2023级高一下学期入学考试
数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 下列哪组中的两个函数是同一函数（ ）
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
3. 已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A B. C. D.
4. 关于命题“，”的否定，下列说法正确的是（ ）
A. ：，为假命题 B. ：，为真命题
C. ：，为真命题 D. ：，为真命题
5. 一个扇形的弧长与面积的数值都是4，则该扇形圆心角（正角）的弧度数为（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
6. 某工厂生产废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中，是正的常数，如果在前5消除了10%的污染物，那么10后还剩百分之多少的污染物（ ）
A. B. C. D.
7. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
8. 阿基米德有这样一句流传很久的名言：“给我一个支点，我就能撬起整个地球！”这句话说的便是杠杆原理，即“动力×动力臂=阻力×阻力臂”．现有一商店使用两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，取黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将称得的黄金交给顾客，则下列选项正确的是（ ）
A. B. C. D. 以上选项都有可能
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列命题为假命题的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C 若，则 D. 若，则
10. 若幂函数的图像经过，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 的定义域是 D. 为偶函数
11. 已知函数，满足不等式的解集为，且为偶函数，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 为偶函数 D. 的最大值是
12. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的图象关于轴对称 B. 是增函数
C. 只有1个零点 D.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 用“二分法”研究函数的零点时，第一次经计算可知，说明该函数在区间内存在零点，下一次应计算，则________．
14. 已知，则________．
15. 若函数y＝loga(2－ax)在[0，1]上单调递减，则a的取值范围是________．
16. 我们知道，函数的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，事实上，可以将其可推广为：函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．则函数的对称中心为_______，若有四个零点，则这四个零点之和为________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （1）
（2）已知，求的值．
18. 已知集合，．
（1）当时，求集合B与；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
19 已知函数.
（1）化简；
（2）若，求下列表达式值：①；②.
20. 已知函数（为常数）是定义在上的奇函数.
（1）求函数的解析式；
（2）判断函数的单调性，并用定义证明；
（3）若函数满足，求实数的取值范围.
21. 比亚迪是我国乃至全世界新能源电动车的排头兵，新能源电动车汽车主要采用电能作为动力来源，目前比较常见的主要有两种：混合动力汽车、纯电动汽车．有关部门在国道上对比亚迪某型号纯电动汽车进行测试，国道限速．经数次测试，得到该纯电动汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的数据如下表所示：
0 10 40 60
0 1420 4480 6720
为了描述该纯电动汽车国道上行驶时每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：①；②；．
（1）当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数表达式；
（2）现有一辆同型号纯电动汽车从重庆育才中学行驶到成都七中，其中，国道上行驶，高速上行驶．假设该电动汽车在国道和高速上均做匀速运动，国道上每小时的耗电量与速度的关系满足（1）中的函数表达式；高速路上车速（单位：）满足，且每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的关系满足）．则当国道和高速上的车速分别为多少时，该车辆的总耗电量最少，最少总耗电量为多少？
22. 已知函数．
（1）判断函数的奇偶性并证明；2023级高一下学期入学考试
数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别求得集合，结合集合间的包含关系，即可求解.
【详解】由集合或，，
结合选项，可得.
故选：D.
2. 下列哪组中的两个函数是同一函数（ ）
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
【答案】D
【解析】
【分析】逐项判断函数的定义域与对应法则是否相同，即可得出结果.
【详解】A中 定义域为，而定义域为，所以定义域不同，不是同一函数，排除A；
B中定义域，而定义域为，所以定义域不同，不是同一函数，排除B；
C中 y= 定义域为，而定义域为，所以定义域不同，不是同一函数，排除C；
D中，与的定义域均为，且，对应法则一致，所以是同一函数，D正确.
故选D
【点睛】本题主要考查判断两函数是否是同一函数，熟记相等函数的判定条件即可，属于基础题型.
3. 已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用三角函数定义求值即可.
【详解】角的终边经过点，显然（为坐标原点），
所以.
故选：C
4. 关于命题“，”的否定，下列说法正确的是（ ）
A. ：，为假命题 B. ：，为真命题
C. ：，为真命题 D. ：，为真命题
【答案】D
【解析】
【分析】判断命题的真假，再求命题的否定，并判断其真假即可.
【详解】因为，故命题为假命题，则为真命题；
又“，”的否定为：“”，
故选：D.
5. 一个扇形的弧长与面积的数值都是4，则该扇形圆心角（正角）的弧度数为（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据扇形的弧长公式计算即可.
【详解】因为一个扇形的弧长与面积的数值都是4， 即
所以，所以圆心角为
故选：C
6. 某工厂生产的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中，是正的常数，如果在前5消除了10%的污染物，那么10后还剩百分之多少的污染物（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意求出，再结合污染物含量与时间间的关系式，即可求得10后还剩百分之多少的污染物.
【详解】由题意知在前5消除了10%的污染物，即，
即，
则10后污染物的含量为，
即10后还剩81%的污染物，
故选：A
7. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用对数函数单调性及指数运算，再借助“媒介数”判断作答.
【详解】，，，而，即，
所以.
故选：D
8. 阿基米德有这样一句流传很久的名言：“给我一个支点，我就能撬起整个地球！”这句话说的便是杠杆原理，即“动力×动力臂=阻力×阻力臂”．现有一商店使用两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，取黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将称得的黄金交给顾客，则下列选项正确的是（ ）
A. B. C. D. 以上选项都有可能
【答案】A
【解析】
【分析】设天平的左臂长为，右臂长为，再分别求出，，结合基本不等式判断即可.
【详解】由于天平的两臂不等长，故可设天平的左臂长为，右臂长为，.
由杠杆原理得，，解得，，
则，当且仅当取等号.
又，故.
故选：A
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列命题为假命题的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A：举例分析判断；对于BC：根据不等式的性质分析判断；对于D：根据不等式的性质结合作差法分析判断.
【详解】对于选项A：例如，则，故A为假命题；
对于选项B：若，则，即，故B为真命题；
对于选项C：若，则，可得，故C为假命题；
对于选项D：因为，则，所以，故D为假命题；
故选：ACD.
10. 若幂函数的图像经过，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 的定义域是 D. 为偶函数
【答案】BC
【解析】
【分析】先求出幂函数的解析式，再利用幂函数的性质即可判断.
详解】由幂函数，
则，即，
且，解得，
，则A错误，B正确；
的定义域为，故C正确，D错误.
故选：BC.
11. 已知函数，满足不等式的解集为，且为偶函数，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 为偶函数 D. 的最大值是
【答案】AC
【解析】
【分析】由题意首先得出，进一步，，由此可判断AB，由偶函数定义可判断C，通过换元法结合二次函数性质可判断D.
【详解】因为满足不等式的解集为，且为偶函数，
所以，解得，
从而，所以，故A对B错；
而，
其定义域显然关于原点对称，且，
所以为偶函数，故C正确；
令，则，故D错误.
故选：AC.
12. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的图象关于轴对称 B. 是增函数
C. 只有1个零点 D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，由即可判断；对于B，由对数函数单调性、幂函数单调性以及复合函数单调性即可判断；对于C，由零点存在定理以及函数单调性即可判断；对于D，由A选项结论即可判断.
【详解】对于A，，
且，即函数定义域为全体实数，
所以图象关于原点对称，故A错误；
对于B，当时，由复合函数单调性可知均单调递增，
所以也单调递增，
又单调递增，
所以由复合函数单调性可知此时单调递增；
当时，由复合函数单调性可知均单调递减，
所以由复合函数单调性也单调递增，
又单调递增，
所以由复合函数单调性可知此时单调递增，
又，
综上所述，是增函数，故B正确；
对于C，，从而此时，
又，且单调递增，
所以只有1个零点，故C正确；
对于D，由A可知的图象关于中心对称，即，
又，
所以，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：判断D选项的关键是利用A选项结论，由此即可顺利得解.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 用“二分法”研究函数的零点时，第一次经计算可知，说明该函数在区间内存在零点，下一次应计算，则________．
【答案】1
【解析】
【分析】根据二分法的原理可解.
【详解】第一次经计算可知，
说明该函数在区间内存在零点，
下次计算，.
故答案为：1
14. 已知，则________．
【答案】##
【解析】
【分析】整理已知，再两边平方结合同角基本关系式可解.
【详解】根据已知，，
两边平方得，
即
所以.
故答案为：
15. 若函数y＝loga(2－ax)在[0，1]上单调递减，则a的取值范围是________．
【答案】(1，2)
【解析】
【分析】分类讨论得到当时符合题意，再令在[0，1]上恒成立解出a的取值范围即可.
【详解】令，当时，为减函数，为减函数，不合题意；
当时，为增函数，为减函数，符合题意，需要在[0，1]上恒
成立，当时，成立，当时，恒成立，即，综上.
故答案为：(1，2).
16. 我们知道，函数的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，事实上，可以将其可推广为：函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．则函数的对称中心为_______，若有四个零点，则这四个零点之和为________．
【答案】 ①. ②. 4
【解析】
【分析】点为函数图像的对称中心，则为奇函数，利用奇函数的定义求的值得对称中心；有四个零点，则函数与的图像有四个交点，由函数与图像的对称中心都是，得到这四个零点的对称性，可求这四个零点之和.
【详解】设点为函数图像的对称中心，
则为奇函数，有，
即，
得，
有，解得，
函数的对称中心为.
有四个零点，则方程有四个不同的实数根，
则有函数与的图像有四个交点，
反比例函数为奇函数，对称中心为，
由函数图像的平移可知，函数图像的对称中心为，
函数与图像的对称中心都是，
函数与图像的四个交点也关于点对称，这四个交点横坐标之和为4，
所以的四个零点之和为4.
故答案为：；4
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （1）
（2）已知，求的值．
【答案】（1）3；（2）．
【解析】
【分析】（1）根据指数幂的以及对数的运算性质，即可求得答案.
（2）根据指数幂的运算性质，将的分子分母同乘以，化简求值，即得答案.
【详解】（1）原式
；
（2）由于，故原式
.
18. 已知集合，．
（1）当时，求集合B与；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】（1），；
（2）.
【解析】
【分析】（1）解分式不等式求集合B，再由集合的交运算求.
（2）由题设可知，结合已知列不等式求参数a的范围.
【小问1详解】
由，则或，得．
当时，集合，
所以；
【小问2详解】
若“”是“”的充分不必要条件，则，又，
所以，解得，即实数a的取值范围是．
19. 已知函数.
（1）化简；
（2）若，求下列表达式值：①；②.
【答案】（1）
（2）①，②；
【解析】
【分析】（1）直接利用诱导公式化简即可；
（2）依题意可得，再根据同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得；
【小问1详解】
解：因为，所以；
【小问2详解】
解：由，得
①
②
20. 已知函数（为常数）是定义在上的奇函数.
（1）求函数的解析式；
（2）判断函数的单调性，并用定义证明；
（3）若函数满足，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）在上单调递减，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）依题意可得，即可得到方程，解得即可；
（2）首先判断函数的单调性，再根据定义法证明，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；
（3）根据函数的奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，再解得即可；
【小问1详解】
解：因为是定义在上的奇函数，所以，
即，即，所以，即；解得，
所以
【小问2详解】
解：函数是上的减函数
证明：在上任取,，设，
因为，所以，则，
所以
即
所以在上单调递减
【小问3详解】
解：因为是定义在上的奇函数
所以可化为
又在上单调递减，
所以
解得
21. 比亚迪是我国乃至全世界新能源电动车的排头兵，新能源电动车汽车主要采用电能作为动力来源，目前比较常见的主要有两种：混合动力汽车、纯电动汽车．有关部门在国道上对比亚迪某型号纯电动汽车进行测试，国道限速．经数次测试，得到该纯电动汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的数据如下表所示：
0 10 40 60
0 1420 4480 6720
为了描述该纯电动汽车国道上行驶时每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：①；②；．
（1）当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数表达式；
（2）现有一辆同型号纯电动汽车从重庆育才中学行驶到成都七中，其中，国道上行驶，高速上行驶．假设该电动汽车在国道和高速上均做匀速运动，国道上每小时的耗电量与速度的关系满足（1）中的函数表达式；高速路上车速（单位：）满足，且每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的关系满足）．则当国道和高速上的车速分别为多少时，该车辆的总耗电量最少，最少总耗电量为多少？
【答案】（1）选①，
（2）当这辆车在高速上的行驶速度为，在国道上的行驶速度为最少，最少为．
【解析】
【分析】（1）利用表格中数据进行排除即可得解；（2）在分段函数中分别利用均值不等式和二次函数求出最值即可得解.
小问1详解】
解：对于③，当时，它无意义，故不符合题意，
对于②，当时，，又，
所以，故不符合题意，故选①，
由表中的数据可得，，解得
∴．
小问2详解】
解：高速上行驶，所用时间为，
则所耗电量为，
由对勾函数的性质可知，在上单调递增，
∴，
国道上行驶，所用时间为，
则所耗电量为，
∵，∴当时，，
∴当这辆车在高速上的行驶速度为，在国道上的行驶速度为时，
该车从重庆育才中学行驶到成都七中的总耗电量最少，最少为．
22. 已知函数．
（1）判断函数的奇偶性并证明；
（2）若方程有且仅有一个实数根，求实数的取值范围．
【答案】（1）为偶函数；证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）代入，按照对数函数的运算性质化简即可证明；
（2）若方程有且仅有一个实数根，按照对数函数的运算法则化简可得，再根据指数函数的运算将等式化为，令，则，等式等价于只有一个正根，分类讨论求二次函数只有一个正根时的范围即可.
【小问1详解】
定义域为，
∴函数为偶函数．
【小问2详解】
方程有且仅有一个实数根，
即有且仅有一个实数根，
即方程有且仅有一个实数根，
即有且仅有一个实数根，
令，则，∴即只有一个正根，
①时，不符合题意；
②当时，恒成立，
∴方程有两个不相等的实数根，而，
∴异号即方程有一正一负两根，符合题意；
③当时，设，∵，要使方程有一个正根，
则，解得．
