微专题 辅助圆最值问题 - 2024年中考数学复习课件（共49张PPT）

(共49张PPT)
微专题 辅助圆最值问题
类型一 点圆最值
模型剖析 平面内一定点 和 上动点 的连线中，当连线过圆心
时，线段 有最大值和最小值.分以下情况讨论：（设 ，
的半径为 ）
（1）点 在 外时， ，如图1、图2.
当 ， ， 三点在同一直线上时，线段 有最值： 的最大值为 ， 的最小值为 .
（2）当点 在 上时， ，如图3.
图3
当 ， ， 三点在同一直线上时，线段 有最值： 的最大
值为 ， 的最小值为 （即点 与点 重合）.
（3）当点 在 内时， ，如图4、图5.
当 ， ， 三点在同一直线上时，线段 有最值： 的最大
值为 ， 的最小值为 .
综上可知，求平面内一定点到圆上一点的距离的最值，只要求出该
定点到圆心的距离 ，则最大值为 ，最小值为 .
模型应用
图6
1.（2023·台州）如图6， 的圆心 与正方形的中心重
合，已知 的半径和正方形的边长都为4，则圆上任意
一点到正方形边上任意一点距离的最小值为( ) .
D
A. B.2 C. D.
小锦囊 当圆的半径经过正方形的顶点时，圆上的点到正方形边上的点的距离取得最小值.
图7
2.如图7，在 中， ，
， ，点 是 的三等分点，半圆
与 相切， ， 分别是 与半圆弧上的动
点，则 的最小值与最大值之和是( ) .
A.5 B.6 C.7 D.8
小锦囊 作 ，垂足为点 ，交半圆 于点 ，此时垂线段 最
短，当点 与点 重合，点 与点 重合时， 的值最小，且
；设半圆 与线段 的交点为 ，当点 与点 重合，点
与点 重合时， 经过圆心，此时 的值最大.
图47
提示：如图47，设半圆 与 相切于点 ，连接
.作 ，交 于点 ，垂足为点 ，此
时垂线段 的长最短， 的最小值 .在 中， , ,所以 .又因为点 是 的三等分点，
所以 .因为 ， 所
以 ，则 .故 .所以 .因为
与 相切于点 ，所以 .因此 ，则 .
故 .所以 .故 .因此 的
最小值 .如图47，
当点 在 边上的点 处，点 与点 重合时， 经过圆心，经过圆心的弦最长.因此 的最大值 .所以 长的最大值与最小值的和是 .
图47
【答案】B
类型二 线圆最值
模型剖析 与定直线 相离，点 是 上的一个动点，设圆心
到直线 的距离为 ， 的半径为 .
（1）圆上点 到定直线 的最小距离：（如图8）
图8
图9
，即 ，
当 ， ， 三点在同一直线上时，取等号（如图9）.
（2）圆上点 到定直线 的最大距离：（如图10）
图10
图11
，
当点 与点 重合时，取等号（如图11）.
综上可知，点 到直线 的最小距离为 ，点 到直线 的最大
距离为 .
模型应用
3.（2023·宿迁）在同一平面内，已知 的半径为2，圆心 到直线 的
距离为3，点 为圆上的一个动点，则点 到直线 的最大距离是
( ) .
B
A.2 B.5 C.6 D.8
类型三 隐形圆最值
图12
（1）动点定长模型
模型剖析 如图12，若 为动点， ，则
， ， 三点共圆，其中点 为圆心.
模型应用
4.已知等腰直角三角形 的腰长为4，点 在斜边 上，点 为该平
面内一动点，且满足 ，则 的最小值为( ) .
A.2 B. C. D.
图48
提示：如图48，因为等腰直角三角形 的腰长为4，所
以斜边长 .因为点 为该平面内一动点，且满足
，所以点 在以点 为圆心，2为半径的圆上.当点
在斜边 的高 上时， 的值最小.因为 是等
【答案】B
腰直角三角形，所以当 时， ，则 .
因为 ，所以 .
图13
（2）直角圆周角模型
模型剖析 如图13，若固定线段 所对动角 恒为 ，
则 ， ， 三点共圆，其中 为圆的直径.
模型应用
图14
5.如图14，在矩形 中， ， ， 是矩形内
部的一个动点，且 ，则 的最小值为_________.
图49
提示：如图49，因为 ，所以点 在以 的中
点 为圆心， 长为直径的一段弧（弧在矩形内部）
上运动.如图49，连接 交 于点 .当点 位于点
位置时，线段 的长取得最小值.在矩形 中，
，所以 .又 ，所以
.所以 .
图15
（3）定弦定角模型
模型剖析
如图15，固定线段 所对的动角 为定值，则 ， ，
三点共圆.
模型应用
图16
6.如图16， 为等边三角形， .若 为 内
一动点，且满足 ，则线段 长的最小值为
_ ___.
图50
提示：因为 是等边三角形，所以 ， .因为 ，所以 .所以 .因此点 运动形成的图形是以点 为圆心的 （如图50）.当 ， ，三点
在同一直线上时， 的长取得最小值.如图50，设 交 于点 ，此时 ， ，则 ， .所以 ，
.因此 .
【答案】
（4）四点共圆模型
模型剖析 如图17，若动角 动角 ，则 ， ， ，
四点共圆；如图18，若固定线段 所对同侧动角 ，则 ，
， ， 四点共圆.
图17
图18
模型应用
图19
7.如图19，在 中， ，
， ， 为 的中点.过点 作
， ， 分别交射线 ， 于点 ， ，则
长的最小值为___.
图51
提示：如图51，连接 .因为 ，
， ，所以 .因为 为
的中点，所以 .因为 ，所以
.又 ，所以 ， ， ， 四
【答案】2
点在以 为直径的圆上.因为 是圆的弦，所以 .所以当
，即 为直径时， 取得最小值.
类型四 阿氏圆最值
模型剖析 如图20，已知点 是 上一动点， ， 为 外两定
点, 为 的半径.当 ， 满足 时，求
的最小值（或 的最大值）.
图20
求解时，如图21，可在 上截取线段 ，使 ，连接 ， ，
可通过“两边对应成比例且夹角相等”得到 ，通过相似三角
形的对应边成比例，可将 转化为 ，从而 ，
连接 ，利用“两点之间线段最短”，将问题转化为求 的长.
图21
模型应用
图22
8.如图22，已知正方形 的边长为4， 的半径
为2，点 是 上的一个动点，则 的最小
值是___， 的最大值是___.
提示：如图52，在 上取一点 ，使 ，
， .又 ，
.
， 当 ， ， 三点在同一直线上时， 的值最小，最小值
，
当点 在 的延长线上时，
的值最大（如图53），
最大值 ．
图52
图53
【答案】5; 5
微专题练习（十一）
辅助圆最值问题
类型一 点圆最值
图1
1.如图1， 的半径为1，圆心 的坐标为 ，
点 是 上的任意一点， ，且 ，
与 轴分别交于 ， 两点.若点 ， 关于原点
对称，则 的最小值为( ) .
C
A.3 B.4 C.6 D.8
图2
2.如图2，抛物线 与 轴交于 ， 两
点， 是以点 为圆心，2为半径的圆上的动
点， 是线段 的中点，连接 ，则线段 长的
最大值是( ) .
A.3 B. C. D.4
图78
提示：如图78，连接 .当 时， ，
解得 ， ，则 ， 是
线段 的中点， 为 的中位线. .当 最大时， 最大.当 , , 三点在同一直线上，即 过圆心 时， 最大.如图78，点 运动
【答案】C
位置时， 最大. ，
线段 长的最大值是 ．
类型二 线圆最值
图3
3.（2023·防城港二模）如图3，在平面直角坐标系
中，点 的坐标为 ， 的半径为2， 为
轴上一动点， 切 于点 ，则 的最小值
是_____．
图4
4.（2023·陕西 节选）如图4，在 中，
， ， ．若
的半径为4，点 在 上，点 在 上，
连接 ，求线段 长的最小值.
图79
解：如图79，连接 ， ，过点 作 ，垂足为点 ，则
的半径为4，
， ， .
,
.
线段 长的最小值为 .
类型三 隐形圆最值
图5
5.如图5，点 ， 的坐标分别为 ， ，点
为坐标平面内一点， ，点 为线段 的中
点，连接 ，则 的最大值为( ) .
A. B. C. D.
图80
提示：如图80， 点 为坐标平面内一点，
， 点 在半径为1的 上.在 轴上取
，连接 ， ，
是 的中位线. .当 最大
时， 最大.当 ， ， 三点共线，且点 在 的
延长线上时， 最大. ， ， . ，即 的最大值为 .
【答案】B
图6
6.（2020·贵港）如图6，动点 在边长为2的正方形
内运动，且 ， 是 边上的一个动
点， 是 边的中点，则 的最小值为
( ) .
A. B. C. D.
图81
提示：如图81，作点 关于 的对称点 ，设 的中点为
点 ，连接 ，交 于点 ，连接 .因为动点 在边长
为2的正方形 内，且 ，所以点 在以 为
直径的圆上， .因为正方形 的边长为2，
所以 ， .因为点 是 的中点，所以
.因为点 与点 关于 对称，所以
， .所以 .在
中， .所以线段
的最小值为 .
【答案】A
图7
7.如图7，在四边形 中， ， ， ， 是 的中点，连接 ，则线段 长的最小值为_______．
图82
提示： ， ， ， ，
四点共圆，且 为直径.如图82，取 的中点 ，
则圆心为点 ，连接 ， ，取 的中点 ，连
接 ， ， .又
， 为等边三角形.
，
. 是 的中点， 是 的中
点， 是 的中位线. .在 中，
， 当 ， ， 三点在同一直线上时， 取得最小值，
最小值为 ．
【答案】
8.（2021·清远）在 中， ， ， ．点 为
平面上一个动点， ，则线段 长的最小值为_________．
图83
提示：如图83．∵ ， ， 作 的外接圆 （因求 最小值，故圆心 和点 在 的同侧），连接 , , ，当 ， ， 三点在同一直线上时， 的值最小． ， . 为等腰直角三角形. ，
．又 ， .
如图83，作 于点 ， 为等腰直角三角形．
.在
中， ．当 ， ， 三点在同一直线上时， 最小， ．
【答案】
图83
类型四 阿氏圆最值
图8
9.如图8，在 中， ， ，
， 的半径为2，点 是 上一动点，连接
， ，则 的最小值是_____．
图84
提示：如图84，在 上取点 ，使 ，连接
， ， ， . .又
， .
.要使
的值最小，只需 的值最小.当 ， ， 三点在
同一直线上时， 的值最小，最小值是 的长.此时
，
的最小值是 ．
【答案】
图9
10.（2020·桂林）如图9，在 中，
，点 ， 分别是 ， 的中点，
点 是扇形 的 上任意一点，连接 ，
，则 的最小值是_____．
图85
提示：如图85，在 上取一点 ，使得 ，连接 ， ， ， ， ， .又 ， .
.在
中， ， ， ，
. . 的最小值为 ．
【答案】
11.阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
已知平面上两点 ， ，则所有符合
且 的点 会组成一个圆，
这个圆称为阿氏圆．
阿氏圆的基本解法：构造三角形相似．
【问题】 如图10，在平面直角坐标系中，在 轴、 轴上分别有点
， ，点 是平面内一动点，且 ，设 ，求
的最小值．
图10
阿氏圆的关键解题步骤：
第1步，如图10，在 上取点 ，使得 .
第2步，证明 .
第3步，连接 ，此时 的长即为所求的最小值．
下面是该题的解答过程（部分）
图10
解：在 上取点 ，使得 .
又 ，
．……
【任务】
（1）将以上解答过程补充完整．
解：在 上取点 ，使得 ，又 ，
.
当 ， ， 三点在同一直线上时， ，取得最小值.
在 中，由勾股定理，得 ．
的最小值为 .
（2）如图11，在 中， ， ， ， 为 内一动点，满足 ，求 的最小值．
图11
解：如图86，在 上取一点 ，使得 ，
连接 ，
， ， ， .
又 ，
.
.
图86
图86
当 , , 三点在同一直线上时， ，取得最小值， 的长即为 的最小值.
在 中， ， ， .
的最小值为 ．