成都外国语学校高2021级高三上期末考试
数学试题（理科）
（总分：150分，时间：120分钟）
第I卷（共60分）
一 选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解出集合后再求交集即可.
【详解】由，解得，所以，
由，解得，所以，，
故选：C．
2. 命题“，”的否定为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】根据命题的否定即可求解.
【详解】命题“，”的否定为：命题“，”．
故选：A．
3. 已知i为虚数单位，复数满足，则（ ）
A. B. 1 C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的除法运算求出，从而可求解.
【详解】因为，则，
所以，
故，故A正确.
故选：A．
4. 已知向量，若，则实数的值为（ ）
A. 1 B. 0 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量线性运算与共线向量的坐标表示求解即得.
【详解】向量，则，
由，得，解得，
所以实数的值为1.
故选：A
5. 设函数满足对，都有，且在上单调递增，，，则函数的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
判断的奇偶性排除BD，再由当时，得出答案.
【详解】令，
则函数为偶函数，故排除BD
当时，，则，故排除C
故选：A
【点睛】关键点睛：本题关键是采用排除法，由奇偶性排除BD，再由当时，排除C.
6. 已知x和y满足约束条件，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，分析则的表示的几何意义，结合图象即可给出z的取值范围.
【详解】约束条件对应的平面区域如下图示：
三角形顶点坐标分别为，
表示可行域内的点与点连线的斜率，
当时取最大值，
当时取最小值，
故的取值范围是，
故选：C.
7. 随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，，，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设事件A表示“自驾”，事件B表示“坐公交车”，事件C表示“骑共享单车”，事件D“表示迟到”，利用全概率公式以及条件概率公式即可得到答案.
【详解】设事件A表示“自驾”，事件B表示“坐公交车”，事件C表示“骑共享单车”，事件D“表示迟到”，
由题意可知：，
则，
，
若小明迟到了，则他自驾去上班的概率是.
故选：B.
8. 等腰直角三角形中，，该三角形分别绕所在直线旋转，则2个几何体的体积之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，画出几何体，结合圆锥的体积公式求解，则问题得解.
【详解】根据题意，作图如下：
设等腰直角三角形的一条直角边长为1，则斜边长为．
以为轴旋转，得到圆锥，其体积为；
以为轴旋转，得到两个同底的圆锥，
其体积．
故个几何体的体积之比为．
故选：B．
9. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为（ ）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，从而可求，或，进而可得为直角，或，即可判断三角形的形状.
【详解】，
由正弦定理可得：，
可得：，
，可得：，
，可得：，
，或，
为直角，或，
的形状为等腰三角形或直角三角形.
故选：C
10. 已知函数的定义域为，其导函数为，若，，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件设，，求出其导数，分析可得在上单调递减，再根据条件，得到，不等式，即可求解.
【详解】设，，
则，
因为，所以时，，
即在上单调递减，
又，则，
所以，
即，则，解得：，
所以关于的不等式的解集为，
故选：C.
11. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在上，点在轴上，，，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据直角三角形的性质可得出，推导出为等边三角形，求出、，利用双曲线的定义可求得该双曲线的离心率的值.
【详解】因为，则为线段的中点，
因为，则，则，
因为为的中点，，则，
所以，为等边三角形，
由勾股定理可得，
由双曲线的定义可得，即，
因此，该双曲线的离心率为.
故选：A.
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
12 已知，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由条件得到，，从而得到，，即可得出，构造函数，利用函数的单调性，即可判断出，从而得出结果.
【详解】由，得到，又，所以，
所以，，又，
所以，又，得到，
令，则，所以，
得到，
令，则在区间上恒成立，
所以在区间上单调递减，
又，当时，，
得到在区间上恒成立，
所以在区间上单调递减，
又，所以，得到，
故选：A.
【点睛】关键点点晴：本题的关键在于判断的大小，通过构造函数，利用导数与函数的单调性间的关系，得函数的单调性，即可求出结果.
第II卷（共90分）
二 填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为________.
【答案】
【解析】
分析】由题可得,即可得答案．
【详解】因为，所以，
因为的斜率为，则，
即，故．
故答案为：.
14. 已知，，则_________
【答案】
【解析】
【分析】由求出，再利用诱导公式及二倍角公式计算即可.
【详解】∵，，∴，，
∴．
故答案为：
15. 写出经过坐标原点，且被圆截得的弦长为的直线的方程__________.
【答案】或
【解析】
【分析】利用直线与圆的位置关系及点到直线的距离公式、弦长公式计算即可.
【详解】由题意可知圆心，半径，显然横轴与圆相切，
不妨设，由点到直线的距离公式可知C到l的距离为或，
所以的方程为：或.
故答案为：或.
16. 已知抛物线的焦点为，经过的直线与抛物线交于两点，设点M在抛物线的准线上，若是等腰直角三角形，则______.
【答案】或
【解析】
【分析】根据抛物线方程可得焦点坐标和准线方程，分别对直角顶点进行分类讨论，利用三角形相似以及焦点弦公式列方程即可解得的取值为或.
【详解】如下图所示：
易知抛物线的焦点为，准线方程为，
设直线的方程为，，设的中点为；
联立直线与抛物线方程可得，显然，
则，则；
可得，
因为是等腰直角三角形，当点为直角顶点时，
过点作轴的垂线，过点作，垂足为，过点作，垂足为，如下图所示：
易知，，，
所以，
可得，，可得；
又，，所以，
即，解得，可得，
所以；
同理可得当点为直角顶点时，；
当点为直角顶点时，点在以为直径的圆上，如下图所示：
易知线段的中点为，
可得以为直径的圆的方程为，
当时，解得；
即，此时与轴平行，
又是等腰直角三角形，所以，即直线与轴垂直，
显然此时，满足题意；
故答案为：或
【点睛】方法点睛：求抛物线中弦长问题时往往利用焦点弦公式，利用韦达定理以及等腰直角三角形性质，根据圆周角性质列方程可得结果.
三 解答题（本题共6道小题，共70分）
17. 在等差数列中，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用等差数列的定义及性质计算基本量即可求通项公式；
（2）利用裂项相消法求和即可.
【小问1详解】
设的公差为，则，
解得，
所以；
【小问2详解】
由（1）知，
所以
．
18. 某日数学老师进行了一次小测验，两班一共有100名学生参加了测验，成绩都在内，按照，，…，分组，得到如下频率分布直方图：
（1）求图中的值；
（2）求两班全体学生成绩的平均数；（每组数据以区间中点值为代表）
（3）若根据分层抽样方法从测试成绩在内学生中抽取7人进行分析，再随机选取3人进行座谈，成绩在内学生人数记为X，求X的期望值.
【答案】（1）
（2）99 （3）
【解析】
【分析】（1）由所有频率和为1，列方程求出的值；
（2）由平均数公式求解即可；
（3）利用分层抽样求出人数，写出分布列，再求数学期望即可.
【小问1详解】
由题意得，
解得；
【小问2详解】
两班全体学生成绩的平均数为
；
【小问3详解】
根据题意，测试成绩内学生有，
测试成绩在和内学生人数比为，
从内学生中抽取7人，则在内学生有4人，在内学生有3人，
则在内学生人数X，可能取值0，1，2，3，
则，，
，，
则分布列为
0 1 2 3
所以.
19. 如图，在四棱锥中，已知，是等边三角形，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，求平面与平面夹角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取的中点，由题意可证得，，，再由线面垂直的判定定理即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面法向量，再由二面角的向量公式代入即可得出答案.
【小问1详解】
取的中点，连接，，
因为是等边的中线，所以，
因为是棱的中点，为的中点，所以，且，
因为，所以，且，
所以四边形是平行四边形，所以.
因为，为的中点，所以，从而，
又，平面，所以平面.
【小问2详解】
由（1）知平面，因为平面，
所以，又，，平面，
所以平面，从而平面.
以为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为等边的边长为，
所以，，，，.
设平面的一个法向量为，由，得，
令，则，，所以，
又平面的一个法向量为，
设平面与平面所成锐二面角为，
所以，则，
即平面与平面所成二面角的正弦值为.
20. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，是动点，且直线与的斜率之积等于.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）设直线和分别与直线交于点，问：是否存在点使得与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（1）
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）设P点坐标，根据两点斜率公式计算即可求解；
（2）作图，运用弦长公式和三角形面积公式即可求解.
【小问1详解】
设 ，依题意有 ，由 ，
即，
所以动点的轨迹方程为 ；
【小问2详解】
设，，
∴当 时，有，
由弦长公式得，
，
∴，解之得，
此时 ，点P的坐标为或 ;
所以存在点满足题意，且为或 .
21. 已知函数．
（1）若函数无极值，求实数的取值范围；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）求出导函数，根据导函数的正负判断原函数的增减性，即可得出答案；
（2）构造函数，求导，讨论导函数的正负，判断原函数的单调性，得到原函数的最值，然后判断是否合题意即可.
小问1详解】
依题意，，
令，得，
因为，
所以当时，，在上单调递减；
当时，，
故在上单调递增；
当时，有解，函数在上有增有减，此时函数存在极值．
综上，若函数无极值，则实数的取值范围为．
【小问2详解】
依题意，由，
得，
即，
设，，
则
设，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
所以在上，，且，，
①当，即时，，在上单调递减，，不符合题意，舍去，
②当，即时，
（I）若且，即，
，使得，当时，，在内单调递减，，不符合题意，舍去，
（II）若且，即，
，使得，
当时，，
当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，，
所以恒成立，符合题意；
（III）若且，即，恒成立，
在上单调递增，则，符合题意．
综上，实数的取值范围为．
【点睛】关键点点睛：恒成立问题，可考虑直接构造函数，分类讨论求出函数的最值进行处理.
22. 在直角坐标系中，直线过点，且其倾斜角为，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）写出直线的参数方程与曲线的直角坐标方程；
（2）当时，直线与曲线交于两点（点在点的上方），求的值．
【答案】（1）（为参数），；
（2）.
【解析】
【分析】（1）直接写出直线的参数方程；根据代入曲线的极坐标方程，整理化简即可求得其直角坐标方程；
（2）联立直线参数方程和曲线的极坐标方程，根据参数的几何意义，即可求得.
【小问1详解】
直线的参数方程为（为参数）．
将代入，
得，即，
所以曲线的直角坐标方程为．
【小问2详解】
由题意，得（为参数），
代入，整理，得．
设点对应的参数分别为，
则，且在曲线外，
故，
解得，所以，
所以的值为．
23. 已知函数．
（1）当时，解不等式；
（2）设，且的最小值为t．若，求的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将代入中，然后利用零点分段法解不等式即可；
（2）先利用绝对值三角不等式求出的最小值，再利用基本不等式求出的最小值.
【小问1详解】
当时，，
原不等式可化为，①
当时，不等式①可化为，解得，此时；
当时，不等式①可化为，此时无解；
当时，不等式①可化为，解得，此时
综上，原不等式的解集为．
【小问2详解】
由题意得，．
所以的最小值为，则，由，得，
．成都外国语学校高2021级高三上期末考试
数学试题（理科）
（总分：150分，时间：120分钟）
第I卷（共60分）
一 选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）
1. 已知集合，则（ ）
A B. C. D.
2. 命题“，”的否定为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3. 已知i为虚数单位，复数满足，则（ ）
A. B. 1 C. D. 2
4. 已知向量，若，则实数的值为（ ）
A. 1 B. 0 C. D.
5. 设函数满足对，都有，且在上单调递增，，，则函数的大致图象是（ ）
A. B.
C D.
6. 已知x和y满足约束条件，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7. 随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，，，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是（ ）
A. B. C. D.
8. 等腰直角三角形中，，该三角形分别绕所在直线旋转，则2个几何体的体积之比为（ ）
A. B. C. D.
9. 在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，若，则的形状为（ ）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形
10. 已知函数的定义域为，其导函数为，若，，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
11. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在上，点在轴上，，，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
12. 已知，，，则（ ）
A. B.
C. D.
第II卷（共90分）
二 填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为________.
14. 已知，，则_________
15. 写出经过坐标原点，且被圆截得的弦长为的直线的方程__________.
16. 已知抛物线的焦点为，经过的直线与抛物线交于两点，设点M在抛物线的准线上，若是等腰直角三角形，则______.
三 解答题（本题共6道小题，共70分）
17. 在等差数列中，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
18. 某日数学老师进行了一次小测验，两班一共有100名学生参加了测验，成绩都在内，按照，，…，分组，得到如下频率分布直方图：
（1）求图中的值；
（2）求两班全体学生成绩的平均数；（每组数据以区间中点值为代表）
（3）若根据分层抽样方法从测试成绩在内学生中抽取7人进行分析，再随机选取3人进行座谈，成绩在内学生人数记为X，求X的期望值.
19. 如图，在四棱锥中，已知，是等边三角形，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，求平面与平面夹角正弦值.
20. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，是动点，且直线与的斜率之积等于.
（1）求动点轨迹方程；
（2）设直线和分别与直线交于点，问：是否存在点使得与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
21. 已知函数．
（1）若函数无极值，求实数的取值范围；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
22. 在直角坐标系中，直线过点，且其倾斜角为，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）写出直线的参数方程与曲线的直角坐标方程；
（2）当时，直线与曲线交于两点（点在点的上方），求的值．
23. 已知函数．
（1）当时，解不等式；
