2022-2023学年安徽省亳州市高二（下）开学数学试卷(含解析）

2022-2023学年安徽省亳州市高二（下）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线的准线方程是( )
A. B. C. D.
2.在长方体中，为线段的中点，则( )
A. B. C. D.
3.已知双曲线：的一条渐近线过点，则的离心率是( )
A. B. C. D.
4.设，则直线：与圆的位置关系为( )
A. 相离 B. 相切 C. 相交或相切 D. 相交
5.已知平面内的三点，，，直线的方向向量是，则直线与平面的位置关系是( )
A. 垂直 B. 平行 C. 在平面内 D. 平行或在平面内
6.新冠疫情防控期间，某镇医院派位医生到个不同的学校进行核酸检测，每位医生至少去一个学校且至多去两个学校，每个学校只安排一位医生，则所有不同的情况共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7.已知点的横纵坐标均是集合中的元素，若点在第二象限内的情况共有种，则的展开式中的第项为( )
A. B. C. D.
8.吹奏乐器“埙”如图在古代通常是用陶土烧制的，一种埙的外轮廓的上部是半椭圆，下部是半圆半椭圆且为常数和半圆组成的曲线如图所示，曲线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，点是半圆上任意一点，当点的坐标为时，的面积最大，则半椭圆的方程是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若直线与圆没有公共点，则数对可能是( )
A. B. C. D.
10.经过四点，，，中的三点的圆的方程可能为( )
A. B.
C. D.
11.若，则( )
A. B.
C. D.
12.已知是抛物线：的焦点，为坐标原点，点，在抛物线上，则( )
A. 若直线经过点，则的最小值为
B. 若，则的面积为
C. 若，则
D. 若，则直线恒过定点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知坐标原点与点关于直线对称，则直线的方程是______．
14.在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面，，、分别是、的中点则异面直线与所成角的余弦值为______．
15.从，，，，这个正整数中任意抽取个不同的正整数，，，则它们的积能被整除的情况共有______种
16.已知平行四边形的四个顶点均在双曲线上，且直线，的斜率之积是，则该双曲线的渐近线方程是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知的顶点的坐标为，边上的高所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为．
求点的坐标；
求直线的方程．
18.本小题分
现有如下定义：除最高数位上的数字外，其余每一个数字均比其左边的数字大的正整数叫“幸福数”如和都是三位“幸福数”．
求三位“幸福数”的个数；
如果把所有的三位“幸福数”按照从小到大的顺序排列，求第个三位“幸福数”．
19.本小题分
如图，四棱锥的底面是正方形，且底面，点是棱的中点．
若是棱的中点，证明：平面；
若正方形的边长是，，点在棱上，且，求直线与平面所成角的正弦值．
20.本小题分
已知圆：，直线：是圆与圆的公共弦所在的直线方程，且圆的圆心在直线上．
求圆的方程．
若动直线过点且与圆交于点，，问：是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
21.本小题分
设点，动圆经过点且和直线相切，记动圆的圆心的轨迹为曲线．
求曲线的方程．
若点，不与坐标原点重合是曲线上的两个动点，且，问：在轴上是否存在定点使得恒成立？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
22.本小题分
已知椭圆：上的点到左、右焦点，的距离之和为．
求椭圆的方程．
若在椭圆上存在两点，，使得直线与均与圆相切，问：直线的斜率是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
，开口向右，
准线方程是．
故选：．
先根据抛物线的标准方程形式，求出，再根据开口方向，写出其准线方程．
根据抛物线的方程求其焦点坐标和准线方程，一定要先化为标准形式，求出的值，再确定开口方向，否则，极易出现错误．
2.【答案】
【解析】解：为线段中点，且，
则．
故选：．
利用空间向量的加法法则进行求解．
本题考查空间向量的运算，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由题意可知渐近线方程为，
所以在上，所以，
所以离心率为．
故选：．
根据渐近线过可得，进而可求离心率．
本题考查双曲线的几何性质，方程思想，属基础题．
4.【答案】
【解析】解：由，可得，
即直线恒过定点，
因为点满足，
即定点在圆上，
所以直线和圆的位置关系是相交或相切．
故选：．
求出直线恒过的定点，根据圆心到直线的距离与半径比较即可得答案．
本题考查直线过定点及直线和圆的位置关系，属基础题．
5.【答案】
【解析】解：平面内的三点，，，
，，
设平面的法向量，
则，取，得，
直线的方向向量是，
，
则直线与平面的位置关系是平行或．
故选：．
求出平面的法向量，由，得到直线与平面的位置关系是平行或．
本题考查直线与平行的位置关系的判断，考查法向量的求法，线面平行的判断等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：由题意知必有一位医生去两个医院，另外两个医院各去一位医生，
第一步先将医院按，，分为三组共有种方法，
第二步再把三位医生分配到三个小组去，有种分配方法，
故共有种方法．
故选：．
先将医院分三组，其中一组有两个医院，再把三位医生分配到三个小组去，即可求解．
本题主要考查排列、组合及简单计数问题，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：由题意可知，，的展开式的通项为，
则展开式中的第项为．
故选：．
由分步乘法计数原理得出，再由二项式定理得出第项．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：由点在半圆上，所以，，，
要使的面积最大，可平行移动，
当与半圆相切于时，到直线的距离最大，
此时，即；
又，，，
所以半椭圆的方程为．
故选：．
由点在半圆上，可求，然后求出，，根据已知的面积最大的条件可知，，即，代入可求，进而可求椭圆方程．
本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，圆的方程的应用，是中档题．
9.【答案】
【解析】解：直线与圆没有公共点，圆心到直线的距离：，
将代入，化简得，，
选项A：将代入得，，故A错误；
选项B：将代入得，，故B正确；
选项C：将代入得，，故C正确；
选项D：将代入得，，故D错误．
故选：．
根据直线与圆没有公共点，利用圆心到直线的距离大于半径，得出关于和的不等式，将各个选项代入，即可判断出答案．
本题主要考查直线和圆的位置关系的判断，考查分析问题解决问题的能力，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
选项A：点，，在圆上，点不在该圆上，故A正确；
选项B：点，，在圆上，点不在该圆上，故B正确；
选项C：点，，，都不在圆上，故C错误；
选项D：点，，在圆上，点不在该圆上，故D正确．
故选：．
根据题意，将点代入各方程，判断是否满足圆的方程，即可得出答案．
本题考查圆的标准方程和一般方程，涉及点与圆的位置关系，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于，令，，令，则，
令，则，
两式相加化简得，
又，所以，所以A错误；
对于，，
因为个相同的因式相乘，要得到含的项，可以是个因式中，一个取，其他个因式取，或两个因式取，其他个因式取，
所以，所以B正确；
对于，令，，令，则，
因为，所以，所以C错误；
对于，展开式所有项系数和为，
令，则，
因为，所以，所以D正确．
故选：．
对于，利用赋值法求，及的值，运算即可判断；对于，根据多项式的乘法法则，结合组合知识求解，对于，赋值法，再结合可求得结果，对于，利用展开式所有项系数和为，再结合可求得结果．
本题考查二项式定理的运用，考查运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：对于：因为抛物线：，所以，
当经过且垂直与轴时，取最小值，此时直线为，
联立，解得，
则，故A正确；
对于：设，则，因为，所以，，
所以的面积为，故B错误；
对于：设，，则，
因为，所以，
显然，即，，
所以
，
当且仅当时，取等号，故C正确；
对于：设，，，
解得或，显然，直线不与轴平行或重合，
设直线的方程为，联立，
得，则，即或，
当时，，直线恒过定点；
当时，由可知，要使得点，在抛物线上，则，
此时直线恒过定点，故D错误；
故选：．
当垂直与轴时，取最小值，求出最值判断；由抛物线的定义得出，，进而由面积公式判断；由数量积运算得出，，再结合基本不等式判断；联立直线和抛物线方程，由或得出直线恒过定点，从而判断．
本题考查直线与抛物线的综合应用，抛物线的简单性质的应用，是中档题．
13.【答案】
【解析】解：因为点，，所以线段的中点坐标为，
因为点与点关于直线对称，所以直线过点，且，
而直线的斜率，所以直线的斜率，
可得直线的方程为，整理得．
故答案为：．
先求出线段的中点坐标与直线的斜率，从而根据对称的性质得到直线的斜率，由此利用点斜式求出直线的方程．
本题主要考查线段的中点坐标公式、直线的方程及其应用、两条直线垂直与方程的关系等知识，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：将四棱锥补成正方体，
则、分别是其所在面的中心，
设面的中心为，的中点为，的中点为，
则，是所求的角或所求的角的补角，
，，，，
同理，，．
所以，．
故答案为：．
将四棱锥补成正方体，则、分别是其所在面的中心，设面的中心为，的中点为，的中点为，则，是所求的角或所求的角的补角，由此能求出异面直线与所成角的余弦值．
本题考查异面直线、正方体结构特征等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：若，，只有一个偶数，
则能被整除时，这个偶数为或者，
再从剩下个奇数中选个奇数，
则有种；
若，，有两个偶数，一个奇数，
则能被整除，
此时有种；
若，，三个均为偶数，
则此时有种，
故满足条件的所有情况为种．
故答案为：．
分三类情况，分别考虑一个偶数，两个偶数以及三个偶数，利用排列组合即可求解．
本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属基础题．
16.【答案】
【解析】解：双曲线是中心对称图形，
故平行四边形的顶点，关于原点对称，如图，
设，，则，
故，，
两式相减，得，
所以，即，
直线，的斜率之积是，所以，所以，
所以双曲线的渐近线方程为．
故答案为：．
利用点差法，结合条件可得，再求出渐近线方程即可．
本题考查双曲线的几何性质，数形结合思想，方程思想，属中档题．
17.【答案】解：根据题意，可得边上的高所在直线的斜率为，则的斜率．
结合点，可得直线的方程为，即．
因为边上的中线所在的直线方程为，该直线必定经过点，
所以由，解得，可得点的坐标为；
设点，因为的中点在直线上，所以，即．
根据点在直线上，得，由，解得点的坐标为．
所以直线的斜率，可知直线的方程是，即．
【解析】因为边上的高所在直线的斜率为，所以直线的斜率，进而由点斜式算出直线方程，求出交点坐标，可得答案；
利用中点坐标公式以及点在直线上，建立解方程组，解出点的坐标，进而利用点斜式算出直线方程．
本题主要考查两条直线垂直与方程的关系、直线的方程及两条直线的交点求法等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．
18.【答案】解：根据题意，可知三位“幸福数”中不能有，
故只需在数字，，，，中任取个，将其从小到大排列，即可得到一个三位“幸福数”，
每种取法对应个“幸福数”，则三位“幸福数”共有个；
对于所有的三位“幸福数”，在最高数位上的有个，
在最高数位上的有个，
在最高数位上的有个，
在最高数位上的有个，
在最高数位上的有个．
因为，
所以第个三位“幸福数”是最高数位为的最大的三位“幸福数”为．
【解析】由幸福数的定义结合组合公式求解即可；
分类讨论最高位数字，由组合公式结合分类加法计数原理得出第个三位“幸福数”．
本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
19.【答案】证明：如图，取棱的中点，连接，，
则，且．
又，，，
所以，，
所以四边形是平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面；
由题意知，，，两两互相垂直，以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，．
设平面的法向量为，
则
令，得，
设直线与平面所成的角为，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为．
【解析】取棱的中点，连接，，可证得，从而证明平面；
建立空间直角坐标系，求出与平面的法向量，求出直线与平面所成角的正弦值．
本题主要考查直线与平面所成的角，考查转化能力，属于中档题．
20.【答案】解：由题可知圆的圆心坐标为，半径为，
因为圆心到直线的距离为，
所以，
由圆的圆心在直线上，可设圆心，
由题意得，
所以，得，即，
因为点到直线的距离为，
所以圆的半径为，
所以圆的方程为；
不妨设在的上方，
若直线的斜率不存在，则，，，
若直线的斜率存在，设为，
则直线的方程为，
联立方程，
消去整理得，
设，，则，
因为，，
所以，
综上可得恒为定值，定值为．
【解析】先利用直线和圆求出公共弦长，设出圆心，根据垂直关系求出圆心，利用公共弦长求出半径，可得圆的方程；
分斜率是否存在两种情况，分别求解，，结合韦达定理可得答案．
本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．
21.【答案】解：由题可知点到的距离与其到直线的距离相等，
所以曲线是以为焦点的抛物线，
设抛物线的方程为，则，得，
故曲线的方程为；
设直线的方程为，
则直线的方程为，
由得点，同理可得点，
假设在轴上存在定点使得恒成立，设点，
则直线的斜率，
直线的斜率，
由得，
则有，
即，整理得，
显然当时，对任意不为的实数，恒成立，
即当时，恒成立，
所以在轴上存在定点使得恒成立，
点的坐标为．
【解析】由条件知点到的距离与其到直线的距离相等，所以曲线是以为焦点的抛物线；
设直线的方程为，可得点，，设点，由恒成立求得为定值．
本题考查了抛物线的性质及直线与抛物线的位置关系的应用，属于中档题．
22.【答案】解：因为椭圆上的点到左、右焦点的距离之和为，
所以，
解得，
又点在椭圆上，
解得，
则椭圆的方程为；
易知点在圆外，且直线与的斜率均存在，
不妨设直线，的方程分别为，，
因为直线与圆相切，
所以，
又直线与圆相切，
所以
此时，
解得，
联立，消去并整理得，
设，，
因为点也是直线与椭圆的交点，
所以，，
又，
则，
此时直线的斜率
．
故直线的斜率为定值．
【解析】由题意，根据椭圆的定义以及性质进行求解即可；
设出直线和的方程，结合直线与圆的位置关系得出，将直线的方程与椭圆的方程联立，根据韦达定理得出点，坐标，再利用斜率公式进行求解即可．
本题考查椭圆的性质以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力．
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