(共6张PPT)
24.3 圆周角
第1课时 圆周角定理及其推论
1.[教材P27定义变式]如图，其中圆周角有（ C ）
A.6个 B.5个
C.4个 D.3个
C
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2.[教材P29练习T2变式]如图，在☉O中，若∠ABC＝25°，则∠AOC的度数为（ A ）
A.50° B.40°
C.35° D.25°
A
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3.[教材P29练习T1变式]如图，点A，B，C，D在☉O上，则图中一定与∠ABC相等的角是（ D ）
A.∠BAD B.∠ACD
C.∠BCD D.∠ADC
D
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4.[教材P29例1变式]如图，C，D是☉O上直径AB两侧的两点，若∠ABC＝35°，则∠BDC等于（ D ）
A.85° B.75°
C.65° D.55°
D
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5.[教材P28推论变式]如图，在☉O中，弦AB⊥弦AC于点A，且AB＝8，AC＝6，则☉O的半径为 5 .
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5(共25张PPT)
24.3 圆周角
第1课时 圆周角定理及其推论
1.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的 一半 .
一半
2.推论1：在同圆或等圆中，同弧或 等弧 所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也 相等 .
等弧
相等
3.推论2：半圆或直径所对的圆周角是 直角 ；90°的圆周角所对的弦是直径.
直角
圆周角的定义
1.【知识初练】下列图形中的角是圆周角的是( B )
B
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2.如图，四边形ABCD的顶点A，B，C在圆上，且边CD与该圆交于点E，AC，BE交于点F.下列角中，是所对的圆周角的是( C )
A.∠ADE B.∠AFE
C.∠ABE D.∠ABC
C
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圆周角定理
3.【知识初练】[2023·芜湖二十九中一模]如图，点A，B，C在☉O上，∠BAC＝40°，连接OB，OC，则∠BOC的度数是( D )
A.60° B.70°
C.75° D.80°
D
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4.[2023·广元中考]如图，AB是☉O的直径，点C，D在☉O上，连接CD，OD，AC，若∠BOD＝124°，则∠ACD的度数是( C )
A.56° B.33°
C.28° D.23°
C
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圆周角定理的推论
5.[2023·合肥月考]如图，A，B，C，D是☉O上的点，则图中与∠A相等的角是( D )
A.∠B B.∠C
C.∠DEB D.∠D
D
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6.如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A＝25°，则∠B的度数是( C )
A.25° B.55°
C.65° D.75°
C
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7.如图，A，B，P，C是☉O上的四个点，PC是∠APB的平分线，且∠ACB＝60°，则△ABC是 等边 三角形.
等边
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8.如图，点A，B，C，D都在☉O上，AB＝AD，BA，CD的延长线交于点E，且AB＝AE，求证：BC是☉O的直径.
证明：如图，连接BD.
∵AE＝AD＝AB，
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∴∠E＝∠ADE，∠ADB＝∠ABD.
∵∠E＋∠EDB＋∠ABD＝180°，
∴2∠EDA＋2∠ADB＝180°，
∴∠EDA＋∠ADB＝90°，
∴∠BDC＝∠EDB＝90°，
∴BC是☉O的直径.
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9.[2023·山西中考改编]如图，四边形ABCD的顶点都在☉O上，AC，BD为对角线，BD经过圆心O.若∠BAC＝40°，则∠DBC的度数为( B )
A.40° B.50°
C.60° D.70°
B
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10.[2023·滁州月考]如图，半径为3的☉A经过原点O和点C(0，2)，B是y轴左侧☉A优弧上一点，则tan∠OBC的值为 .
思路点睛：根据同弧所对的圆周角相等，将所求正切的角进行转化即可.
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11.[2023·安徽中考改编]已知四边形ABCD的顶点都在☉O上，对角线BD是☉O的直径.
(1)如图①，连接OA，CA，若OA⊥BD，求证：CA平分∠BCD；
(1)证明：∵对角线BD是☉O的直径，OA⊥BD，
∴AB＝AD，∴＝，∴∠BCA＝∠DCA，
∴CA平分∠BCD.
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(2)如图②，E为☉O内一点，满足AE⊥BC，CE⊥AB，若BD＝3，AE＝3，求弦BC的长.
(2)解：∵对角线BD是☉O的直径，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°，∴DC⊥BC，DA⊥AB.
∵AE⊥BC，CE⊥AB，∴DC∥AE，DA∥CE，
∴四边形AECD为平行四边形，∴DC＝AE＝3.
又∵BD＝3，∴BC＝＝3.
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12.[几何直观]如图，△ABC内接于☉O，已知AB＝c，BC＝a，AC＝b，☉O的半径为R.
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(1)证明：如图，连接CO并延长交☉O于点D，连接BD，则∠D＝∠A，∠DBC＝90°，CD＝2R，
(1)求证：＝＝＝2R；
在Rt△BCD中，sin D＝，
∴sin A＝＝，∴＝2R.同理可证，＝2R，＝2R，∴＝＝＝2R.
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(2)若a＝5，∠A＝60°，求☉O的半径R.
(2)解：∵＝2R，∴＝2R，∴R＝.
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12.[几何直观]如图，△ABC内接于☉O，已知AB＝c，BC＝a，AC＝b，☉O的半径为R.
即时练透/圆周角定理的推论在隐圆问题中的应用
【思路点拨】在解决与动点有关的问题时，若出现垂直，则确定运动轨迹是以斜边为直径的圆.
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1.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，动点P在矩形的内部，连接PA，PB，PC，若∠APB＝90°，则PC长的最小值是 －2 .
－2
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2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3 cm，BC＝3 cm.D是BC边上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于点E，连接BE，在点D的运动过程中，线段BE长度的最小值是 cm .
cm
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点拨：∵CE⊥AD，即∠AEC＝90°，∴点E在以AC为直径的圆上.如图，取AC的中点M，以AC为直径作☉M，交AB于点N，连接BM，交☉M于点E'，易知点E在上(不含点C，含点N)，
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当BE最短时，点E位于点E'处，∵AC＝3 cm，∴AM＝CM＝ME'＝ cm，在Rt△BCM中，BM＝＝ cm，∴线段BE长度的最小值BE'＝BM－ME'＝ cm.
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12(共6张PPT)
24.3 圆周角
第2课时 圆内接四边形
1.[教材P30例2变式1]如图，四边形ABCD内接于☉O，且∠A∶∠C＝1∶2，则∠A的度数为（ C ）
A.30° B.45°
C.60° D.75°
C
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2.[教材P30例2变式2]如图，AB是☉O的直径，BC，CD，AD是☉O的弦，∠ABD＝50°，则∠C的度数是（ C ）
A.120° B.130°
C.140° D.150°
C
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3.[教材P30定理变式1]如图，四边形ABCD内接于☉O，E为直径AB延长线上一点，且AB∥DC，若∠A＝70°，则∠CBE的度数为 110° .
110°
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4.[教材P30定理变式2]如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形，＝，∠ABD＝33°，∠ACB＝44°.
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解：（1）∵＝，
∴∠ABD＝∠CBD＝33°，
∴∠ABC＝∠ABD＋∠CBD＝66°，
在△ABC中，∠BAC＝180°－∠ABC－∠ACB＝70°.
（1）求∠BAC的度数；
（2）求∠BCD的度数.
解：（2）∵∠DAC＝∠DBC＝33°，
∴∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝103°，
∴∠BCD＝180°－∠BAD＝77°.
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4(共23张PPT)
24.3 圆周角
第2课时 圆内接四边形
1.一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
2.圆内接四边形的对角 互补 ，且任何一个外角都 等于 它的内对角.
互补
等
于
圆内接多边形的概念
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1.【知识初练】如图，七边形ABCDEFG的七个顶点都在☉O上，所以七边形ABCDEFG是☉O的 内接七边形 ，☉O是七边形ABCDEFG的 外接圆 .
内接七边形
外接圆
2.下列说法正确的是( C )
A.圆内接多边形的各个顶点都在圆上或圆内
B.经过四边形各个顶点的圆叫做这个四边形的内接圆
C.圆内接四边形是指四个顶点都在这个圆上的四边形
D.一个圆只有一个内接四边形
C
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圆内接四边形的性质
3.【知识初练】 [2023·绍兴中考]如图，四边形ABCD内接于☉O，若∠D＝100°，则∠B的度数是 80° .
解题关键：圆内接四边形的对角互补.
80°
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4.[2023·广州月考]如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形，点E是BC延长线上一点，若∠BAD＝114°，则∠DCE的度数是( D )
A.94° B.124°
C.104° D.114°
D
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5.【教材改编题】[2023·安庆月考]若四边形ABCD是☉O的内接四边形，则∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比可能是( D )
A.3∶1∶2∶5 B.1∶2∶2∶3
C.2∶7∶3∶6 D.1∶2∶4∶3
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6.如图所示，等边三角形ABC的顶点A在☉O上，边AB，AC与☉O分别交于点D，E，F是劣弧DE上一点，且与D，E不重合，连接DF，EF，则∠DFE的度数为( C )
A.115° B.118°
C.120° D.125°
C
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7.[2023·蚌埠模拟]如图，四边形ABCD内接于☉O，AB是☉O的直径，∠ABD＝20°，则∠BCD的度数是( C )
A.90° B.100°
C.110° D.120°
C
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8.如图，四边形ABCD内接于☉O，延长AB，DC相交于点E，若BC＝BE，求证：DA＝DE.
证明：∵四边形ABCD内接于☉O，
∴∠BCE＝∠A.
∵BC＝BE，
∴∠BCE＝∠E，
∴∠A＝∠E，
∴DA＝DE.
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9.[2023·合肥模拟]如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上，连接AE，若∠ABC＝64°，则∠BAE的度数为( C )
A.64° B.40°
C.52° D.42°
C
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10.如图，四边形ABCD内接于☉O，AB为直径，∠C＝120°.若AD＝2，则AB的长为( D )
A. B.2 C.2 D.4
D
点拨：如图，连接OD，∵四边形ABCD内接于☉O，
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∴∠A＋∠C＝180°.∵∠C＝120°，∴∠A＝60°.
∵OD＝OA，∴△AOD是等边三角形，
∴AD＝OD＝OA.∵AD＝2，∴OA＝OB＝2，
∴AB＝2＋2＝4.故选D.
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11.如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形，延长DC至点E，若∠BOD＝80°，则∠BCE的度数为( A )
A.40° B.70°
C.80° D.90°
A
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12.[2023·合肥月考]如图，四边形ABCD内接于☉O，若∠1＋∠2＝64°，则∠3＋∠4＝ 64 °.
64
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点拨：如图.∵四边形ABCD内接于☉O，
∴∠DAB＋∠DCB＝180°，∠B＋∠D＝180°.
∵OA＝OC，∴∠5＝∠OCA，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋2∠5＝180°.
∵∠1＋∠2＝64°，
∴∠3＋∠4＝180°－64°－2∠5＝116°－2∠5.
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∵∠1＋∠2＋∠B＝180°，∠B＋∠D＝180°，
∴∠D＝∠1＋∠2＝64°，∴∠O＝2∠D＝128°.
在等腰三角形AOC中，
2∠5＝180°－∠O＝180°－128°＝52°，
∴∠3＋∠4＝116°－52°＝64°.
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13.如图，四边形ABCD内接于☉O，∠ABC＝135°，OE⊥AC.
(1)求证：∠AOE＝∠ADC；
(1)证明：如图，连接OC，
∵∠ABC＝135°，
∴∠ADC＝180°－135°＝45°，
∴∠AOC＝2∠ADC＝90°.∵OA＝OC，
∴△AOC为等腰直角三角形.∵OE⊥AC，
∴易得∠AOE＝45°，∴∠AOE＝∠ADC.
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(2)若AC＝6，求☉O的半径长.
(2)解：∵△AOC为等腰直角三角形，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°.
∵AC＝6，∴OA＝OC＝6×sin 45°＝3，
即☉O的半径长为3.
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14.[几何直观]如图，四边形ABCD内接于☉O，延长AD，BC相交于点E，点F是BD的延长线上的点，且DE平分∠CDF.
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(1)证明：∵四边形ABCD内接于☉O，
∴∠ABC＝∠CDE.
∵DE平分∠CDF，
∴∠CDE＝∠EDF，
∴∠ABC＝∠EDF.∵∠EDF＝∠ADB，
(1)求证：AB＝AC；
∠ADB＝∠ACB，∴∠EDF＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC.
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(2)若AC＝5 cm，AD＝3 cm，求DE的长.
(2)解：∵∠ADB＝∠ACB，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ADB＝∠ABC.又∵∠DAB＝∠BAE，
∴△ABD∽△AEB，∴＝.
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∵AB＝AC＝5 cm，AD＝3 cm，∴AE＝＝ cm，∴DE＝AE－AD＝－3＝(cm).
