第07讲 空间直线﹑平面的垂直（二）
知识点1：二面角
(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；
(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.
(3)二面角的范围：[0，π].
知识点 2:平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
判定定理 一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直 α⊥β
性质定理 如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 l⊥α
【题型 1 求二面角】
【典例1】如图，已知平面与底面所成角为，且．
(1)求证：平面；
(2)求二面角的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先根据线面垂直的性质可得，再利用勾股定理可得，再根据线面垂直的判定定理即可得证；
（2）先说明为二面角的平面角，根据与底面所成角的正切值求出，再解即可.
【详解】（1）因为平面，平面，所以，
又由已知得，，
则，即，
又平面，
所以平面；
（2）因为平面，平面，所以，
所以为二面角的平面角，
因为平面与底面所成角为，
所以为与底面所成角，由，得，
在中，，则，
所以二面角的大小为．
【变式1-1】如图，边长为2的两个等边三角形，若点到平面的距离为，则二面角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设的中点为E，过点A作，说明为二面角的平面角；证明平面，从而证明平面，解直角三角形，即可求得答案.
【详解】设的中点为E，连接，过点A作，垂足为F，
因为均为等边三角形，故，
故为二面角的平面角；
又平面，故平面，
而平面，故，
又，平面，
故平面，则点A到平面的距离为，
又为等边三角形，边长为2，故，
故在中，，则，即，
故二面角的大小为，
故选：A
【变式1-2】将两个相同的正棱锥的底面重叠组成的几何体称为“正双棱锥”.如图，在正双三棱锥中，两两互相垂直，则二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】取中点，连接，说明为二面角的平面角，通过几何关系计算求解.
【详解】取中点，连接，交平面于点，
由正棱锥性质及对称性易知为的中心，且，
故为二面角的平面角，
设正三棱锥侧棱长为2，易得，
则，
在中由余弦定理得.
故选：D.
【变式1-3】如图，在三棱锥中，平面平面，，， E、F分别为棱、的中点．
(1)求证：直线平面；
(2)若直线与平面所成的角为，直线与平面所成角为，求二面角的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据E，F分别是棱、的中点得到，从而可证直线平面；
（2）利用线面角与二面角的定义，结合线面垂直的判定定理求得所需线面角与二面角，从而得解.
【详解】（1）∵E，F分别是棱、的中点，∴在中，，
∵平面，平面，∴直线平面；
（2）∵平面平面，平面平面，
平面，，∴平面，
∴是直线与平面所成角，
∵直线与平面所成角为，
∴，∴，∵平面，， 平面，
∴，，∵，，，平面，
∴平面，∴是直线与平面所成角，
∵直线与平面所成角为，∴，
∴，，设，
则，，，，
∴为等腰直角三角形，，
∵，，∴是二面角的平面角，
∴二面角的大小为．
【题型 2由二面角大小求线段长度或距离】
【典例2】如图，已知四棱锥的底面是菱形，，对角线交于点平面，平面是过直线的一个平面，与棱交于点，且．
(1)求证：；
(2)若平面交于点，求的值；
(3)若二面角的大小为，求的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3).
【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的判定、性质推理即得.
（2）利用平面的基本事实证得三点共线，作于，利用平行关系推理计算即得.
（3）作出二面角的平面角，结合（2）的信息计算即得.
【详解】（1）四棱锥的底面是菱形，，又平面，平面，则平面，
而平面平面，平面，
所以.
（2）由平面，平面，得平面平面，
而，平面，于是平面，又平面，
则，即三点共线，由平面，平面，则，
如图，在中，过点作的垂线，垂足为，于是，
设，由，得，，，
从而，所以，即．
（3） 过点作于点，连接，
由平面，平面，则，而平面，
则平面，而平面，于是，
则有为二面角的平面角，即，
在菱形中，由，得，则，
由（2）得，所以.
【变式2-1】已知二面角为，点、分别在、内且，到的距离为，到的距离为, 则两点之间的距离为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意作交于，连接，作，，证明为二面角的平面角，以及，；在，中分别求出，，再在中，利用余弦定理求解即可.
【详解】如图，作交于，连接，作，，
因为，，，平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，所以为二面角的平面角，
即，
因为平面，平面，所以，
又，， ，，所以，
所以，
同理，所以，
在中，，，所以，
在中，，，所以，
在中，，
所以.
故选：.
【变式2-2】已知二面角为60°，点，，C为垂足，点，，D为垂足，且，，则线段的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先过点在平面内作，得到二面角的平面角，即由余弦定理求得,再证明，从而解得长.
【详解】
如图，在平面内，过点作，且使,连接，因，则即二面角的平面角，
在中，由余弦定理： ，则，
又，易得矩形,故,且
因平面即得：平面，从而平面,则有,
在中，.
故选：A.
【题型 3面面垂直的判定】
【典例3】如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，平面为棱的中点，连接.求证：
(1)平面；
(2)平面平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）作出辅助线，得到线线平行，进而得到线面平行；
（2）由线面垂直得到线线垂直，进而得到线面垂直，面面垂直.
【详解】（1）连接，交于点，连接，
因为底面为矩形，所以为的中点，
又为的中点，所以，
因为平面，平面，
故平面；
（2）平面，平面，
∴，
∵底面为矩形，
.
又，平面，
平面.
又平面，
平面平面.
【变式3-1】（多选题）如图，在三棱锥中，若，，是的中点，则下列说法中错误的是（ ）．
A．平面平面
B．平面平面
C．平面平面，且平面平面
D．平面平面，且平面平面
【答案】ABD
【分析】由已知可证明平面，由线面垂直可推出面面垂直，判断选项；在选项的基础上可判断选项，D不一定垂直；对于选项可考察动态变化情况，知其不一定垂直..
【详解】因为，且是的中点，所以，同理，，
由于，平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以平面平面，
又平面，所以平面平面，
故正确；
由于平面平面，若平面平面，而平面平面，
则平面,但已知条件不能保证平面,所以平面与平面不一定垂直，故错误；同理平面与平面不一定垂直，故错误；
由于，所以当时平面，当长度趋于0时，二面角接近，故平面与平面不一定垂直，故错误；
故选：.
【变式3-2】正三棱柱的底面边长与侧棱长都是2，分别是的中点．
(1)求三棱柱的全面积；
(2)求证：∥平面；
(3)求证：平面⊥平面．
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）利用棱柱的表面积公式进行求解即可；
（2）利用线面平行的判定定理进行证明即可；
（3）利用面面垂直的判定定理证明即可.
【详解】（1）因为三棱柱是正三棱柱，且棱长均为2，所以底面是正三角形，侧面均为正方形，
故三棱柱的全面积为；
（2）在正三棱柱中，因为分别是的中点，
可知，又∥，
所以四边形是平行四边形，故∥，
又平面，平面，
所以∥平面．
（3）连，设与相交于，则由侧面为正方形，可知与互相平分．
在中，，在中，，故，
连，则．
又，，连，则，
又与相交于，，平面，所以平面．
因为平面，所以平面平面．
【题型4面面垂直性质定理的应用】
【典例4】如图，在矩形中，，，E为的中点，把和分别沿AE，DE折起，使点B与点C重合于点P．
(1)求证：平面⊥平面；
(2)求二面角的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由线线垂直得到线面垂直，进而得到线面垂直；
（2）作出辅助线，得到线线垂直，得到就是二面角的平面角，结合边长求出二面角的大小.
【详解】（1）由⊥，得⊥，同理，⊥．
又∵，平面，
∴⊥平面．
又平面，
∴平面⊥平面．
（2）如图所示，取的中点F，连接，
∵四边形为矩形，
∴，
因为，所以⊥，⊥，
故就是二面角的平面角．
又⊥平面，平面，
所以⊥，
∵，
∴，
∴．
∴二面角P－AD－E的大小为．
【变式4-1】如图，四棱锥的底面是边长为1的菱形，，平面ABCD，，M为PB的中点．
(1)求证：平面平面PDB；
(2)求CP与平面MAC所成角的正弦值．
【答案】(1)证明过程见讲解.
(2)
【分析】（1）利用直线与平面的垂直的性质，平面与平面的判断定理进行证明.
（2）利用空间向量求解.
【详解】（1）因为四边形为菱形，所以.
因为平面，因为平面，
所以，因为，
平面，所以平面，
因为平面，
所以平面平面.
（2）连接，交于，
因为四边形为菱形，所以为的中点，
因为M为PB的中点，所以为的中位线，
所以，因为平面ABCD，
所以平面，如图建立空间直角坐标系.
根据题意有,,
所以，
易知平面的一个法向量为，设CP与平面MAC所成角为，
则，
所以CP与平面MAC所成角的正弦值.
【变式4-2】如图，在四棱柱中，底面为正方形，平面．
(1)证明：平面平面；
(2)设，求四棱锥的高．
【答案】(1)证明见解析；
(2)1
【分析】（1）根据线面垂直的性质及判定、面面垂直的判定证明即可；
（2）根据几何图形特征转化求出到平面的距离即可.
【详解】（1）因为底面为正方形，平面，平面,
所以，
又平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面；
（2）易知平面，故到平面的距离即到平面的距离，
过作，平面平面，
由上结论可知平面，
由题意面为正方形，平面，平面，则，
所以,
显然是等腰直角三角形，
又四边形为平行四边形，故是等腰直角三角形，
所以,
故四棱锥的高为1.
【题型 5空间垂直的转化】
【典例5】如图，四棱锥中，，，，平面ABCD⊥平面PAC．
(1)证明：；
(2)若，M是PA的中点，求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据底面的几何关系，可证明，再根据面面垂直的性质定理，即可证明；
（2）首先求点到平面的距离，再根据体积转化，即可求解.
【详解】（1）取BC中点N，连接AN，则，又，，
所以四边形ANCD为正方形，则，，
又在中，，则，所以，即．
又平面ABCD⊥平面PAC，平面平面，平面，
所以平面，又面PAC，所以．
（2）连接，交于O，连接，
因为平面，平面，所以
由于，，又因为，为的中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面
所以，
，
又因为M为PA中点，所以
【变式5-1】如图，四棱锥中，，，，平面平面.
(1)证明：；
(2)若，M是的中点，求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）利用直角梯形的性质计算证得，再利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理即得.
（2）取的中点，连接，利用面面垂直的性质结合等体积法求出体积.
【详解】（1）在四棱锥中，，，，
四边形是直角梯形，，，，
于是，即，而平面平面，
平面平面，平面，则平面，又平面，
所以.
（2）取的中点，连接，由，得，，
由平面平面，平面平面，平面，得平面，
由M是的中点，得点到平面的距离，又，
显然，所以三棱锥的体积.
【变式5-2】如图，在四棱锥中，，，平面平面．
(1)证明：平面；
(2)已知，且，求点D到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，利用面面垂直的判定定理，中点平面，结合，即可证得平面；
（2）由（1）可知，平面，中点平面，设点到平面的距离为，结合，列出方程，即可求解．
【详解】（1）因为平面平面，平面平面，
且， 平面，所以平面，
又因为，所以平面．
（2）由（1）可知，平面，且平面，所以平面平面，
过作直线的垂线，垂足为，则平面，
由，，
可得，，，，
因为平面，平面，所以，
则，可得，
在直角梯形中，因为，可得，
所以，在等腰中，，
取的中点，连接，可得，且，
所以，
设点到平面的距离为，
由，可得，解得，
所以点到平面的距离为．
1．（多选题）如图，在直棱柱中，平面平面，且四边形与四边形都是边长为1的正方形，连接，则下列说法正确的是（ ）
A．异面直线与的夹角为
B．二面角的平面角为
C．与平面所成的角为
D．点到平面的距离与点到平面的距离之比为
【答案】AB
【分析】由已知找到异面直线所成角、二面角的平面角，即可判断A、B；利用等体积法求点面距，根据线面角的定义判断C，进而判断D.
【详解】A：由题设，故异面直线与的夹角，即为或其补角，
又四边形与四边形都是边长为1的正方形，则，
由，面面，面面，面，
所以面，面，则，故，
所以为等边三角形，故异面直线与的夹角为，对；
B：由，面面，面面，面，
所以面，面，即，又，
由图知：为二面角的平面角为，对；
C：令到面的距离为，又，
所以，则，
故与平面所成的角正弦值为，即与平面所成角不为，错；
D：由面，面，则面面，
面面，所以到平面的距离为到的距离为，
令到平面的距离为，又，则，故，
综上，点到平面的距离与点到平面的距离之比为，错.
故选：AB
2．（多选题）直三棱柱顶点都在球的表面上，，侧面侧面，则（ ）
A．四棱锥的体积为
B．三棱锥的体积为
C．球的表面积为
D．平面截该三棱柱所得截面的面积为
【答案】ABC
【分析】首先可证明，以及平面，再结合体积公式，和等体积转化，可判断AB；首先确定球心的位置，再求球的半径，根据球的表面积公式，即可求解；
首先确定截面图形，再求面积，判断D.
【详解】因为平面，平面，
所以，且侧面侧面，
所以，且，平面，
所以平面，
因为，所以，，
所以四棱锥的体积，故A正确；
B.，故B正确；
C.取的中点，连结，点是线段的中点，
由条件可知，垂直于上下底面，且分别是上下底面三角形外接圆的圆心，
所以点是三棱柱外接球的球心，，
所以球的表面积为，故C正确；
D.点三点共线，所以平面截该三棱柱所得截面为三角形，
其中，，，
所以，所以，所以，
故D错误.
故选：ABC
3．（多选题）对于两个平面，和两条直线，，下列命题中假命题是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则
【答案】ABD
【分析】根据线线，线面，面面的位置关系，即可判断选项.
【详解】A. 若，，则或，故A错误；
B. 若，，则与平行或相交或在内，故B错误；
C. 若，，，则，故C正确；
D. 若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则或相交，故D错误.
故选：ABD
4．在三棱锥中，平面，底面是边长为的正三角形，二面角的大小为，则该三棱锥的外接球的体积为 .
【答案】/
【分析】根据给定条件，结合线面垂直的判定性质求出，再将三棱锥补形成三棱柱，借助三棱柱的外接球求解即得.
【详解】取的中点为，连接，，是边长为的正三角形，
则，，又平面，平面，则，又，平面，
于是平面，而平面，则，因此为二面角的平面角，
即，则，将三棱锥补成三棱柱（为底面、为侧棱），
则该三棱柱的外接球就是三棱锥的外接球，
设三棱锥的外接球半径为，显然的外接圆半径，
因此，所以球的体积为.
故答案为：
【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解.
5．一斜坡的坡面与水平面所成的二面角大小为，斜坡有一直道，它和坡脚水平线成角，沿这条直道向上100米后，升高了 米．
【答案】
【分析】作出示意图，作出坡角，即二面角的平面角，结合直道的长，求解三角形，即可求得答案.
【详解】如图，CD表示斜坡上的直道，AB表示坡脚水平线，
由题意知CD＝100米，作DH⊥过BC的水平面，垂足为H，线段DH的长度就是所求的高度，
在平面DBC内，过点D作，连接GH，
∵平面BCH，平面BCH，
∴，又，平面DGH，
∴平面DGH，又平面DGH，
∴，
∴为坡面DGC与水平面BCH所成二面角的平面角，则，
依题意，,则,
故（米），
故答案为：
6．如图，在三棱锥中，是直二面角，，，则异面直线与所成角的余弦值为 ．
【答案】/0.5
【分析】由题意结合面面垂直的性质以及线面垂直的性质，可得各边的位置关系及数量关系，借助中位线分别作出异面直线与的平行线，可将求异面直线夹角转化为求相交直线夹角.
【详解】由是直二面角，故平面平面，
由，故、，
又平面平面，平面，
故平面，又平面，故，
由，，则，
又，故，
则，
取、、、中点、、、，
连接、、、、，
可得、，，，
故异面直线与所成角与直线与所成角相等，
亦可得，，，
故，则，
故，即为等边三角形，
故，即异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为：.
7．如图，已知四边形ABCD是菱形，，点E为AB的中点，把沿DE折起，使点A到达点P的位置，且平面平面BCDE，则异面直线PD与BC所成角的余弦值为 ．
【答案】/
【分析】或其补角就是异面直线PD与BC所成的角，在中结合已知条件得出相关线段的长度，由余弦定理可得答案.
【详解】因为，故或其补角就是异面直线PD与BC所成的角，
连接PA，易知，，
因为平面平面，菱形中，，
即是正三角形，为中点，则，所以，又，
所以即为平面与平面所成的二面角的平面角，
因为平面平面，
所以，，所以，
所以，在中，
由余弦定理得，
所以异面直线PD与BC所成角的余弦值为．
故答案为：.
8．已知正方体的棱长为，为棱的中点，平面过点，，则平面截正方体所得截面的周长为 .
【答案】/
【分析】取的中点，利用线面垂直的判定定理，证得平面，得到平面截正方体的截面为，进而求得截面的周长.
【详解】取的中点，连接，
在正方形中，因为分别为的中点，
可得，所以，
因为，所以，可得，
在正方体中，平面，
因为平面，所以
又因为分别为的中点，所以，所以，
因为，且平面，所以平面，
又因为平面，所以，
在正方体中，由平面，且平面，可得，
因为，且，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
因为且平面，所以平面，
即平面为平面，取的中点，连接，
因为、分别为、的中点，则，
因为且，故四边形为平行四边形，故，
所以，，故、、、四点共面，则截面为，
由正方体的棱长为，
可得，，
，所以所得截面周长为.
故答案为：.
9．如图1，在矩形ABCD中，，．将△BCD沿BD翻折至，且，如图2．
(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面ABD夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先证明平面，再根据面面垂直的判定定理即可证明结论；
（2）作，在平面内过点E作，即作出平面与平面ABD所成二面角的平面角，解三角形求出线相段的长，解即可求得答案.
【详解】（1）由题意知，则，
故，又，且平面，
故平面，而平面，
故平面平面；
（2）作，垂足为E，在平面内过点E作，交于F，连接，
则即为平面与平面ABD夹角或其补角，
由题意知，，
故，，
又在中，，则，
则，
又平面，平面，故，
则，
故，即，
在中，,
故平面与平面ABD夹角的余弦值为．
10．如图，在三棱台中，平面，，，.
(1)求证：平面平面；
(2)求与平面所成角正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用线线垂直性质定理证明；
（2）将棱台补全为棱锥，利用等体积法求到平面的距离，结合线平面角的定义求与平面所成角的正弦值.
【详解】（1）由，得，
由平面，平面，则，
又平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面．
（2）将棱台补全为如下棱锥，
由，，，易知，，
由平面，平面，则，，，
所以，.
可得，
设到平面的距离为h，又，
则，可得，
设与平面所成角为，，则.
11．如图，在四棱锥中，平面，底面是等腰梯形，，．
(1)求证：平面平面；
(2)若，，直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)12
【分析】（1）先证平面，再证面面垂直；
（2）根据条件，求四棱锥的底面积和高，进而求其体积.
【详解】（1）平面，平面，所以．
，，平面且，所以平面，
又平面，所以：平面平面．
（2）设和相交于点，连接．如图：
由（1）知，平面，所以是直线与平面所成的角，
，所以．
四边形为等腰梯形，，
∴，均为等腰直角三角形，
梯形的高为，
梯形的面积为．
在等腰三角形中，，∴，
∴，，
四棱锥的体积为．
12．如图，在四棱柱中，底面为矩形，侧面为菱形，平面平面，．
(1)求证：平面；
(2)求四棱柱的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）可证四边形为平行四边形，由线面平行的判定定理可证；
（2）取中点为，连结，由面面垂直的性质定理可证平面，从而求解棱柱体积.
【详解】（1）在四棱柱中，，，
所以，所以四边形为平行四边形，
所以，又平面平面，
所以平面．
（2）
取中点为，连结．
在四棱柱中，，
因为四边形为菱形，所以，
又因为，所以为等边三角形，所以．
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
所以四棱柱的高．
因为底面为矩形，，
所以四棱柱的底面积为，
故四棱柱的体积为．
13．如图，四棱锥的底面是平行四边形，E是上一点，且，若平面平面．
(1)求证：平面；
(2)棱上是否存在点F，使得∥平面？请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在；理由见解析
【分析】（1）由面面垂直的性质知平面，故，再由得平面；
（2）取F为的中点，G为的中点，可证四边形是平行四边形，由线面平行判断可证∥平面.
【详解】（1）∵四边形是平行四边形，且，
∴四边形是菱形，且，
∵平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，
．
与相交，平面，
平面．
（2）当F为的中点时，平面．理由如下：
取F为的中点，G为的中点，连接，
则，且．
∵底面为菱形，且E为的中点，
，且．
，且．
∴四边形是平行四边形，．
平面平面平面．
14．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，是边长为2的正三角形，延长至点，使得为线段的中点．
(1)证明：平面．
(2)若，求四棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用线面平行的判定证明即可.
（2）作出辅助线，合理转化距离，几何法求解体积即可.
【详解】（1）连接，交于点，连接，
因为底面为矩形，所以为线段的中点．
又为线段的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面．
（2）
记的中点为，连接，，
因为是边长为2的正三角形，所以．
又平面平面，且平面平面，且平面，
所以平面，则．
又，，所以平面，
则．
因为四边形为矩形，所以，
则，
即，解得．
因为为线段的中点，所以到的距离等于到的距离的2倍，
所以四棱锥的体积．
15．如图1，在等边中，是边上的高，、分别是和边的中点，现将沿翻折成使得平面平面，如图2.
(1)求证：平面；
(2)在线段上是否存在一点，使？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，且
【分析】（1）利用中位线的性质可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；
（2）在线段上取点，使，过点在平面内作于点，连接，利用面面垂直的性质推导出平面，可得出，可得出，推导出，可得出平面，再利用线面垂直的性质可得出结论.
【详解】（1）证明：如图1，在中，、分别是和边的中点，所以，，
因为平面，平面，所以，平面.
（2）解：在线段上取点，使，过点在平面内作于点，连接.
由题意得，平面平面.
因为，平面平面，平面平面，平面，
所以，平面，
因为平面，所以，.
在中，因为，，所以，，
所以，，
翻折前，为等边三角形，则，
因为为的中点，所以，，即，
翻折后，仍有，所以，，故，
在中，，因为，则.
又因为，则平分，
因为是斜边上的中线，则，且，
所以，是等边三角形，则，
又因为，、平面，所以，平面，
因为平面，所以，，
综上，在线段上存在一点，且当时，.
16．如图1，在矩形ABCD中，，O是AC与BE的交点，将△ABE沿BE折起到图2中的位置，得到四棱锥.
(1)证明：平面；
(2)当平面平面时，若，求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据，证得，得出，得到，结合线面垂直的判定定理，即可证得平面；
（2）由和平面平面，证得平面，求得，再求得，结合锥体的体积公式，即可求解.
【详解】（1）证明：在矩形ABCD中，，O是与的交点，
可得，所以，
因为，且，
所以，可得，所以，
在图（2）中，可得，
因为，且平面，所以平面；
（2）解：由（1）知，，
因为平面平面，且平面，且平面平面，
所以平面，
又因为，且，所以，
可得，所以，
在图（1）中，连接，由,可得相似比为，
设边的高为，边的高为，可得，
因为，可得，
则，
又由，
所以三棱锥的体积.
第07讲 空间直线﹑平面的垂直（二）
知识点1：二面角
(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；
(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.
(3)二面角的范围：[0，π].
知识点 2:平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
判定定理 一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直 α⊥β
性质定理 如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 l⊥α
【题型 1 求二面角】
【典例1】如图，已知平面与底面所成角为，且．
(1)求证：平面；
(2)求二面角的大小．
【变式1-1】如图，边长为2的两个等边三角形，若点到平面的距离为，则二面角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】将两个相同的正棱锥的底面重叠组成的几何体称为“正双棱锥”.如图，在正双三棱锥中，两两互相垂直，则二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】如图，在三棱锥中，平面平面，，， E、F分别为棱、的中点．
(1)求证：直线平面；
(2)若直线与平面所成的角为，直线与平面所成角为，求二面角的大小．
【题型 2由二面角大小求线段长度或距离】
【典例2】如图，已知四棱锥的底面是菱形，，对角线交于点平面，平面是过直线的一个平面，与棱交于点，且．
(1)求证：；
(2)若平面交于点，求的值；
(3)若二面角的大小为，求的长．
【变式2-1】已知二面角为，点、分别在、内且，到的距离为，到的距离为, 则两点之间的距离为 （ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】已知二面角为60°，点，，C为垂足，点，，D为垂足，且，，则线段的长度为（ ）
A． B． C． D．
【题型 3面面垂直的判定】
【典例3】如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，平面为棱的中点，连接.求证：
(1)平面；
(2)平面平面.
【变式3-1】（多选题）如图，在三棱锥中，若，，是的中点，则下列说法中错误的是（ ）．
A．平面平面
B．平面平面
C．平面平面，且平面平面
D．平面平面，且平面平面
【变式3-2】正三棱柱的底面边长与侧棱长都是2，分别是的中点．
(1)求三棱柱的全面积；
(2)求证：∥平面；
(3)求证：平面⊥平面．
【题型4面面垂直性质定理的应用】
【典例4】如图，在矩形中，，，E为的中点，把和分别沿AE，DE折起，使点B与点C重合于点P．
(1)求证：平面⊥平面；
(2)求二面角的大小．
【变式4-1】如图，四棱锥的底面是边长为1的菱形，，平面ABCD，，M为PB的中点．
(1)求证：平面平面PDB；
(2)求CP与平面MAC所成角的正弦值．
【变式4-2】如图，在四棱柱中，底面为正方形，平面．
(1)证明：平面平面；
(2)设，求四棱锥的高．
【题型 5空间垂直的转化】
【典例5】如图，四棱锥中，，，，平面ABCD⊥平面PAC．
(1)证明：；
(2)若，M是PA的中点，求三棱锥的体积．
【变式5-1】如图，四棱锥中，，，，平面平面.
(1)证明：；
(2)若，M是的中点，求三棱锥的体积.
【变式5-2】如图，在四棱锥中，，，平面平面．
(1)证明：平面；
(2)已知，且，求点D到平面的距离．
1．（多选题）如图，在直棱柱中，平面平面，且四边形与四边形都是边长为1的正方形，连接，则下列说法正确的是（ ）
A．异面直线与的夹角为
B．二面角的平面角为
C．与平面所成的角为
D．点到平面的距离与点到平面的距离之比为
2．（多选题）直三棱柱顶点都在球的表面上，，侧面侧面，则（ ）
A．四棱锥的体积为
B．三棱锥的体积为
C．球的表面积为
D．平面截该三棱柱所得截面的面积为
3．（多选题）对于两个平面，和两条直线，，下列命题中假命题是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则
4．在三棱锥中，平面，底面是边长为的正三角形，二面角的大小为，则该三棱锥的外接球的体积为 .
5．一斜坡的坡面与水平面所成的二面角大小为，斜坡有一直道，它和坡脚水平线成角，沿这条直道向上100米后，升高了 米．
6．如图，在三棱锥中，是直二面角，，，则异面直线与所成角的余弦值为 ．
7．如图，已知四边形ABCD是菱形，，点E为AB的中点，把沿DE折起，使点A到达点P的位置，且平面平面BCDE，则异面直线PD与BC所成角的余弦值为 ．
8．已知正方体的棱长为，为棱的中点，平面过点，，则平面截正方体所得截面的周长为 .
9．如图1，在矩形ABCD中，，．将△BCD沿BD翻折至，且，如图2．
(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面ABD夹角的余弦值．
10．如图，在三棱台中，平面，，，.
(1)求证：平面平面；
(2)求与平面所成角正弦值.
11．如图，在四棱锥中，平面，底面是等腰梯形，，．
(1)求证：平面平面；
(2)若，，直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积．
12．如图，在四棱柱中，底面为矩形，侧面为菱形，平面平面，．
(1)求证：平面；
(2)求四棱柱的体积．
13．如图，四棱锥的底面是平行四边形，E是上一点，且，若平面平面．
(1)求证：平面；
(2)棱上是否存在点F，使得∥平面？请说明理由．
14．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，是边长为2的正三角形，延长至点，使得为线段的中点．
(1)证明：平面．
(2)若，求四棱锥的体积．
15．如图1，在等边中，是边上的高，、分别是和边的中点，现将沿翻折成使得平面平面，如图2.
(1)求证：平面；
(2)在线段上是否存在一点，使？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
16．如图1，在矩形ABCD中，，O是AC与BE的交点，将△ABE沿BE折起到图2中的位置，得到四棱锥.
(1)证明：平面；
(2)当平面平面时，若，求三棱锥的体积.
