(共5张PPT)
24.4 直线与圆的位置关系
第1课时 直线与圆的位置关系
1.[教材P36练习T1变式1]在同一平面内，有一半径为6的☉O和直线m，点O到直线m的距离为4，则直线m与☉O的位置关系是 （ A ）
A.相交 B.相离
C.相切 D.不能确定
A
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4
2.[教材P36练习T1变式2]已知☉O的直径是6，直线l是☉O的切线，则圆心O到直线l的距离是（ A ）
A.3 B.4 C.6 D.12
A
1
2
3
4
3.[教材P34例1变式]已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，以点C为圆心画圆，若直线AB与☉C相切，则☉C的半径为 4.8 cm.
4.8
1
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3
4
4.[教材P36练习T2变式]圆的直径是13 cm，如果圆心与直线的距离分别是（1）4.5 cm；（2）6.5 cm；（3）8 cm，那么直线与圆分别是什么位置关系？有几个公共点？
1
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3
4
解：圆的半径是＝6.5（cm）.
（1）∵6.5 cm＞4.5 cm，∴直线与圆相交，有两个公共点.
（2）∵6.5 cm＝6.5 cm，∴直线与圆相切，有一个公共点.
（3）∵8 cm＞6.5 cm，∴直线与圆相离，无公共点.(共22张PPT)
24.4 直线与圆的位置关系
第1课时 直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系表：
直线与圆的位置关系 相交 相切 相离
公共点的个数 2 1 0
公共点名称 交点 切点 —
直线名称 割线 切线 —
圆心到直线的距离d与r的关系 d＜r d＝r d＞r
2
1
0
交点
切点
—
割线
切线
—
d＜r
d＝r
d＞r
直线与圆的位置关系的判定
1.[2023·合肥月考改编]已知☉O的半径为4 cm，圆心O到直线l的距离为5 cm，则直线l与☉O的位置关系为( C )
A.相交 B.相切
C.相离 D.无法确定
C
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2.【新情境题】如图是合肥某饭店“光盘行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是( B )
A.相切
B.相交
C.相离
D.无法确定
B
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3.在直角坐标系中，点P的坐标是(2，)，☉P的半径为2，下列说法正确的是( B )
A.☉P与x轴有一个公共点，与y轴有两个公共点
B.☉P与x轴有两个公共点，与y轴有一个公共点
C.☉P与x轴、y轴都有两个公共点
D.☉P与x轴、y轴都没有公共点
B
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4.【教材改编题】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，判断以点C为圆心，下列r为半径的☉C与AB的位置关系.
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(1)r＝2 cm；(2)r＝2.4 cm；(3)r＝3 cm.
解：如图，过点C作CD⊥AB于点D.
在Rt△ABC 中，∵AC＝3 cm，
BC＝4 cm，
∴AB＝＝5 cm.
∵S△ABC＝AB·CD＝AC·BC，
∴AC·BC＝AB·CD，
∴CD＝＝2.4 cm.
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(1)当r＝2 cm时，
∵r＜2.4 cm，∴☉C与AB相离.
(2)当r＝2.4 cm时，
∵r＝2.4 cm，∴☉C 与AB相切.
(3)当r＝3 cm时，
∵r＞2.4 cm，∴☉C与AB相交.
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直线与圆的位置关系的运用
5.[2023·芜湖月考]已知圆与直线有两个公共点，且圆心到直线的距离为4，则该圆的半径可能为( D )
A.2 B.3 C.4 D.5
D
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6.【易错题】如图，位置固定的圆形铁环(☉O)的半径为3 cm，水平方向的直线l到圆心O的距离为5 cm，将直线l沿竖直方向向上平移，若直线l与☉O相切，则平移的距离为 2 cm或8 cm .
2
cm或8 cm
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7.直线l与半径为r的☉O相交，且点O到直线l的距离为5，求r的取值范围.
解：∵直线l与半径为r的☉O相交，且点O到直线l的距离为5，
∴r＞5.
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8.设☉O的半径为r，若点P在直线a上，且OP＝r，则直线a与☉O的位置关系为( D )
A.相交 B.相切
C.相离 D.相交或相切
D
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9.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，以点C为圆心，R为半径作圆.若☉C与边AB只有一个公共点，则R的取值范围是( D )
A.R＝ B.3≤R≤4
C.0＜R＜3或R＞4 D.3＜R≤4或R＝
D
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【变式题】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，如果以点C为圆心的圆与斜边AB有公共点，那么☉C的半径r的取值范围是( C )
C
A.0≤r≤ B.≤r≤3
C.≤r≤4 D.3≤r≤4
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∵∠BCA＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5.
点拨：作CD⊥AB于点D，如图，
∵CD·AB＝BC·AC，∴CD＝.∴☉C与斜边AB有公共点时，r的取值范围为≤r≤4，故选C.
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10.[2023·芜湖模拟]已知☉O的圆心与坐标原点重合，☉O的半径为1，直线l的表达式为y＝x＋t，若直线l与☉O相切，则t的值是 或－ .
或－
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11.[2023·安庆月考]若☉O的半径r＝3，设圆心O到直线l的距离为d，☉O上到直线l的距离为2的点的个数为m，下列命题：①若1＜d＜5，则m＝3；②若d＝5，则m＝1；③若d＞5，则m＝0；④若d＜1，则m＝4；⑤若d＝1，则m＝2.其中真命题有 3 个.
3
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②若d＝5，则m＝1，正确；③若d＞5，则m＝0，正确；
④若d＜1，则m＝4，正确；⑤若d＝1，则m＝3，错误.
点拨：①若1＜d＜5，则m＝2，错误；
12.如图，正方形ABCD的边长为2，AC和BD相交于点O，过点O作EF∥AB，交BC于点E，交AD于点F，则以点B为圆心， 为半径的圆与直线AC，EF，CD的位置关系分别是什么？
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解：由题意得
BO⊥AC，BO＝BD＝ ＝，
即点B到AC的距离为，与☉B的半径相等，
∴直线AC与☉B相切.
∵EF∥AB，∠ABC＝90°，EF过点O，
∴∠BEF＝90°，且BE＝BC＝×2＝1＜，
即点B到EF的距离为1，小于☉B的半径，
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∴直线EF与☉B相交.
∵BC＝2＞，∠BCD＝90°，
即点B到CD的距离为2，大于☉B的半径，
∴直线CD与☉B相离.
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13.[几何直观]如图，已知∠AOB＝30°，P是OA上的一点，OP＝24 cm，以r为半径作☉P.
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(1)若r＝12 cm，试判断☉P与OB的位置关系；
(1)∵PC＝r＝12 cm，
∴☉P与OB相切.
(2)若☉P与OB相离，试求出r需满足的条件.
解：如图，过点P作PC⊥OB，垂足为点C，则∠OCP＝90°.
∵∠AOB＝30°，OP＝24 cm，
∴PC＝OP＝12 cm.
(2)若☉P与OB相离，
则r＜PC，
∴r需满足的条件是0 cm＜r＜12 cm.
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13(共6张PPT)
24.4 直线与圆的位置关系
第2课时 切线的性质与判定
1.[教材P34性质变式]如图，OA是☉O的半径，点B在☉O上，连接OB，过点B作☉O的切线交OA的延长线于点C，若∠C＝40°，则∠AOB＝ 50° .
50°
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2.[教材P36例3变式]如图，AB为☉O的直径，AB＝1 cm，BC＝ cm，当AC＝ 1 cm时，直线AC与☉O相切.
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3.[教材P35例2变式]已知：如图，点A在☉O上.求作：直线PA和☉O相切.下面是小亮设计的尺规作图过程.
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作法：①连接AO；②以点A为圆心，AO长为半径作弧，与☉O的一个交点为B；③连接BO；④以点B为圆心，BO长为半径作圆；⑤作☉B的直径OP；⑥作直线PA.∴直线PA就是所求作的☉O的切线.
根据小亮设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）.
解：补全的图形如图所示.
4.[教材P36定理变式]如图，大圆☉O的半径为8 cm，弦AB＝8 cm，以点O为圆心，4 cm为半径作小圆.求证：直线AB与小圆相切.
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证明：过点O作OC⊥AB于点C.
∵AO＝BO，∴AC＝AB＝×8＝4（cm），
∴在Rt△AOC中，
OC＝＝＝4（cm）.
又∵小圆的半径为4 cm，∴OC为小圆的半径，
∴直线AB与小圆相切.
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4(共24张PPT)
24.4 直线与圆的位置关系
第2课时 切线的性质与判定
1.圆的切线 垂直 于经过切点的半径.
垂直
2.切线判定定理：经过半径外端点并且 垂直 于这条半径的直线是圆的切线.
垂直
切线的性质
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1.【知识初练】如图，直线CD切☉O于点A，则直径AB与CD的位置关系为 垂直(或AB⊥CD) .
垂直(或AB⊥CD)
2.[2023·阜阳月考]如图，已知PA与☉O相切于点A，∠P＝42°，则∠POA＝ 48° .
解题关键：圆的切线垂直于经过切点的半径.
48°
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3.[2023·重庆中考]如图，AB为☉O的直径，直线CD与☉O相切于点C，连接AC，若∠ACD＝50°，则∠BAC的度数为( B )
A.30° B.40°
C.50° D.60°
B
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4.[2023·金华中考]如图，点A在第一象限内，☉A与x轴相切于点B，与y轴相交于点C，D.连接AB，过点A作AH⊥CD于点H.
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(1)证明：∵☉A与x轴相切于点B，
∴AB⊥x轴.
∵AH⊥CD，HO⊥OB，
∴∠AHO＝∠HOB＝∠OBA＝90°，
∴四边形AHOB为矩形.
(1)求证：四边形ABOH为矩形；
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(2)已知☉A的半径为4，OB＝，求弦CD的长.
(2)解：如图，连接AC.
∵四边形AHOB为矩形，∴AH＝OB＝.
在Rt△AHC中，
CH＝＝＝3.
∵点A为圆心，AH⊥CD，
∴CD＝2CH＝6.
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切线的判定
5.【知识初练】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径作☉O，则☉O与AC的位置关系是 相切 .
相切
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6.下列说法中，正确的是( B )
A.与圆有公共点的直线是圆的切线
B.到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线
C.垂直于圆的半径的直线是圆的切线
D.过圆的半径的外端点的直线是圆的切线
B
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7.[2023·蚌埠模拟]如图，☉O的半径为3，直线EF过☉O上一点P，已知下列条件：①点O到直线EF的距离是3；②点P是直线EF与☉O唯一的公共点；③OP⊥EF.其中能判定直线EF与☉O相切的条件有( A )
A.①②③ B.①②
C.②③ D.①③
A
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【变式题】如图，点B在☉A上，点C在☉A外，以下条件不能判定BC是☉A的切线的是( D )
A.∠A＝66°，∠C＝24° B.∠A＋∠C＝∠B
C.AB2＋BC2＝AC2 D.AB＝AC
D
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8.【教材改编题】如图，AB是☉O的直径，AB＝AC，BC交☉O于点D，DE⊥AC于点E，求证：DE是☉O的切线.
证明：如图，连接OD.
∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC.
∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠ABC，
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∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC.
∵DE⊥AC，∴DE⊥OD.
又∵点D在☉O上，
∴DE是☉O的切线.
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9.[2023·宣城月考]如图，已知∠MAN＝30°，O为边AN上一点，以点O为圆心，4为直径作☉O，交AN于D，E两点，当AD＝ 2 时，☉O与AM相切.
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10.[2023·蚌埠月考]如图，☉O的半径为1，弦AB＝，以AB为边在☉O内作等边三角形ABC，将等边三角形ABC绕点A逆时针旋转，当边AC第一次与☉O相切时，旋转角为( D )
A.30° B.45°
C.60° D.75°
D
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11.[2023·扬州中考]如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且∠BCD＝∠A，点O在BC上，以点O为圆心的圆经过C、D两点.
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解：(1)直线AB与☉O相切，理由如下：如图，连接OD，则∠BOD＝2∠BCD.
(1)试判断直线AB与☉O的位置关系，并说明理由；
∵∠BCD＝∠A，
即2∠BCD＝∠A，∴∠BOD＝∠A.
∵∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BOD＝∠B＋∠A＝90°，
∴∠ODB＝90°，即OD⊥AB.
∵OD为☉O的半径，∴直线AB与☉O相切.
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解：(2)∵∠ODB＝90°，sin B＝，∴sin B＝＝.∵OD＝3，∴OB＝5，∴BC＝OB＋OC＝8.∵∠ACB＝90°，∴sin B＝＝，
(2)若sin B＝，☉O的半径为3，求AC的长.
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∴设AC＝3x，AB＝5x，则BC＝＝4x＝8，∴x＝2，∴AC＝3x＝6.
12.[推理能力]如图，△ABC是☉O的内接三角形，AB是☉O的直径，点D在☉O上，且∠ABC＝2∠BAD，过点D作BC的垂线与CB的延长线交于点E.
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(1)求证：DE是☉O的切线；
(1)证明：连接OD，∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，∴∠BOD＝2∠BAD.
又∵∠ABC＝2∠BAD，∴∠BOD＝∠ABC，∴OD∥BC，
∴∠ODE＋∠DEC＝180°.
(1)求证：DE是☉O的切线；
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∵DE⊥BC，∴∠DEC＝90°，
∴∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，
∵OD是半径，∴DE是☉O的切线.
(2)若DE＝3，BE＝1，求☉O的半径.
(2)解：过点O作OF⊥BC于点F，
∴∠OFE＝90°.
又由(1)得，∠ODE＝∠DEC＝90°，
∴四边形ODEF是矩形，
∴OF＝DE，OD＝EF.
设☉O的半径为r，
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∵DE＝3，BE＝1，
∴OF＝3，BF＝EF－BE＝r－1.
在Rt△OFB中，
∵OF2＋FB2＝OB2，
∴32＋(r－1)2＝r2，
解得r＝5.
∴☉O的半径是5.
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12(共25张PPT)
24.4 直线与圆的位置关系
第3课时 切线长定理
1.过圆外一点能够作圆的两条切线. 切线上一点 到 切点 之间的线段长叫做这点到圆的切线长.
切线上一点
切
点
2.切线长定理：过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长 相等 ，圆心与这一点的连线 平分 两条切线的夹角.
相等
平分
切线长的概念
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1.【原创题】将篮球夹在腋下，抽象出的几何图形如图所示，下列说法正确的是( C )
A.射线PA，PB是☉O的切线长
B.直线PA，PB是☉O的切线长
C.线段PA，PB的长是☉O的切线长
D.线段PA，PB是☉O的切线长
C
2.如图，过点P作☉O的切线PA，PB，A，B是切点，过上一点C作☉O的切线MN.下列不是切线长的是( D )
A.线段PA的长 B.线段MA的长
C.线段CN的长 D.线段MN的长
D
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切线长定理
3.【知识初练】如图，过☉O外一点P作☉O的切线PA、PB，其中A、B为切点，连接OP，则图中相等的线段有 PA＝PB ，相等的角有 ∠APO＝∠BPO .
PA＝
PB
∠APO＝∠BPO
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4.P为☉O外一点，PA，PB分别切☉O于A，B两点，若PA＝5，则PB等于( D )
A.2 B.3 C.4 D.5
D
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【变式题】如图，从☉O外一点P引圆的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，若∠APB＝60°，PA＝5，则弦AB的长是( C )
C
A. B. C.5 D.5
点拨：∵PA，PB为☉O的切线，∴PA＝PB.∵∠APB＝60°，∴△APB为等边三角形，∴AB＝PA＝5.
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5.如图，PA，PB为☉O的切线，切点分别为A，B，PO交AB于点C，PO的延长线交☉O于点D，下列结论不一定成立的是( D )
A.PA＝PB B.∠BPD＝∠APD
C.AB⊥PD D.AB平分PD
D
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6.[2023·杭州月考]如图，☉O与正方形ABCD的两边AB，AD相切，切点分别是G，F，且DE与☉O相切于点E.若☉O的半径为4，AB＝10，则DE的长度为( B )
A.5 B.6 C. D.
B
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点拨：如图，连接OE，OF，OG，∵AB，AD，DE都与☉O相切，
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∴DE⊥OE，OG⊥AB，OF⊥AD，DF＝DE.∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝10，∠A＝90°，∴∠A＝∠AGO＝∠AFO＝90°，∴四边形AFOG为矩形.又∵OF＝OG＝4，∴四边形AFOG为正方形，∴AF＝OF＝4，∴DE＝DF＝10－4＝6，故选B.
7.[2023·合肥月考]如图，PA，PB是☉O的切线，A，B为切点，点C，D在☉O上.若∠P＝104°，则∠PAD＋∠BCD＝
218° .
218°
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8.创新题 [2023·泰安中考]为了测量一个圆形光盘的半径，小明把直尺、光盘和三角尺按如图所示的方式放置于桌面上，并量出AB＝4 cm，则这张光盘的半径是 6.9 cm.(精确到0.1 cm.参考数据：≈1.73)
6.9
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9.[2023·合肥月考]如图，正方形ABCD的边长为4 cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过点A作半圆的切线，与半圆相切于点F，与DC相交于点E，则△ADE的面积是( D )
A.12 cm2 B.24 cm2
C.8 cm2 D.6 cm2
D
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10.[2023·武汉中考]如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，以D为圆心，AD为半径的弧恰好与BC相切，切点为E.若＝，则sin C的值是( B )
A. B. C. D.
B
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点拨：如图，作CF⊥AB，交AB的延长线于点F，连接DE，易得四边形ADCF为矩形，∴AF＝DC，AD＝FC.∵BC为☉D的切线，且易得AB为☉D的切线，∴DE⊥BC，AB＝BE.设CE＝x，∵＝，∴设AB＝BE＝a，CD＝3a，∴BF＝AF－AB＝2a，BC＝BE＋CE＝a＋x，在Rt△DEC中，DE2＝CD2－CE2＝9a2－x2，
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在Rt△BFC中，FC2＝BC2－BF2＝(a＋x)2－(2a)2，∵DE＝DA＝FC，∴9a2－x2＝(a＋x)2－(2a)2，解得x＝2a或x＝－3a(不合题意，舍去)，∴CE＝2a，∴DE＝＝＝a，∴sin∠BCD＝＝＝，故选B.
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11.[2023·蚌埠月考]如图，AD、AE是☉O的切线，D、E为切点，BC切☉O于点F，交AD、AE于点B、C，若AD＝8，则△ABC的周长是 16 .
16
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12.如图，PA，PB是☉O的切线，CD切☉O于点E，△PCD的周长为12，∠APB＝60°.求：
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(1)PA的长；
解：(1)∵CA，CE是☉O的切线，A，E为切点，
∴CA＝CE，同理DE＝DB，PA＝PB，∴△PCD的周长＝PD＋PC＋CD＝PD＋PC＋CA＋BD＝PA＋PB＝2PA＝12，∴PA的长为6.
(2)∠COD的度数.
解：(2)∵∠P＝60°，∴∠PCE＋∠PDE＝120°，
∴∠ACD＋∠CDB＝360°－(∠PCE＋∠PDE)＝360°－120°＝240°.∵CA，CE是☉O的切线，
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12.如图，PA，PB是☉O的切线，CD切☉O于点E，△PCD的周长为12，∠APB＝60°.求：
∴∠OCE＝∠OCA＝∠ACD.同理，∠ODE＝∠CDB，∴∠OCE＋∠ODE＝(∠ACD＋∠CDB)＝120°，∴∠COD＝180°－(∠OCE＋∠ODE)＝180°－120°＝60°.
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13.[几何直观]如图，PA，PB是☉O的切线，A，B为切点，C为上的一点，∠COA＝∠P.
(1)求证：BC∥OA；
(1)证明：如图，连接OB，延长AO交☉O于点D，∵PA，PB是☉O的切线，A，B为切点，
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∴∠OBP＝∠OAP＝90°，
∴∠P＋∠AOB＝180°.
∵∠AOB＋∠BOD＝180°，∴∠BOD＝∠P.
又∵∠COA＝∠P，∴∠COA＝∠BOD，
∴∠COB＋2∠COA＝180°.∵OB＝OC，
∴∠BCO＝∠CBO，∴∠COB＋2∠BCO＝180°，
∴∠COA＝∠BCO，∴BC∥OA.
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(2)若BC＝10，OA＝13，求PA的长.
(2)解：延长BC交PA于点E，过点O作OF⊥BC于点F，如图.易得BF＝CF＝BC＝5，四边形OAEF是矩形，∴AE＝OF，OA＝EF＝13，∠PEB＝90°.∵OC＝OA＝13，∴由勾股定理得OF＝＝＝12，∴AE＝12.
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∵PA，PB是☉O的切线，A，B为切点，
∴PA＝PB.设PA＝x，则PB＝x，PE＝x－12.
在Rt△PEB中，PB2＝PE2＋BE2，∴x2＝(x－12)2＋(13＋5)2，解得x＝，∴PA＝.
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