第二章一元二次函数、方程和不等式易错精选题（含解析）-2023-2024学年高中数学人教A版必修第一册

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第二章一元二次函数、方程和不等式易错精选题-2023-2024学年高中数学人教A版必修第一册
一、单选题
1．设，则“”是“”成立的（ ）.
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．设，若，则（ ）.
A． B． C． D．
3．已知实数满足,则（ ）．
A． B．
C． D．
4．阿基米德有这样一句流传很久的名言：“给我一个支点，我就能撬起整个地球！”这句话说的便是杠杆原理，即“动力×动力臂=阻力×阻力臂”．现有一商店使用两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，取黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将称得的黄金交给顾客，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．以上选项都有可能
5．已知正数满足，则的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
6．已知函数的最小值为0，若关于的不等式的解集为，则实数的值为（ ）
A．9 B．8 C．6 D．4
7．不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
8．河南是华夏文明的主要发祥地之一，众多的文物古迹和著名的黄河等自然风光构成了河南丰富的旅游资源，在旅游业蓬勃发展的带动下，餐饮、酒店、工艺品等行业持续发展．某连锁酒店共有500间客房，若每间客房每天的定价是200元，则均可被租出；若每间客房每天的定价在200元的基础上提高元（，），则被租出的客房会减少套．若要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，则该连锁酒店每间客房每天的定价应为（ ）
A．250元 B．260元 C．270元 D．280元
二、多选题
9．若实数满足，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知，则下列不等式可能成立，也可能不成立的是 （ ）
A． B．
C． D．
11．不等式的解集为，且.以下结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
12．对任意，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为 .
13．设、、、，，则，当且仅当时，上式取等号，利用以上结论，可以得到函数的最小值为 .
14．二次函数 的图象如图，对称轴为直线 ，若关于 的一元二次方程 （为实数）在的范围内有解，则 的取值范围是 ．

四、解答题
15．已知为正实数．求证：.
16．已知等式
(1)若均为正整数，求的值；
(2)设，分别是分式中的取（>>2）时所对应的值，试比较的大小，说明理由．
17．已知函数．
(1)求函数的零点以及不等式的解集；
(2)设中的最大数是，正数满足，求的最小值．
18．已知，命题p：，；命题q：，．
(1)若命题p为假命题，求a的取值范围；
(2)若p和q均为真命题，求a的取值范围．
19．已知关于的不等式的解集为或.
(1)求，的值；
(2)当，且满足时，有恒成立，求的取值范围.
参考答案：
1．C
【分析】先通过解分式不等式化简条件“”，再利用充要条件的定义判断出“”是“”成立的什么条件.
【详解】由，因为，所以.
故选:C.
2．B
【分析】结合不等式的性质逐项判断即可得.
【详解】对A，由，则，故，即，故A错误；
对B，由A得，故，故B正确；
对C，由，则，，则，，故，故C错误；
对D，由A得，故，故D错误.
故选：B.
3．A
【分析】利用重要不等式等价转化得，结合题设条件得到关于的一元二次不等式，解之即得.
【详解】由可得，即，则
整理得：，
解得．
故选：A.
4．A
【分析】设天平的左臂长为，右臂长为，再分别求出，，结合基本不等式判断即可.
【详解】由于天平的两臂不等长，故可设天平的左臂长为，右臂长为，.
由杠杆原理得，，解得，，
则，当且仅当取等号.
又，故.
故选：A
5．D
【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得.
【详解】因为正数满足，
所以，
当且仅当，即、时取等号.
故选：D
6．D
【分析】先由的最小值为0，得到，再由的解集为，得到的根为，从而利用韦达定理即可求解.
【详解】因为开口向上，最小值为，
，
则，
的解集为，所以是的两个不等实根，
即是的两个不等实根，
所以，则，
.
故选：D.
7．A
【分析】根据一元二次不等式的解法计算可得.
【详解】不等式，即，解得，
所以不等式的解集为.
故选：A
8．C
【分析】根据题意列出不等式求解.
【详解】依题意，每天有间客房被租出，该连锁酒店每天租赁客房的收入为
．
因为要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，
所以，即，解得．
因为且，所以，即该连锁酒店每间客房每天的租价应定为270元．
故选：C．
9．BD
【分析】利用不等式的性质可判断BD的正误，结合反例可判断AC的正误.
【详解】对于A，若，则当时，有，故A错误；
对于B，因为，则，故，故B正确.
对于C，成立，但，故C错误.
对于D，由不等式的性质可得成立，
故选：BD.
10．ABD
【分析】AB作差法比较大小，举出可能成立和可能不成立的例子；C选项，利用基本不等式得到C一定正确；D选项，由基本不等式入手，举出可能成立和可能不成立的例子.
【详解】A选项，，故，
当时，，即，
当时，，即，
A可能成立，也可能不成立，
B选项，，
因为，所以，
当时，，
当时，，
故B可能成立，也可能不成立；
C选项，因为，所以，故，
所以，而，
故，即，C一定正确；
D选项，若，由基本不等式得，
两个等号成立的条件为，
但，不妨设，
此时，
当时，显然，
故可能成立，也可能不成立，D正确.
故选：ABD
11．ABC
【分析】举反例即可判断ABC，由基本不等式的相关推论结合即可判断D.
【详解】因为不等式的解集为，
则是方程的两个实数根，，又,
不妨令，，则，，但，故A不成立，符合题意；
令，，则，但，故B不成立，符合题意；
令，，则，，但，故C不成立，符合题意；
，故D成立，不符合题意．
故选：ABC.
12．
【分析】借助换元法，令，则原不等式可化为，化简可得，又表示点到的距离，表示点到的距离，，即直线上任意两不同点到原点的距离之和大于，结合，数形结合即可得解.
【详解】恒成立，恒成立，
令且，
，且恒成立，
，
，
又表示点到的距离，
表示点到的距离，，
即直线上任意两不同点到原点的距离之和大于，
当最小时，即且，
此时，
又，可取，
故实数的取值范围为.
故答案为：.
13．25
【分析】根据题意整理函数解析式，并根据其定义域明确分母的取值范围，结合题目中的不等式，可得答案.
【详解】由题意可得，由，则，，
，当且仅当，即时，等号成立，
所以.
故答案为：.
14．
【分析】根据对称轴求出的值，从而得到时的函数值，再根据一元二次方程（为实数）在的范围内有解相当于与在内有交点，依此求解即可得出结论.
【详解】∵对称轴为直线，
∴，
∴二次函数解析式为.
当时，；当时，；当时，.
因为方程的根为图象与直线的交点的横坐标，
∴当时，在的范围内有解.
故答案为：.
15．证明见解析
【分析】根据题意，化简得到，结合不等式的性质，即可得证.
【详解】证明：因为，
又因为，所以，当且仅当时等号成立，
所以.
16．(1)或者
(2)，理由见解析
【分析】（1）由等式可得，结合均为正整数即可求解，
（2）根据不等式的性质，结合作差法即可比较.
【详解】（1）①由得：，即，
②∵为正整数，，∴可知y只能为1或者2，
∴当时，，当时，，即的值为：或者；
（2），理由如下：根据题条件可知，，
∵，∴，
设，，
∵，∴，∴，
∵，，
∴，，即，
则有：，
即，
∵， ∴， ∴， ∴，
∴，结论得证．
17．(1)
(2)
【分析】（1）将函数写为分段函数的形式，再根据范围依次解不等式即可.
（2）确定，变换，再利用均值不等式计算得到最值.
【详解】（1），
当时，，解得；
当时，，解得，即；
当时，，解得，即；
综上所述：，即.
（2），，
.
当且仅当，即，时等号成立.
18．(1)；
(2)或.
【分析】（1）利用一元二次不等式有解，列出不等式求出命题，再求出即可.
（2）分离参数，利用基本不等式求出最小值，即得命题，结合（1）的信息即可得解.
【详解】（1）由命题p：，，得，解得或，
由命题p为假命题，得，
所以a的取值范围是.
（2）命题q：，，即，，
而当时，，，
当且仅当，即时取等号，因此，
由（1）知命题p是真命题时，或，
所以p和q均为真命题，a的取值范围是或.
19．(1)，
(2)
【分析】（1）根据一元二次不等式的解集，利用韦达定理可列出方程组，即得；
（2）利用基本不等式求得的最小值，根据恒成立可得，即得.
【详解】（1）因为不等式的解集为或，
所以1和是方程的两个实数根，且，
所以，解得，
即，.
（2）由（1）知，于是有，
故，
当且仅当，结合，即时，等号成立，
依题意有，即，
得，即，
所以的取值范围为.
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