微专题 利用轴对称求最值问题- 2024年中考数学复习课件（共61张PPT）

(共61张PPT)
微专题 利用轴对称求最值问题
模型一 “一线两点”型（一动点 两定点）
（1）异侧线段和最小值问题
模型剖析 如图1，两定点 ， 位于直线 的异侧，在直线 上找一点 ，
使 的值最小.
图1
结论：根据“两点之间线段最短”，可知 的最小值即为线
段 的长.
模型应用
图2
1.（2020·贺州）如图2，四边形 是菱形，对角
线 ， 相交于点 ， ， ，点
是 上一动点，点 是 的中点，则 的最
小值为_____.
图2
提示：连接 交 于点 ，则线段 的长即为
的最小值.由四边形 是菱形，得
， ， ，
．在 中，
【答案】
，所以 ．所以 是等边三角形.又
因为 是 的中点，所以 ．故 ， 是等边三角形 的两
条高线.所以 ．
（2）同侧线段和最小值问题
模型剖析 如图3，两定点 ， 位于直线 的同侧，在直线 上找一点 ，
使得 的值最小.
图3
解题思想：将两定点同侧问题，利用轴对称的性质转化为异侧问题，
即可利用（1）中模型解决.
结论：根据“两点之间线段最短”，可知 的最小值即为图中
线段 的长.
模型应用
图4
2.（2022·广安）如图4，菱形 的边长为2，点
是对角线 上的一个动点，点 ， 分别为边 ，
的中点，则 的最小值是( )．
A.2 B. C.1.5 D.
图63
提示：如图63，取 的中点 ，
连接 ， 四边形 是菱形， ， ， ， ， 四边形 是平行四边形. 四边形 是菱形，
【答案】A
， ， 点 ， 关于直线 对称.
， 的最小值为2．
图5
3.（2023·枣庄 节选）如图5，抛物线
经过 ， 两点，并交 轴于另一点 ，点
是抛物线的顶点，直线 与 轴交于点 ．
（1）求该抛物线的函数解析式.
解： 抛物线 经过 ， 两点，
解得
该抛物线的函数解析式为 ．
（2）若点 是 轴上一动点，分别连接 ， ，求 的最小值.
图5
解 ， 顶点 ．
设直线 的函数解析式为 ，则
解得
直线 的函数解析式为 ．
当 时， ， ．
，即 的长为 的最小值.
， 的最小值为 ．
图64
（3）同侧线段差最大值问题
模型剖析 如图6，两定点 ， 位于直线 的同侧，在直线 上找一点 ，
使得 的值最大.
图6
解题思想：根据“三角形任意两边之差小于第三边”，可知
，当 ， ， 三点在同一直线上时，等号成立.
结论： 的最大值即为线段 的长.
模型应用
图7
4.如图7，在正方形 中， ，点 是对角线
上靠近点 的三等分点， 是 边上的一点，且
为 边上的一点，则 的最大值是
_____．
图65
小锦囊 当 ， ， 三点在同一直线上时, 的长即为 的最大值.
提示：如图65，延长 交 于点 ，此时 的值
最大，最大值为 的长. 点 是对角线 上靠近点 的
三等分点， ．易证 ，所以
．又 ， ．过点 作 于点 ，则 ， ， ．在 中， ．由 ，得 ，所以 ．
【答案】
（4）异侧线段差最大值问题
模型剖析 如图8，两定点 ， 位于直线 的异侧，在直线 上找一点 ，
使得 的值最大.
图8
解题思想：将两定点异侧问题，利用轴对称的性质转化为同侧问题，
即可利用（3）中模型解决.
结论： 的最大值即为图中线段 的长.
模型应用
图9
5.如图9，在正方形 中， ， 与 交于
点 ， 是 的中点，点 在 边上，且 ，
为对角线 上一个动点，则 的最大值是___.
图66
小锦囊 作点 关于 的对称点 ，则 的长即为 的最大值.
提示：如图66，作点 关于 的对称点 ，
连接 ，并延长交 于点 ，连接 ．由轴对称性质
知， ，此时 ，取得
最大值.因为四边形 是边长为8的正方形，所以点 在
上， ．由 为 的中点，得
．因为 是 的中点，所以 ，则
， ．因为 ，
所以 ，则 ．所以 ．又 ，所以 是等腰直角三角形，则 ．所以 的最大值为2.
【答案】2
模型二 “一点两线”型（两动点 一定点）
图10
（1）周长最小型
模型剖析 如图10，点 是 内部一定点，在 上找一点 ，在
上找一点 ，使得 的周长最小.
解题思想：要使 的周长最小，即 的值最小，
只要利用轴对称的性质，将三条线段转化到同一直线上，根据“两点之
间线段最短”即可求解.
结论： 周长的最小值即为图中线段 的长.
图10
模型应用
图11
6.如图11，在 中， ，
，点 为 上一定点，点 ， 分
别为边 ， 上的动点.当 的周长最小
时， 的度数为____ ．
图67
提示：如图67，作点 关于 的对称点 ，
点 关于 的对称点 ，连接 ，交 于点 ，
交 于点 ，此时 的周长最小.由轴对称的
性质，可知 ， ，
， ． ．
． ． 由轴对称的
【答案】90
性质，可知 ， ， ，
．
．
图12
7.（2022·遂宁 节选）如图12，在平面直角坐标系中，抛
物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于
点 ，其中点 的坐标为 ，点 的坐标为
为 的边 上的一动点， 为 边上的
一动点，点 的坐标为 ．求 周长的最小值．
小锦囊 作点 关于直线 的对称点 ，点 关于直线 的
对称点 ，连接 ，由对称性可知，当点 ， ， ， 共线时，
的周长最小，最小值为 的长.
图68
解： 抛物线 经过点 ，
，
抛物线的函数解析式为 ．
如图68，作点 关于直线 的对称点 ，点 关于直线 的对称点 ，连接 ， ， ， ．
由对称性可知, ， ， 的周长， 当点 ， ， ， 在同一直线上时， 的周长最小，最小值为 的长.
令 ，则 ，解得 或
是等腰直角三角形， ．
垂直平分 ， ， ．
是等腰直角三角形.
又 ， ，
点 ， 关于 轴对称，
．
的周长的最小值为 ．
图68
图13
（2）两条线段之和最小型
模型剖析 如图13，点 是 内
部的一定点，在 上找一点 ，
在 上找一点 ，使得
的值最小.
解题思想：要使 的值最小，只要利用轴对称的性质，将
， 转化到同一直线上，根据“垂线段最短”即可求解.
结论： 的最小值即为图中 的长.
模型应用
图14
8.如图14，在菱形 中， ， ，
点 是 边的中点， ， 分别是 ， 上的动点，
连接 ， ，则 的最小值是( )．
A.6 B. C. D.4.5
图69
小锦囊 作点 关于 的对称点 ，过点 作 于点 ，交 于点 ，此时 的长即为 的最小值.
提示：如图69，作点 关于 的对称点 ，过点
作 于点 ，交 于点 ，此时 取
得最小值，且 四边形 是菱形，
点 在 上. ， ， ．
由 ，得 ，解得
． 的最小值是 ．
【答案】C
模型三 “两点两线”型（两动点 两定点）
图15
模型剖析 如图15，点 ， 是
内部的两个定点，在 ，
上分别取点 ， ，使得四边
形 的周长最小.
解题思想：考虑到 是定线段，因此只要考虑 的
最小值即可.类似地，利用轴对称的性质，将这3条线段转化到同一直线
上，根据“两点之间线段最短”即可求解.
结论：边形 周长的最小值即为图中 的值.
模型应用
图16
9.如图16，已知正方形 的边长为3，点 在 边上且
，点 ， 分别是边 ， 上的动点（均不与顶
点重合），则四边形 的周长的最小值是__________.
图70
小锦囊 作点 关于 的对称点 ，点 关于 的对称点 ，则 即为四边形 的周长的最小值.
， ， ， ，所以四边形
的周长 ．在 中， ，所以四边形 的周长的最小值是 ．
【答案】
微专题练习（十三）
利用轴对称求最值问题
模型一 “一线两点”型（一动点 两定点）
图1
1.如图1，等边三角形 的边长为4， 是 边上的高，
点 是 边的中点，点 是 上的动点，则线段
的最小值为( )．
A.2 B. C. D.4
图109
提示：由等边三角形“三线合一”的性质知，点 关于
的对称点是 ．如图109，连接 ，交 于点 ，连接
，此时 的值最小，且
．因为点 是 边的中点，所
以 ．所以 ．所以
的最小值为 ．
【答案】B
图2
2.（2022·赤峰）如图2，四边形 为菱形，
点 ， ， ， 均在坐标轴上， ，
点 的坐标为 ， 是 的中点， 是
上的一个动点，则 的最小值是( )．
A.3 B.5 C. D.
图110
提示：由菱形的对称性得，点 关于 轴的对称
点是 的中点 ，连接 交 于点 ，如图
110，此时 ，取得最小
值. 四边形 是菱形， ，
， ， ，
【答案】A
， ． 是等边三角形. ，即
的最小值是3.
图3
3.（2021·永州）如图3， ， 两点的坐标分别
为 ， ．在 轴上找一点 ，使线段
的值最小，则点 的坐标是______．
图111
提示：如图111，连接 交 轴于点 ．根据两点
之间线段最短，可知点 即为所求.设直线 的
函数解析式为 ，把 ，
代入，得 解得
．当 时， ．
图4
4.如图4，在矩形 中， ， ，连接
， 是 的中点， 是 上一点，且
， 是 上一动点，则 的最大值
为_ ___．
图112
提示：在矩形 中， ， ，
．如图112，连接 并延长交 于点 ，此时 的值最大，最大值为 的长.
， ．又 ， ， ，
． 过点 作 于点 ，则四边形 是矩形. ，
． ，即
的最大值为 ．
【答案】
图5
5.如图5，在菱形 中， ， ， 与 交于点 ，点 在 上且 ，点 在 上且 ， 为对角线 上一点，则 的最大值为___.
图113
提示：如图113，作点 关于直线 的对称点 ，连
接 ， ．由轴对称的性质，可得 ，
．当 ， ， 三点在同一直线上时， ，取得最大值.在菱形 中， ， ，
， ， ．又 ，
， ， ，
．又 ， 是等边三角形.
，即 的最大值是2.
【答案】2
图6
6.如图6，在边长为4的正方形 中， 是 边上的
一点，且 ，点 为对角线 上的动点，则
的周长的最小值为___．
图114
提示：如图114，过点 作 于点 ，延长 交
于点 ，连接 交 于点 ，连接 四边形
为正方形， ．
. ，即点 与点
关于 对称. 当点 与点 重合时，
【答案】6
的周长取得最小值，最小值为 的长． 正方形 的
边长为4， ， ， ，
．
图7
7.（2022·贺州）如图7，在矩形 中， ，
， ， 分别是 ， 的中点， 的平分线
交 于点 ，点 是线段 上的一个动点，则 的
周长的最小值为_________．
图115
提示：如图115，在 上截取 ，使得 ，连接
，过点 作 于点 四边形 是矩
形， ．又 ， 四边形
是矩形． ，
， ，
，
． 平分 ， ， 点 ， 关于 对称. ．
， 的周长的最小值为
．
【答案】
图115
图8
8.（2022·常德 节选）如图8，已知抛物线经过点 ，
，且它的对称轴为直线 ，点 的坐标为
， 是抛物线上的动点，当 的值最大时，点
的坐标为________， 的最大值是_____．
小锦囊 当 ， ， 三点在同一直线上，且不重合时， 的长即为 的最大值.
图116
提示： 抛物线过点 ，且它的对称轴为直线
， 抛物线与 轴的另一个交点的坐标为 ．设抛
物线的函数解析式为 ，把 代入，得
．解得 ．设直线
的函数解析式为 ，把 ， 代入，
得 解得 直线 的函数解析式
为 ．当 的值最大时，点 ， ， 在同一直线上,如图116.联立方程，得 解得 或 ．此时 ．
【答案】 ;
图116
图9
9.（2023·宁夏 节选）如图9，抛物线
与 轴交于 ， 两点，
与 轴交于点 ．已知点 的坐标是 ，抛物线
的对称轴是直线 ．
（1）直接写出点 的坐标.
解：点 的坐标是 ．
（2）在对称轴上找一点 ，使 的值最小．求点 的坐标和
的最小值.
图9
图117
解：如图117，连接 ，线段 与直线
的交点就是所求作的点 ．
把 ， 代入抛物线函数解析式 ，得
解得
抛物线的函数解析式为 ．
令 ，得
．
设直线 的函数解析式为 ，把 ， 代入，
得
解得
直线 的函数解析式为 ．
当 时，
， ．
图117
点 ， 关于直线 对称，
．
的最小值为 ．
图117
模型二 “一点两线”型（两动点 一定点）
图10
10.如图10，在五边形 中， 为钝
角 ， ，在 ， 上分别找一点 ，
，当 的周长最小时， 的度数为( )．
A. B. C. D.
图118
提示：如图118,作点 关于 的对称点 ，
作点 关于 的对称点 ．连接 ，分别
交线段 和线段 于点 ， ，连接 ，
，则 ， ，此时
的周长取最小值． ，
， ，
，
，
．
，
．
【答案】C
图118
图11
11.（2021·绥化）如图11，已知在
中， ， ， ，点
为边 上的动点，点 为边 上的动点，则
的最小值是( )．
A. B. C. D.
图119
提示： ， ，
．
如图119,作点 关于 的对称点 ，延长 ，
交于点 ， ，
当
【答案】B
， ， 三点在同一直线上且与 垂直时， 取得最小
值．作 于点 ，则 长即为 的最小值.在
中， ．
图12
12.（2022·娄底）如图12，菱形 的边长为2，
， ， 分别是 ， 上的动点，
则 的最小值为____．
图120
提示：如图120，连接 ，作 于点 ， 四边形 是菱形， ， ．又 ，
当 ， ， 三点在同一直线上，且与 垂直时，
【答案】
取得最小值，最小值为 的长. ， ，
． 的最小值为 ．
模型三 “两点两线”型（两动点 两定点）
图13
13.（2021·聊城）如图13，在平面直角坐标系中，矩形
的顶点 在坐标原点，顶点 ， 分别在 轴、 轴
上， ， 两点的坐标分别为 ， ，线段 在
边 上移动，保持 ．当四边形 的周长最小时，
点 的坐标是________.
图121
提示：如图121，在 上截取 ，作点 关于 轴的
对称点 ，连接 交 于点 ，则 ．又因
为 ，所以四边形 是平行四边形，则
．因为点 与点 关于 轴对称，所以 ，
且点 的坐标为 ．因为四边形 的周长
， 和
的长是定值，所以当 有最小值时，四边形
的周长有最小值.所以当 ， ， 三点在同一直线上时， 有
最小值.因为点 的坐标为 ，所以点 的坐标为 ．设直线
的函数解析式为 ，则 解得 所以直线 的函数解析式为 ．当 时， ，所以 ．
【答案】
图121