（冲刺高考）2024届北京市高考数学重难点模拟试题（含解析）

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（冲刺高考）2024届北京市高考数学重难点模拟试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）．
A． B． C． D．
2．已知复数在复平面内对应点的分别为，则的共轭复数为
A． B． C． D．
3．下列叙述中正确的是（ ）
A．命题“，”的否定是“，”
B．“”是“直线和直线垂直”的充分而不必要条件
C．命题“若，则且”的否命题是“若，则且”
D．若为真命题，为假命题，则，一真一假
4．已知向量，的夹角为60°，且，则的最小值是（ ）
A．3 B．2 C． D．
5．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上是单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
6．在的展开式中，的系数是（ ）
A．10 B．20 C．32 D．35
7．已知以为焦点的抛物线上的两点、满足，则弦的中点到准线的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．在中，内角的对边分别是，若，，则
A． B． C． D．
9．把边长为的正方形沿对角线折成直二面角，折成直二面角后，在A，B，C，D四点所在的球面上，B与D两点之间的球面距离为（ ）
A． B． C． D．
10．已知数列的通项公式，其前项和为，且对任意正整数均成立，则正整数的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
二、填空题
11．给出下列说法：①终边相同的角不一定相等；②第二象限的角大于第一象限的角；③的角是第一象限的角；④小于的角是钝角、直角和锐角.其中错误的序号是 .
12．已知函数yf(x)是定义在R上的奇函数，当x0时f(x) x2 4x1，则f(0)＋f(1)=
13．已知某双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，离心率，且双曲线过点，求该双曲线的方程．
14．若数列满足，则称数列为凹数列．已知等差数列的公差为，．且数列是凹数列，则的取值范围为 .
15．已知函数给出下列四个结论：
①若有最小值，则的取值范围是；
②当时，若无实根，则的取值范围是；
③当时，不等式的解集为；
④当时，若存在，满足，则.
其中，所有正确结论的序号为 .
三、解答题
16．在底面是菱形的四棱锥中，.
（1）证明：平面；
（2）点在棱上.
①如图1，若点是线段的中点，证明：平面；
②如图2，若，在棱上是否存在点，使得平面？证明你的结论.
17．如图，某地有三家工厂，分别位于矩形的两个顶点A、及的中点 处．km，km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域内（含边界）且与A、等距的一点处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道，，．记铺设管道的总长度为ykm．
(1)设（弧度），将表示成的函数并求函数的定义域；
(2)假设铺设的污水管道总长度是km，请确定污水处理厂的位置．
18．一个袋中装有大小相同，质量均匀的红球2个，白球3个，黑球3个，某人有放回的从袋中取球，每次取1个球，直到取得红球或取球5次时取球结束．
(1)求第3次取球结束的概率；
(2)求取球次数的分布列，并求出数学期望．
19．已知椭圆C：的四个顶点恰好是边长为2，一内角为60°的菱形的四个顶点.
(1)求椭圆C的方程及其离心率；
(2)若A、B为椭圆C上关于原点对称的两点，试问：在直线l：上是否存在点P，使得△ABP为等边三角形，若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由.
20．已知函数．
(1)若函数在处的切线斜率为，求实数的值；
(2)若函数有且仅有三个不同的零点，分别设为
（i）求实数的取值范围；
（ii）求证：．
21．已知数列为等差数列，，其前项和为，数列为等比数列，且对任意的恒成立.
(1)求数列、的通项公式；
(2)是否存在，，使得成立，若存在，求出所有满足条件的，；若不存在，说明理由；
(3)是否存在非零整数，使不等式对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
参考答案：
1．D
【分析】利用集合的交集运算求解.
【详解】，，
.
故选：D
2．D
【详解】由复数z1，z2在复平面内的对应点的分别为（1，﹣1），（﹣2，1），
得z1=1﹣i，z2=﹣2+i，
则 =．
∴的共轭复数为
故选D．
3．D
【分析】选项：根据特称命题的否定为全称命题进行判断；
选项：根据两直线垂直求出，从而判断“”是“直线和直线垂直”的必要而不充分条件；
选项：根据否命题的定义来判断；
选项：根据含有逻辑连接词的命题的真假来判断.
【详解】选项：命题的否定为，，故选项错误；
选项：直线和直线垂直的充要条件为，即，可以推出，但推不出，故“”是“直线和直线垂直”的必要而不充分条件，故选项错误；
选项：命题“若，则且”的否命题是“若，则或”， 故选项错误；
选项：若为真命题，则，中至少有一个为真，若为假命题，则，中至少有一个为假，因此，一真一假，故选项正确.
故选：D.
4．C
【分析】运用平面向量数量积的运算性质，结合配方法进行求解即可.
【详解】，
当时，有最小值，
故选：C
5．C
【分析】根据基本初等函数的单调性结合偶函数的定义和性质逐项判断后可得正确的选项.
【详解】对于A，当时，，此时在上为减函数，故A错误.
对于B，设，因为，故，
故不是偶函数，故B错误.
对于C，设，此函数的定义域为，且，
故为偶函数，
而时，，此时在上为增函数，故C满足.
对于D，设，
因为，且，
故不是偶函数，
故选：C.
6．A
【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令的次数为2，求出的值，从而可求出的系数
【详解】的展开式的通项为：
令，得，即
所以的系数是10
故选：A
7．A
【分析】分斜率存在和斜率不存在两种情况讨论，在斜率存在的情况下，设，，直线的方程为：，联立抛物线得韦达定理，根据向量求解即可.
【详解】当过点直线斜率不存在时，，与题意矛盾，故斜率存在，
设，，直线的方程为：
由消法得：，所以，，
又因为，且，所以，
即，所以，解得，因为，，
准线方程为：，所以弦的中点到准线的距离为：
故选：A.
8．A
【详解】试题分析：由及正弦定理可得，再由，可得，再由余弦定理可得，所以，故选A.
考点：余弦定理；正弦定理.
9．C
【分析】取中点，说明即为外接球球心，证明是二面角的平面角，，由球面距离的定义计算．
【详解】取中点，连接，则，即为外接球球心，
又，所以是二面角的平面角，二面角是直二面角，所以，
，则，，
所以B与D两点之间的球面距离为．
故选：C．
10．A
【分析】证明在上恒成立，得到，计算得到答案.
【详解】设函数，，则，函数单调递减，且，
故在上恒成立，故，
故
，即，综上，，即．
故选：A.
【点睛】本题考查了数列和的最值，放缩数列是解题的关键.
11．②③④
【分析】根据题意，由任意角的定义对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】①终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差的整数倍，故正确；
②角是第一象限角，角是第二象限角，，故错误；
③的角是指大于等于小于的角，其中角不是象限角，故错误；
④小于的角还包括零角和负角，故错误；
故答案为：②③④
12．-2
【分析】由f（x）是定义在上的奇函数，可得f（0）＝0，再结合当x0时f(x) x2 4x1，可得f（1）＝﹣2，然后求解即可.
【详解】解：∵f（x）是定义在上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2﹣4x+1，
则f（0）＝0，f（1）＝1﹣4+1＝﹣2，
则f（0）+f（1）＝0﹣2＝﹣2，
故答案为-2.
【点睛】本题考查了利用函数解析式求值问题，重点考查了奇函数的性质，属基础题.
13．
【分析】首先根据设，从而得到所求双曲线的方程为或，再代入求解即可.
【详解】由，得．设，则．
设所求双曲线的方程为或，
把点的坐标代入中，得，与矛盾．
把点的坐标代入中，得，
故所求双曲线的方程为．
故答案为：
14．
【分析】依题意可得，利用数列是凹数列，结合新定义，求出的取值范围．
【详解】解：等差数列的公差为，，
，
数列是凹数列，
，，
即，
即，
即，
，即；
故答案为：．
15．②③④
【分析】对①，利用函数的单调性与最值的关系结合函数图象求解；对②，利用函数图象，数形结合求解；对③，利用函数的单调性解不等式；对④，利用函数的切线与导函数的关系，以及图形的对称关系，数形结合求解.
【详解】当时，，
当时，，
若，则当时，，则此时函数无最小值；
若，则当时，，时，，
则函数有最小值为满足题意；
若，则当时，，时，，
要使函数有最小值，则，解得；
综上，的取值范围是，①错误；
当时，函数在单调递增，单调递减，单调递减，
作图如下，

因为无实根，所以或，②正确；
当时，

因为，所以函数在单调递减，
又因为所以由可得，
，即，解得，所以，
所以不等式的解集为，③正确；

函数在点处的切线斜率为，
所以切线方程为，则由图象可知，时，，
设，
记直线与函数，，的交点的横坐标为，
因为经过点，
所以由对称性可知，当时，，又因为，所以，④正确；
故答案为:②③④.
【点睛】关键点点睛：本题的②③④小问都用数形结合的思想，数形结合的思想通常与函数的单调性、最值等有关联，根据单调性、最值，以及一些特殊的点准确作出函数图象是用数形结合来解决问题的关键.
16．（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②存在，证明见解析
【分析】（1）首先根据题意得到是等边三角形，根据勾股定理得到，，再根据线面垂直的判定即可证明平面.
（2）①根据三角形中位线即可得到，再根据线面平行的判定即可证明平面.②存在是中点，使得平面，取中点，连结.根据三角形中位线即可得到面，面，即平面平面，再利用面面平行的性质即可得到平面.
【详解】（1）在菱形中，，
∴是等边三角形.
又，故菱形边长为，
在中，，则
同理.
又面，，
∴平面.
（2）①连结交于，连接.
在菱形中为中点又是线段的中点，
所以.
∵面，面，
∴面.
②存在，是中点.
取中点，连结.
在中，为中点，则，
又∵面，面，∴面.
同理面.
又∵面，，
所以平面平面，
又面∴平面.
【点睛】本题第一问考查线面垂直的证明，第二问考查了线面平行的证明，同时考查了面面垂直的性质，属于中档题.
17．(1)
(2)位置是在线段的中垂线上且离的距离是 km
【分析】（1）依据题给条件，先分别求得的表达式，进而得到管道总长度y的表达式，再去求其定义域即可解决；
（2）先解方程，求得，再去确定污水处理厂的位置.
【详解】（1）矩形中，km，km，
，，
则，
则
（2）令
则
又，即，则，则
此时
所以确定污水处理厂的位置是在线段的中垂线上且离的距离是 km
18．(1)；
(2)分布列见解析，数学期望为.
【分析】（1）求出取球1次，取到红球的概率，再利用相互独立事件的概率公式计算作答；
（2）求出的可能取值及对应的概率值，列出分布列求出期望作答.
【详解】（1）依题意，取球1次，取到红球的概率为，
设“第3次取球结束”为事件A，则，
所以第3次取球结束的概率是.
（2）依题意，随机变量的取值为1，2，3，4，5，
则，，，，，
所以的分布列为：
1 2 3 4 5
P
的期望.
19．(1)，；
(2)存在，P为或(0，3).
【分析】(1)由题意通过解直角三角形即可求得、值，再根据a、b、c的关系求出c即可；
(2)若△ABP是等边三角形，则P点为AB中垂线与l的交点，分AB斜率为零、斜率存在且不为零、斜率不存在三种情况讨论即可.
【详解】（1）∵椭圆的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为的菱形的四个顶点，∴，，c＝，
∴椭圆的方程为，离心率e＝.
（2）设，，则，，
①当直线的斜率为0时，的垂直平分线就是轴，轴与直线的交点为，
又∵，，∴，
∴是等边三角形，∴此时；
②当直线的斜率存在且不为0时，设的方程为，
由，得，
∴，则，
设的垂直平分线为，它与直线的交点记为，，
∴，解得，则，
∵为等边三角形，∴应有，
代入得到，解得(舍，，
此时直线的方程为，AB中垂线为y＝x，
.
③若AB斜率不存在时，A、B为椭圆上、下顶点，坐标为(0，1)、(0，－1)，
AB中垂线为x轴，l与x轴交点为P(3，0)，
≠，故△ABP不是等边三角形，不满足题意.
综上，存在点P，P为或(0，3).
20．(1)
(2)（i）；（ii）证明见解析
【分析】（1）对求导，根据在处的切线斜率为求得实数的值；
（2）将有且仅有三个不同的零点，转换为有且仅有三个不同的零点，含参讨论，得到实数的取值范围，进而找到.
【详解】（1）因为，
函数在x＝1处的切线斜率为，所以，则；
（2）(i）因为x＞0，所以，
令，因为函数有且仅有三个不同的零点，
所以函数有且仅有三个不同的零点，，
设，，则，
①当即时，，，所以在上单调递减，
所以不可能有三个不同的零点，即函数不可能有三个不同的零点，舍去；
②当即时，有两个不同的零点，
由，得，，
所以，，又因为开口向下，
所以当时，，，在上单调递减；
当时，，，在上单调递增；
当时，，，在上单调递减，
因为，且，
所以，所以，
因为，
令，，
则，所以在上单调递增，
所以，即，
由函数零点存在性定理可知，在区间上有唯一的一个零点，
因为，
又，所以，则，
所以在区间上有唯一的一个零点，
故当时，有且仅有三个不同的零点，2，，
综上，实数a的取值范围是；
(ii）证明：因为函数的三个不同的零点分别为
所以由(i）可知，．
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解
21．(1)；
(2)不存在，理由见解析；
(3)存在，.
【分析】（1）法1，由题设可得，，，利用等差、等比数列的通项公式列方程求基本量，进而可得、的通项公式；法2：作差法可得，令，结合等差、等比数列的性质求参数，即可得通项公式.
（2）假设存在，满足条件，则，根据左侧的奇偶性确定，进而求，即可确定存在性.
（3）由，设，不等式转化为，作商法判断单调性，讨论的奇偶性结合恒成立求的范围，进而可判断存在性.
【详解】（1）法1：设数列的公差为，数列的公比为.
∵，
令，2，3得：，，，又，
∴，即，解得：或.
经检验，符合题意，不合题意，舍去.
∴.
法2：由①，
则②，
①②得，，又，也符合上式，
∴，
由于为等差数列，令，则，
∵为等比数列，则（为常数），即恒成立，
∴，，又，则，
故；
（2）假设存在，满足条件，则，化简得，
由得，为奇数，故为奇数，故.
∴，即，可得，这与矛盾，
∴不存在满足题设的正整数，；
（3）由，得，
设，则不等式等价于
，
由，则，数列单调递增.
假设存在这样的实数，使得不等式对一切都成立，则
①当为奇数时，得；
②当为偶数时，得，即.
综上，，由是非零整数，则存在满足条件.
【点睛】关键点点睛：第二问，应用反证思想，假设存在参数使题设条件成立，进而求得参数，判断是否有矛盾即可；第三问，构造新数列并应用作商法判断其单调性，最后讨论n的奇偶性求新数列的最值求参数的范围.
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