专题05 平面向量的应用（五大题型）
【题型1 用向量解决平面几何中的垂直问题】
【题型2 利用向量求线段间的长度关系】
【题型3用向量解决夹角问题】
【题型4 用向量解决物理中的相关问题】
【题型5 向量与几何最值】
【题型1 用向量解决平面几何中的垂直问题】
1．在△ABC中，若，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】由已知平方可得，得出可判断.
【详解】，，
则，
，，则△ABC为直角三角形.
故选：B.
2．在平面四边形ABCD中，，，则该四边形的面积为（ ）
A． B． C．13 D．26
【答案】C
【分析】根据判断AC与BD关系，根据对角线互相垂直的四边形面积为对角线乘积的一半即可求解.
【详解】∵，∴AC⊥BD，
所以四边形ABCD面积为：.
故选：C.
3．已知点，，，，则以下四个结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】根据点，，，，得到的坐标，然后逐项判断.
【详解】因为点，，，，
所以，
因为 ，所以，故正确；
因为 ，所以，故正确；
因为，所以，故错误；
因为，所以不成立，故错误.
故选：AB
4．如图所示，已知在正方形中，E，F分别是边，的中点，与交于点M.
(1)设，，用，表示，；
(2)猜想与的位置关系，写出你的猜想并用向量法证明你的猜想.
【答案】(1)，
(2)，证明见解析
【分析】（1）利用向量的线性运算求解即可；
（2）用基底表示两个向量，利用数量积的运算证明即可.
【详解】（1），
；
（2），证明如下：
由（1）知，，
所以，
设，则，
所以，所以，得证.
5．如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2-AC2=DB2-DC2，求证：AD⊥BC.
【答案】证明见解析
【分析】设=，=，=，=，=，根据向量加法得=+，=+，
计算2﹣2结合条件可得·=·，即可证明.
【详解】设=，=，=，=，=，
则=+，=+，
所以2﹣2=(+)2-(+)2=2+2e·-2·-2，
由条件知：2=2﹣2+2，
所以·=·，即·(-)=0，
即，
所以AD⊥BC.
6．如图，正方形ABCD的边长为a， E是AB的中点，F是BC的中点，求证：DE⊥AF.
【答案】证明见解析
【分析】利用平面向量加法、数乘的几何意义有·＝·，根据数量积的运算律，线段的位置、数量关系可得·＝0，即可证结论.
【详解】∵·＝·＝2－2，而，
∴·＝0，
∴⊥，即DE⊥AF.
7．已知点A（0，1），B（6，4），C（4，8），，求证：四边形ABCD是矩形．
【答案】见详解
【分析】根据题意，结合各点坐标，只要证明和，即可证明四边形ABCD是矩形．
【详解】证明：根据题意，可知，，.
∵，∴与平行且相等，∴ 四边形ABCD为平行四边形，
又∵，∴，∴四边形ABCD是矩形.
8．已知平面四边形中，，向量的夹角为.
(1)求证：；
(2)点是线段中点，求的值.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）画出示意图，根据边的关系可得，因而．
（2）以B为原点建立平面直角坐标系，写出各个点坐标，进而根据平面向量数量积的坐标运算即可求出结果．
【详解】（1）根据题意，画出示意图如下图所示
由题意可知， ，
所以三角形ABD为等边三角形，
则，又 ，
所以，
即为直角三角形，且 ，
所以，
所以 ；
（2）根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，
则，因为点是线段中点，所以，
则 ，
所以，
9．用向量的方法证明在等腰三角形ABC中，，点M为边BC的中点，求证：．
【答案】证明过程见解析
【分析】先得到，，从而利用数量积公式求出，得到垂直关系.
【详解】由题意得，，
故，
因为，所以，
故.
【题型2 利用向量求线段间的长度关系】
10．在中，，点满足，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】取中点O，由已知可确定，利用向量的运算和长度关系将转化为，由此构造方程求得.
【详解】取中点O，连接，
11．平行四边形中，，E是的中点，F是的中点，则向量的模长是 ．
【答案】
【分析】利用向量的运算法则将,用已知向量表示,再利用向量数量积的运算律求解即可 .
【详解】
.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：解决本题主要掌握两点：一是数量积的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.
，即，M为BC边上靠近C的三等分点，
，
，，，
又，，.
故选：C.
12．在中，角所对的边分别为，.
(1)求角的值；
(2)若，边上的中点为，求的长度.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）切化弦后，利用两角和的正弦公式求解；
（2）利用平面向量数量积可求出结果.
【详解】（1），，
，，
，，
.
（2）是边上的中线，
，
，
.
13．如图，四边形是正方形，是对角线上的一点（不包括端点），，分别在边，上，且四边形是矩形，试用向量法证明：．
【答案】证明见解析
【分析】以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为1，，根据向量的方法，求出，的坐标，得到其对应的模，即可得出结论成立．
【详解】证明：建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为1，，
则，，，，
∴，．
∴，
，
∴，∴．
【点睛】本题主要考查平面向量的应用，灵活运用建系的方法求解，熟记向量的模的坐标表示即可，属于常考题型．
14．如图，已知平行四边形，你能发现对角线和的长度与两条邻边和的长度之间的关系吗？
【答案】
【分析】取为基底，设，，根据平面向量基本定理，得到，根据向量数量积运算，即可得出结果.
【详解】如图，取为基底，设，，则
．
所以，．
上面两式相加，得．
即．
【点睛】本题主要考查平面向量基本定理的应用，熟记平面向量基本定理，以及向量数量积的运算法则即可，属于常考题型.
15．如图，在四边形中，△是边长为的正三角形，设.
（1）若，求；
（2）若，，求、.
【答案】（1）；（2），.
【解析】当时，，化简可得.（（1）））
（2）化简得;
化简得，两式联解可得.
【详解】
当时，，
由题意可得，
，
因此，；
（2），
，
所以，解得，.
【点睛】本题考查平面向量的数量积在几何图形中的应用,属于基础题.
16．如图，平行四边形中，已知，，对角线，求对角线的长.
【答案】.
【分析】设，，用向量加减法法则有，，再把向量的模（线段的长）进行平方转化为数量积运算可得．
【详解】设，，则，，
而，
所以，所以，
又，
所以，即.
【题型3用向量解决夹角问题】
17．若两个非零向量满足，则向量与的夹角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，根据向量的运算与模长关系可得，从而确定向量与的夹角为的夹角，即可得答案.
【详解】由题意作图如下，设，
故向量，
因为，所以，则四边形ABCD为矩形，则
又因为，所以，则，
故向量与的夹角为的夹角，故为.
故选：C.
18．若向量， 与的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据数量积为负以及共线情况，即可求解.
【详解】当与共线时，此时，当时，，此时与方向相反，
当与的夹角为钝角时，则需且与不反向，所以且，解得，
故选：A
19．已知H为的垂心，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】，，利用、得，，解得， 再利用平方共线可得答案.
【详解】依题意，，同理．
由H为△ABC的垂心，得，即，
可知，即．同理有，
即，可知，
即，解得，
，又，
所以．
故选：C．
20．直角三角形ABC中，斜边BC长为a，A是线段PE的中点，PE长为2a，当最大时，与的夹角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设与的夹角为，由，可得
，利用的范围可得答案.
【详解】如图所示，设与的夹角为，，所以，
因为A是线段PE的中点，PE长为2a，所以，，
又因为，所以
，
因为，所以，所以当时最大，
此时，最大的值为.
故选：A.
21．已知菱形中，，，点为上一点，且，则的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设与交于点，以为坐标原点，，所在的直线分别为，轴建立平面直角坐标系，利用向量的夹角公式可得答案.
【详解】设与交于点，以为坐标原点，，所在的直线分别为，轴建立平面直角坐标系如图所示，则点，，，
∴，，则，
故选：D.
【点睛】本题考查了向量在几何中的应用，解题的关键点是建立平面直角坐标系，考查了学生的计算能力.
22．如图，在中，已知，，，是的中点，，设与相交于点，则 ．
【答案】
【分析】用和表示和，根据以及，，，可求出结果.
【详解】因为是的中点，所以，
，
因为，，
，
所以，
所以.
故答案为：.
23．在中，已知，，，和边上的两条中线，相交于点，则的余弦值为
【答案】/
【分析】由已知结合向量的线性表示及向量数量积的性质即可求解.
【详解】
由已知得即为向量与的夹角.
因为M、N分别是，边上的中点，
所以，.
又因为，
所以
，
,
,
所以.
故答案为：
24．如图，在中，已知，，，，，线段AM，BN相交于点P，则的余弦值为 .
【答案】
【分析】依次算出、、，然后可得答案.
【详解】由已知，，，，得，
又由得，
因为，
所以
所以
故答案为：
25．设两个向量满足．
(1)若，求的夹角；
(2)若的夹角为，向量与的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
【答案】(1)
(2)且
【分析】（1）先由可求，再用向量夹角余弦的公式可得，则的夹角可求.
（2）由向量与的夹角为钝角，可得且与不共线，再求解相应不等式即可.
【详解】（1）
又
即
又
（2）的夹角为且
向量与的夹角为钝角
且与不共线
即
解得：且
实数t的取值范围且
【题型4 用向量解决物理中的相关问题】
26．某人在高为米的楼上水平抛出一石块，速度为，则石块落地点与抛出点的水平位
移的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出石子的落地时间，再计算水平位移的大小．
【详解】设石子的落地时间为，则，解得，
所以石子落地点与抛出点的水平位移的大小．
故选：B
27．某河流南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和的夹角为，北岸的点B在A的正北方向，游船正好到达B处时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设船的实际速度为，则，由题意可得，即，代入计算即可求出答案．
【详解】解：设船的实际速度为，则，
北岸的点在的正北方向，游船正好到达处，则，
所以，
即，解得，
故选：D．
28．一物体在力和的作用下，由点移动到点，在这个过程中这两个力的合力对物体所作的功等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据向量数量积的物理意义直接求解即可.
【详解】，，，
即两个力的合力对物体所作的功等于.
故选：A.
12．体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为380N，则该学生的体重（单位kg）约为（ ）(参考数据：取重力加速度大小为10m/s2，)
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用向量的数量积求得两只胳膊的拉力的合力大小，再依据物理定理即可求得该学生的体重.
【详解】由物理定理可得，该学生的重力与两只胳膊的拉力的合力大小相等方向相反
两只胳膊的拉力的合力大小为
则该学生的体重约为（kg）
故选：B
29．一质点在力，的共同作用下，由点移动到，则，的合力对该质点所做的功为（ ）
A．16 B． C．110 D．
【答案】A
【分析】利用向量运算法则得到，，从而利用向量数量积公式计算答案.
【详解】由题意得：，
，
则合力对该质点所做的功为.
故选：A.
30．已知三个力，，同时作用于某质点上，若对质点再施加一个力，该质点恰好达到平衡状态（合力为零），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据条件，求出，再结合相反向量的定义进行求解即可．
【详解】因为，，，
所以，
想要质点恰好达到平衡状态，只需．
故选：D．
31．已知力的大小为，与水平方向的夹角为（斜向上），使物体沿水平方向运动，则力所做的功为 ．
【答案】
【分析】由数量积的定义即可求解.
【详解】由题意可知力所做的功为,
故答案为：
32．如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是，，且，与水平夹角均为，，则物体的重力大小为
【答案】
【分析】根据向量的加法运算结合力的合成即可求解.
【详解】一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，所以重力，
因为，与水平夹角均为，，
由向量加法的平行四边形法则可知的方向是竖直向上的，且
，所以物体的重力大小为
故答案为:
33．如图，菱形的边长为为的中点，若为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为 .
【答案】36
【分析】根据向量基本定理得到，设，
，表达出，从而结合求出最大值.
【详解】，，其中，
所以
，
所以当时，取得最大值，最大值为.
故答案为：36
【题型5 向量与几何最值】
34．设平面向量满足，与的夹角为，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】建立平面直角坐标系，令，，设，根据，得到点的轨迹方程，从而求出的最小值；
【详解】解：依题意建立如图所示平面直角坐标系，
不妨令，，设，
则，，
由，所以，
即，即，
即点表示以为圆心，为半径的圆，又
所以；
故选：C
35．已知向量，，共面，且均为单位向量，，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，可得表示单位圆上的点到定点的距离，即可求出.
【详解】因为向量，，共面，且均为单位向量，，
可设，
则，，即，
，它表示单位圆上的点到定点的距离，
所以最大值为.
故选：C.
36．骑自行车是一种能改善心肺功能的耐力型有氧运动，深受大众喜爱．如图所示是某一型号自行车的平面结构示意图，已知图中自行车的前轮圆，后轮圆的半径均为，，，均为边长为4的正三角形，设点为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（ ）
A．12 B．24 C．36 D．48
【答案】C
【分析】以为基底，表示，根据数量积的计算以及性质，即可求解.
【详解】选择为基底，
，
，
故选:C．
37．已知，，，则的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【分析】先求出，进行向量坐标化，利用坐标运算求出的最大值为.
【详解】由，，解得：.
因为，所以.
建立平面直角坐标系，不妨设，设.
则即为，
所以，所以
因为
所以.
故选：A
38．已知点是圆：上的动点，点是以坐标原点为圆心的单位圆上的动点，且，则的最大值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】由题意画出图形，把用向量与表示，再利用向量模的运算性质求得的最大值．
【详解】由，得，
即，
为外接圆的直径，如图所示；
设坐标原点为，
则，
是圆上的动点，
，
，
当与共线时，取得最大值7；
故选：C．
39．如图，在四边形中，为线段的中点，为线段上一动点（包括端点），且，则下列说法错误的是（ ）
A．
B．若为线段的中点，则
C．的最小值为
D．的最大值比最小值大
【答案】C
【分析】建立平面直角坐标系，作出辅助线，利用相似求出边长，求出点的坐标，进而利用向量解决四个选项.
【详解】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立空间直角坐标系，过点C作CG⊥x轴于点G，作CH⊥y轴于点H，过点B作BM⊥CH交HC的延长线于点M，则，
因为，
所以，设，则，则，，
则，即，解得：或（舍去），
则，，
，A说法正确；
若为线段的中点，则，
所以，
则，解得：，则，B说法正确；
设，
则，
故当时，取得最小值，故最小值为，C选项说法错误；
，则，
因为，则，所以，
解得：，，
所以的最大值比最小值大，D说法正确.
故选：C
40．（多选题）在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.下列结论中正确的是（ ）
A．越大越费力，越小越省力 B．的取值范围为
C．当时， D．当时，
【答案】AD
【分析】利用平面向量的加法运算以及模长、数量积公式进行求解.
【详解】对于A，根据题意，得，所以，
解得，因为时，单调递减，所以越大越费力，越小越省力，故A正确；
对于B，由题意知的取值范围是，故B错误；
对于C，因为，所以当时，，所以，故C错误；
对于D，因为，所以当时，，所以，故D正确.
故选：AD.
41．如图，用两根绳子把重10 kg的物体W吊在水平杆AB上，∠ACW=150°，∠BCW=120°.求A和B处所受力的大小.(忽略绳子重量，重力加速度)
【答案】A处所受的力为N，B处受力为50N.
【分析】根据力的分解，利用向量法，和直角三角形的知识可求答案.
【详解】设A，B处所受力分别为，，10 kg物体的重力用表示，
则，，
以重力作用点C为，的始点，作平行四边形CFWE，使CW为对角线，
则=，=，=，
∠ECW=180°150°=30°，
∠FCW=180°120°=60°，
∠FCE=90°，
所以四边形CEWF为矩形；
所以||=||cos 30°=，
||=||cos 60°=50.
即A处所受的力为 N，B处受力为50 N.
42．已知两个力作用于同一质点，使该质点从点移动到点（其中分别是轴正方向 轴正方向上的单位向量，力的单位：，位移的单位：）．试求：
(1)分别对质点所做的功；
(2)的合力对质点所做的功．
【答案】(1)对该质点做的功为，对该质点做的功为
(2)
【分析】（1）根据题意，求出位移，结合功的计算公式，即可求解；
（2）根据题意，求出合力，结合功的计算公式，即可求解.
【详解】（1）根据题意，，，，
故对该质点做的功；
对该质点做的功.
（2）根据题意，，的合力，
故，的合力对该质点做的功.
43．（1）已知某人在静水中游泳的速度为，河水的流速度为，现此人在河中游泳．如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？
（2）中，已知，，对角线，求对角线的长．
【答案】（1）与水流方向成60°角，8km/h；（2）
【分析】（1）作出示意图，再根据向量加法与减法的三角形法则和三角函数的定义即可得出答案；（2）利用平面向量基本定理，得，然后利用数量积运算法则求解即可.
【详解】（1）如图，设此人在静水中游泳的速度为，水流的速度为，
以、为邻边作平行四边形OACB，则此人的实际速度为，
由题意，且，，所以，
在中，，所以∠AOC=60°，
故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8km/h；
如图，取为基底，设，，则，，
从而，所以，即，
所以，又，所以，
所以，即对角线的长为.
44.如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河边的A点出发到达对岸的B点，船只在河内行驶的路程，行驶时间为0.2.已知船在静水中的速度的大小为，水流的速度的大小为.求：
(1)；
(2)船在静水中速度与水流速度夹角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出船只沿AB方向的速度为，，利用向量的数量积运算求出；（2）利用数量积及夹角公式求出船在静水中速度与水流速度夹角.
【详解】（1）因为船只在河内行驶的路程，行驶时间为0.2，
所以船只沿AB方向的速度为.
由，，根据勾股定理可得：,所以，即
由，得：，
所以.
（2）因为，所以，
即，解得：.
即船在静水中速度与水流速度夹角的余弦值为.专题05 平面向量的应用（五大题型）
【题型1 用向量解决平面几何中的垂直问题】
【题型2 利用向量求线段间的长度关系】
【题型3用向量解决夹角问题】
【题型4 用向量解决物理中的相关问题】
【题型5 向量与几何最值】
【题型1 用向量解决平面几何中的垂直问题】
1．在△ABC中，若，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形
2．在平面四边形ABCD中，，，则该四边形的面积为（ ）
A． B． C．13 D．26
3．已知点，，，，则以下四个结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图所示，已知在正方形中，E，F分别是边，的中点，与交于点M.
(1)设，，用，表示，；
(2)猜想与的位置关系，写出你的猜想并用向量法证明你的猜想.
5．如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2-AC2=DB2-DC2，求证：AD⊥BC.
6．如图，正方形ABCD的边长为a， E是AB的中点，F是BC的中点，求证：DE⊥AF.
已知点A（0，1），B（6，4），C（4，8），，求证：四边形ABCD是矩形．
8．已知平面四边形中，，向量的夹角为.
(1)求证：；
(2)点是线段中点，求的值.
9．用向量的方法证明在等腰三角形ABC中，，点M为边BC的中点，求证：．
【题型2 利用向量求线段间的长度关系】
10．在中，，点满足，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
11．平行四边形中，，E是的中点，F是的中点，则向量的模长是 ．
12．在中，角所对的边分别为，.
(1)求角的值；
(2)若，边上的中点为，求的长度.
13．如图，四边形是正方形，是对角线上的一点（不包括端点），，分别在边，上，且四边形是矩形，试用向量法证明：．
14．如图，已知平行四边形，你能发现对角线和的长度与两条邻边和的长度之间的关系吗？
15．如图，在四边形中，△是边长为的正三角形，设.
（1）若，求；
（2）若，，求、.
16．如图，平行四边形中，已知，，对角线，求对角线的长.
【题型3用向量解决夹角问题】
17．若两个非零向量满足，则向量与的夹角是（ ）
A． B． C． D．
18．若向量， 与的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
19．已知H为的垂心，若，则（ ）
A． B．
C． D．
20．直角三角形ABC中，斜边BC长为a，A是线段PE的中点，PE长为2a，当最大时，与的夹角是（ ）
A． B． C． D．
21．已知菱形中，，，点为上一点，且，则的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
22．如图，在中，已知，，，是的中点，，设与相交于点，则 ．
在中，已知，，，和边上的两条中线，相交于点，则的余弦值为
24．如图，在中，已知，，，，，线段AM，BN相交于点P，则的余弦值为 .
25．设两个向量满足．
(1)若，求的夹角；
(2)若的夹角为，向量与的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
【题型4 用向量解决物理中的相关问题】
26．某人在高为米的楼上水平抛出一石块，速度为，则石块落地点与抛出点的水平位
移的大小是（ ）
A． B． C． D．
27．某河流南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和的夹角为，北岸的点B在A的正北方向，游船正好到达B处时，（ ）
A． B． C． D．
28．一物体在力和的作用下，由点移动到点，在这个过程中这两个力的合力对物体所作的功等于（ ）
A． B． C． D．
12．体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为380N，则该学生的体重（单位kg）约为（ ）(参考数据：取重力加速度大小为10m/s2，)
A． B． C． D．
29．一质点在力，的共同作用下，由点移动到，则，的合力对该质点所做的功为（ ）
A．16 B． C．110 D．
30．已知三个力，，同时作用于某质点上，若对质点再施加一个力，该质点恰好达到平衡状态（合力为零），则（ ）
A． B． C． D．
31．已知力的大小为，与水平方向的夹角为（斜向上），使物体沿水平方向运动，则力所做的功为 ．
32．如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是，，且，与水平夹角均为，，则物体的重力大小为
33．如图，菱形的边长为为的中点，若为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为 .
【题型5 向量与几何最值】
34．设平面向量满足，与的夹角为，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
35．已知向量，，共面，且均为单位向量，，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
36．骑自行车是一种能改善心肺功能的耐力型有氧运动，深受大众喜爱．如图所示是某一型号自行车的平面结构示意图，已知图中自行车的前轮圆，后轮圆的半径均为，，，均为边长为4的正三角形，设点为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（ ）
A．12 B．24 C．36 D．48
37．已知，，，则的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．4
38．已知点是圆：上的动点，点是以坐标原点为圆心的单位圆上的动点，且，则的最大值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
39．如图，在四边形中，为线段的中点，为线段上一动点（包括端点），且，则下列说法错误的是（ ）
A．
B．若为线段的中点，则
C．的最小值为
D．的最大值比最小值大
40．（多选题）在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.下列结论中正确的是（ ）
A．越大越费力，越小越省力 B．的取值范围为
C．当时， D．当时，
41．如图，用两根绳子把重10 kg的物体W吊在水平杆AB上，∠ACW=150°，∠BCW=120°.求A和B处所受力的大小.(忽略绳子重量，重力加速度)
42．已知两个力作用于同一质点，使该质点从点移动到点（其中分别是轴正方向 轴正方向上的单位向量，力的单位：，位移的单位：）．试求：
(1)分别对质点所做的功；
(2)的合力对质点所做的功．
43．（1）已知某人在静水中游泳的速度为，河水的流速度为，现此人在河中游泳．如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？
（2）中，已知，，对角线，求对角线的长．
44.如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河边的A点出发到达对岸的B点，船只在河内行驶的路程，行驶时间为0.2.已知船在静水中的速度的大小为，水流的速度的大小为.求：
(1)；
(2)船在静水中速度与水流速度夹角的余弦值.
