第四章指数函数与对数函数易错精选题（含解析）-2023-2024学年高中数学人教A版必修第一册

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第四章指数函数与对数函数易错精选题-2023-2024学年高中数学人教A版必修第一册
一、单选题
1．若，则（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
2．已知，函数 是奇函数，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
3．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知实数满足，设，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，则是（ ）
A．奇函数，且在上是增函数 B．奇函数，且在上是减函数
C．偶函数，且在上是增函数 D．偶函数，且在上是减函数
7．已知定义在上的函数满足，且，则（ ）
A． B．为奇函数 C．有零点 D．
8．已知是函数的一个零点，是函数的一个零点，则的值为（ ）
A．1012 B．2024 C．4048 D．8096
二、多选题
9．已知函数，满足不等式的解集为，且为偶函数，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．为偶函数 D．的最大值是
10．已知函数，，则，满足（ ）
A． B．
C． D．
11．将正数用科学记数法表示为，则，我们把，分别叫做的首数和尾数，若将的首数记为，尾数记为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．是周期函数
C．若，则
D．若，则
三、填空题
12．函数在区间上单调递减，则a的取值范围是 ．
13．定义在的函数的最大值为，最小值为，则的增区间为 ； .
14．已知函数，则下列说法正确的有 .
①函数的值域为；
②方程有两个不等的实数解；
③不等式的解集为；
④关于的方程的解的个数可能为.
四、解答题
15．是否存在正数，使是偶函数，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
16．已知偶函数的定义域为，.
(1)求实数的值；
(2)判断的单调性，并给出证明.
17．已知函数（且）是偶函数．
(1)求实数的值；
(2)若，且对于，不等式恒成立，求整数的取值集合．
18．已知是定义在上的奇函数.
(1)求的解析式；
(2)若对于恒成立，求实数的取值范围.
19．已知（且）是指数函数.
(1)求关于的不等式的解集；
(2)求函数在区间上零点的个数.
参考答案：
1．D
【分析】先由求得，从而可求解.
【详解】由题意得，当，求得，
所以，故D正确.
故选：D.
2．C
【分析】由奇函数的性质求解即可.
【详解】因为 是奇函数，
所以，所以，
即，
即，
即，
所以，因为，所以解得：，
故.
故选：C .
3．A
【分析】解法一：判断函数的单调性，再利用单调性解不等式即可.
解法二：特值排除法.
【详解】解法一：函数的定义域为R，函数分别是R上的增函数和减函数，
因此函数是R上的增函数，由，得，解得，
所以原不等式的解集是.
故选：A
解法二：特值当时，，排除B，D，当时，，排除C，
对A：当时，，因为函数是R上的增函数，所以，故A成立.
故选A．
4．A
【分析】根据给定条件，探讨函数的周期，再利用对数函数单调性及指对数运算计算即得.
【详解】在上的奇函数满足，则，
于是，即函数的周期为4，
而，则，，又当时，，
所以.
故选：A
5．D
【分析】根据的单调性判断大小，再比较大小得解.
【详解】因为， 所以，
又为减函数， 所以， 即，
又，故，
所以，
故选：D.
6．A
【分析】求出函数的定义域，利用奇偶函数的定义及复合函数的单调性法则判断即可.
【详解】若函数有意义，则，解得，
即函数的定义域为，
因为，所以函数是奇函数，
函数，
因为函数在上递增，函数在定义域上递增，
所以函数在上是增函数.
故选：A
7．D
【分析】利用赋值法，结合奇函数的定义、零点的定义逐一判断即可.
【详解】A：在中，
令，得，
因为，所以，所以本选项不正确；
B：函数的定义域为全体实数，由上可知，显然不符合，因此本选项不正确；
C：在中，
令，得
，或，
显然函数没有零点，故本选项不正确，
D：在中，
令，
得，所以本选项正确，
故选：D
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用赋值法.
8．B
【分析】由已知函数表达式变形后分别设出，两点坐标，再利用反函数的性质结合两直线垂直，斜率之积的关系得到结果.
【详解】由得，由得，
设点的坐标为，点的坐标为，
又与的图象关于直线对称，且的图象也关于直线对称，
则点，关于直线对称，即，得，
故选：B．
9．AC
【分析】由题意首先得出，进一步，，由此可判断AB，由偶函数定义可判断C，通过换元法结合二次函数性质可判断D.
【详解】因为满足不等式的解集为，且为偶函数，
所以，解得，
从而，所以，故A对B错；
而，
其定义域显然关于原点对称，且，
所以为偶函数，故C正确；
令，则，故D错误.
故选：AC.
10．AB
【分析】根据给定条件，结合指数运算、指数函数单调性，逐项计算判断得解.
【详解】函数，，
对于A，，，A正确；
对于B，，，，B正确；
对于C，，C错误；
对于D，，则，D错误.
故选：AB
11．AC
【分析】根据新定义可判断A，由得出不存在非零常数使成立，判断B，根据首数尾数的定义，利用对数运算判断CD.
【详解】对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，若，必有，不可能存在非零常数，使得恒成立，不符合周期函数的定义，故B错误；
对于C，设，则，若10，则，若，则，所以，故C正确；
对于D，设同选项，若，则，若，则，所以，故D错误.
故选：AC
12．
【分析】由复合函数的单调性来进行分情况讨论得出a的取值范围.
【详解】解：函数由和复合而成，
由于是单调递增，函数在区间上单调递减，
所以在区间上为单调递减.
当时，不符合题意；
当时，单调递减，满足题意；
当时，开口向下，对称轴为，
故需要满足，显然成立，满足题意，
综上：.
故答案为：.
13．
【分析】首先可得，即可得到的图象关于对称，再根据指数、对数型复合函数的单调性判断的单调性，即可得解.
【详解】函数的定义域为，
且，
所以的图象关于对称，
因为
又当时、、、均为增函数，
所以与在上单调递增，
所以在上单调递增，
又为连续函数，所以的单调递增区间为，
因为的最大值为，最小值为，所以.
故答案为：；
14．①③④
【分析】作出的函数图象即可判断①②，利用换元法求解③，利用换元法并结合二次函数的图象求解④.
【详解】画出的图象，如下图所示：
令，解得或，
所以的图象与轴交于，
对于①，由图象可知，函数的值域为则①正确；
对于②，由图象可知，直线与函数图象有三个不同的交点，故方程有三个不等的实数解，则②错误；
对于③，由图象可知，令，则，由图象可知或，
即或，∴或，
∴或或，
∴或或，
∴不等式的解集为；则③正确；
对于④，令，则，则，
当时，，由图可知与的图象有两个交点，即方程解的个数为2个，
当时，即时，，
∵，∴，，
当时，，则有两解，
当时，若，则有三解，若，则有两解，
即关于的方程的解的个数可能为或个解，
综上所述，关于的方程的解的个数可能为.
故答案为：①③④.
【点睛】方法点睛：函数零点求参数取值范围常用的方法和思路
（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
15．存在，，理由见解析
【分析】利用偶函数的定义求解即可.
【详解】函数的定义域为，要使是偶函数，则，
即，则，所以，解得：，
所以当时，是偶函数.
16．(1)
(2)在R上单调递增，证明见解析
【分析】（1）根据函数为偶函数，得到，结合定义域关于原点对称，得到方程，求出实数的值；
（2）利用定义法求解函数的单调性步骤：取值，作差，判号，下结论.
【详解】（1）偶函数的定义域为，
有，解得，
且，即，
故，解得；
（2）单调递增，证明如下：
由（1）知，，定义域为R，
设，
则
，
易得，，，则，
即，所以在R上单调递增.
17．(1)1
(2)．
【分析】（1）由题意可得，即可得解；
（2）先求出函数的解析式，再判断其单调性即奇偶性，再根据函数的单调性和奇偶性解不等式即可.
【详解】（1）函数（且）是偶函数，
，即，即，
；
（2）由（1）知，，定义域为，
因为都是增函数，
所以函数在上单调递增，
因为，所以函数为奇函数，
对于，恒成立，
即，
对于恒成立，
对于，，
，
即，解得，
又为整数，或或，
的取值集合为．
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
18．(1)
(2)
【分析】（1）由奇函数的定义求函数的解析式即可；
（2）函数不等式恒成立求参数的取值范围，转化为求函数的最小值，最后解对数不等式即可.
【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，
.经检验，满足题意
法2：是定义在上的奇函数，，
（2）令
易证函数是上的减函数，
恒成立
恒成立
恒成立
的取值范围为
19．(1)；
(2)答案见解析.
【分析】（1）由指数函数的定义求出，再利用指数函数单调性解不等式.
（2）由（1）的信息求出函数，换元转化成二次函数，作出图象，借助几何图形分类求出零点个数.
【详解】（1）由指数函数定义，得，而且，解得，则，
不等式，而函数在R上递增，
因此，则，解得，
所以原不等式的解集为.
（2）由（1）知，，由，得，
令，由，得，则，
设函数，显然该函数在上单调递增，在上单调递减，且，
作出直线与函数的图象，如图，
观察图形知，当或时，直线与函数的图象没有公共点；
当或时，直线与函数的图象只有一个公共点；
当时，直线与函数的图象有两个公共点，
函数在区间上零点的个数等价于方程在区间上解的个数，
即直线与函数的图象的交点的个数，
所以当或时，函数在区间上没有零点；
当或时，函数在区间上只有一个零点；
当时，函数在区间上有两个零点.
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