第六章平面向量及其应用易错精选题（含解析）-2023-2024学年高中数学人教A版必修第二册

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第六章平面向量及其应用易错精选题-2023-2024学年高中数学人教A版必修第二册
一、单选题
1．下列说法错误的是（ ）
A．
B．，是单位向量，则
C．若，则
D．任一非零向量都可以平行移动
2．已知，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量与是非零向量，且满足在上的投影向量为，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量不共线，且，，若与反向共线，则实数的值为（ ）
A．1 B．－ C．1或－ D．－1或－
5．已知点是边长为2的正三角形的重心，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
6．已知向量，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．在中，角的对边分别为，已知．则角（ ）
A． B． C． D．
8．已知a，b，c是的三边，若满足，，即为直角三角形.类比此结论：若满足时，的形状为（ ）.
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能
二、多选题
9．若，，均为单位向量，且，，则的值可能为（ ）
A．－1 B．1
C． D．2
10．在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，在海面上有两个观测点在的正北方向，距离为，在某天10：00观察到某航船在处，此时测得分钟后该船行驶至处，此时测得，则（ ）

A．观测点位于处的北偏东方向
B．当天10：00时，该船到观测点的距离为
C．当船行驶至处时，该船到观测点的距离为
D．该船在由行驶至的这内行驶了
三、填空题
12．已知向量，满足，，则 ．
13．直线l上有不同的三点A，B，C，O是直线l外一点，对于向量(是锐角)总成立，则 ．
14．某中学研究性学习小组为测量四门通天铜雕高度，在和它底部位于同一水平高度的共线三点A，B，C处测得铜雕顶端P处仰角分别为，，，且，则四门通天铜雕的高度为 m．

四、解答题
15．如图所示，O是正六边形的中心.

(1)与的模相等的向量有多少个？
(2)是否存在与长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？
(3)与共线的向量有几个？
16．已知向量 和 ，则 ,, 求：
(1) 的值；
(2) 的值；
(3) 与 的夹角θ的余弦值．
17．已知向量，,．
(1)若，求的值；
(2)若向量，求x的值．
18．已知向量，，且.
(1)求的值；
(2)求的取值范围；
(3)记函数，若的最小值为，求实数的值.
19．记的内角，，的对边分别为，，，已知，．
(1)求；
(2)若，求的面积．
参考答案：
1．C
【分析】利用向量的有关概念即可.
【详解】对于A项，因为，所以，故A项正确；
对于B项，由单位向量的定义知，，故B项正确；
对于C项，两个向量不能比较大小，故C项错误；
对于D项，因为非零向量是自由向量，可以自由平行移动，故D项正确．
故选：C．
2．C
【分析】根据向量在向量上的投影公式进行计算即可.
【详解】因为向量在向量上的投影向量为：，
故选：C.
3．A
【分析】根据投影向量、向量数量积等知识求得正确答案.
【详解】设与的夹角为，
在上的投影向量为
所以，
所以，
所以为钝角，且.
故选：A
4．B
【分析】因为与反向共线，所以，建立等量关系，求解即可.
【详解】因为与反向共线，所以，
即，因为向量不共线，
所以，解得：或，因为且，所以.
故选：B
5．C
【分析】以线段的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，根据题意求得的坐标，结合向量的数量积的坐标运算公式，即可求解.
【详解】如图所示，以线段的中点为坐标原点，以线段所在的直线为轴，线段的垂直的平分线为轴，建立平面直角坐标系，
因为的边长为，可得，
又因为为的重心，可得，所以，
则.
故选：C.
6．B
【分析】利用向量平行可求得，再由夹角的坐标表示即可得出结果.
【详解】由可知，解得，
即可得，
所以.
故选：B
7．B
【分析】利用正弦定理的边角变换，结合三角函数的恒等变换即可得解.
【详解】因为，
由正弦定理及二倍角公式得：，
因为在中，，则，
即，即，
因为在中，，所以，所以.
故选：B.
8．A
【分析】由余弦定理结合已知条件和大边对大角共同判断即可.
【详解】易知角最大，故,
由
，
故为锐角三角形，
故选：A.
9．AB
【分析】由，，为单位向量，且，，求得，再求的最大值和最小值，即可得出答案.
【详解】因为，，为单位向量，且，
所以，则
又
由于，由于，则，
所以，即，所以C，D选项不对.
故选：AB
10．AC
【分析】利用三角形相似得出点E的位置，由平面向量的加法法则逐一判断选项即可.
【详解】
由，可得，又，N是线段OD的中点，
∴，∴，∴D错误；
∵，∴C正确；
∵，
∴A正确，B错误．
故选：AC．
11．ACD
【分析】利用方位角的概念判断A，利用正弦定理、余弦定理求解后判断BCD．
【详解】A选项中，,，
因为在D的正北方向，所以位于的北偏东方向，故A正确.
B选项中，在中，，，则,又因为，
所以km,故B错误.
C选项中，在中，由余弦定理，得
，即km，故C正确.
D选项中，在中，，，则.
由正弦定理，得AC=km，故D正确.
故选：ACD．
12．2
【分析】已知条件利用向量的数量积解决模的计算，化简后可得结果.
【详解】由，两边同时平方得，
化简得，
由，两边同时平方得，即，所以.
故答案为：2
13．
【分析】利用共线向量基本定理可求出，由平面向量基本定理可建立的等量关系，求解即可求出的取值.
【详解】因为直线l上有不同的三点A，B，C,
所以存在实数，使得，所以，
即，所以，所以，
因为是锐角，所以．
故答案为：
14．
【分析】依题意用表示，再利用诱导公式与余弦定理列出关于的方程，从而得解.
【详解】设四门通天铜雕的高度，

由，可得，
在中，因为，所以，
可得，
即，解得，
所以旗杆的高度为.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是抓住，利用余弦定理得到关于的方程，从而得解.
15．(1)23；
(2)存在，4；
(3)9.
【分析】（1）利用正六边形的特征，结合平面向量模的意义即可得出结论.
（2）利用正六边形的特征，结合互为相反向量的意义即可得出结论.
（3）利用正六边形的特征，结合共线向量的意义即可得出结论.
【详解】（1）与的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB)，而每一条线段可以有两个向量，
所以这样的向量共有23个.
（2）存在，由正六边形的性质知，，
所以与的长度相等、方向相反的向量有，，，，共4个.
（3）由（2）知，，线段OD，AD与OA在同一条直线上，
所以与共线的向量有，，，，，，，，，共9个.
16．(1)；
(2)；
(3) ．
【分析】（1）（2）根据平面向量的数量积的定义即可求解；
（3）根据平面向量的夹角公式即可求解．
【详解】（1）∵ ,, .
∴ ；
（2）∵,
∴ ；
（3）∵,
∴
17．(1)
(2)
【分析】（1）由已知向量的坐标结合向量垂直的坐标运算可求的值；
（2）根据数量积的坐标运算，结合三角函数的性质即可求解．
【详解】（1），,
若，则，
即，得，
；
（2），
则，
，
，
则，
即，
的值为．
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用数量积结合两角和的余弦公式求的值；
（2）平方再开方，结合角的范围求的取值范围；
（3）把前面的结果代入，换元后得二次函数，利用对称轴和所得区间的关系讨论得解.
【详解】（1）向量，，
.
（2），
，
，，，
所以的取值范围为.
（3）由（1）（2）可知，函数，
令，则，
，其图像抛物线开口向上，对称轴方程为，
当，即时，最小值为，解得（舍去）；
当，即时，最小值为，解得或（舍去）；
当，即时，最小值为.
综上可知，.
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据和差角公式，结合弦切互化即可求解正切，由同角关系即可求解，
（2）根据和差角公式，结合正弦定理即可求解，进而由面积公式即可求解.
【详解】（1）因为，，．
所以，
即，
所以，
于是．故，所以
（2）由（1）可知，
于是．
故据正弦定理，，得，因此.
故的面积.
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