绵阳中学高2022级高二下期入学考试
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在空间直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据空间点关于原点对称点的特征可得正确的选项.
【详解】点关于原点对称的点的坐标为，
故选：D.
2. 据统计，2023年12月成都市某区域一周指数按从小到大的顺序排列为：45，50，51，53，53，57，60，则这组数据的25百分位数是（ ）
A. 45 B. 50 C. 51 D. 53
【答案】B
【解析】
【分析】按百分位数求解步骤可得.
【详解】由这组数据共个，因为不是整数，
所以这组数据的25百分位数为第个数据，即：.
故选：B.
3. 已知双曲线的焦距为，则的渐近线方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据焦距可求，从而可求渐近线的方程.
【详解】因为焦距为，故，故，故
故渐近线方程为，
故选：C.
4. 圆与圆的位置关系是（ ）
A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 内含
【答案】C
【解析】
【分析】由两圆圆心距与半径和差的关系可得.
【详解】圆的圆心，半径；
圆圆心，半径；
则，则，
故两圆外切.
故选：C.
5. 若直线与直线平行，则的值为（ ）
A. B. 3 C. 3或 D. 或6
【答案】B
【解析】
【分析】由两直线平行得到方程，求出或，通过检验舍去不合要求的解.
【详解】直线：与直线：平行，
所以，解得：或，
①当时，：，：，，符合题意；
②当时，：，：，均为，此时，重合，舍去，
故，
故选：B
6. 如图，已知四面体的棱长都是2，点为棱的中点，则的值为（ ）
A. 1 B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间向量数量符号的运算性质，结合空间向量线性运算的性质进行求解即可.
【详解】因为点为棱的中点，
所以，
因为四面体棱长都是2，
所以，
故选：B
7. 已知等腰直角三角形ABC，，点D为BC边上的中点，沿AD折起平面ABD使得，则异面直线AB与DC所成角的余弦值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，证明平面,不妨设,以为基底的空间向量，,再求解，从而求出，根据是异面直线，求解其余弦值.
【详解】已知等腰直角三角形,点是中点，则,
沿着翻折平面可得,
所以,
又,平面，
所以平面,
不妨设,则，
以为基底的空间向量，
所以，则
所以，
因为是异面直线，所以异面直线的余弦值为.
故选：B
8. 已知双曲线的上焦点为，点坐标，点为双曲线下支上的动点，且的周长不小于10，则双曲线的离心率的取值范围为（ ），
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意，求得，根据周长最小值为10，得到的最小值为7，再由三点共线时，求得，最后根据离心率的公式，即可求解.
【详解】
由题意，双曲线的上焦点为，点的坐标为，
可得，
因为的周长的最小值为10，可得的最小值为7，
又由为双曲线的下焦点，可得,
当三点共线时，取得最小值，且,
即有，解得，
又因为，所以.即，
故选：A.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 某人打靶时连续射击两次，记事件为“第一次中靶”，事件为“至少一次中靶”，事件为“至多一次中靶”，事件为“两次都没中靶”.下列说法正确的是（ ）
A. B. 与是互斥事件
C. D. 与是互斥事件，且是对立事件
【答案】AD
【解析】
【分析】根据互斥事件和对立事件的概念逐项判断即可.
【详解】由题意可知，事件为“第一次中靶且第二次没有中靶”“第一次没有中靶且第二次中靶”“ 两次都中靶” “ 两次都没有中靶”；
事件为“至少一次中靶”，即“第一次中靶且第二次没有中靶”“第一次没有中靶且第二次中靶”“ 两次都中靶”；
事件为“至多一次中靶”，即“第一次中靶且第二次没有中靶”“第一次没有中靶且第二次中靶”“ 两次都没有中靶”；
事件为“两次都没中靶”；
故，与不是互斥事件，与是互斥事件，且是对立事件，.
故选:：AD.
10. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，则下列说法正确的有（ ）
A. 过点且平行于的直线的方程为
B. 直线的方程为
C. 点的坐标为
D. 边的垂直平分线的方程为
【答案】ABC
【解析】
【分析】设过点且平行于的直线的方程为，再将点代入即可判断A；先求出的斜率，再根据点斜式即可判断B；联立直线的方程即可判断C；求出边的中点坐标及所求直线的斜率，再根据点斜式即可判断D.
【详解】对于A，设过点且平行于的直线的方程为，
则，解得，
所以过点且平行于的直线的方程为，故A正确；
对于B，由题意知，，
∵，∴，
所以直线的方程为，即，故B正确；
对于C，联立，解得，
所以点的坐标为，故C正确；
对于D，边的中点坐标为，，
所以边的垂直平分线的斜率为，
所以边的垂直平分线的方程为，即，故D错误.
故选：ABC.
11. 已知双曲线：的右焦点为，以坐标原点为圆心，线段为半径作圆与双曲线在第一、二、三、四象限依次交于A，B，C，D四点，若，则（ ）
A. B.
C. 四边形的面积为 D. 双曲线的离心率为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，由双曲线以及圆的对称性可知和是圆的两条直径即可求得；对于B，与互补，由倍角公式求得即可;对于C：四边形的面积为；对于D： 求出A点纵坐标为，由建立关系求离心率.
【详解】
对于A，由双曲线以及圆的对称性可知和是圆的两条直径，且，所以，故A正确；
对于B，由条件得，
而与互补，所以，故B正确；
对于C，由已知得，∴，
所以四边形的面积为
，故C错误；
对于D，记双曲线的半焦距为，联立，解得，
故A点纵坐标为，则，
再由已知可得为锐角，故
所以，所以，∴，故D正确.
故选:ABD.
12. 如图，在直四棱柱中，，，点在以线段为直径的圆上运动，且三点共线，点分别是线段的中点，下列说法中正确的有（ ）
A. 存在点，使得平面与平面不垂直
B. 当直四棱柱的体积最大时，直线与直线垂直
C. 当时，过点的平面截该四棱柱所得的截面周长为
D. 当时，过的平面截该四棱柱的外接球，所得截面面积的最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】证明平面ABC可判断A；先判断四棱柱为正方体，然后转化为证明平面，即可判断B；取的中点为P，可得截面为梯形，可判断C；根据球的性质判断当小圆圆心为的中点时截面面积最小，然后求出小圆半径即可判断D.
【详解】对于A，因为AC为直径，所以，
又四棱柱为直四棱柱，所以平面ABC，
因为平面ABC，所以，
因为平面，
又平面，所以平面平面，A错误；
对于B，由上可知，四边形ABCD为矩形，
易知，当四边形ABCD的面积S最大时，棱柱的体积最大，
记，则，
当，即时，，此时四边形ABCD为正方形，，
所以，此时四棱柱为正方体，
连接，
因为平面，平面，所以，
由四边形为正方形，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以，B正确；
对于C，由上可知，当时，四棱柱为正方体，
取的中点为P，易知，，
又，所以四边形为平行四边形，故，
所以，所以四点共面，
此时，，
所以梯形的周长为，C正确；
对于D，易知，正方体的外接球球心为正方体的中心，
由对称性可知，球心到M，N的距离相等，
记过的截面小圆半径为r，球的半径为R，球心到截面距离为d，的中点为Q，
则，故当d取得最大值时，r取得最小值，
由求得性质可知，当小圆圆心为的中点时d取最大值，
易知，
所以，
所以，
所以小圆面积为，D正确.
故答案为：BCD
【点睛】本题难点在于判断小圆圆心位于中点时，小圆面积最小，需要学生对球的性质熟悉，且具有较强的空间想象力.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 抛物线的焦点坐标为______.
【答案】
【解析】
【分析】把抛物线方程化成标准形式后可求焦点坐标.
【详解】抛物线的标准方程为：，故，故焦点坐标为.
故答案为：.
14. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据投影向量的概念计算即可得解.
【详解】向量在向量上的投影向量为：
.
故答案为：
15. 随机抛掷两枚均匀骰子，则得到的两个骰子的点数之和是4的倍数的概率是______.
【答案】##
【解析】
【分析】求出总的基本事件数，然后求出和是4的倍数的基本事件数，再利用古典概型的公式求解即可.
【详解】随机抛掷两枚均匀骰子，得到的点数情况有
共种结果，
其中两个骰子的点数之和是4的倍数有，共9种，
所以随机抛掷两枚均匀骰子，则得到的两个骰子的点数之和是4的倍数的概率是.
故答案为：
16. 已知椭圆的左、右顶点分别为，动点均在椭圆上，是坐标原点，记和的斜率分别为；与的面积分别为.若，则的最大值为____________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得的坐标，不妨设点在第一象限，点在第二象限，设出直线的方程，与椭圆方程联立，求出两点的纵坐标，求出的表达式，再根据基本不等式即可得解.
【详解】由椭圆的方程可得，
不妨设点在第一象限，点在第二象限，
设直线的方程为，
代入椭圆方程可得，
解得（舍去），所以，
因为和的斜率，所以，
则直线的方程为，
代入椭圆方程得，
解得（舍去），所以，
则
，
当且仅当，即时，等号成立，
即的最大值为，
由椭圆及直线的对称性，满足条件时的最大值为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 为保障食品安全，某质量监督检验中心从当地海鲜市场的10000条鱼中随机抽取了100条鱼来测量其体内汞的含量，测量指标为：（单位：）.将所得数据分组后，画出了如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中的值，并估计该样本的中位数；
（2）已知当鱼体内汞含量的测量指标超过时，就不符合可食用标准.用样本估计总体，求这一批鱼中约有多少条不符合可食用标准.
【答案】（1），
（2）500
【解析】
【分析】（1）由频率之和等于1得出a，再利用频率分布直方图的中位数的求法求解即可；
（2）求出样本中汞含量超过的频率，利用频率进行估计.
【小问1详解】
由，解得.
因为，
所以中位数位于.
所以中位数为：.
【小问2详解】
由题意，抽取的100条鱼测量指标超过的频率为.
由样本的频率分布，估计10000条鱼中不符合可食用标准有（条）.
所以用样本估计总体，这一批鱼中约有500条不符合可食用标准.
18. 已知圆心在直线上的圆经过，两点.
（1）求圆的标准方程；
（2）过点的直线与圆交于，两点，且，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）或.
【解析】
【分析】（1）根据已知条件及圆心在弦的垂直平分线上，进而求出垂直平分线方程，联立方程组求出圆心，利用两点间的距离求出半径,结合圆的标准方程即可求解；
（2）利用直线的点斜式方程注意斜率讨论斜率的存在性，利用点到直线的距离公式及弦长、半径、弦心距三者之间的关系即可求解.
【小问1详解】
由题意可知，作出图形如图所示
，，的中点为.
的垂直平分线为，即
由解得，
故圆心为，半径.
圆的标准方程为.
【小问2详解】
由题意可知，作出图形如图所示
当直线斜率不存在时，此时，满足条件，直线方程为
当直线斜率存在时，设直线方程为，即.
，
圆心到直线的距离为，解得，
故直线方程为，即.
综上所述：直线的方程为或.
19. 如图，在三棱台中，若面，，空间中两点分别满足.
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由向量共面证明线面平行；
（2）建系，利用法向量方法求解两平面的夹角.
【小问1详解】
，
，
由向量共面充要条件可知，向量共面，
又平面，平面；
【小问2详解】
平面，平面.
.
又因为，所以两两互相垂直.
以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系.
于是，
则
因为，
,
取平面的一个法向量为.
设平面的法向量，平面与平面的夹角为，
由，得，
令，得，则.
.
所以，平面与平面的夹角的余弦值为.
20. 动圆经过定点，且与直线相切.记动圆圆心的轨迹为曲线.
（1）求曲线方程；
（2）过点的直线与曲线交于两点，设点是线段上的动点（除端点），原点关于点的对称点为，求四边形面积的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据抛物线定义求解；
（2）根据题意，由对称性得：四边形的面积，联立直线与抛物线方程，由韦达定理得，求出四边形的面积表达式，得解.
【小问1详解】
点到定点的距离与到定直线的距离相等，
点轨迹是以A为焦点，为准线的抛物线.其方程为.
【小问2详解】
设直线，，，
由对称性得：四边形的面积，
由消去，得，，
由韦达定理得，
当时，四边形的面积取得最小值.
21. 某企业为了推动技术革新，计划升级某电子产品，该电子产品核心系统的某个部件由2个电子元件组成.如图所示，部件是由元件A与元件组成的串联电路，已知元件A正常工作的概率为，元件正常工作的概率为，且元件工作是相互独立的.
（1）求部件正常工作的概率；
（2）为了促进产业革新，该企业计划在核心系统中新增两个另一产地的电子元件，使得部件正常工作的概率增大.已知新增元件正常工作的概率为，且四个元件工作是相互独立的.现设计以下三种方案：
方案一：新增两个元件都和元件并联后，再与串联；
方案二：新增两个元件都和元件并联后，再与串联；
方案三：新增两个元件，其中一个和元件并联，另一个和元件并联，再将两者串联.
则该公司应选择哪一个方案，可以使部件正常工作的概率达到最大？
【答案】（1）
（2）方案三，理由见解析
【解析】
【分析】（1）设出事件，由独立事件概率乘法公式求出答案；
（2）表达出方案一、二、三正常工作的概率，作差后得到答案.
【小问1详解】
记事件分别表示元件正常工作，则，
事件表示正常工作，由元件工作是相互独立的.
则.
【小问2详解】
设方案一、二、三正常工作的概率分别为，设新增的两个元件为元件，
记事件分别表示新增的两个元件正常工作，则.
事件分别表示元件不正常工作，由于四个元件工作相互独立，
则
.
所以；
同理得：；
.
又因为，
，
所以选择方案三可以使部件正常工作的概率最大.
22. 已知椭圆的左右顶点分别为，，离心率为，且过点．
（1）求椭圆的标准方程;
（2）过点作与轴不重合的直线与椭圆相交于，两点(在，之间)．证明:直线与直线的交点的横坐标是定值．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）待定系数法求椭圆标准方程；
（2）用“设而不求法”表示出M、N，，从而表示出直线MB，NA, 证明直线与直线的交点的横坐标是定值．
【详解】（1）因为，所以
椭圆过点，
所以，
所以，，
所以椭圆的方程为
（2）设直线，设，
联立得：
，或
由韦达定理得：
，
由题意得：直线，直线
所以
即
整理得，
即
即
若，则，此时，
所以
所以
【点睛】（1）待定系数法是求二次曲线的标准方程的常用方法；绵阳中学高2022级高二下期入学考试
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在空间直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
2. 据统计，2023年12月成都市某区域一周指数按从小到大顺序排列为：45，50，51，53，53，57，60，则这组数据的25百分位数是（ ）
A. 45 B. 50 C. 51 D. 53
3. 已知双曲线的焦距为，则的渐近线方程是（ ）
A. B.
C. D.
4. 圆与圆的位置关系是（ ）
A 相交 B. 内切 C. 外切 D. 内含
5. 若直线与直线平行，则的值为（ ）
A. B. 3 C. 3或 D. 或6
6. 如图，已知四面体的棱长都是2，点为棱的中点，则的值为（ ）
A. 1 B. C. D. 2
7. 已知等腰直角三角形ABC，，点D为BC边上的中点，沿AD折起平面ABD使得，则异面直线AB与DC所成角的余弦值为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知双曲线上焦点为，点坐标，点为双曲线下支上的动点，且的周长不小于10，则双曲线的离心率的取值范围为（ ），
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 某人打靶时连续射击两次，记事件为“第一次中靶”，事件为“至少一次中靶”，事件为“至多一次中靶”，事件为“两次都没中靶”.下列说法正确的是（ ）
A. B. 与是互斥事件
C. D. 与是互斥事件，且是对立事件
10. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，则下列说法正确的有（ ）
A. 过点且平行于的直线的方程为
B. 直线的方程为
C. 点的坐标为
D. 边的垂直平分线的方程为
11. 已知双曲线：的右焦点为，以坐标原点为圆心，线段为半径作圆与双曲线在第一、二、三、四象限依次交于A，B，C，D四点，若，则（ ）
A. B.
C. 四边形的面积为 D. 双曲线的离心率为
12. 如图，在直四棱柱中，，，点在以线段为直径的圆上运动，且三点共线，点分别是线段的中点，下列说法中正确的有（ ）
A. 存在点，使得平面与平面不垂直
B. 当直四棱柱的体积最大时，直线与直线垂直
C. 当时，过点的平面截该四棱柱所得的截面周长为
D. 当时，过的平面截该四棱柱的外接球，所得截面面积的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 抛物线的焦点坐标为______.
14. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是_______．
15. 随机抛掷两枚均匀骰子，则得到的两个骰子的点数之和是4的倍数的概率是______.
16. 已知椭圆左、右顶点分别为，动点均在椭圆上，是坐标原点，记和的斜率分别为；与的面积分别为.若，则的最大值为____________.
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 为保障食品安全，某质量监督检验中心从当地海鲜市场的10000条鱼中随机抽取了100条鱼来测量其体内汞的含量，测量指标为：（单位：）.将所得数据分组后，画出了如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中的值，并估计该样本的中位数；
（2）已知当鱼体内汞含量的测量指标超过时，就不符合可食用标准.用样本估计总体，求这一批鱼中约有多少条不符合可食用标准.
18. 已知圆心在直线上的圆经过，两点.
（1）求圆的标准方程；
（2）过点的直线与圆交于，两点，且，求直线的方程.
19. 如图，在三棱台中，若面，，空间中两点分别满足.
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
20. 动圆经过定点，且与直线相切.记动圆圆心的轨迹为曲线.
（1）求曲线方程；
（2）过点的直线与曲线交于两点，设点是线段上的动点（除端点），原点关于点的对称点为，求四边形面积的最小值.
21. 某企业为了推动技术革新，计划升级某电子产品，该电子产品核心系统的某个部件由2个电子元件组成.如图所示，部件是由元件A与元件组成的串联电路，已知元件A正常工作的概率为，元件正常工作的概率为，且元件工作是相互独立的.
（1）求部件正常工作的概率；
（2）为了促进产业革新，该企业计划在核心系统中新增两个另一产地电子元件，使得部件正常工作的概率增大.已知新增元件正常工作的概率为，且四个元件工作是相互独立的.现设计以下三种方案：
方案一：新增两个元件都和元件并联后，再与串联；
方案二：新增两个元件都和元件并联后，再与串联；
方案三：新增两个元件，其中一个和元件并联，另一个和元件并联，再将两者串联.
则该公司应选择哪一个方案，可以使部件正常工作的概率达到最大？
22. 已知椭圆的左右顶点分别为，，离心率为，且过点．
（1）求椭圆的标准方程;
