据数量积的运算律求得的值，即可求得答案；
（2）根据向量的夹角公式即可求得答案.
【详解】（1）由题意可得，
故
，
故；
（2）由题意得，
故.
22．如图，在中，，点D在线段上，且.求：
(1)的长；
(2)的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用和表示，然后利用平面向量数量积的运算律计算可得；
（2）利用平面向量数量积直接计算即可.
【详解】（1）设，，
则，
所以
，
故；
（2）设，则为向量与的夹角.
因为，
所以.
【题型4 已知向量的夹角求参数】
23．已知平面向量，且与的夹角为，则（ ）
A．12 B．16 C． D．
【答案】C
【分析】根据数量积的定义可得，结合模长公式和数量积的运算律运算求解.
【详解】由题意可知：，
所以.
故选：C.
24．已知是夹角为的两个单位向量，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量的数量积的运算律，结合，即可求解.
【详解】由是夹角为的两个单位向量，可得，且，
所以.
故选：C.
25．已知，，且，的夹角为，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】根据向量的减法运算可得，平方后结合数量积的运算，即可求得答案.
【详解】由题意得，所以
，
故，
故选：D
26．已知向量，的夹角为，且，，则 .
【答案】3
【分析】根据数量积的运算律即可求解.
【详解】因为，所以.
故答案为：3
27．已知向量、满足，，与的夹角为，则 .
【答案】
【分析】利用平面向量数量积的运算性质可求得的值.
【详解】因为向量、满足，，与的夹角为，
则.
故答案为：.
28．设向量，满足，，与的夹角为，则 ．
【答案】
【分析】先计算出，从而求出.
【详解】，
故.
故答案为：
29．已知向量满足，且的夹角为.
(1)求的模；
(2)若与互相垂直，求λ的值.
【答案】(1)
(2)或.
【分析】（1）根据向量满足，且的夹角为，由求解；
（2）根据与互相垂直，由求解.
【详解】（1）因为向量满足，且的夹角为，
所以，
解得；
（2）因为与互相垂直，
所以，
，
即，解得或.
【题型5 向量的模】
30．已知向量在向量上的投影向量为，且，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【分析】借助题目条件可得，再根据向量模长与向量平方的关系计算即可得.
【详解】由题意可得，又，故，
则.
故选：D.
31．若向量、满足：，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由平面向量垂直可得出，再利用平面向量数量积的运算性质可求得的值.
【详解】因为向量、满足：，，，
则，所以，，
所以，，故.
故选：B.
32．已知空间向量，满足，，，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】C
【分析】目标式平方，利用转化法求解可得
【详解】因为，，，
所以，
所以.
故选：C
33．已知向量满足，则 ．
【答案】
【分析】根据条件先求解出，然后根据求解出结果.
【详解】因为，所以，
所以，所以，
所以，
故答案为：．
34．已知，均为单位向量，且，则 .
【答案】
【分析】根据，均为单位向量，且，由求解.
【详解】解：因为，均为单位向量，且，
所以，
所以.
故答案为：
【题型6 向量数量积的最值问题】
35．若且与夹角为，那么实数 时，的值最小．
【答案】/
【分析】根据结合数量积的运算律及二次函数的性质即可得解.
【详解】因为且与夹角为，
所以，
，
当时，取得最小值.
故答案为：.
36．设，是两个不共线的非零向量，．
(1)若与起点相同，求t为何值时，向量，，的终点在一条直线上；
(2)若，且与夹角为60°，求t为何值时，的值最小．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平面向量共线定理进行求解即可；
（2）根据平面向量数量积的运算性质和定义进行求解即可.
【详解】（1）由已知可得，，
∵与不共线，∴，解得．
∴当时，向量，，的终点在一条直线上；
（2），
∴当时，有最小值．
37．设，是两个不共线的非零向量，.
(1)记，那么当实数为何值时，三点共线；
(2)若且与夹角为，那么实数为何值时，的值最小
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)由三点共线，则满足，建立关于的方程即可解决.
(2)由题设条件，可以把表示为关于的函数，根据函数求出取得最小值时的的值.
【详解】（1），，因为三点共线，所以，所以，，
则解得.
（2）因为且与夹角为°，所以
所以当时，的值最小.专题03 向量的数量积（六大题型）
【题型1 向量的投影】
【题型2 向量数量积的计算】
【题型3求向量的夹角(夹角的余弦值)】
【题型4 已知向量的夹角求参数】
【题型5 向量的模】
【题型6 向量数量积的最值问题】
【题型1 向量的投影】
1．已知，为单位向量，当向量，的夹角等于时，向量在向量上的投影向量为（ ）
A．3 B． C． D．
2．已知，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
3．已知点，，．则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，，，则向量在向量方向上的投影向量的长度为（ ）
A． B． C． D．
5．在中，，则（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，，，则向量在向量上的投影向量为 ．
7．已知，，若与的夹角.
(1)求；
(2)求在上的投影向量.
【题型2 向量数量积的计算】
8．如图，已知，，的模均为4，且，则（ ）
A．24 B．－24 C．8 D．－8
9．若正方形的边长为，则（ ）
A．8 B． C．4 D．
10．已知向量，满足，，，则（ ）
A． B． C．12 D．24
11．在中，若O为外接圆的圆心，则的值为（ ）
A．-16 B．-8 C．8 D．16
12．在中，AB＝5，AC＝6，D是BC的中点，H是的垂心，则 .
【题型3求向量的夹角(夹角的余弦值)】
13．已知非零向量，满足，且向量在向量方向的投影向量是，则向量与的夹角是（ ）
A． B． C． D．
14．已知向量，，，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
15．已知向量，满足，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
16．已知平面向量，满足，，，则，夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
17．若非零向量满足，则夹角的余弦值为 ．
18．已知向量、的夹角为，且，.
(1)求的值；
(2)求与的夹角的余弦.
19．已知.
(1)求与的夹角；
(2)求的值.
20．已知是两个单位向量，且与的夹角为．
(1)求；
(2)求与的夹角的余弦值
21．已知两向量的夹角为，．
(1)求的值；
(2)求向量与夹角的余弦值．
22．如图，在中，，点D在线段上，且.求：
(1)的长；
(2)的余弦值.
【题型4 已知向量的夹角求参数】
23．已知平面向量，且与的夹角为，则（ ）
A．12 B．16 C． D．
24．已知是夹角为的两个单位向量，则（ ）
A． B． C． D．
25．已知，，且，的夹角为，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
26．已知向量，的夹角为，且，，则 .
27．已知向量、满足，，与的夹角为，则 .
28．设向量，满足，，与的夹角为，则 ．
29．已知向量满足，且的夹角为.
(1)求的模；
(2)若与互相垂直，求λ的值.
【题型5 向量的模】
30．已知向量在向量上的投影向量为，且，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．
31．若向量、满足：，，，则（ ）
A． B． C． D．
32．已知空间向量，满足，，，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
33．已知向量满足，则 ．
34．已知，均为单位向量，且，则 .
【题型6 向量数量积的最值问题】
35．若且与夹角为，那么实数 时，的值最小．
36．设，是两个不共线的非零向量，．
(1)若与起点相同，求t为何值时，向量，，的终点在一条直线上；
(2)若，且与夹角为60°，求t为何值时，的值最小．
37．设，是两个不共线的非零向量，.
(1)记，那么当实数为何值时，三点共线；
(2)若且与夹角为，那么实数为何值时，的值最小
