微专题 与切线性质有关的计算问题 -2024年中考数学复习课件（共30张PPT）

(共30张PPT)
与切线性质有关的计算问题
类型一 切线与锐角三角函数的计算问题
方法解读 解决切线与锐角三角函数的计算问题，通常借助圆的切线垂
直于过切点的半径的性质得到直角三角形.在直角三角形中，利用直角
三角形的性质或锐角三角函数等相关知识求边或角
方法应用
图1
1.如图1，在 中， ， 为 的切线，点
， 分别为切点，线段 经过圆心 且与 相交
于 ， 两点.若 ， ，则 的长为
_____．
图43
提示：如图43，连接 , 分别切 于点
， ， ， .设 的半径为 ，
则 ．在 中，
， . .
， .解得
，
．在 中， ，
．
【答案】
类型二 切线与勾股定理的计算问题
方法解读 解决切线与勾股定理的计算问题，通常利用切线的性质构造
直角三角形，然后利用勾股定理，建立线段之间的关系，从而为解决问
题提供突破口.
方法应用
图2
2.（2023·南宁一模）如图2，以点 为圆心的两个同心圆
中，大圆的弦 是小圆的切线， 为切点，大圆、小圆
的半径分别为5和3，则 的长为___．
图44
提示：如图44，连接 ， 大圆的弦 是小圆的切
线， 为切点， .在
中， ， ，
．
【答案】8
类型三 坐标系中关于切线的计算问题
方法解读 遇到圆与坐标轴相切，求点的坐标的问题时，通常将点的坐
标转化为线段的长，然后利用垂径定理和勾股定理求解.
方法应用
图3
3.如图3，在平面直角坐标系中， 与 轴相切，与
轴相交于点 ， ，则圆心 的坐标是
( ) .
A. B. C. D.
图45
提示：如图45，过点 作 于点 ，作
轴于点 ，连接 .由 ， ，得 .因
为 ，所以 ，则 .
因为 与 轴相切于点 ，所以 .
在 中，由勾股定理，得
.所以 .
【答案】D
类型四 切线与相似三角形的计算问题
方法解读 解决切线与相似三角形的计算问题，通常把所求的线段和已
知线段放到两个相似三角形中求解.常见模型如下：（点 为切点）
图4
图5
图6
图7
如图4， ；如图5， ；如图6，
；如图7， .
方法应用
图8
4.（2021·贺州）如图8，在 中， ，
，点 在 上， .以 为半径的 与
相切于点 ，交 于点 ，则 的长为( ) .
A. B. C. D.1
图46
提示：如图46，连接 ， .
因为 与 相切于点 ， 是 的直径，所以
， .因为 ，即 ，所
以 ， .所以 ，
，则 ， .因为 ，
【答案】B
，所以 ， ， .因此
， .解得 ， .所以 .
微专题练习（十）
与切线性质有关的计算问题
类型一 切线与锐角三角函数的计算问题
图1
1.如图1， 为 的直径，点 在 的延长线上，
， 与 相切，切点分别为点 ， .若
， ，则 等于( ) .
A. B. C. D.
图72
提示：如图72，连接 ， ， ， 交 于点 .
因为 ， 与 分别相切于点 ， ，所以
， ， 平分 .所以 ，
则 .所以 .因为 ，
【答案】D
所以 .在 中，
，所以 .因此
.
图2
2.如图2，已知 是 的直径， 与 相切于点 ，
连接 ， .若 ，则 ___.
提示：因为 与 相切于点 ，所以 ，则 .在
中， ，因此设 ，则 由勾股
定理知， ，则
.所以 .
类型二 切线与勾股定理的计算问题
图3
3.（2023·重庆A卷）如图3， 是 的切线，
为切点，连接 ， .若 ，
， ，则 的长是( ) .
A.3 B. C. D.6
图73
提示：如图73,连接 是 的切线，
.
， ， ， .
【答案】C
图4
4.（2022·宁波）如图4，在 中， ，
，点 在 上.以 为半径的圆与 相切于
点 ， 是 边上的动点.当 为直角三角形
时， 的长为______.
图74
提示：如图74，连接 .
与 相切于点 ， .由题意知，点
的位置分如下两种情况.①当 时，点
与点 重合，设 的半径 ，则 ，
.在 中，由勾股定理，得
，即 .解得 ，即
当 时， ，如图74，由
，得 . ， ，
， .综上所述， 的长为 或 .
【答案】 或
类型三 坐标系中关于切线的计算问题
图5
5.（2021·河池）如图5，在平面直角坐标系中，以点
为圆心、 长为直径的圆与 轴相切，与 轴交
于 ， 两点，则点 的坐标是___________.
图75
提示：如图75，
设以 为直径的圆与 轴相切于点 ，连接 ， ，
交于点 ，则 轴， ，即 ，
则 轴.所以 .因为 ，所以
， ，则 .
在 中，由勾股定理，得
【答案】
.所以 .所
以 .
图6
6.如图6，在平面直角坐标系中，点 在第一象限，
与 轴、 轴都相切，且经过矩形 的顶点 ，与
相交于点 .若 的半径为5，点 的坐标是 ，
则点 的坐标是______.
图76
提示：如图76，设 与 轴、 轴的切点分别为点
， ，连接 ， ， ，延长 与 交于点 ，
则 轴， 轴， .又 ，
所以四边形 是正方形，则 ，
.由 知， ，则
.易知四边形 和四边形 是矩形，则
， ， .在 中，因为 弦 ，
所以 ， .所以 .
在 中，由勾股定理，得 .所
以 .所以 .
【答案】
类型四 切线与相似三角形的计算问题
图7
7.（2021·荆州）如图7， 是 的直径， 是 的
弦， 于点 ，连接 ，过点 作 交
于点 ，过点 的切线交 的延长线于点 .若 ，
，则 ___.
图7
提示： ， ， 为
的中点， 为 的中位线. .在
中，
是 的切线， ，即 .
【答案】
， .又 ，
，即 .解得 .
图8
8.（2020·梧州 改编）如图8，在矩形 中，
， ，点 在对角线 上，以 为
半径作 交 于点 ，连接 .若 是 的
切线，则此时 的半径为___.
小锦囊 由切线的性质知， ， 是 的半径，因此求
出 即可.又 ，因此作 于点 ，可得
，就可根据相似三角形的对应边成比例列方程求解.
图77
提示：如图77，过点 作 于点 .
因为四边形 是矩形，所以 ，
， .在 中，
.因为
，所以设 ，
，则 .因为 ， ，
所以 ，则 .因为 是 的切线，
所以 ，则 .又因为 ，
所以 .又因为 ，所以
，则 ，即 .解得 （舍去）或
.所以 .
【答案】