2023-2024学年高一下学期开学考测试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
测试范围：第1-5单元（人教A版2019）
第Ⅰ卷
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则集合中元素的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】分析两个集合中的元素，得两个集合的交集.
【详解】集合表示直线上的点组成的集合，
集合表示大于或等于0的实数组成的集合，
所以，中元素个数为0个.
故选：A.
2．已知，，则角的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】根据所给条件得到、，，即可判断.
【详解】因为，即，
又，所以，即，所以，
所以角的终边在第三象限.
故选：C
3．弧度换算为角度制是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据弧度制、角度制的知识求得正确答案.
【详解】弧度换算为角度制是.
故选：C
4．“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】特称命题的否定是全称命题
【详解】因为特称命题的否定是全称命题
所以“，”的否定是“，”
故选：B
【点睛】本题考查的是命题的相关知识，较简单.
5．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由指数函数、对数函数的单调性，并与0，1比较可得答案．
【详解】由指数、对数函数的性质可知：，，
所以有.
故选：A．
【点睛】本题考查的是利用对数函数和指数函数单调性比较大小的知识，属于基础题.
6．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据具体函数的定义域的求法，得到，解不等式组即可求出结果.
【详解】由题意可得，解得，故函数的定义域为，
故选：B.
7．的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由诱导公式和两角差的余弦公式化简计算.
【详解】
故选：C
8．已知函数恰有2个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由在区间上单调递减，分类讨论，，三种情况，根据零点个数求出实数a的取值范围.
【详解】函数在区间上单调递减，且方程的两根为.
若时，由解得或，满足题意.
若时，，，当时，，即函数在区间上只有一个零点，因为函数恰有2个零点，所以且.
当时，，，此时函数有两个零点，满足题意.
综上，
故选：D
选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9．最小正周期为的函数有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据三角函数的周期公式计算可得；
【详解】解：对于A：的最小正周期，故A错误；
对于B：因为为最小正周期的奇函数，是由将轴下方的图形关于轴对称得到的，故的最小正周期，故B正确；
对于C：的最小正周期，故C正确；
对于D：的最小正周期，故D错误；
故选：BC
10．下面命题为真命题的是（ ）
A．设，则“”是“”的既不充分也不必要条件
B．“”是“二次方程有一正根一负根”的充要条件
C．“”是“为单元素集”的充分而不必要条件
D．“”是“”的充分不必要条件
【答案】BCD
【分析】A 由，则都不为0则可判断命题；B结合韦达定理即可判断命题；C根据方程根的个数求出参数即可判断；D结合不等式的性质以及解分式不等式即可判断.
【详解】A若，，则；若，则都不为0，则“”是“”的必要不充分条件；故A为假命题；
B若二次方程有一正根一负根，则两根之积为负，即，从而，故“”是“二次方程有一正根一负根”的必要条件，
若，则，即方程有两根且两根之积为负，所以二次方程有一正根一负根，故“”是“二次方程有一正根一负根”的充分条件，综上“”是“二次方程有一正根一负根”的充要条件，故B为真命题；
C因为为单元素集，若，则符合题意；若，则，则，则符合题意；综上：为单元素集，则或2，因此“”是“为单元素集”的充分而不必要条件，故C是真命题；
D因为，所以，但是若，则或，则“”是“”的充分不必要条件，故D是真命题，
故选：BCD.
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为
B．在上是增函数
C．的解集为
D．的解集为
【答案】AD
【分析】分析可知为偶函数，研究时的函数的单调性和最值，即可得出AB的正确与否；研究函数的零点，结合单调性，奇偶性，即可判定C错误；分类讨论求解，即可得到不等式的解集，从而判定D正确.
【详解】，
所以是偶函数，
在时，,
图象为开口向下的抛物线的部分，
对称轴为,
在内单调递增，在上单调递减，
最大值为,
∴函数在R上的最大值为,
在内单调递增，在内单调递减，
故A正确，B错误；
由于,
结合函数的单调性和偶函数的性质画出图象如图所示.
可知的解集为,
故C错误；
画出图象如图所示：
由图象可得不等式的解集为，故D正确.
故选：AD.
12．已知函数（，，）的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．函数为奇函数
D．函数在区间上单调递减
【答案】BCD
【分析】根据图象可得，，，然后求出的解析式，然后逐一判断即可.
【详解】，则，，
，∴，，
，，，∴，A错.
，，
，B对.
奇函数，C对.
，即，在上单调递减，而，∴D对.
故选：BCD.
第Ⅱ卷
填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为 ．
【答案】/
【分析】利用扇形弧长公式和面积公式即可求得结果.
【详解】由题意知，圆心角为，弧长为，
设扇形半径为，根据弧长公式得，
则扇形面积.
故答案为：
14．已知,则 .
【答案】
【分析】利用以及诱导公式，直接求出sin与cos的关系，求出结果．
【详解】因为＋＝－，所以sin＝sin
＝－sin＝－cos＝－.
故答案为-.
【点睛】本题是基础题，考查利用诱导进行化简求值，注意角的变换的技巧，是快速解答本题是关键，考查计算能力，转化思想．
15．已知函数（且）恒过定点，则 .
【答案】
【分析】当时，函数值域与没有关系，由此求得恒过的定点，并求得表达式的值.
【详解】当，即时，函数值域与没有关系，此时，故函数过定点，即，，所以.
【点睛】本小题主要考查指数函数横过定点的问题，当指数函数底数为的时候，，由此求得恒过的定点，属于基础题.
16．已知函数，在R上是增函数，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据分段函数单调递增可得两段也必单调递增,且左段的最大值小于等于右段的最小值,据此列式可解得.
【详解】由函数在R上是增函数可得，
解得.
故答案为 .
【点睛】本题考查了分段函数的单调性,属于中档题.
易错警示:忽视左段的最大值小于等于右段的最小值.
四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（10分）求值：
（1）；
（2）.
【答案】（1）2；（2）.
【分析】（1）根据指数幂的运算性质可求出结果；
（2）根据对数的运算性质可求出结果.
【详解】（1）原式；
（2）原式=
18．（12分）已知集合，.
(1)若，求和：
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出集合，解不等式求出集合，再进行并集、补集、交集运算即可求解；
（2）由题意可得是的真子集，讨论，时，由包含关系列不等式即可求解.
【详解】（1）当时，，
，
所以，
因为或，所以.
（2）由（1）知：，
因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集，
当即时，符合题意；
若，则，解得，
经检验和符合题意，所以实数的取值范围为.
19．（12分）已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用诱导公式及二倍角的正切公式即可求解；
（2）根据（1）的结论及二倍角的正弦、余弦公式，再利用三角函数的齐次式的特点即可求解.
【详解】（1）由，得，即，
所以.
（2）由（1）知，，
.
20．（12分）已知函数.
(1)求函数的单调增区间；
(2)将函数图象上点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再把所得函数图象向下平移个单位得到函数的图象，求的最小值及取得最小值时的x的取值集合.
【答案】(1)，；
(2)，.
【分析】（1）先利用三角恒等变换化简，再结合的单调性即可求得的单调增区间；
（2）先利用三角函数的图像变换得到的解析式，再结合的性质即可求得的最小值及取得最小值时的x的取值集合.
【详解】（1）函数，
由，，可得，，
所以函数的增区间为，；
（2）由题可得函数，
所以函数的最小值为，此时，即，
所以最小值为，取得最小值时的x的取值集合为.
21．（12分）生物爱好者甲对某一水域的某种生物在自然生长环境下的总量进行监测. 第一次监测时的总量为（单位：吨），此时开始计时，时间用（单位：月）表示. 甲经过一段时间的监测得到一组如下表的数据：
月
吨
为了研究该生物总量与时间的关系，甲通过研究发现可以用以下的两种函数模型来表达与的变化关系：
①；②且.
(1)请根据表中提供的前列数据确定第一个函数模型的解析式；
(2)根据第列数据，选出其中一个与监测数据差距较小的函数模型；甲发现总量由翻一番时经过了个月，根据你选择的函数模型，若总量再翻一番时还需要经过多少个月？（参考数据：，）
【答案】(1)
(2)第二个模型与监测数据差距较小；总量再翻一番时还需要经过个月
【分析】（1）将前列数据代入第一个函数模型即可解方程组求得结果；
（2）将前列数据代入第二个函数模型可求得第二个函数模型的解析式；再将列数据分别代入两个模型，比较预估值与检测数据即可确定差距较小的函数模型；将代入模型即可求得总量再翻一番时所需时长，进而得到结果.
【详解】（1）将前列数据代入第一个函数模型得：，解得：，
第一个函数模型的解析式为：.
（2）将前列数据代入第二个函数模型得：，解得：，
第二个函数模型的解析式为：；
将代入第一个函数模型得：；代入第二个函数模型得：；
将代入第一个函数模型得：；代入第二个函数模型得：；
根据第列数据，第二个模型与监测数据差距较小；
总量翻一番时，，此时；
若总量再翻一番，则，由得：，，
，总量再翻一番时还需要经过个月.
22．（12分）已知函数为奇函数
(1)求实数的值及函数的值域；
(2)若不等式对任意都成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，值域为
(2)
【分析】（1）先利用奇函数求出，分离常数项，可得函数的值域；
（2）分离参数，利用换元法，结合基本不等式可得结果.
【详解】（1）函数为奇函数，定义域为，
则，所以，经检验知符合题意；
因为，则
所以函数的值域为.
（2）由题知：当恒成立；
则；
令，
所以；
又，当且仅当时等号成立，
而，所以，
则.2023-2024学年高一下学期开学考测试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
测试范围：第1-5单元（人教A版2019）
第Ⅰ卷
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则集合中元素的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．已知，，则角的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．弧度换算为角度制是（ ）
A． B． C． D．
4．“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
7．的值是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数恰有2个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9．最小正周期为的函数有（ ）
A． B．
C． D．
10．下面命题为真命题的是（ ）
A．设，则“”是“”的既不充分也不必要条件
B．“”是“二次方程有一正根一负根”的充要条件
C．“”是“为单元素集”的充分而不必要条件
D．“”是“”的充分不必要条件
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为
B．在上是增函数
C．的解集为
D．的解集为
12．已知函数（，，）的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．函数为奇函数 D．函数在区间上单调递减
第Ⅱ卷
填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为 ．
14．已知,则 .
15．已知函数（且）恒过定点，则 .
16．已知函数，在R上是增函数，则实数a的取值范围是 .
四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（10分）求值：
（1）；
（2）.
18．（12分）已知集合，.
(1)若，求和：
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.
19．（12分）已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
20．（12分）已知函数.
(1)求函数的单调增区间；
(2)将函数图象上点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再把所得函数图象向下平移个单位得到函数的图象，求的最小值及取得最小值时的x的取值集合.
21．（12分）生物爱好者甲对某一水域的某种生物在自然生长环境下的总量进行监测. 第一次监测时的总量为（单位：吨），此时开始计时，时间用（单位：月）表示. 甲经过一段时间的监测得到一组如下表的数据：
月
吨
为了研究该生物总量与时间的关系，甲通过研究发现可以用以下的两种函数模型来表达与的变化关系：
①；②且.
(1)请根据表中提供的前列数据确定第一个函数模型的解析式；
(2)根据第列数据，选出其中一个与监测数据差距较小的函数模型；甲发现总量由翻一番时经过了个月，根据你选择的函数模型，若总量再翻一番时还需要经过多少个月？（参考数据：，）
22．（12分）已知函数为奇函数
(1)求实数的值及函数的值域；
(2)若不等式对任意都成立，求实数的取值范围.
