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八年级数学下册 16.1 二次根式 导学案
一、二次根式
1.二次根式：一般地，我们把形如的式子叫作二次根式。其中，“”叫作二次根号，叫作被开方数。
2.是二次根式有意义的条件。
二、二次根式的性质：
（1）是一个非负数；既是二次根式，又是非负数的算术平方根，所以一定是非负数。即为二次根式的非负性。
（2）（）；
（3）；
（4）的前提条件是，而中的为一切实数；，，是三个重要的非负数。
选择题
1.二次根式的化简结果正确的是（ ）
A． B．10 C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握根据二次根式的性质．
【详解】解：．
故选：B．
2．下列式子中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的化简，掌握二次根式的性质和化简是解题的关键．
【详解】解：A、，错误；
B、，错误；
C、，错误；
D 、，正确．
故选：D．
3．下列四个命题中，真命题是（ ）
A．若有意义，则 B．两个无理数的和还是无理数
C．体积为8的正方体，边长是无理数 D．两直线被第三条直线所截，内错角相等
【答案】A
【分析】本题考查了命题与定理的知识，利用二次根式有意义的条件、无理数的定义、无理数的应用，平行四边形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A．若有意义，则，正确，是真命题；
B．两个无理数的和不一定是无理数，故原说法错误，是假命题；
C．体积为8的正方体，边长是2，故原说法错误，是假命题；
D．两条平行线直线被第三条直线所截，内错角相等，故原说法错误，是假命题；
故选：A．
4．下列根式中，化简后能与进行合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是同类二次根式的概念，掌握二次根式的性质是解题的关键．
根据二次根式的性质把各个二次根式化简，再根据同类二次根式的概念判断即可．
【详解】解：A、不能与进行合并，不符合题意；
B、,不能与进行合并，不符合题意；
C、,不能与进行合并，不符合题意；
D、,能与进行合并，符合题意；
故选：D．
5．若有意义，则x、y的取值范围不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，由题意知，异号或其中至少一个为0，由此即可作出判断．
【详解】解：由题意知，，
则，
即异号或其中至少一个为0，故是不可能的；
故选：C．
6．下列运算结果中正确的是（ ）
A． B．
C． D．的平方根是
【答案】C
【分析】题目主要考查整式得乘法运算及二次根式的化简，因式分解、算术平方根你的运算，熟练掌握各个运算法则是解题关键．
【详解】解：A、，选项错误，不符合题意；
B、，选项错误，不符合题意；
C、∵，
∴，
∴，选项正确，符合题意；
D、的平方根是，选项错误，不符合题意；
故选：C．
7．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数大于等于0是关键．
先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴，
解得．
故选：C．
8.当有意义时，a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查分式和二次根式有意义的条件，根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数为非负数进行求解即可．
【详解】∵要使式子有意义，则，
∴．
故选：B
填空题
1.函数中，自变量x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不等于0即可得出答案．
【详解】解：由题意得，，
解得．
故答案为：．
2．化简： ．
【答案】
【分析】本题主要考查二次根式的化简，根据二次根式的性质进行化简根式即可，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
3.若，，则 ．
【答案】1
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，二次根式的化简，灵活运用完全平方公式进行变形是解题的关键．先求解，再由可得答案．
【详解】解：∵，，
∴
，
∴；
故答案为：1．
4.已知数，，在数轴上的位置如图所示，化简： ．
【答案】
【分析】本题考查了绝对值的化简，先根据数轴上，，的位置确定的符号，再根据绝对值的性质化简即可，解题的关键是要能根据数轴上点的位置确定各式子的符号．
【详解】解：由数轴可得：，，
∴
∴
，
故答案为：．
5.在实数范围内有意义，则a的取值范围是
【答案】且
【分析】本题考查了二次根式有意义，被开方数为非负数，分母不为0，据此即可作答．
【详解】解：∵在实数范围内有意义，
∴且
故答案为：且
解答题
1.计算下列各题
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的计算：
（1）利用平方差公式和二次根式化简计算即可；
（2）利用完全平方公式和二次根式化简计算即可；
结合完全平方公式和平方差公式计算是解题的关键．
【详解】（1）解：
=
=
=；
（2）解：
=
=
=．
2.计算：
(1)；
(2)
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)，．
(4)
【分析】本题主要考查了实数的混合计算，二次根式的混合计算，化简绝对值，零指数幂，算术平方根，立方根，熟知相关计算法则是解题的关键．
（1）根据零指数幂，化简绝对值，二次根式的性质，实数的混合计算法则求解即可；
（2）根据二次根式的混合计算法则求解即可；
（3）利用平方根的含义把方程化为 再解方程即可；
（4）把原方程化为： 再利用立方根的含义解方程即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：，
，
，．
（4）解：
3.（1）已知和是某个正数a的平方根，求实数a的值：
（2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：．
【答案】（1）或；（2）
【分析】本题考查了平方根和立方根的概念，由点在数轴上的位置来判断式的正负等知识点，
（1）根据平方根的概念得到或两个数相同，解方程求出x的值，然后代入即可求出a的值；
（2）首先根据在数轴上的位置得到，然后化简求解即可；
熟练掌握相应的知识点是解决此题的关键．
【详解】（1）∵和是正数a的平方根，
∴或，
∴或，
∴或，
∴或；
（2）由图可知，，
∴，
∴
．
4.已知x，y满足y＝，求xy的平方根．
【答案】±6
【详解】由题意，得x＝3，y＝12，xy＝36，±＝±6，
所以xy的平方根是±6
5.阅读材料：
和为整数，；
和为整数，；
和为整数，；
……
小明发现结论：若和为相邻的两个整数，其中，则有，
并给出了证明：根据题意，得
．
等式两边同时___________，得
____________．
整理得
．
请根据以上材料，解决以下问题：
(1)请补全小明的证明过程.
(2)若和为两个相邻整数，则____________.
(3)若和为相差4的两个整数，求的值．
【答案】(1)平方，
(2)25
(3)
【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的性质化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．
（1）根据证明过程补全即可；
（2）根据已知结论，得出，求出的值即可；
（3）根据题意，得，将等式两边同时平方，整理后求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，得，
等式两边同时平方，得，
整理得，
故答案为：平方，；
（2）解：由题意可知，，
，
即，
故答案为：25．
（3）解：根据题意，得，
等式两边同时平方，得，
整理得：，
，
，
．
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八年级数学下册 16.1 二次根式 导学案
一、二次根式
1.二次根式：一般地，我们把形如的式子叫作二次根式。其中，“”叫作二次根号，叫作被开方数。
2.是二次根式有意义的条件。
二、二次根式的性质：
（1）是一个非负数；既是二次根式，又是非负数的算术平方根，所以一定是非负数。即为二次根式的非负性。
（2）（）；
（3）；
（4）的前提条件是，而中的为一切实数；，，是三个重要的非负数。
选择题
1.二次根式的化简结果正确的是（ ）
A． B．10 C． D．
2．下列式子中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列四个命题中，真命题是（ ）
A．若有意义，则 B．两个无理数的和还是无理数
C．体积为8的正方体，边长是无理数 D．两直线被第三条直线所截，内错角相等
4．下列根式中，化简后能与进行合并的是（ ）
A． B． C． D．
5．若有意义，则x、y的取值范围不可能是（ ）
A． B． C． D．
6．下列运算结果中正确的是（ ）
A． B．
C． D．的平方根是
7．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8.当有意义时，a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
填空题
1.函数中，自变量x的取值范围是 ．
2．化简： ．
3.若，，则 ．
4.已知数，，在数轴上的位置如图所示，化简： ．
5.在实数范围内有意义，则a的取值范围是
解答题
1.计算下列各题
(1)；
(2).
2.计算：
(1)；
(2)
(3)；
(4)．
3.（1）已知和是某个正数a的平方根，求实数a的值：
（2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：．
4.已知x，y满足y＝，求xy的平方根．
5.阅读材料：
和为整数，；
和为整数，；
和为整数，；
……
小明发现结论：若和为相邻的两个整数，其中，则有，
并给出了证明：根据题意，得
．
等式两边同时___________，得
____________．
整理得
．
请根据以上材料，解决以下问题：
(1)请补全小明的证明过程.
(2)若和为两个相邻整数，则____________.
(3)若和为相差4的两个整数，求的值．
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