高二数学试卷
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷草稿纸上作答无效.
4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知直线与直线平行，则实数（ ）
A. B. 1 C. D. 3
2. 节日里，人们常用放气球的形式庆祝，已知气球的体积（单位：与半径（单位：）的关系为，则时体积关于半径的瞬时变化率为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知椭圆，过作直线与交于两点，则的周长为（ ）
A. 24 B. 20 C. 16 D. 12
4. 已知双曲线的焦距为10，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
5. 在等比数列中，，，则（ ）
A. B. C. 32 D. 64
6. 在四面体中，点E满足F为BE的中点，且则实数λ=（ ）
A. B. C. D.
7. 已知是坐标原点，若圆上有2个点到的距离为2，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，，，，点是的中点，则线段上的动点到直线的距离的最小值为（ ）
A. B. 2 C. D. 3
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知曲线C方程为，则下列说法正确的是（ ）
A. 存在实数，使得曲线为圆
B. 若曲线C为椭圆，则
C. 若曲线C为焦点在x轴上双曲线，则
D. 当曲线C是椭圆时，曲线C的焦距为定值
10. 已知数列的前项和为，若，则（ ）
A. 4是数列中的项 B. 当最大时，的值只能取5
C. 数列是等差数列 D. 当时，的最大值为11
11. 已知函数，则（ ）
A. 曲线在点处的切线方程是
B. 函数有极大值，且极大值点
C.
D. 函数有两个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数，则__________.
13. 中国三大名楼之一的黄鹤楼因其独特的建筑结构而闻名，其外观有五层而实际上内部有九层，隐喻“九五至尊”之意，为迎接国庆节的到来，有网友建议在黄鹤楼内部挂灯笼进行装饰，若在黄鹤楼内部塔楼的顶层挂4盏灯笼，且相邻的两层中，下一层的灯笼数是上一层灯笼数的两倍，则九层塔楼一共需要挂______盏灯笼．
14. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点（在第二象限），过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，若，，则__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知的圆心为，且过点．
（1）求的标准方程；
（2）若直线与相切于点，求的方程．
16. 已知数列的前项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列前项和为，若，求的最小值.
17. 已知函数，且当时，有极值．
（1）求解析式；
（2）求在上的最大值和最小值．
18. 如图，已知与都是边长为2的正三角形，平面平面，平面，.
（1）求点到平面的距离；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
19. 在直角坐标平面内，已知，动点满足条件：直线与直线斜率之积等于，记动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）过点作直线交于两点（与不重合），直线与的交点是否在一条定直线上？若是，求出这条定直线的方程；若不是，请说明理由.高二数学试卷
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷草稿纸上作答无效.
4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知直线与直线平行，则实数（ ）
A. B. 1 C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据直线平行的条件求解即可.
【详解】由两直线平行，得，解得.
当时，直线与直线平行，故
故选：B.
2. 节日里，人们常用放气球的形式庆祝，已知气球的体积（单位：与半径（单位：）的关系为，则时体积关于半径的瞬时变化率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据瞬时变化率的定义结合导数的运算求解即可.
详解】由，求导得，
所以时体积关于半径的瞬时变化率为.
故选：B.
3. 已知椭圆，过作直线与交于两点，则的周长为（ ）
A. 24 B. 20 C. 16 D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】根据焦点三角形的周长即可求解.
【详解】由椭圆方程可知，则，
所以是椭圆的焦点，
所以的周长为.
故选:.
4. 已知双曲线的焦距为10，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据，求出，即可求解.
【详解】双曲线的焦距为，所以，
所以双曲线的渐近线方程为，
故选：D．
5. 在等比数列中，，，则（ ）
A. B. C. 32 D. 64
【答案】C
【解析】
【分析】利用等比数列的性质求解即可.
【详解】设等比数列的公比为，
则，
即，解得，
所以．
故选：C．
6. 在四面体中，点E满足F为BE的中点，且则实数λ=（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由空间向量线性和基本定理运算可解.
【详解】由F为BE 的中点，得
又
所以，由
得
即所以
故选：D
7. 已知是坐标原点，若圆上有2个点到的距离为2，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出到原点的距离为2的轨迹方程，再由题意可知圆与圆有两个公共点，利用圆与圆的位置关系即可求得实数的取值范围.
【详解】将圆的方程化为标准方程得，所以.
到原点的距离为2的轨迹方程为，
因为圆上有2个点到的距离为2，所以圆与圆相交，
所以，又，
解得，即实数的取值范围为.
故选：A.
8. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，，，，点是的中点，则线段上的动点到直线的距离的最小值为（ ）
A. B. 2 C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】作出辅助线，得到线面垂直，进而得到线线垂直，建立空间直角坐标系，写出点坐标，设，求出点到直线距离，求出最小值.
【详解】取的中点为，连接，，，因为，为的中点，
所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以⊥平面，
因为平面，
所以，
又底面是矩形，所以，
以点为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系如图所示，
由，，，得，
所以，，，
则，设，
则，，
，
，
因此点到直线的距离
，
故当时，取最小值，
即线段上的动点到直线的距离的最小值为．
故选：C．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知曲线C的方程为，则下列说法正确的是（ ）
A. 存在实数，使得曲线为圆
B. 若曲线C为椭圆，则
C. 若曲线C为焦点在x轴上的双曲线，则
D. 当曲线C是椭圆时，曲线C的焦距为定值
【答案】AC
【解析】
【分析】按圆和圆锥曲线的标准方程逐项判断即可.
【详解】A正确：曲线C为圆即 ；
B错误：C为椭圆
C正确：C为焦点在x轴上的双曲线，
D错误：C是椭圆，此时焦距，不是定值.
故选：AC
10. 已知数列的前项和为，若，则（ ）
A. 4是数列中的项 B. 当最大时，的值只能取5
C. 数列是等差数列 D. 当时，的最大值为11
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意可知数列是首项为20，公差为的等差数列，可得，即可知A正确；易知，利用二次函数性质可得当最大时，的值为5或6，故B错误；由等差数列前项和公式可得，即，所以C正确；解不等式可得，所以可知D正确.
【详解】由，得，
所以数列是首项为20，公差为的等差数列，
则，
令，得，即，故A正确；
易知
利用二次函数性质可知当最大时，的值为5或6，故B错误；
由，所以，
所以数列是等差数列，故C正确；
令，则，解得，所以当时，的最大值为11，故D正确．
故选：ACD．
11. 已知函数，则（ ）
A. 曲线在点处的切线方程是
B. 函数有极大值，且极大值点
C.
D. 函数有两个零点
【答案】AB
【解析】
【分析】对于A，求出即可验算；对于B，设，通过导数发现的单调性，进一步结合零点存在定理即可判断；对于C，由B选项结论即可判断；对于D，由零点的定义即可判断.
【详解】对于A，，所以，
所以在点处的切线方程是，即，故A正确；
对于B，设，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，
令，则，所以，
而，
由零点存在定理可知的零点，即函数有极大值，且极大值点，故B正确；
对于C，由以上分析可知在单调递减，且，所以，故C错误；
对于D，，所以只有唯一的一个零点即.
故选：AB.
【点睛】关键点点睛：判断B选项的关键是构造函数，通过求导来得出其函数性质，由此即可顺利得解.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数，则__________.
【答案】24
【解析】
【分析】求导后代入即可得，代入求解即可.
【详解】，故，解得，
故，所以.
故答案为：24
13. 中国三大名楼之一的黄鹤楼因其独特的建筑结构而闻名，其外观有五层而实际上内部有九层，隐喻“九五至尊”之意，为迎接国庆节的到来，有网友建议在黄鹤楼内部挂灯笼进行装饰，若在黄鹤楼内部塔楼的顶层挂4盏灯笼，且相邻的两层中，下一层的灯笼数是上一层灯笼数的两倍，则九层塔楼一共需要挂______盏灯笼．
【答案】
【解析】
【分析】利用等比数列求和公式运算即可得解.
【详解】解：由题意，各层灯笼数从上到下排成一列构成等比数列，
由题意知，公比，
因为等比数列前项和，.
所以前9项和为，
所以九层塔楼一共需要挂盏灯笼．
故答案为：.
14. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点（在第二象限），过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，若，，则__________．
【答案】3
【解析】
【分析】利用抛物线的定义可判定，则从而得出直线的斜率，设其方程与M、N坐标，联立抛物线方程结合韦达定理计算即可.
【详解】如图，的焦点为，
由拋物线的定义，知，
又，所以是等边三角形，所以，，
直线的方程为，设，，
联立方程得，
所以，．
由，
得，解得．
故答案为：3
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知的圆心为，且过点．
（1）求的标准方程；
（2）若直线与相切于点，求的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用圆心坐标和圆上的一个点的坐标求圆的标准方程；
（2）利用直线与圆的位置关系求解.
【小问1详解】
由题可知，的半径为,
所以的标准方程为.
【小问2详解】
因为直线与相切于点，且,
所以，所以，
由点斜式得，，整理得，.
16. 已知数列的前项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，若，求的最小值.
【答案】（1）
（2）8
【解析】
【分析】（1）根据的关系即可求解，
（2）根据裂项相消法求解和，即可列不等式求解.
小问1详解】
当时，由，得；
当时，，符合上式.
综上所述，.
【小问2详解】
，
所以.
由，得，解得，又，所以的最小值为8.
17. 已知函数，且当时，有极值．
（1）求的解析式；
（2）求在上的最大值和最小值．
【答案】（1）
（2）最大值和最小值分别为
【解析】
【分析】（1）由极值的必要条件以及可列方程求解参数，由此即可得解；
（2）求导得出在的单调性，比较极值点与端点函数值即可得解.
【小问1详解】
，由题意，
解得，所以的解析式为.
【小问2详解】
，，
当时，，上单调递增，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
而，
，
所以在上的最大值和最小值分别为.
18. 如图，已知与都是边长为2的正三角形，平面平面，平面，.
（1）求点到平面的距离；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）先有面面垂直得到线面垂直，然后建立空间直角坐标系，再根据点到面的距离公式求解即可；
（2）分别求出两个平面的法向量，根据两个平面的夹角的余弦值即为两个平面的法向量的夹角的余弦值的绝对值求解即可.
【小问1详解】
作中点，
因为与都是正三角形，所以，
又因为平面平面，且平面平面，
所以平面，
所以分别以为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
，
则，
且，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，
所以，
所以点到平面的距离；
【小问2详解】
设平面的法向量为，
因为，
所以，即，令，则，
所以，
由（1）知面的法向量为，
令平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
19. 在直角坐标平面内，已知，动点满足条件：直线与直线的斜率之积等于，记动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）过点作直线交于两点（与不重合），直线与的交点是否在一条定直线上？若是，求出这条定直线的方程；若不是，请说明理由.
【答案】（1）
（2）是，.
【解析】
【分析】（1）设，由斜率公式得到方程，整理即可得解；
（2）依题意直线的斜率不为，设直线的方程为，，，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，表示出直线、的方程，即可得到直线，的交点的坐标满足，根据韦达定理求出，即可求出，从而得解.
【小问1详解】
设，则，
所以，即，
故曲线的方程为；
【小问2详解】
根据题意，直线的斜率不为0，设直线的方程为，
由消去并整理得，
，
设，则，
因为，所以可设直线的方程为，①
直线的方程为，②
所以直线的交点的坐标满足.
而
，
因此，即点在定直线上，且定直线的方程为.
