2022-2023学年黑龙江省哈尔滨九中高一（下）开学数学试卷(含解析）

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨九中高一（下）开学数学试卷
一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则有( )
A. B. C. D.
2.命题“，，使得”的否定形式是( )
A. ，，使得
B. ，，使得
C. ，，使得
D. ，，使得
3.设，则下列不等式中不一定正确的是( )
A. B. C. D.
4.某人计划购买一辆型轿车，售价为万元，购买后轿车每年的保险费、汽油费、年检费、停车费等约需万元同时，汽车年折旧率约为，即这辆车每年减少它的价值的，则大概使用年后，用在该车上的费用含折旧费达到万元．( )
A. B. C. D.
5.函数的零点个数为( )
A. B. C. D.
6.已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，且当时，，若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共2小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
7.与不等式不同解的不等式是( )
A. B.
C. D.
8.下列说法中正确的是( )
A. 若关于的方程的一个根大于，另一根小于，则
B. 函数的值域为，则
C. 函数与函数的图像关于对称
D. 定义在区间上连续的函数，若，则在区间上函数没有零点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
9.若正数，满足，则的最小值是________．
10.设角的终边经过点，那么______．
11.已知集合，非空集合，若是的必要条件，则实数的取值范围为______．
12.已知正数，和实数满足，若存在最大值，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共4小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.本小题分
求值：
；
．
14.本小题分
已知，其中为奇函数，为偶函数．
求与的解析式；
判断函数在其定义域上的单调性并用定义证明．
15.本小题分
化简：；
若，且是关于的方程的一个实数根，求中代数式的值．
16.本小题分
设为正数，函数，满足且．
若，求；
设，若对任意实数，总存在，，使得对所有，都成立，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由已知，，所以选项A、、都错误，因为是任何非空集合的真子集，所以C正确．
故选C．
化简集合，然后针对选项选择正确答案．
本题考查了集合之间的关系；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
2.【答案】
【解析】解：由题意可知；
全称命题“，，使得”的否定形式为特称命题
“，，使得”
故选：．
全称命题的否定形式为特称命题，将条件中的“”改为“”，结论中的“”改为“”即可．
本题考查了全称命题与特称命题的否定，难度为简单题．
3.【答案】
【解析】解：对，因为，则，故A正确，不符合题意；
对，当时选项B成立，其余情况不成立，则选项B不正确，符合题意；
对，，则选项C正确，不符合题意；
对，由，可得，则选项D正确，不符合题意．
故选：．
直接利用不等式的性质的应用判断、、、的结论．
本题考查的知识要点：不等式的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：用表示该人第年花费在轿车上的费用，
则，
类推可得，
设，
令，解得，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
故使用年后，该人花在轿车上的费用就已经达到万元．
故选：．
用表示该人第年花费在轿车上的费用，求出数列的通项公式与前项和，令，利用特值法求出的值即可．
本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．
5.【答案】
【解析】【分析】
通过令，将方程的解转化为函数图象的交点问题，从而判断函数的零点个数．
本题考查函数的零点，函数的图象的作法，考查数形结合与转化思想．
【解答】
解：函数，令，
在同一坐标系中作出与，如图，
由图可得零点的个数为．
故选B．
6.【答案】
【解析】解：因为为偶函数，
所以，即，
所以函数关于对称，
所以，
又因为为奇函数，所以，
所以函数关于对称，
则，
即，所以，，
即，所以函数的周期为，
在中，令，得，所以，即，
又因为，所以，即，所以，
所以当时，，
所以，
所以，
，，
所以．
故选：．
由已知结合函数的奇偶性，对称性及周期性即可求解．
本题主要考查了函数的奇偶性，对称性及周期性在函数求值中的应用，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：由得，
解得，
：由得，不同；
：由得，相同；
：由得且，
解得，不同；
：由得，不同．
故选：．
结合分式不等式，二次不等式及一次不等式的求法分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了分式不等式，二次不等式及一次不等式的求解，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：对于，设，要使关于的方程的一个根大于，另一根小于，
则，即，解得，所以，故A对；
对于，当时，函数，定义域为，
令，则，的值域为；
当时，令，要使函数的值域为，则，
则，解得；
综上得的取值范围是，故B对；
对于，函数，由，
则与互为反函数，所以与的图像关于对称，故C对；
对于，设，则，，且在上连续，
，但在上有两个零点，故D错．
故选：．
由二次函数性质，对数函数性质及零点存在定理依次对每一选项进行判断，即可求解．
本题考查了函数的性质及应用，考查了函数思想，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：，，
当且仅当即时取等号
故答案为：
将方程变形，代入可得，然后利用基本不等式即可求解．
本题主要考查了利用基本不等式求解最值问题，解题的关键是基本不等式的应用条件的配凑．
10.【答案】
【解析】解：角的终边经过点，，，，
，，那么，
故答案为：．
利用任意角的三角函数的定义，求得和的值，可得的值．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：，非空集合，
若是的必要条件，则，
，解得，的取值范围是．
故答案为：．
是的必要条件转化为，可解决此题．
本题考查不等式组解法、充分条件、必要条件，考查数学运算能力，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：注意到，下分情况讨论．
当，即时，，则的最大值为，符合题意．
当，即时，则，
所以，所以，
当且仅当时取等号，此时有最小值，无最大值，与题意矛盾．
当，即时，则．
当，即时，，所以，
不妨设，则，即，故，
此时无最大值，与题意矛盾；
当，即时，，所以，
当且仅当时取等号，此时有最大值，符合题意；
当，即时，恒成立，
此时无最大值，不符题意．
综上所述，若存在最大值，．
故答案为：．
将原方程配成，利用基本不等式可判断出何时取最大值，从而得到的取值范围．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，体现了转化思想的应用，属于中档题．
13.【答案】解：原式；
．
【解析】利用换底公式即可求值；利用指数运算，对数运算法则即可．
本题考查对数运算，属于中档题．
14.【答案】解：由于函数为奇函数，为偶函数，
可得，，
因为，
所以，
即，
解得，；
的定义域为，
，，且，
则，
所以，即，
所以函数在区间上单调递增．
【解析】根据奇偶性求解析式即可；
根据单调性的定义判断和证明的单调性即可．
本题考查函数的奇偶性，方程思想，函数的单调性的证明，属中档题．
15.【答案】解：；
若，且是关于的方程的一个实数根，
则，
则．
【解析】由诱导公式，结合同角三角函数的关系求解；
由同角三角函数的关系构造齐次式求解．
本题考查了诱导公式，重点考查了同角三角函数的关系，属基础题．
16.【答案】解：函数，满足且，
可得且，即．
又，可得，解得，
则．
由条件可知，，，
当，可得的最小值为，
最大值为，的最大值为．
所以对任意的实数，总存在，，使得．
设在上最大值为，最小值为，
的对称轴为直线，
令，则对任意的实数，．
当时，在上递增，
可得，，
则，所以．
当时，，
，所以．
当时，，
，所以；
当时，在递减，可得，，
则，所以．
综上，的取值范围是．
【解析】首先代入函数值，以及根据函数的对称性，列式求函数的解析式；
不等式转化为，分情况讨论函数的最值，以及根据函数的单调性，求函数的最值，列不等式求的取值范围．
本题考查二次函数的解析式的求法，考查函数恒成立问题解法，注意运用转化思想和分类讨论思想，考查化简运算能力，属于难题．
第1页，共1页