合肥市普通高中联盟2023-2024学年第一学期期末联考
高二年级数学试卷
温馨提示：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．
2．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．请将答案写在答题卡上．考试结束后，只交“答题卡”．
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 经过，两点的直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知向量，，则向量（ ）
A. B. C. D.
3. 在等差数列中，，，则的值是（ ）
A. 13 B. 14 C. 16 D. 17
4. 如果直线与互相垂直，那么a的值等于（ ）
A. －1 B. C. D. 2
5. 直线被圆截得的弦长为（ ）
A. B. 2 C. D. 4
6. 大衍数列来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，该数列从第一项起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，，则该数列第18项为
A. 200 B. 162 C. 144 D. 128
7. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，、分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，若为等边三角形，则该双曲线的离心率为
A. B. C. D. 3
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 满足下列条件的数列是递增数列的为（ ）
A. B. C. D.
10. 下列说法正确的是（ ）
A 直线必过定点
B. 直线在y轴上的截距为1
C. 过点且垂直于直线的直线方程为
D. 直线的倾斜角为120°
11. 已知曲线C：，则（ ）
A. 存m，使C表示圆
B. 当时，则C的渐近线方程为
C. 当时，则C的焦点是，
D. 当C表示双曲线时，则或
12. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，，，底面ABCD，且，M、N分别为PC、PB的中点.则（ ）
A. B. C. 平面ANMD D. BD与平面ANMD所在的角为30°
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知为坐标原点，，若，则的坐标是__________．
14. 已知抛物线 上一点的距离到焦点的距离为5，则这点的坐标为_______．
15. 已知等差数列的公差，若成等比数列，则的值为______.
16. 光线沿直线入射到直线后反射，则反射光线所在直线的方程为________．
四、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
17. 已知数列的前n项和为，，其中．
（1）求通项公式；
（2）求数列的前n项和．
18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于60°，M是PC的中点，设，，.
（1）试用表示向量；
（2）求BM的长.
19. 已知双曲线渐近线方程为，且双曲线C过点.
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线与双曲线C只有一个公共点，求实数k的值.
20. 如图，矩形ADFE和梯形ABCD所在平面互相垂直，AB∥CD，∠ABC＝∠ADB＝90°，CD＝1，BC＝2，DF＝1．
（1）求证：BE∥平面DCF；
（2）求点B到平面DCF的距离．
21. 已知数列满足，
（1）证明是等比数列，并求的通项公式
（2）若，求数列的前项和．
22. 已知椭圆（）的离心率，椭圆过点
（1）求椭圆的方程；合肥市普通高中联盟2023-2024学年第一学期期末联考
高二年级数学试卷
温馨提示：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．
2．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．请将答案写在答题卡上．考试结束后，只交“答题卡”．
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 经过，两点的直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出过两点的直线的斜率，结合倾斜角和斜率的关系，即可求得答案.
【详解】由题意得经过，两点的直线的斜率为，
而直线倾斜角范围为，
故经过，两点的直线的倾斜角为，
故选：C
2. 已知向量，，则向量（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用空间向量的加减运算即可得解.
【详解】因为，，
所以.
故选：C.
3. 在等差数列中，，，则的值是（ ）
A. 13 B. 14 C. 16 D. 17
【答案】B
【解析】
【分析】利用等差公式下标和性质即可得解.
【详解】因为是等差数列，，，
所以，即，解得.
故选：B.
4. 如果直线与互相垂直，那么a的值等于（ ）
A. －1 B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用直线垂直的性质列方程求解即可.
【详解】因为直线与互相垂直，
所以，解得.
故选：C.
5. 直线被圆截得的弦长为（ ）
A. B. 2 C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
利用直线和圆相交所得的弦长公式直接计算即可.
【详解】由题意可得圆的圆心为O(0,0)，半径，则圆心到直线的距离，所以由直线和圆相交所得的弦长公式可得弦长为：.
故选：B.
【点睛】本题考查了直线和圆相交所得弦长计算，考查了运算能力，属于基础题.
6. 大衍数列来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，该数列从第一项起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，，则该数列第18项为
A. 200 B. 162 C. 144 D. 128
【答案】B
【解析】
【分析】由题意，首先猜想数列的通项公式，然后求解该数列第18项即可.
【详解】偶数项分别为2，8，18，32，50，
即，，，，，
即偶数项对应的通项公式为，
则数列的第18项为第9个偶数
即，
故选B．
【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，根据数列寻找偶数项的规律是解决本题的关键．
7. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：以D点为坐标原点，以DA、DC、所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），（0，2，1）
∴ =（-2，0，1）， =（-2，2，0），且为平面BB1D1D的一个法向量．
∴．∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为
考点：直线与平面所成的角
8. 如图，、分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，若为等边三角形，则该双曲线的离心率为
A B. C. D. 3
【答案】C
【解析】
【详解】根据双曲线的定义，可得| 是等边三角形，即 即 ，又
∵△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，∠F1AF2=120°， 即
解之得
由此可得双曲线C的离心率
故选C．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 满足下列条件的数列是递增数列的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据与的大小关系判断是否为递增数列.
【详解】A．因为，所以是递减数列；
B．因为，所以是递增数列；
C．因为，所以是递减数列；
D．因为，所以是递增数列；
故选：BD.
【点睛】结论点睛：已知数列，根据与的大小关系判断的单调性：
（1）若，则为递增数列；
（2）若，则为递减数列；
（3）若，则为常数列.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 直线必过定点
B. 直线在y轴上截距为1
C. 过点且垂直于直线的直线方程为
D. 直线的倾斜角为120°
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A，整理直线方程，合并出参数的系数，令其等于零，建立方程，可得答案；
对于B，将代入直线方程，结合截距的定义，可得答案；
对于C，根据直线之间的垂直关系，设未知直线方程，代入点，可得答案；
对于D，根据直线的一般式方程，明确直线的斜率，可得答案.
【详解】对于A，由直线方程，整理可得，当时，，故A正确；
对于B，将代入直线方程，可得，解得，故B错误；
对于C，由直线方程，则其垂线的方程可设为，将点代入上式，可得，解得，则方程为，故C正确；
对于D，由直线方程，可得其斜率为，设其倾斜角为，则，解得，故D错误.
故选：AC.
11. 已知曲线C：，则（ ）
A. 存在m，使C表示圆
B. 当时，则C的渐近线方程为
C. 当时，则C的焦点是，
D. 当C表示双曲线时，则或
【答案】AD
【解析】
【分析】由圆方程的特征得到，从而判断A；利用双曲线渐近线公式判断B；由题意得，从而由椭圆方程特征得到焦点在轴上，进而判断C；由双曲线方程的特征得到，从而判断D.
【详解】A选项，当，即时，为圆，故A正确；
B选项，当时，，故渐近线方程为，故B错误；
C选项，当时，则，显然C的焦点在轴上，故C错误；
D选项，当C表示双曲线时，，则或，故D正确.
故选：AD.
12. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，，，底面ABCD，且，M、N分别为PC、PB的中点.则（ ）
A. B. C. 平面ANMD D. BD与平面ANMD所在的角为30°
【答案】CD
【解析】
【分析】通过反证法证明A，B错误，通过线面垂直判定定理证明C正确，通过作出线面角求得D正确.
【详解】对A，若，又，则面，与底面ABCD矛盾，故A错误；
对B，若，则平面，则，在题中给出的直角梯形中，显然不可能，故B错误；
对C，，，所以平面ANMD ，故C正确；
对D，连接DN，因为平面ADMN，所以是BD与平面ADMN所成的角在中，，所以BD与平面ADMN所成的角为，故D正确；
故选：CD.
【点睛】本题考查空间中线线垂直、线面垂直的证明、线面角的求解，考查转化与化归思想、数形结合思想，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意准确作出线面角，再从三角形中进行求解.
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知为坐标原点，，若，则的坐标是__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用空间向量的线性运算可求向量的坐标.
【详解】为坐标原点，，则.
.
故答案为：.
14. 已知抛物线 上一点的距离到焦点的距离为5，则这点的坐标为_______．
【答案】
【解析】
【详解】由抛物线定义得 ,即这点的坐标为
15. 已知等差数列的公差，若成等比数列，则的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据等比中项以及等差数列基本量的计算即可化简求解.
【详解】由得,所以,
故答案为：
16. 光线沿直线入射到直线后反射，则反射光线所在直线的方程为________．
【答案】
【解析】
【分析】求得直线与直线交点后，再求直线上一点关于直线的对称点，是本题的关键所在.
【详解】由得
即直线与直线交点为
在直线上取点
设点关于的对称点为
则即
则反射光线所在直线的方程为
故答案为：
四、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
17. 已知数列的前n项和为，，其中．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1） 利用与的关系式，分类讨论与即可得解；
（2）利用裂项相消求和法即可得解.
【小问1详解】
因为，
当时，有，
当时，有，
所以，
经检验，满足上式，
所以，；
【小问2详解】
因为，；
所以，
因此.
18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于60°，M是PC的中点，设，，.
（1）试用表示向量；
（2）求BM的长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】利用空间向量基本定理用基底表示；（2）在第一问的基础上运用空间向量数量积运算法则进行运算.
【小问1详解】
【小问2详解】
，所以，则BM的长为.
19. 已知双曲线的渐近线方程为，且双曲线C过点.
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线与双曲线C只有一个公共点，求实数k的值.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）由题意得，解方程组求出，从而可求得双曲线C的方程，
（2）将直线方程代入双曲线方程中化简，然后二次项系数为零和二次项系数不为零，两种情况求解即可
【小问1详解】
由题意得，解得
所以双曲线方程为.
【小问2详解】
由，得，
由题意得，解得.
当，即时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线l与双曲线C只有一个公共点，
所以或.
20. 如图，矩形ADFE和梯形ABCD所在平面互相垂直，AB∥CD，∠ABC＝∠ADB＝90°，CD＝1，BC＝2，DF＝1．
（1）求证：BE∥平面DCF；
（2）求点B到平面DCF的距离．
【答案】（1）证明见解析
（2）2
【解析】
【分析】（1）通过证明平面ABE∥平面DFC即可得解；
（2）以D为原点，建立空间直角坐标系，通过空间向量的计算可得解.
【小问1详解】
证明：∵得AB∥CD，平面DCF；平面DCF，∴AB∥平面DCF；
∵AE∥DF，平面DCF；平面DCF，∴AE∥平面DCF，
∵平面ABE, 平面ABE,
∴平面ABE∥平面DFC，
∵BE 平面ABE，∴BE∥平面DCF．
【小问2详解】
如图，以D为原点，建立空间直角坐标系．
∵AB∥CD，∠ABC＝∠ADB＝90°，则△ADB∽△BCD ，
∵CD＝1，BC＝2．∴BD＝，∴AD＝2，AB＝5，
∴F(0，0，1)，D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，，0)，C，
，．
设平面DCF的法向量为，
则，∴，
令x＝1，y＝2，z＝0．∴.
∴．
∴B到平面DCF的距离为2．
21. 已知数列满足，
（1）证明是等比数列，并求的通项公式
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1）证明见解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）首先由已知构造得，从而能证明是等比数列.并能求出的通项公式.
（2）由.利用错位相减法能求出数列的前项.
【小问1详解】
∵数列满足，，
∴，
又，
∴是首项为，公比为3的等比数列.
∴，
∴的通项公式.
【小问2详解】
.
∴数列的前项和：
，①
，②
①-②，得：
，
∴.
22. 已知椭圆（）的离心率，椭圆过点
（1）求椭圆方程；
（2）直线的斜率为，直线与椭圆交于两点，已知，求面积的最大值.
【答案】(1) ;(2)2.
【解析】
【详解】试题分析: （1）根据椭圆的离心率和椭圆过点即可求出，则椭圆的方程可求；
（2）设直线 方程 把其与椭圆的方程联立，求出弦长，即为 的底，由点线距离公式求出的高，然后用基本不等式求最值．
试题解析：
（1）∵∴
∵椭圆过点∴
（2）
