微专题 相似三角形的四种基本模型- 2024年中考数学复习课件（共29张PPT）

(共29张PPT)
微专题 相似三角形的四种基本模型
模型一 “ ”型
图1
模型剖析
“ ”字模型：如图1，有一组隐含的等角
（对顶角） .此时只要再设法证明另一
组角相等或等角的两边对应成比例，就
可证得两个三角形相似.若题中未明确相
似三角形的对应顶点，则需要分类讨论.
结论： ；
.
模型应用
图2
1.如图2，在 中， 是边 的延长线上一点，连接 交边 于点 ，交对角线 于点 ．
（1）求证： .
证明： 四边形 是平行四边形，
， .
图2
（2）若 ，求 的值．
解： 四边形 是平行四边形，
， .
设
， ,
．
模型二 “ ”型
图3
模型剖析“A”字模型：如图3，有一个公共角或角有公共部分.此时只要再设法证明另一组角相等或公共角的两边对应成比例，就可证得两个三角形相似.
结论： ； .
模型应用
图4
2.（2022·杭州）如图4，在 中，点 ， ，
分别在边 ， ， 上，连接 ， ．已
知四边形 是平行四边形， ．
（1）若 ，求线段 的长．
解： 四边形 是平行四边形，
.
又 ， .
（2）若 的面积为1，求 的面积．
图4
解： ， .
又 的面积为1， 的面积是
四边形 是平行四边形， ，
， .
.
.
图4
．
模型三 “母子”型
模型剖析
“母子”模型：如图5，有一个公共角，且公共角的一边为公共边.此
时只要再设法证明另一组角相等或公共角的两边对应成比例，就可证得
两个三角形相似.
图5
结论： ；
.
【拓展】“三垂直”型
如图6，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角
形相似，即 .
图6
常见的结论有： ， ， .
模型应用
图7
3.（2022·贵阳）如图7，在 中， 是 边
上的点， ， ，则 与 的周长比是( ) .
B
A. B. C. D.
图8
4.（2021·南充 改编）如图8，在 中， 为 上一
点， ，求 的值.
解： ， .
又 ，
.
.
图9
5.如图9，在 中， ，
于点 ， 为线段 上一点，且 ，过点
作 交 于点 ，则线段 ， ，
满足什么数量关系？
解： ， ，
.
.
.
又 ，
.
.
图9
， ， ，
.
.
， .
又 ，
．
模型四 “一线三等角”型
模型剖析
“一线三等角”模型：如图10，点 在直线 上，
（无论是锐角、直角,还是钝角），则
.“一线三等角”型图形证相似，通常利用三角形内角和定理、邻补
角的性质、平角的性质等证两组角对应相等.
图10
【拓展】“一线三垂直”型
“一线三垂直”模型：如图11，点 在直线 上，
，则 .
图11
模型应用
图12
6.如图12，在四边形 中， ， ， ， 为 上一，且 .若 ， ，则 的长为___．
提示： ， ，
． ， . ， .
． ， ， ， .又 ， ．
图13
7.（2023·邵阳）如图13， ， ，点
是线段 上的一点，且 ．已知
， ， ．
（1）求证： .
证明： ， ， ，
.
， .
.
（2）求线段 的长．
解： ， .
.
图13
图14
8.如图14，在 中， ， ， 分别是 ，
边上的点，且 .
（1）求证： .
证明： ， .
又 ，
， ，
.
.
又 ， .
图14
（2）若 ， ，当 时，求 的长.
解： ， .
又 ， .
又 ，
.
， ， .
.
微专题练习（七）
相似三角形的四种基本模型
模型一 “ ”型
图1
1.（2022·泰安 节选）如图1，在矩形 中，
点 在 上， ， 与 相交于点
， 与 相交于点 ．找出图中与 相似的三角形，并说明理由.
图39
解：与 相似的三角形有 ， .
理由如下：如图39，
，
,
.
又 ，
，
.
又 ， .
模型二 “A”型
图2
2.如图2，在平面直角坐标系中，已知
， ．点 从点 开始沿
向点 以 的速度移动，点 从点 开始沿
向点 以 的速度移动．当一点运动到终
点时，另一点也随之停止．如果 , 同时出发，
用 表示移动的时间 ，当以点 ， ， 为顶点的三角形
与以点 ， ， 为顶点的三角形相似时，求 的值．
图2
解：由题意知， ， .
①若 ，则 ，即 ，解得 .
②若 ，则 ，即 ，解得 .
综上可知，当 或 时，以点 , , 为顶点的三角形与以点 ， ， 为顶点的三角形相似．
模型三 “母子”型
图3
3.如图3， 是 的边 上的一点， ，
， ．
（1）求证： .
证明： ， ， ， ， .
.
又 ， .
图3
（2）若 ，求 的长．
解： ， .
， ，即 .
．
模型四 “一线三等角”型
图4
4.如图4， 与 均为等腰三角形，
， .点 在边 上，且
，点 为 与 的交点.
（1）求证： .
证明： ， ，
与 均为等腰三角形， ， ， . .
图4
（2）求证： .
证明： ，
.
又 ，
，即 .
又 ，
，即 .