专题02 立体图形的直观图（五大题型）
【题型 1斜二测画法的辨析】
【题型 2画平面图形的直观图】
【题型 3画空间几何体的直观图】
【题型 4由直观图还原几何图形】
【题型 5平面图形的面积与其直观图的面积的关系】
【题型 1斜二测画法的辨析】
1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（ ）
A．正方形的直观图是正方形
B．矩形的直观图是矩形
C．菱形的直观图是菱形
D．平行四边形的直观图是平行四边形
【答案】D
【分析】根据平面图形的直观图的画法规则，逐项判定，即可求解.
【详解】根据斜二测画法的规则可知，平行于坐标轴的直线平行性不变，平行于轴的线段长度不变，平行于轴的线段长度减半.
对于A中，正方形的直角，在直观图中变为或，不是正方形，所以A错误；
对于B中，矩形的直角，在直观图中变为或，不是矩形，所以B错误；
对于C中，菱形的对角线互相垂直平分，在直观图中对角线的夹角变为，所以菱形的直观图不是菱形，所以C错误；
对于D中，根据平行线不变，可知平行四边形的直观图还是平行四边形，所以D正确.
故选：D.
2．图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据直观图，画出原图形，即可得出答案.
【详解】根据该平面图形的直观图，该平面图形为一个直角梯形，
且在直观图中平行于轴的边与底边垂直，
原图形如图所示：
此平面图形可能是C.
故选：C.
3．利用斜二测画法画直观图时，下列说法中错误的是（ ）
①两条相交直线的直观图是平行直线；②两条垂直直线的直观图仍然是垂直直线；③正方形的直观图是平行四边形；④梯形的直观图是梯形
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【答案】A
【分析】根据斜二测画法的规则，逐项判断即可解答.
【详解】根据斜二测画法的规则，可得两条相交直线的直观图仍然是相交直线，所以①错误；
两条垂直直线的直观图是两条相交但不垂直的直线，所以②错误；
根据斜二测画法规则，平行性保持不变，可得③④正确；
故选：A.
4．把一个高为的圆柱的底面画在平面上，则圆柱的高应画成（ ）
A．平行于轴，且大小为
B．平行于轴，且大小为
C．与轴成，且大小为
D．与轴成，且大小为
【答案】A
【分析】根据“斜二测画法”画直观图的画法，即可得出结果.
【详解】用斜二测画法画的直观图中，竖直方向的高和原图是一样的，
所以圆柱的高平行于轴，且大小为
故选：A.
5．关于用“斜二测画法”所得的直观图，下列说法正确的是（ ）
A．菱形的直观图仍为菱形
B．相等的角，在直观图中仍相等
C．长度相等的线段，在直观图中长度仍相等
D．若两条线段平行，则在直观图中对应的线段也平行
【答案】D
【分析】根据斜二测画法的原理，对四个选项逐一分析即可.
【详解】由直观图的做法可知：原图形中的平行性质仍然保持，而相等长度和角的大小不一定与原来相等.
选项A：菱形的直观图是平行四边形，错误；
选项B：相等的角在直观图中不一定相等，如直角梯形在直观图中与直角对应的两个角不相等，错误；
选项C：平行于轴且相等的线段在直观图中仍相等，而不是所有相等线段都能相等，错误；
选项D：平行线段在直观图中仍然平行，正确；
故选：D
6．（多选题）利用斜二测画法得到以下结论，其中说法正确的是（ ）
A．三角形的直观图是三角形
B．等边三角形的直观图是一个钝角三角形
C．正方形的直观图不是正方形
D．菱形的直观图是菱形
【答案】ABC
【分析】根据斜二测画法的规则，即可判断A、C、D；作出等边三角形的直观图，结合余弦定理，即可得出B项.
【详解】对于A项，由斜二测画法规则知，斜二测画法不改变平行性，即原图形与直观图中对应的相交直线 平行直线的关系不变，因此三角形的直观图是三角形，正确，
对于B，设等边三角形的直观图如图所示，
设等边三角形边长为，则，，
在中，由余弦定理知,
同理可得，
则，
所以三角形为钝角三角形，B正确；
对于C项，根据斜二测画法的规则，可知正方形的直观图为邻边不垂直也不相等的平行四边形，故正确；
对于D项，由B可知，等腰三角形的直观图不是等腰三角形，根据对角线将菱形分割为等腰三角形，可知直观图的邻边不相等，所以菱形的直观图不是菱形，故D错误.
故选：.
【题型 2画平面图形的直观图】
7．画水平放置的正五边形和菱形的直观图．
【答案】答案见解析
【分析】根据斜二测画法的规则，即可画出正五边形和菱形的直观图.
【详解】解：作出坐标系，使得，
连接交轴为，在轴上作线段，
在轴上分别作线段，
过作线段，且，
连接，即为正五边形的直观图，如图（1）所示.
如图（2）所示，在轴上作线段，
则轴上分别作出线段，
连接，即为菱形的直观图.
8．用斜二测画法画出下列图形：
(1)水平放置的边长为5cm的正方形；
(2)水平放置的梯形和平行四边形；
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】根据斜二测画法的特点求解即可.
【详解】（1）在已知正方形中，，取所在直线为轴（如图1（1）），
画出对应的，轴，使，，（如图1（2）），
即四边形即为正方形的直观图.
（2）仿照正方形的直观图的画法：
水平放置的梯形（如图2（1））的直观图（如图2（2）），
水平放置的平行四边形（如图3（1））的直观图（如图3（2）），
9．用斜二测画法画出图中四边形OBCD的直观图．
【答案】答案见解析
【分析】根据斜二测画法的规则和步骤，将直角画成，沿轴方向长度不变，轴方向是原图形长度的一半，即可做出直观图．
【详解】分以下三步进行作图：
（1）过点C作轴，垂足为E，如图①所示．
（2）画出对应的轴、轴，使，
在轴上取点，，使得，；
在轴上取一点，使得；
过作轴，使，连接，，如图②所示．
（3）擦去轴与轴及其他辅助线，
如图③所示，四边形就是所求的直观图．
10．用斜二测法画出如图边长为2的等边三角形的直观图，并求直观图面积．
【答案】作图见解析，面积cm2
【分析】先在直角坐标系中得出各边的数值，再按“斜二测”画法作图，得出相关关系，再求出直观图的高度，求出面积.
【详解】画法:(1)如图 (1),在等边三角形中,取所在直线为轴,的垂直平分线为轴,两轴相交于点.在图 (2)中,画相应的轴与轴,两轴相交于点,使.
(2)在图 (2)中,以为中点,在轴上取,在轴上取.
(3)连接,并擦去辅助线轴和轴,便获得等边三角形水平放置的直观图(图 (3)).
由题意在平面直角坐标系中，三角形是边长为2的正三角形
∴，边上的高为，
在三角形中，，
∴,
边上的高，
故 ，
故直观图面积cm2.
【题型 3画空间几何体的直观图】
11．画长、宽、高分别为，，的长方体的直观图．
【答案】画图见解析
【分析】可根据斜二测画法的规则，画出底面长方形的直观图，并计算出各边长长度，然后分别作出相应平行与垂直等线段再连接即可.
【详解】根据斜二测画法的规则可知, 底面矩形的直观 图为平行四边形,
其中 , ,
作 底面, 在 轴上截取 ,
过 作 , 使 , 过、
分别作 平行于 且等于 ,
连接 可得长、宽、高 分别为，，的长方体的直观图.
12．已知一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为6，高为4，用斜二测画法画出此正四棱台的直观图．
【答案】答案见解析
【分析】画法步骤：（1）画坐标轴；
（2）画下底面：按水平放置的平面图形的直观图的画法作出下底面的直观图；
（3）画上底面：与画下底面相同方法作出下底面直观图．
（4）连线并擦去辅助线得直观图．
【详解】【解】（1）画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
（2）画下底面．以O为中点，在x轴上取线段EF，使得EF＝6，在y轴上取线段GH，使得GH＝3，再过G，H分别作AB綊EF，CD綊EF，且使得AB的中点为G，CD的中点为H，连接AD，BC，这样就得到了正四棱台的下底面ABCD的直观图．
（3）画上底面．在z轴上截取线段OO1＝4，过O1作O1x′∥Ox，O1y′∥Oy，使∠x′O1y′＝45°，建立坐标系x′O1y′，在x′O1y′中仿照（2）的步骤画出上底面A1B1C1D1的直观图．
（4）连接AA1、BB1、CC1、DD1，擦去辅助线，得到的图形就是所求的正四棱台的直观图
如图②）．
13．画出底面边长为4cm、高为5cm的正四棱锥的直观图.
【答案】答案见解析
【分析】先画出底面，边长为4cm的正方形ABCD的直观图，再连接AC与BD，相交于点O，则点O即是底面ABCD的中心，过点O作底面的垂线PO，长度为5cm，连接PA、PB、PC、PD，即可得到所求的正四棱锥.
【详解】解：先画出底面，边长为4cm的正方形ABCD的直观图，，
连接AC与BD，相交于点O，则点O即是底面ABCD的中心，
过点O作底面的垂线PO，长度为5cm，连接PA、PB、PC、PD，则作出底面边长为4cm、高为5cm的正四棱锥的直观图.
【题型 4由直观图还原几何图形】
14．如图所示，是的直观图，其中，那么是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
【答案】B
【分析】根据斜二测画法的作图原则即可得到答案.
【详解】根据斜二测画法可得
，所以是直角三角形.
故选：B.
15．水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图是直角梯形，如图所示．其中，则原平面图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据斜二测画法的图形性质可得原图形的形状，进而可得面积.
【详解】由直角梯形中，且，作于，
则四边形为正方形，为等腰直角三角形，
故，.
故原图为直角梯形，且上底，高，
下底.
其面积为.
16．图，某四边形的直观图是正方形，且，则原四边形的周长等于（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】D
【分析】结合直观图还原出原图，结合数据可得答案.
【详解】因为，所以直观图中正方形的边长为，
结合直观图的特征，可得原图如下，
因为直观图中，且与轴平行，所以原图中且与轴平行，
因为，所以；
由直观图的性质可知，原图中四边形为平行四边形，
所以的周长等于.
故选：D.
17．如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°的等腰梯形，已知直观图OA′B′C′中，，则该平面图形的面积为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】根据直观图与原平面图形的关系作出原平面图形，求出相应边长后计算面积．
【详解】作出原来的平面图形，如图，，，
在题设等腰梯形中，，因此，
所以．
故选：D．
18．如图所示，梯形是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形ABCD中对角线AC的长度为（ ）
A． B． C． D．5
【答案】C
【分析】根据斜二测画法的规则确定原图形，利用勾股定理求得长度．
【详解】由直观图知原几何图形是直角梯形ABCD，如图，
由斜二测法则知，，
所以．
故选：C．
19．水平放置的的直观图如图，其中，，那么原是一个（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．三边中只有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形
【答案】A
【分析】根据斜二测画法的规则求解即可.
【详解】由图形知，在原中，，如图，
因为，所以，
，，
又，.
为等边三角形.
故选：A
故选：C
20．已知某平面图形的斜二测画法直观图是一个边长为2的正方形，如图所示，则该平面图形的面积是（ ）
A．8 B．16 C． D．
【答案】C
【分析】斜二测画法还原平面图形，求解面积即可，注意纵坐标长度是原来的倍，横坐标长度不变.
【详解】由题意，，所以，还原如图所示：
则，
所以平面图形面积.
故选：C.
21．如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据斜二测画法还原四边形，由梯形面积公式求解．
【详解】如图，作平面直角坐标系，
使与重合，在轴上，且，在轴上，且，
过作，且，连接，则直角梯形为原平面图形，
其面积为．
故选：C
22．如图，是水平放置的的直观图，则的周长为（ ）
A．5 B．12 C．24 D．
【答案】D
【分析】将直观图复原为原图，由勾股定理求得斜边长，即可求得答案.
【详解】由题意可将直观图复原为原图：
则，故,
故的周长为，
故选：D
23．如图，一个水平放置的平面图形的直观图是腰长为1的等腰直角三角形，则原平面图形的面积为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】先求得原图形三角形的底与高的值，进而求得原图形的面积.
【详解】因为在直观图中，，所以，
所以原图形是一个底边长为，高为的直角三角形，
故原图形的面积为．
故选：A
24．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，则该平面图形的高为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出，再作出水平放置的原平面图形作答.
【详解】在直角梯形中，，，
则，
直角梯形对应的原平面图形为如图中直角梯形，
，
所以该平面图形的高为.
故选：C.
25．如图所示，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积是（ ）.
A．12 B．12
C．6 D．
【答案】D
【分析】求出直观图面积，根据直观图面积和原图面积之间的关系即可得答案.
【详解】因为，由斜二测画法可知，
则，故为等腰直角三角形，故，
故矩形的面积为，
所以原图形的面积是，
故选：D.
26．如图所示，梯形是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形ABCD中对角线AC的长度为（ ）
A． B． C． D．5
【答案】C
【分析】根据斜二测画法的规则确定原图形，利用勾股定理求得长度．
【详解】由直观图知原几何图形是直角梯形ABCD，如图，
由斜二测法则知，，
所以．
故选：C．
27．如图，是水平放置的的斜二测直观图，为等腰直角三角形，其中与重合，，则的面积是（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【分析】根据斜二测画法求面积即可.
【详解】因为为等腰直角三角形，所以，，
根据斜二测画法可得，所以.
故选：B.
28．如图，是水平放置的△OAB的直观图，，则的面积是 ．
【答案】12
【分析】根据直观图判断出是直角三角形，且，从而求出的面积．
【详解】由直观图可知，是直角三角形，且，
所以的面积是，
故答案为：12．
【题型 5平面图形的面积与其直观图的面积的关系】
29．如图，平行四边形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，，则原图形的面积是（ ）
A．4 B． C． D．16
【答案】C
【分析】先求出直观图中平行四边形的面积，然后利用直观图面积和原图形面积之间的比例关系求解即可．
【详解】直观图是一个平行四边形，，，，
所以直观图的面积为，
因为，所以原图形的面积为．
故选：C．专题02 立体图形的直观图（五大题型）
【题型 1斜二测画法的辨析】
【题型 2画平面图形的直观图】
【题型 3画空间几何体的直观图】
【题型 4由直观图还原几何图形】
【题型 5平面图形的面积与其直观图的面积的关系】
【题型 1斜二测画法的辨析】
1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（ ）
A．正方形的直观图是正方形
B．矩形的直观图是矩形
C．菱形的直观图是菱形
D．平行四边形的直观图是平行四边形
2．图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是（ ）
A． B． C． D．
3．利用斜二测画法画直观图时，下列说法中错误的是（ ）
①两条相交直线的直观图是平行直线；②两条垂直直线的直观图仍然是垂直直线；③正方形的直观图是平行四边形；④梯形的直观图是梯形
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
4．把一个高为的圆柱的底面画在平面上，则圆柱的高应画成（ ）
A．平行于轴，且大小为
B．平行于轴，且大小为
C．与轴成，且大小为
D．与轴成，且大小为
5．关于用“斜二测画法”所得的直观图，下列说法正确的是（ ）
A．菱形的直观图仍为菱形
B．相等的角，在直观图中仍相等
C．长度相等的线段，在直观图中长度仍相等
D．若两条线段平行，则在直观图中对应的线段也平行
6．（多选题）利用斜二测画法得到以下结论，其中说法正确的是（ ）
A．三角形的直观图是三角形
B．等边三角形的直观图是一个钝角三角形
C．正方形的直观图不是正方形
D．菱形的直观图是菱形
【题型 2画平面图形的直观图】
画水平放置的正五边形和菱形的直观图．
8．用斜二测画法画出下列图形：
(1)水平放置的边长为5cm的正方形；
(2)水平放置的梯形和平行四边形；
9．用斜二测画法画出图中四边形OBCD的直观图．
10．用斜二测法画出如图边长为2的等边三角形的直观图，并求直观图面积．
【题型 3画空间几何体的直观图】
11．画长、宽、高分别为，，的长方体的直观图．
12．已知一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为6，高为4，用斜二测画法画出此正四棱台的直观图．
13．画出底面边长为4cm、高为5cm的正四棱锥的直观图.
【题型 4由直观图还原几何图形】
14．如图所示，是的直观图，其中，那么是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
15．水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图是直角梯形，如图所示．其中，则原平面图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
16．图，某四边形的直观图是正方形，且，则原四边形的周长等于（ ）
A．2 B． C．4 D．
17．如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°的等腰梯形，已知直观图OA′B′C′中，，则该平面图形的面积为（ ）
A． B．2 C． D．
18．如图所示，梯形是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形ABCD中对角线AC的长度为（ ）
A． B． C． D．5
19．水平放置的的直观图如图，其中，，那么原是一个（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．三边中只有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形
20．已知某平面图形的斜二测画法直观图是一个边长为2的正方形，如图所示，则该平面图形的面积是（ ）
A．8 B．16 C． D．
21．如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
22．如图，是水平放置的的直观图，则的周长为（ ）
A．5 B．12 C．24 D．
23．如图，一个水平放置的平面图形的直观图是腰长为1的等腰直角三角形，则原平面图形的面积为（ ）
A． B．1 C． D．
24．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，则该平面图形的高为（ ）
A． B．2 C． D．
25．如图所示，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积是（ ）.
A．12 B．12
C．6 D．
26．如图所示，梯形是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形ABCD中对角线AC的长度为（ ）
A． B． C． D．5
27．如图，是水平放置的的斜二测直观图，为等腰直角三角形，其中与重合，，则的面积是（ ）
A．2 B． C．4 D．
28．如图，是水平放置的△OAB的直观图，，则的面积是 ．
【题型 5平面图形的面积与其直观图的面积的关系】
29．如图，平行四边形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，，则原图形的面积是（ ）
A．4 B． C． D．16
