第05讲 空间直线﹑平面的平行
知识点1：线线平行
①利用相似三角形或平行四边形；
②利用公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行；
③线面平行线线平行
即
④面面平行线线平行
即
⑤垂直于同一平面的两条直线平行
即
知识点2：线面平行
①定义：若一条直线和一个平面没有公共点，则它们平行；
②线线平行线面平行
若平面外的一条直线平行于平面内的一条直线，则它与这个平面平行．
即
③面面平行线面平行
若两平面平行，则其中一个平面内的任一条直线平行于另一个平面．
即
知识点3：面面平行
①线面平行面面平行
若一个平面内两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行。
即
②平行于同一平面的两个平面平行
即
③垂直于同一条直线的两个平面平行
即
【题型 1证明线线平行】
【典例1】已知棱长为的正方体中，，分别为，的中点．求证：四边形是梯形．
【答案】证明见解析
【分析】连接AC，利用正方体的性质，得到四边形AA′C′C为平行四边形，再结合M，N分别是CD，AD的中点，得到MN∥A′C′且MN=A′C′证明.
【详解】证明：如图所示：
连接AC，
由正方体的性质可知：
AA′=CC′，AA′CC′，
∴四边形AA′C′C为平行四边形，
∴A′C′=AC．A′C′AC，
又∵M，N分别是CD，AD的中点，
∴MN∥AC，且MN＝AC，
∴MN∥A′C′且MN≠A′C′．
∴四边形MNA′C′是梯形．
【变式1-1】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是侧面AA1D1D，侧面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是（ ）
A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直
【答案】C
【分析】连接AD1，CD1，AC，根据E，F分别为AD1，CD1的中点，由三角形的中位线定理和平行关系的传递性判断.
【详解】如图，
连接AD1，CD1，AC，
因为E，F分别为AD1，CD1的中点，
由三角形的中位线定理知EF∥AC，GH∥AC，
所以EF∥GH.
故选：C
【变式1-2】如图，在三棱锥中，M，N，E，F分别为棱SA，SC，AB，BC的中点，试判断直线MN与直线EF是否平行．
【答案】平行
【分析】根据给定条件可得MN//AC，EF//AC，再借助平行公理即可判断作答.
【详解】在三棱锥中，M，N分别为棱SA，SC的中点，则有MN//AC，
而E，F分别为棱AB，BC的中点，则有EF//AC，
由平行公理得：MN//EF，
所以直线MN与直线EF平行．
【变式1-3】如图，四面体被一平面所截，截面是一个平行四边形.求证：.
【答案】证明见解析
【分析】由线线平行得到线面平行，再由线面平行的性质得到线线平行，证明出结论.
【详解】∵四边形为平行四边形，∴，
又平面，平面，
∴平面.
而平面平面，平面，
∴，∴.
【题型 2直线与平面平行的判定】
【典例2】已知四棱锥，底面为菱形，平面平面，证明：.
【答案】证明见解析
【分析】先证明平面，再根据线面平行的性质定理求解即可.
【详解】因为为菱形，所以
平面平面，
所以平面，
又因为平面，且平面平面，
所以．
【变式2-1】若是异面直线，且平面，那么与平面的位置关系是（ ）
A． B．与相交
C． D．以上三种情况都有可能
【答案】D
【分析】根据线线，线面的位置关系可判断结果.
【详解】在长方体中，平面视为平面，直线为直线a，点E，F分别为棱的中点，
如图， 显然有平面，当直线b为直线时，直线是异面直线，此时；
因，平面，平面，则，
当直线b为直线时，直线是异面直线，此时；
当直线b为直线时，直线是异面直线，此时与相交，
所以直线b与平面可能平行，可能相交，也可能在平面内.
故选：D.
【变式2-2】如图，四面体中，分别为的中点．则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C．平面 D．平面
【答案】D
【分析】是中点，利用中位线性质平移相关线段，将、转化为、，根据四面体侧面形状不定判断A、B；利用线面平行的判定及平面的基本性质判断C、D.
【详解】由题设，若，即，
由于四面体各侧面形状不定，不一定成立，故A错；
若是中点，连接，则，若，即，
同上，各侧面形状不定，不一定成立，故B错；
若是中点，连接，则，而面，面，
所以面，显然面与面不是同一平面，且面面，
所以平面不成立，C错；
由题意，面，面，
所以平面，D对.
故选：D
【题型 3平面与平面平行的判定】
【典例3】如图，从平面外一点，引射线、、，在它们上面分别取点、、，使得．
(1)画出平面并判断两个平面的位置关系；
(2)若点到平面的距离为2，求点到平面的距离．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）根据线段对应成比例可得线线平行，进而可得面面平行，
（2）根据比例即可求解.
【详解】（1）根据可知：平面，平面，则∥平面，
同理可得∥平面，又，平面，则平面平面．
（2）点到平面的距离为到平面的距离，即为．
【变式3-1】如图，三条直线、、不共面，但交于一点，若，，，那么平面和平面的位置关系是 ．
【答案】平行
【分析】根据线线平行即可判断面面平行.
【详解】由，，且,故，因此,故,平面,平面,故平面,同理可得平面,平面,故平面平面,
故答案为：平行
【变式3-2】下列选项中，能判定平面和平面平行的是（ ）
A．内有无数条直线都与平行 B．内的任意一条直线都与平行
C．与垂直于同一平面 D．与平行于同一直线
【答案】B
【分析】利用面面平行的判定直接判断即可．
【详解】对于A中，当内有无数条直线都与平行，平面与平面可能平行，也可能时相交的，所以A不正确；
对于B中，若平面内的任何一条直线都与平行，则平面内必存在两条相交直线和平面平行，根据面面平行的判定定理，可得，所以B正确；
对于C中，垂直于同一平面的两个平面不一定平行，还可以相交，所以C不正确；
对于D中，平行于同一条直线的两个平面可能不平行，还可以相交.
故选：B.
【变式3-3】已知直线m，n和平面α，β，γ，下列条件中能推出的是（ ）
A．，， B．，
C．，，， D．，
【答案】D
【分析】根据空间中直线与平面，平面与平面的关系，即可结合选项逐一求解.
【详解】由直线和，
若，，，则与相交或平行，故A不正确；
若，，则与相交或平行，故B不正确，
若，，，，由于不一定相交，所以与相交或平行，故C不正确；
若，，则垂直于同一条直线的两个平面互相平行，即，故D正确；
故选：D．
【题型 4由线面平行的性质判定线线平行】
【典例4】如图，在四棱锥中，平面，，，且，点为棱上一点（不与重合），平面交棱于点．
求证：.
【答案】证明见解析
【分析】根据线面平行判定定理证明平面，然后再由线面平行的性质定理可证.
【详解】证明：∵平面平面，
∴平面，
又平面，平面平面，
∴.
【变式4-1】如图，在几何体中，四边形是边长为3的正方形，平面与平面的交线为.
(1)证明：；
(2)若平面平面，H为的中点，，，，求该几何体的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)用线面平行的性质定理即可证得.(2) 将体积分割，转化为一个三棱柱和一个三棱锥求体积即可.
【详解】（1）证明：∵，而平面，平面，
∴平面，又∵平面，
平面平面，∴，∴.
（2）∵，，H为中点，∴.
而，∴，∵平面平面.
平面平面，平面，∴平面.
过E分别作交于点I，交于点J，连接.
∴.
【变式4-2】如图，在三棱柱中，点D为棱AC上动点（不与A，C重合），平面与棱交于点E．求证：.
【答案】证明见解析
【分析】先证明平面，再利用线面平行的性质定理可得结论.
【详解】因为在三棱柱中，
且平面，平面，
平面，
又平面，且平面平面，
.
【题型 5由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置】
【典例5-1】如图，在三棱锥中，点是的中点，点在上，平面与平面相交于直线，∥，证明：是的中点．
【答案】证明见解析
【分析】由线线平行证线面平行，再用性质定理证明线线平行即可.
【详解】因为∥，平面，平面，
所以∥平面.
因为平面，平面平面，
所以∥，
又因为点是的中点，
所以点是的中点.
【典例5-2】如图，在三棱锥中，点D，E分别为棱PB，BC的中点.若点F在线段AC上，且满足平面PEF，则的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】连接CD，交PE于点G，连接FG，由线面平行性质证明，再利用重心性质求解即可.
【详解】如图，连接CD，交PE于点G，连接FG，
因为平面PEF，平面ADC，平面平面，所以，
因为点D，E分别为棱PB，BC的中点，所以G是的重心，所以.
故选：C.
【变式5-1】已知四棱锥中，底面为平行四边形，为的中点，点在棱上，且满足平面，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接AC交BQ，BD分别于点N，O，连接MN，由线面平行的性质定理可得，再借助比例式可得答案.
【详解】如下图，四棱锥中，连接AC交BQ，BD分别于点N，O，连接MN，
因底面ABCD为平行四边形，则O是AC中点，也是BD中点，
而点Q是AD中点，于是得点N是重心，从而得，
因平面，平面，平面平面，
因此得，于是得，所以.
故选：C.
【变式5-2】如图，为平行四边形所在平面外一点，分别为上一点，且，当平面时， .
【答案】/
【分析】根据线面平行的性质定理，结合平行线的性质进行求解即可.
【详解】如图，连结交于点，连结.
因为，所以，
因为平面，平面平面平面，
所以，所以.
故答案为：
【变式5-3】已知正方体，点E为中点，直线交平面于点F．求证：点F为中点．
【答案】证明见解析
【分析】先证明线面平行，然后利用线面平行的性质得到，结合E为中点可证结论.
【详解】在正方体中，所以；
因为平面，平面，
所以平面；
因为直线交平面于点F，
所以平面，且平面平面，
因为平面，平面，平面平面，
所以，
因为点E为中点，底面是正方形，
所以F为中点.
【题型6由线面平行求线段长度】
【典例6】如图，长方体的底面是正方形，其侧面展开图是边长为4的正方形，E，F分别是侧棱上的动点，点P在棱上，且，若平面PBD，求EF的长.
【答案】
【分析】连接与交于点，连接，在棱上取，连接，，由平面PBD，证得四边形QEFC是平行四边形，在直角中，即可求解.
【详解】因为长方体的底面ABCD是正方形，其侧面展开图是边长为的正方形，所以，，
如图所示，连接与交于点，连接，
在棱上取，连接，，则，且，
因为平面PBD，且平面，平面平面，
所以，所以，
又因为，所以四边形QEFC是平行四边形，所以，
在直角中，，，所以，
所以.
【变式6-1】已知正方体的棱长为1，点是平面的中心，点是平面的对角线上一点，且平面，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用线面平行的性质定理及三角形的中位线定理，结合勾股定理即可求解.
【详解】连接，，则过点.如图所示
∵平面，平面平面，平面，
∴，∵，
∴.
故选：B.
【变式6-2】如图，是棱长为正方体的棱上的一点，且平面，求线段的长．
【答案】
【分析】连接，交于点，由线面平行的性质可得，知为中点，利用勾股定理可求得结果.
【详解】连接，交于点，连接，则为的中点．
平面，平面，平面平面，
，又为中点，为中点，，
则在中，.
【题型 7面面平行性质定理的应用】
【典例7】已知直四棱柱，，，，，．
(1)证明：直线平面；
(2)若该四棱柱的体积为，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）证明出平面平面，再利用面面平行的性质可证得结论成立；
（2）计算出梯形的面积，利用柱体的体积可求得的长.
【详解】（1）证明：在直四棱柱中，，
因为平面，平面，所以，平面，
因为，平面，平面，所以，平面，
因为，、平面，所以，平面平面，
因为平面，因此，平面.
（2）解：因为，，，，，
所以，，
所以，，解得.
【变式7-1】如图，点S是所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且．求证：平面．
【答案】证明过程见解析
【分析】作出辅助线，得到线线平行，进而证明出线面平行，面面平行，从而证明出线面平行.
【详解】在上取，使得，则，
因为平面，平面，
所以平面，
因为，所以，则，
又中，，故，
因为平面，平面，
所以平面，
因为平面，平面，，
所以平面平面，
因为平面，所以平面.
【题型 8平行问题的综合应用】
【典例8】如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，平面，E为的中点.
(1)证明：平面；
(2)设，，求点D到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）借助线面平行的判定定理即可得；
（2）借助等体积法与体积公式计算即可得.
【详解】（1）连接，交于点O，连接，
∵四边形是平行四边形，∴是的中点，
又∵E为的中点，∴是三角形的中位线，∴，
又∵平面，平面，∴平面；
.
（2）∵平行四边形中，，，，
∴，
则，故，
又∵平面，∴，，都是直角三角形，
∵，∴，，，
∴，∴，∴，
因为是的中点，所以，且，
所以，
，
设点到平面的距离为，
由得：，
解得.
【变式8-1】在四棱锥中，四边形ABCD是正方形，平面ABCD，且，E为线段PA的中点.
(1)求证：平面BDE.
(2)求三棱锥的体积
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）要证明线面平行，转化为证明线线平行，即通过构造中位线，即可证明；
（2）根据三棱锥的体积公式，即可求解.
【详解】（1）如图，连接交于点，连接.
∵四边形是正方形，在中，为的中点，
又∵为的中点，∴，
又∵平面，平面，
∴平面；
（2）如图，取的中点，连接，
则且，
∵平面，∴平面，
∴就是三棱锥的高.
∴.
【变式8-2】如图，在四棱锥中，底面为菱形，，底面，，，，分别是，，的中点．
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取中点，可得四边形为平行四边形，，再由线面平行的判定定理可得答案；
（2）设到平面的距离为，利用可得答案．
【详解】（1）证明：如图取中点，连接，，
因为为中点，所以，且，
又因为四边形为菱形，且为中点，
所以，且，
所以，且，所以四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面；
（2）设到平面的距离为，
因为，平面，平面，所以平面，
易得，，所以，
所以，
所以，所以，
所以到平面的距离为．
1．在正六棱柱任意两个顶点的连线中与棱AB平行的条数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】作出几何体的直观图观察即可.
【详解】解：连接CF，C1F1，与棱AB平行的有，共有5条，
故选：D.
2．设是两条直线，是两个平面，若，，则下列说法一定正确的是（ ）
A． B．
C．是两条异面直线 D．
【答案】B
【分析】ACD可举出反例，D选项，可根据面面平行得到线面平行.
【详解】ACD选项，如图1和图2，，，则或是两条异面直线，故ACD错误.
B选项，，，根据面面平行的性质可知，故B正确；
故选：B
3．平面与平面平行的充要条件是（ ）
A．内有无数条直线与平行 B．，垂直于同一个平面
C．，平行于同一条直线 D．内有两条相交直线都与平行
【答案】D
【分析】根据面面平行的判定定理逐项判断即可.
【详解】对于A，内有无数条直线与平行，可得与相交或；
对于B，与垂直于同一个平面，可得与相交或；
对于C，与平行于同一条直线，可得与相交或；
对于D，内有两条相交直线平行于，结合面面平行的判定定理可得，
故选：D．
二、多选题
4．如图，在三棱锥中，E，F分别为AB，AD的中点，过EF的平面截三棱锥得到的截面为，则下列结论中一定成立的是（ ）
A． B．
C．平面 D．平面
【答案】ABC
【分析】根据中位线得到，证得平面，再结合线面平行的性质定理，可判定A，B一定成立；由，结合线面平行的判定定理，证得平面，可判定C一定成立；根据位置不确定，可判定D不一定成立.
【详解】对于A、B中，因为分别为的中点，所以是的中位线，
所以，又因为平面，平面，所以平面，
因为过的平面截三棱锥得到的截面为，平面平面，
所以，所以，故A，B一定成立；
对于C中，因为，平面ABD，平面，
所以平面，故C一定成立；
对于D中，因为的位置不确定，所以与平面有可能相交，所以D不一定成立.
故选：ABC.
5．如图，在四面体中，截面是正方形，则下列判断正确的是（ ）
A． B．平面
C． D．点B，D到平面的距离不相等．
【答案】BC
【分析】由平行线分线段成比例可判断A；由线面平行的判定定理和性质定理可判断B；由线线平行和垂直的性质可判断C；由线面平行性质可判断D.
【详解】在四面体中,若截面是正方形,可得平面平面,可得平面
又平面，而平面平面,可得
又平面,面，则平面,故B正确；
同样可得平面,所以点B，D到平面的距离相等，故D错误；
由,可得,故C正确；
由,且,但不一定与相等,故,不一定相等,故A错误.
故选：BC
6．在正方体中，E，F，G分别为BC，，的中点，则（ ）
A．直线与直线AF异面 B．直线与平面平行
C．平面截正方体所得的截面是平行四边形 D．点C和点B到平面的距离相等
【答案】ABD
【分析】由图可知直线与直线AF异面，利用面面平行的判定定理以及面面平行的性质可证明平面；将平面扩大至与相交于点，即可得截面为等腰梯形，显然平面将线段平分，所以C和B到平面的距离相等.
【详解】对于选项A，由图可知AF与显然不平行，且不相交，所以AF与异面，选项A正确；
对于选项B，取的中点为M，连接、，如下图所示：
易知，且平面，平面，
所以平面，
又易知，，因此，
平面，平面，所以平面；
，可得平面平面，
又平面，从而平面，选项B正确；
对于选项C，连接，，如下图所示：
易知，所以平面截正方体所得的截面为等腰梯形，选项C错误；
对于选项D，平面过的中点E，即平面将线段平分，
所以C与B到平面的距离相等，选项D正确.
故选：ABD.
三．填空题
7．如图，空间四边形中，E，F，G，H分别是，，，的中点，则四边形是( )
A．梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形
【答案】B
【详解】根据中位线定理可知：//且，可知四边形为平行四边形
故选：B
8．已知表示三个不同的平面，若，且，则直线，的位置关系是 .
【答案】
【分析】根据面面平行的性质定理可得答案.
【详解】由题意知，且，
根据面面平行的性质定理可得，
故答案为：
9．如图，在长方体中，写出满足条件的一个平面：
（1）与平面平行的平面为 ；
（2）与平面平行的平面为 ；
（3）与平面平行的平面为 ．
【答案】 平面 平面 平面
【分析】结合长方体的结构特征和面面平行的判定定理即可判断.
【详解】因为为长方体，所以平面∥平面，平面∥平面，同时∥，∥，
又因为平面，平面，所以∥面，∥平面，因为，所以平面∥平面.
故答案为：①平面；②平面；③平面.
10．如图，四边形是平行四边形，是平面外一点，为上一点，若平面，则 ．
【答案】
【分析】连接交于点，连接，根据线面平行的性质证明，即可得解.
【详解】连接交于点，连接，
因为四边形是平行四边形，所以为的中点，
因为平面，平面平面，平面，
所以，
所以为的中点，
所以.
故答案为：.
11．A是所在平面外一点，M是的重心，N是的中线AF上的点，并且平面BCD，当时， ．
【答案】4
【分析】先根据线面平行性质得出，再根据中位线从而求出，再由重心得到，计算求解即可.
【详解】因为平面，平面，平面平面.
所以，M是的重心，N是的中线AF上的点，
所以E，F分别是BC，CD的中点，N是的重心,
所以，
又因为M，N分别是和的重心，
所以
且,
所以.
故答案为：4.
12．如图，四棱锥中，四边形是矩形，平面，且，，，点为中点，若上存在一点使得平面，则长度为 .
【答案】
【分析】连接，，，取中点，连接与交于，取中点，连接，则平面．证明，为的三等分点，即可得出结论．
【详解】解：如图所示，连接，，，取中点，连接与交于，取中点，连接，则
，平面，平面，
平面．
为中点，为中点，
，
为中点，
为中点，
，，四边形是矩形，平面，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查直线与平面平行的性质，还运用中位线性质以及线面垂直的性质，确定，为的三等分点是关键，考查学生的计算能力．
13．如图，在三棱柱中，M是的中点，平面平面，平面．求证：
(1)；
(2)N为AC的中点．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由面面平行的性质得到线线平行；
（2）证明出四边形为平行四边形，从而证明出结论.
【详解】（1）因为平面平面，
平面平面，平面平面，
所以．
（2）三棱柱中，，且，
因为，，
所以四边形为平行四边形，
又M是的中点，
所以，
所以N为AC的中点．
14．如图，在正方体中，E是的中点.
(1)求证：平面；
(2)设正方体的棱长为1，求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先证，再用直线与平面平行的判定定理证明平面；
（2）利用等体积法，求三棱锥的体积.
【详解】（1）证明：因为在正方体中，，，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）因为正方体的棱长是1，E是的中点，所以，
三角形ABC的面积，
三棱锥的体积.
15．如图，已知在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，E、F分别是的中点．
(1)求证：平面；
(2)求与平面所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据中位线定理、平行线的传递性及线面平行的判定定理即可得证；
（2）由于面，故即为与平面的夹角，从而勾股定理求出的三条边长，再根据即可得解.
【详解】（1）取中点为，连接，，如图所示：
因为F，M分别为PD，PC的中点，故可得，且；
又因为且；
故可得，，则四边形为平行四边形，
故可得，又平面平面，
故平面．
（2）连接，如图所示：
因为面，故即为与平面的夹角，
又面，故可得；
在中，，，
故可得，
则，
即与平面所成角的余弦值为．
16．如图，在四棱锥中，底面为矩形，，点E在线段上，平面.
（1）求线段的长；
（2）若平面平面，，直线与平面所成的角为，，求三棱锥的表面积.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）连接，交于点O，连接，证明，E是的中点，求出的值；
（2）由题意得出四棱锥的侧面都是直角三角形，计算各个面的面积，求和即可.
【详解】解：（1）连接，交于点O，连接，
由四边形为矩形，
所以O为的中点，
又平面，
所以，
所以E是的中点，
所以；
（2）由平面平面，，
且平面，平面平面，
所以平面，
所以直线与平面所成的角为，
又底面是矩形，
所以，又，且，
所以平面，
所以，同理，
所以四棱锥的侧面都是直角三角形，且，；
又，所以，
所以，
，
，
；
计算三棱锥的表面积为：
.
【点睛】本题考查了四棱锥的结构特征与表面积计算问题，也考查了线面平行的性质定理，是中档题.第05讲 空间直线﹑平面的平行
知识点1：线线平行
①利用相似三角形或平行四边形；
②利用公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行；
③线面平行线线平行
即
④面面平行线线平行
即
⑤垂直于同一平面的两条直线平行
即
知识点2：线面平行
①定义：若一条直线和一个平面没有公共点，则它们平行；
②线线平行线面平行
若平面外的一条直线平行于平面内的一条直线，则它与这个平面平行．
即
③面面平行线面平行
若两平面平行，则其中一个平面内的任一条直线平行于另一个平面．
即
知识点3：面面平行
①线面平行面面平行
若一个平面内两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行。
即
②平行于同一平面的两个平面平行
即
③垂直于同一条直线的两个平面平行
即
【题型 1证明线线平行】
【典例1】已知棱长为的正方体中，，分别为，的中点．求证：四边形是梯形．
【变式1-1】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是侧面AA1D1D，侧面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是（ ）
A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直
【变式1-2】如图，在三棱锥中，M，N，E，F分别为棱SA，SC，AB，BC的中点，试判断直线MN与直线EF是否平行．
【变式1-3】如图，四面体被一平面所截，截面是一个平行四边形.求证：.
【题型 2直线与平面平行的判定】
【典例2】已知四棱锥，底面为菱形，平面平面，证明：.
【变式2-1】若是异面直线，且平面，那么与平面的位置关系是（ ）
A． B．与相交
C． D．以上三种情况都有可能
【变式2-2】如图，四面体中，分别为的中点．则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C．平面 D．平面
【题型 3平面与平面平行的判定】
【典例3】如图，从平面外一点，引射线、、，在它们上面分别取点、、，使得．
(1)画出平面并判断两个平面的位置关系；
(2)若点到平面的距离为2，求点到平面的距离．
【变式3-1】如图，三条直线、、不共面，但交于一点，若，，，那么平面和平面的位置关系是 ．
【变式3-2】下列选项中，能判定平面和平面平行的是（ ）
A．内有无数条直线都与平行 B．内的任意一条直线都与平行
C．与垂直于同一平面 D．与平行于同一直线
【变式3-3】已知直线m，n和平面α，β，γ，下列条件中能推出的是（ ）
A．，， B．，
C．，，， D．，
【题型 4由线面平行的性质判定线线平行】
【典例4】如图，在四棱锥中，平面，，，且，点为棱上一点（不与重合），平面交棱于点．
求证：.
【变式4-1】如图，在几何体中，四边形是边长为3的正方形，平面与平面的交线为.
(1)证明：；
(2)若平面平面，H为的中点，，，，求该几何体的体积.
【变式4-2】如图，在三棱柱中，点D为棱AC上动点（不与A，C重合），平面与棱交于点E．求证：.
【题型 5由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置】
【典例5-1】如图，在三棱锥中，点是的中点，点在上，平面与平面相交于直线，∥，证明：是的中点．
【典例5-2】如图，在三棱锥中，点D，E分别为棱PB，BC的中点.若点F在线段AC上，且满足平面PEF，则的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【变式5-1】已知四棱锥中，底面为平行四边形，为的中点，点在棱上，且满足平面，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】如图，为平行四边形所在平面外一点，分别为上一点，且，当平面时， .
【变式5-3】已知正方体，点E为中点，直线交平面于点F．求证：点F为中点．
【题型6由线面平行求线段长度】
【典例6】如图，长方体的底面是正方形，其侧面展开图是边长为4的正方形，E，F分别是侧棱上的动点，点P在棱上，且，若平面PBD，求EF的长.
【变式6-1】已知正方体的棱长为1，点是平面的中心，点是平面的对角线上一点，且平面，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】如图，是棱长为正方体的棱上的一点，且平面，求线段的长．
【题型 7面面平行性质定理的应用】
【典例7】已知直四棱柱，，，，，．
(1)证明：直线平面；
(2)若该四棱柱的体积为，求的长．
【变式7-1】如图，点S是所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且．求证：平面．
【题型 8平行问题的综合应用】
【典例8】如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，平面，E为的中点.
(1)证明：平面；
(2)设，，求点D到平面的距离.
【变式8-1】在四棱锥中，四边形ABCD是正方形，平面ABCD，且，E为线段PA的中点.
(1)求证：平面BDE.
(2)求三棱锥的体积
【变式8-2】如图，在四棱锥中，底面为菱形，，底面，，，，分别是，，的中点．
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离．
1．在正六棱柱任意两个顶点的连线中与棱AB平行的条数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．设是两条直线，是两个平面，若，，则下列说法一定正确的是（ ）
A． B．
C．是两条异面直线 D．
3．平面与平面平行的充要条件是（ ）
A．内有无数条直线与平行 B．，垂直于同一个平面
C．，平行于同一条直线 D．内有两条相交直线都与平行
二、多选题
4．如图，在三棱锥中，E，F分别为AB，AD的中点，过EF的平面截三棱锥得到的截面为，则下列结论中一定成立的是（ ）
A． B．
C．平面 D．平面
5．如图，在四面体中，截面是正方形，则下列判断正确的是（ ）
A． B．平面
C． D．点B，D到平面的距离不相等．
6．在正方体中，E，F，G分别为BC，，的中点，则（ ）
A．直线与直线AF异面 B．直线与平面平行
C．平面截正方体所得的截面是平行四边形 D．点C和点B到平面的距离相等
三．填空题
7．如图，空间四边形中，E，F，G，H分别是，，，的中点，则四边形是( )
A．梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形
8．已知表示三个不同的平面，若，且，则直线，的位置关系是 .
9．如图，在长方体中，写出满足条件的一个平面：
（1）与平面平行的平面为 ；
（2）与平面平行的平面为 ；
（3）与平面平行的平面为 ．
10．如图，四边形是平行四边形，是平面外一点，为上一点，若平面，则 ．
11．A是所在平面外一点，M是的重心，N是的中线AF上的点，并且平面BCD，当时， ．
12．如图，四棱锥中，四边形是矩形，平面，且，，，点为中点，若上存在一点使得平面，则长度为 .
13．如图，在三棱柱中，M是的中点，平面平面，平面．求证：
(1)；
(2)N为AC的中点．
14．如图，在正方体中，E是的中点.
(1)求证：平面；
(2)设正方体的棱长为1，求三棱锥的体积．
15．如图，已知在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，E、F分别是的中点．
(1)求证：平面；
(2)求与平面所成角的余弦值．
16．如图，在四棱锥中，底面为矩形，，点E在线段上，平面.
（1）求线段的长；
（2）若平面平面，，直线与平面所成的角为，，求三棱锥的表面积.
