第五章三角函数易错精选题（含解析）-2023-2024学年高中数学人教A版必修第一册

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第五章三角函数易错精选题-2023-2024学年高中数学人教A版必修第一册
一、单选题
1．已知某扇形的圆心角是，半径是3，则该扇形的面积是（ ）
A． B． C． D．
2．“”是“是第一象限角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知为角终边上一点，则（ ）
A． B． C．1 D．2
4．若，则（ ）
A．1 B． C． D．
5．若是三角形的一个内角，且函数在区间上单调，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．在平面直角坐标系中，点，，则下列说法错误的是（ ）
A．线段与的长均为1 B．线段的长为1
C．当时，点关于轴对称 D．当时，点关于轴对称
7．将函数的图象向左平移1个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图，一个半径为米的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心距离水面的高度为米．设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：）之间的关系可以表示为（ ）

A． B．
C． D．
二、多选题
9．若角是的三个内角，则下列结论中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知，则下列说法正确的有（ ）
A．图象对称中心为
B．的最小正周期为
C．的单调递增区间为
D．若，则
11．半径长为1米的车轮匀速在水平地面上向前滚动（无滑动），轮轴每秒前进米．运动前车轮着地点为，若车轮滚动时点距离地面的高度（米）关于时间t（秒）的函数记为，则以下判断正确的是（ ）
A．对于，都有
B．在区间上为增函数
C．
D．对于，都有
三、填空题
12．中，边为最大边，且，则的最大值是 ．
13．如图，角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆相交于点，将角的边绕着原点逆时针旋转得到角，则 ．

14．函数（为月份），近似表示某地每年各个月份从事旅游服务工作的人数，游客流量越大所需服务工作的人数越多，则可以推断，当 时，游客流量最大．
四、解答题
15．已知、是方程的两个实数根．
(1)求实数的值；
(2)求的值；
(3)若,，求的值
16．在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点.
(1)若，求的值；
(2)若，求点的坐标.
17．已知函数的部分图象如图所示.
(1)求函数在上的单调递增区间；
(2)若函数在区间上恰有5个零点，求实数的取值范围.
18．设，.
(1)求函数的单调增区间；
(2)设为锐角三角形，角所对的边，角所对的边.若，求的面积.
19．近年来，我国逐渐用风能等清洁能源替代传统能源，目前利用风能发电的主要手段是风车发电.如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风车，塔高100米，叶片长40米.叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每5秒旋转一圈，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点（此时P离地面60米）.设点P转动t（秒）后离地面的距离为S（米），则S关于t的函数关系式为.

(1)求的解析式；
(2)求叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于80米的时长.
参考答案：
1．B
【分析】根据扇形面积公式求解即可.
【详解】由题意，该扇形的面积.
故选：B
2．B
【分析】根据象限角、充分和必要条件等知识确定正确答案.
【详解】，
是第一象限角，
所以“”是“是第一象限角”的必要不充分条件.
故选：B
3．C
【分析】先根据正切函数的定义知，然后弦化切代入求值即可.
【详解】因为为角终边上一点，所以，
所以.
故选：C
4．C
【分析】根据给定条件，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即得.
【详解】由，得.
故选：C
5．B
【分析】根据三角函数的单调性列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】当时，，
由于是三角形的一个内角，所以，
则，
由于函数在区间上单调，
所以，解得，
即的取值范围为.
故选：B
6．B
【分析】结合同角三角函数的平方关系，计算线段与的长，判断A；利用两点间距离公式结合两角差的余弦公式，可判断B；根据三角函数特殊值求出坐标，判断C；结合诱导公式化简可得坐标，判断D.
【详解】对于A，,
，则线段与的长均为1，A说法正确；
对于B，
，B说法错误；
对于C，当时，，即，
，即，故点关于轴对称，C说法正确；
对于D，当时，，即
，即，
则点关于轴对称，D说法正确，
即说法错误的是B，
故选：B
7．A
【分析】根据平移规律：“左＋右”，即可求解平移后的解析式.
【详解】根据题意可得.
故选：A
8．A
【分析】设，由，可求得、的值，由题意得出函数的最小正周期，可求得的值，然后由结合的取值范围可得出的值，由此可得出与时间（单位：）之间的关系式.
【详解】设，
由题意可知，，，解得，，
函数的最小正周期为，
则，
当时，，可得，
又因为，则，故，
故选：A.
9．AD
【分析】结合三角形的内角与利用诱导公式逐项判断.
【详解】对于A：，故A正确；
对于B：，故B错误；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D正确.
故选：AD.
10．BD
【分析】A选项，整体法求出函数的对称中心；B选项，根据求出答案；C选项，根据正切函数的性质得到无单调增区间；D选项，得到，结合图象求出不等式.
【详解】A选项，令，则，
即图象对称中心为；故A错误；
B选项，最小正周期为，故B正确；
C选项，根据正切函数的性质可知，只需求的单调递减区间，
显然无单调增区间，故C错误；
D选项，，即，
故，
解得，故D正确．
故选：BD
11．BD
【分析】首先求出周期，即可判断A，记车轮运动时着地点为，则秒时，从而得到的解析式，再根据余弦函数的性质一一判断即可.
【详解】因为车轮的半径为米，则周长为米，又轮轴每秒前进米，
所以的最小正周期，所以对于，都有，故A错误；
记车轮运动时着地点为，则秒时，所以，
令，，解得，，
所以在区间上为增函数，故B正确；
又，所以在区间内图象关于对称，
即对于，都有，故D正确；
又，故C错误.
故选：BD
12．
【分析】根据重要不等式，结合同角三角函数的关系式，可得答案.
【详解】．
当且仅当时，两个等号同时成立.
故答案为：.
13．
【分析】由题意可求出，进而利用两角和的余弦公式，即可求得答案.
【详解】由题意知角的始边与单位圆相交于点，
故，
将角的边绕着原点逆时针旋转得到角，
则
，
故答案为：
14．8
【分析】根据余弦函数性质求出函数的最大值及取最大值时的值，由此可得结论.
【详解】因为，
所以，
所以当，即时，取最大值，
所以时，取最大值，
又游客流量越大所需服务工作的人数越多，
所以时，游客流量最大．
15．(1)；
(2)；
(3)
【分析】（1）利用韦达定理结合平方关系即可求解；
（2）切化弦化简即可求解；
（3）由韦达定理求出即可求解.
【详解】（1）因为、是方程的两个实数根，
由韦达定理得，，
由，
则，
所以；满足.
（2）
；
（3）因为，所以①，，
所以，
因为,，所以，，②，
所以由①②可得，
所以．
16．(1)
(2)
【分析】（1）结合三角函数定义以及平方关系、诱导公式化简求值即可；
（2）由平方关系结合以及是第二象限角即可求解.
【详解】（1）由题意，，
所以.
（2）若，而，，
所以，即，
解得或（舍去），从而，
即，所以点.
17．(1)，
(2)
【分析】（1）根据题意，求得，结合正弦型函数的性质，即可求解；
（2）由，得到，根据题意，结合正弦函数的性质，得出不等式，即可求解.
【详解】（1）解：由函数的图象，可得，，
则，所以．
将点代入函数解析式可得，
解得，因为，所以，所以，
令，解得，
所以函数在上的单调递增区间为，．
（2）解：因为，所以，
当无零点；
当时，有第一个零点，正弦函数周期为，每一个周期内有两个零点，
要满足有5个零点，则，解得，
所以实数的取值范围是．
18．(1)；
(2).
【分析】（1）由，，令求解；
（2）由可得，再利用余弦定理求得c，再利用求解.
【详解】（1）解：，，
令，解得，
所以其单调增区间为.
（2）由即，
因为是锐角，所以，得，即.
由余弦定理，，整理得，解得或.
当时，，最大角是钝角，为钝角三角形，舍去；
当时，，最大角题锐角，为锐角三角形，符合题意.
.
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据题中条件写出方程组，解出即可；
（2）根据题中条件建立不等式，解出即可.
【详解】（1）如图，建立平面直角坐标系，
当时，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点，
设为，则，
由题意得，，，
解得，
所以.
注：写成也给分.

（2）令，则，
即，
所以，
解得.
当时，，，
所以叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于80米的时长为秒.
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