微专题 与中点有关的模型构造方法 - 2024年中考数学复习课件（共25张PPT）

(共25张PPT)
微专题 与中点有关的模型构造方法
模型一 已知三角形的一边中点，构造中位线
图1
模型剖析 如图1，已知点 是 的中点.
结论： ， .
模型应用
图2
1.如图2，在 中， ， ，
是边 的中点，延长 到点 ，使 ，那
么 的长是___．
2
模型二 已知直角三角形斜边的中点，构造斜边上的中线
图3
模型剖析 如图3，已知点 是 斜
边 的中点.
结论： .
模型应用
图4
2.如图4， ， ， 分别是 ，
的中点， ， ，则 ___．
图19
提示：如图19，连接 ， ， 是 的中点， ，
.又 是 的中点，
， ， ．
【答案】8
模型三 已知等腰三角形底边的中点，利用“三线合一”的性质构造垂直
图5
模型剖析
如图5，已知点 是等腰三角形 底边 的中点.
结论： ， .
模型应用
图6
3.如图6，在 中， ， ，
为 的中点， 于点 ，则 ____．
4.8
提示：连接 ， 为 的中点，
， .由勾股定理，得
， .解得 ．
模型四 已知三角形一边的中线或过中点的线段，利用倍长中线构造全等三角形
模型剖析 （1）如图7， 是 的中线.
图7
结论： .
（2）如图8，已知点 是 的中点.
图8
结论： .
模型应用
图9
4.如图9，在 中， ， ， 是边 上的中线， ，则 的面积是___．
图20
提示：如图20，延长 到点 ，使 ，连接 为 的中点， .又 ， ， .又 ， ，
6
是直角三角形， .
．
微专题练习（五）
与中点有关的模型构造方法
模型一 已知三角形的一边中点，构造中位线
1.（2021·雅安）如图1，在 中，
， 是 边上的中线， 是 的
中位线.若 ，则 的长为( ) .
图1
A.6 B.4 C.3 D.5
A
图2
2.如图2，在 中，延长 至点 ，使得 ，
过 的中点 作 （点 位于点 右侧），且
，连接 .若 ，则 的长为( ) .
A.3 B.4 C.2 D.
图27
提示：如图27，取 的中点 ，连接 .因为 是 的
中点，所以 是 的中位线.所以 .设 ，则 .所以 .所以 .又因为 ，所以四边形 是平行四边形.所以 .
B
图3
3.如图3，四边形 中， 为对角线， ，
， ， 分别是边 ， 的中点，则 的
取值范围是( ) .
A. B.
C. D.
提示：取 的中点 ，连接 ， ， 分别为 ， 的中
点， 是 的中位线. .同理可得 .在 中， ，即 .当点 在 上时， ， .
A
模型二 已知直角三角形斜边的中点，构造斜边上的中线
图4
4.如图4， 是 的弦，点 是优弧 上的动点（点 不
与点 ， 重合）， ，垂足为点 ，点 是 的中
点.若 的半径是3，则 长的最大值是( ) .
A
A.3 B.4 C.5 D.6
图5
5.（2021·西宁）如图5，在 中， ，
， 分别是 ， 的中点，连接 ， .若 ，
，则点 到 的距离是___.
图6
6.如图6，在 中， ， ， ，线段 的两个端点 ， 分别在边 ， 上滑动，且 .若点 ， 分别是 ， 的中点，则 的最小值为_________．
图28
提示：如图28，连接 ， .在 中， ， ， ，
. ，点 ， 分别是 ， 的中点，
， .当 ， ， 三点在同一直线上时， 取最小值， 的最小值为 ．
模型三 已知等腰三角形底边的中点，利用“三线合一”的性质构造垂直
图7
7.如图7，在 中， ， ，等边三
角形 的顶点 在 上，边 交 于点 .若
， ，则 的长为( ) .
A.1 B.2 C.3 D.4
图7
提示： ， ，
为等边三角形， ， .在 中， ， .
．
【答案】D
图8
8.如图8，等边三角形 中， 于点 ，点
为 的中点， ， ，点 为 上
一点，连接 , .如果 ，那么 的最
小值为_____．
图29
提示：如图29，连接 交 于点 ，连接
是等边三角形，点 为 的中点， .在等边三角形 中， 于点 ，
，此时 的值最小. ， ， . 的最小值为 ．
图9
9.如图9，在 中， ， ， 为
的中点， ， 分别是 ， 上的点，且 .求
证： 为等腰直角三角形.
图30
证明：如图30，连接
， ， 为 的中点， ， ，且 平分
.
在 和 中， ， ， ，
，
， ，即 .
为等腰直角三角形.
图30
模型四 已知三角形一边的中线或过中点的线段，利用倍长中线构造全等三角形
10.【问题提出】如图10，在 中，若 ， ，求 边
上的中线 的取值范围.
图10
图11
图12
【问题解决】
（1）解决此问题可以用如下方法，如图10,延长 到
点 ，使 ，再连接 或将 绕点 逆时针
旋转 得到 ，把 ， ， 集中在
中，利用三角形的三边关系，得出中线 的取值范围是____________.
提示： 是 边上的中线， .又 ，
，
， ， ， ,
.
图10
【应用】
（2）如图11，在 中，点 为边 的中点，已知 ， ， .求 的长.
图11
图31
解：如图31，延长 到点 ，使 ，连接
点 为边 的中点， .
在 和 中， ， ， ，
， ，
. .
.
【拓展】
（3）如图12，在 中， ，点 是边 的中点，点 在
边 上，过点 作 交边 于点 ，连接 .已知 ，
，则 的长为_____.
图12
图32
提示：如图32，延长 到点 ，使 ，连接
， 点 为边 的中点， .在
和 中， ， ，
， ，
【答案】
， ， 是 的垂直平分线.
， . ，即 . .
.