2024年北师大版数学八年级下册周测卷（第四章第1-3节）基础卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2022·济宁）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023八上·汉阳期末）下列式子从左到右变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知把一个多项式分解因式，得到的结果为(x+1)(x-3)，则这个多项式为 （ ）
A． B． C． D．
4．把多项式8a2b2-16a2b2c2分解因式，应提取的公因式是（ ）
A．8a2b2 B．4a2b2 C．8ab2 D．8ab
5．（2023七下·新邵期末）下列各组式子中，没有公因式的是（ ）
A．-a2+ab与ab2-a2b B．mx+y与x+y
C．（a+b）2与-a-b D．5m（x-y）与y-x
6．如果(x+4)(x-3)是 因式分解的结果，那么m的值为 （ ）
A．7 B．-7 C．1 D．-1
7．若a-b=6，ab=7，则ab2-a2b的值为（ ）
A．42 B．-42 C．13 D．-13
8．（2023八上·莱芜期中）下列各式的分解因式：
①；②；
③；④.
其中正确的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
9．把多项式ax2-ay2分解因式，需用到（ ）
A．提取公因式 B．平方差公式
C．提取公因式和平方差公式 D．以上都不对
10．多项式(x+1)2-9因式分解的结果为（ ）
A．(x+8)(x+1) B．(x-2)(x+4) C．(x-4)(x+2) D．(x-10)(x+8)
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2023·舟山）一个多项式，把它因式分解后有一个因式为，请你写出一个符合条件的多项式： 。
12．（2020·吉林）分解因式： = ．
13．计算10n+2-8×10n+1-19×10n的值为 .
14．（2023八上·前郭尔罗斯月考）如图，长方形的长、宽分别为a，b，且a比b大3，面积为7，则a2b-ab2的值为
15．（2021·婺城模拟）分解因式：16﹣4x2= .
16．（2019八上·海口期中）已知 ， .则代数式 的值是 .
三、解答题（共7题，共72分）
17．因式分解：
（1）9－
（2）＋2ab＋－4
18．（2018七上·虹口期中）请阅读下面一题因式分解的解题过程：
因式分解：
分析：题中 是 ，把 分别看作u，v，用公式法分解因式，即可得
解：设 则原式=
像这样因式分解的方法叫做换元法。
请你参照上诉方法因式分解：
19．（2023八上·天门月考）教科书中这样写道：“形如 的式子称为完全平方式“，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题．
例如：分解因式： ．
解：原式
再如：求代数式 的最小值．
解： ，可知当 时，有最小值，最小值是－8．
根据阅读材料，用配方法解决下列问题：
（1）分解因式： ．（直接写出结果）
（2）当x为何值时，多项式 有最大值？并求出这个最大值．
（3）利用配方法，尝试求出等式 中a，b的值．
20．（2019七下·迁西期末）解下列各题：
（1）分解因式：9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）；
（2）甲，乙两同学分解因式x2+mx+n，甲看错了n，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了m，分解结果为（x+1）（x+9），请分析一下m，n的值及正确的分解过程．
21．阅读材料：
因为，这说明多项式有一个因式为x1，我们把x=1代入此多项式发现 x=1能使多项式的值为0.
解决问题：
（1）若x3是多项式的一个因式，求 k 的值.
（2）x-3和x-4时多项式x3+mx2+12x+n的两个因式，试求m、n的值.
（3）在(2)的条件下，把多项式分解因式.
22．分解因式有一种很重要的方法叫“十字相乘法”，常用于二次三项式的分解因式，实质是逆用多项式的乘法过程：x2+( a+b)x+ab=(x+a)(x+b)．这个方法的关键是把二次项系数和常数项分别都拆成两个因数的积，并使这两组因数交叉相乘再求和等于一次项系数．
例如：
（1）分解因式：
①x2+2x-24=
②6x2-7x-3=
（2）参考以上方法解方程：
①x2+2x-35=0；
②4x2-16x+15=0．
23．“换元”是重要的数学思想，它可以使一些复杂的问题得到简化.
例如：分解因式：
解
这里就是把当成一个整体，那么式子可以看成是一个关于的二次多项式，就容易分解.
（1）请模仿上面的方法分解因式：
（2）在(1)中，若求上式的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做因式分解．
A、右边不是整式积的形式，故不是因式分解，不符合题意；
B、形式上符合因式分解，但等号左右不是恒等变形，等号不成立，不符合题意；
C、符合因式分解的形式，符合题意；
D、从左到右是整式的乘法，从右到左是因式分解，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用因式分解法的定义对每个选项一一判断即可。
2．【答案】C
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：选项A，B，D中等号的右边都不是几个整式积的形式，不是因式分解，不符合题意；
选项C中等号的右边是几个整式积的形式，是因式分解，符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式的因式分解逐项分析即可得出答案.
3．【答案】C
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解： (x+1)(x-3) =x2-3x+x-3=x2-2x-3.
故答案为：C.
【分析】将一个多项式化为几个整式的乘积形式的恒等变形就是因式分解，故利用多项式乘以多项式的法则求出两个多项式的积，即可判断得出答案.
4．【答案】A
【知识点】公因式
【解析】【解答】解： 把多项式8a2b2-16a2b2c2分解因式，应提取的公因式是8a2b2.
故答案为：A.
【分析】多项式中各项系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的积就是多项中各项的公因式，据此可求解.
5．【答案】B
【知识点】公因式
【解析】【解答】解：A、∵-a2+ab=a（b-a）与ab2-a2b=ab（b-a）的公因式是a（b-a），∴A不符合题意；
B、∵mx+y与x+y没有公因式，∴B符合题意；
C、∵（a+b）2与-a-b=-（a+b）的公因式是（a+b），∴C不符合题意；
D、∵5m（x-y）与y-x=-（x-y）的公因式是（x-y），∴D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】先分别求出各选项中的公因式，再求解即可.
6．【答案】D
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：∵ (x+4)(x-3)=x2-3x+4x-12=x2+x-12， (x+4)(x-3) =x2-mx-12，
∴-m=1，
∴m=1.
故答案为：D.
【分析】根据多项式乘以多项式的法则算出(x+4)(x-3)的积，再与多项式x2-mx-12进行比较即可得出字母m的值.
7．【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解的应用
【解析】【解答】解：将提公因式得：ab（b-a），
∵a-b=6，ab=7，
∴b-a=-6，
因此，ab（b-a）=7×（-6）=-42，
∴=-42，
故答案为：B.
【分析】首先，根据题意将提公因式得到ab（b-a），然后根据已知条件a-b=6，ab=7将其代入ab（b-a）中求出答案即可.
8．【答案】A
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：
①，正确；
②，错误；
③，错误；
④.错误、
综上，正确的只有1个。
故答案为：A
【分析】根据平方差公式，完全平方公式对各式进行分解，逐一进行判断即可。特别要注意各项的符号，以免错用公式。
9．【答案】C
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：ax2-ay2=a（x2-y2）=a（x+y）（x-y）；
故答案为：C.
【分析】首先提取公因式a，进而利用平方差公式分解因式得出即可.
10．【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：（x+1）2-9=（x+1）2-32=（x+1-3）（x+1+3）=（x-2）（x+4）；
故答案为：B.
【分析】根据平方差公式进行分解因式即可得出答案.
11．【答案】（答案不唯一）
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：令另一个因式为(x-1)，则该多项式为(x+1)(x-1)=x2-1.
故答案为：x2-1.（答案不唯一）
【分析】令另一个因式为(x-1)，则该多项式为(x+1)(x-1)，然后利用平方差公式进行计算.
12．【答案】a（a﹣b）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： =a（a﹣b）．
故答案为a（a﹣b）．
【分析】直接提取公因式a即可分解因式.
13．【答案】10n
【知识点】同底数幂的乘法；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：10n+2-8×10n+1-19×10n
=10n×102-8×10n×10-19×10n
=10n×（102-8×10-19）
=10n×（100-80-19）
=10n.
故答案为：10n.
【分析】将原式整理可提取公因式10n，整理计算解求解.
14．【答案】21
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：a-b=3 ，ab=7，则 a2b-ab2＝ab(a-b)=21
故答案为：B.
【分析】利用提取公因式分解因式，进而得出，把已知代入即可。
15．【答案】4（2+x）（2﹣x）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】原式=4(4-x2)=4(2+x)(2-x)
【分析】观察多项式可知各项含有公因式4，括号内的因式符合平方差公式特征“a2-b2=(a+b)(a-b)”可求解.
16．【答案】5
【知识点】代数式求值；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ =(x+y)(x-y)=5.
故答案为：5.
【分析】先把 利用平方差公式分解因式，再整体代入计算即可.
17．【答案】（1）9（m+n）－(m－n) ===4（2m+n）(m+2n)
(2) a＋2ab＋b－4=（a+b）2-22=(a+b+2) (a+b－2)
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【分析】因式分解-运用公式法．
18．【答案】解：由题意可知：设xy-1=u，y=v
原式=（xy-1）2-2y（xy-1）+y2=（u-v）2=（xy-1-y）2
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】定义未知数，代入式子中，并用公式法分解因式得到最终值
19．【答案】（1）
（2）解： ，
∴当 时，多项式 有最大值，最大值是7；
（3）解： ，
，
，
，
， ，
解得 ， ．
【知识点】因式分解的应用；偶次方的非负性
【解析】【解答】解：（1）原式=
故答案为： .
【分析】（1）因式分解是指将多项式化为两个或多个因式相乘的形式，根据题中的例子，可以直接求出结果；
（2）根据题目中的例子，先将所求代数式进行配方，即可得到所求式子的最大值；
（3）先将等式进行配方化为完全平方式的形式，然后根据偶次方的非负性，列等式，即可求出a和b的值.
20．【答案】（1）解：原式＝9a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）
＝（x﹣y）（9a2﹣4b2）
＝（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）
（2）解：∵（x+2）（x+4）＝x2+6x+8，甲看错了n，
∴m＝6．
∵（x+1）（x+9）＝x2+10x+9，乙看错了m，
∴n＝9，
∴x2+mx+n＝x2+6x+9＝（x+3）2．
【知识点】多项式乘多项式；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）用提取公因式和平方差公式进行因式分解即可解答；（2）根据已知条件分别求出m和n的值，然后进行因式分解即可解答.
21．【答案】（1）解：∵x-3是多项式x2+kx+12的一个因式，
∴当x=3时，x2+kx+12=0，
∴9+3k+12=0，
解得k=-7，
∴k的值为-7；
（2）解：∵x-3与x-4时多项式x3+mx2+12x+n的两个因式，
∴当x=3和x=4时，x3+mx2+12x+n=0，
∴
解得
∴m的值为-7，n的值为0；
（3）解：∵m=-7，n=0，
∴x3+mx2+12x+n=x3-7x2+12x，
∴x3-7x2+12x
=x(x2-7x+12)
=x(x-3)(x-4).
【知识点】因式分解的定义；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）由阅读材料可得，当x=3时，x2+kx+12=0，从而将x=3代入方程可求出k的值；
（2）由阅读材料可得，当x=3和x=4时，x3+mx2+12x+n=0，从而将x=3和x=4分别代入方程可得关于字母m、n的方程组，求解可得m、n的值；
（3）将（2）中求出的m、n的值代入x3+mx2+12x+n后，先利用提取公因式法分解因式，再利用十字相乘法进行第二次分解可.
22．【答案】（1）①(x+6)(x-4)
②(2x-3)(3x+1)
（2）解：①x2 +2x-35=0，(x+7)(x-5)=0，x1=-7，x2=5．
②4x2-16x+15=0，(2x-5)(2x-3)=0，x1= ，x2=
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：（1）①1=1×1，-24=6×(-4) ，2=1×6+1×(-4)，则x2+2x-24=(x+6)(x-4) ；
②6=2×3，-3=1×(-3)，-7=2×1+3x(-3)，则6x2-7x-3=(2x-3)(3x+1)．
【分析】（1）利用“十字相乘法”进行解方程即可；
（2）利用“十字相乘法”进行解方程即可.
23．【答案】（1）解：x(x-4)(x-2)2-45
=(x2-4x)(x2-4x+4)-45
=(x2-4x)2+4(x2-4x)-45
=(x2-4x+9)(x2-4x-5)
=(x2-4x-9)(x-5)(x+1)；
（2）解：∵x2-4x-6=0，
∴x2-4x=6，
∴原式=(x2-4x+9)(x2-4x-5)
=(6+9)(6-5)
=15.
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】（1）利用单项式乘以多项式及完全平方公式将原式整理成(x2-4x)(x2-4x+4)-45，然后把“x2-4x”看成一个整体，原式变形为“(x2-4x)2+4(x2-4x)-45”，接着连续两次利用十字相乘法分解因式即可；
（2）由已知等式得x2-4x=6，然后整体代入计算可得答案.
1 / 12024年北师大版数学八年级下册周测卷（第四章第1-3节）基础卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2022·济宁）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做因式分解．
A、右边不是整式积的形式，故不是因式分解，不符合题意；
B、形式上符合因式分解，但等号左右不是恒等变形，等号不成立，不符合题意；
C、符合因式分解的形式，符合题意；
D、从左到右是整式的乘法，从右到左是因式分解，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用因式分解法的定义对每个选项一一判断即可。
2．（2023八上·汉阳期末）下列式子从左到右变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：选项A，B，D中等号的右边都不是几个整式积的形式，不是因式分解，不符合题意；
选项C中等号的右边是几个整式积的形式，是因式分解，符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式的因式分解逐项分析即可得出答案.
3．已知把一个多项式分解因式，得到的结果为(x+1)(x-3)，则这个多项式为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解： (x+1)(x-3) =x2-3x+x-3=x2-2x-3.
故答案为：C.
【分析】将一个多项式化为几个整式的乘积形式的恒等变形就是因式分解，故利用多项式乘以多项式的法则求出两个多项式的积，即可判断得出答案.
4．把多项式8a2b2-16a2b2c2分解因式，应提取的公因式是（ ）
A．8a2b2 B．4a2b2 C．8ab2 D．8ab
【答案】A
【知识点】公因式
【解析】【解答】解： 把多项式8a2b2-16a2b2c2分解因式，应提取的公因式是8a2b2.
故答案为：A.
【分析】多项式中各项系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的积就是多项中各项的公因式，据此可求解.
5．（2023七下·新邵期末）下列各组式子中，没有公因式的是（ ）
A．-a2+ab与ab2-a2b B．mx+y与x+y
C．（a+b）2与-a-b D．5m（x-y）与y-x
【答案】B
【知识点】公因式
【解析】【解答】解：A、∵-a2+ab=a（b-a）与ab2-a2b=ab（b-a）的公因式是a（b-a），∴A不符合题意；
B、∵mx+y与x+y没有公因式，∴B符合题意；
C、∵（a+b）2与-a-b=-（a+b）的公因式是（a+b），∴C不符合题意；
D、∵5m（x-y）与y-x=-（x-y）的公因式是（x-y），∴D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】先分别求出各选项中的公因式，再求解即可.
6．如果(x+4)(x-3)是 因式分解的结果，那么m的值为 （ ）
A．7 B．-7 C．1 D．-1
【答案】D
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：∵ (x+4)(x-3)=x2-3x+4x-12=x2+x-12， (x+4)(x-3) =x2-mx-12，
∴-m=1，
∴m=1.
故答案为：D.
【分析】根据多项式乘以多项式的法则算出(x+4)(x-3)的积，再与多项式x2-mx-12进行比较即可得出字母m的值.
7．若a-b=6，ab=7，则ab2-a2b的值为（ ）
A．42 B．-42 C．13 D．-13
【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解的应用
【解析】【解答】解：将提公因式得：ab（b-a），
∵a-b=6，ab=7，
∴b-a=-6，
因此，ab（b-a）=7×（-6）=-42，
∴=-42，
故答案为：B.
【分析】首先，根据题意将提公因式得到ab（b-a），然后根据已知条件a-b=6，ab=7将其代入ab（b-a）中求出答案即可.
8．（2023八上·莱芜期中）下列各式的分解因式：
①；②；
③；④.
其中正确的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
【答案】A
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：
①，正确；
②，错误；
③，错误；
④.错误、
综上，正确的只有1个。
故答案为：A
【分析】根据平方差公式，完全平方公式对各式进行分解，逐一进行判断即可。特别要注意各项的符号，以免错用公式。
9．把多项式ax2-ay2分解因式，需用到（ ）
A．提取公因式 B．平方差公式
C．提取公因式和平方差公式 D．以上都不对
【答案】C
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：ax2-ay2=a（x2-y2）=a（x+y）（x-y）；
故答案为：C.
【分析】首先提取公因式a，进而利用平方差公式分解因式得出即可.
10．多项式(x+1)2-9因式分解的结果为（ ）
A．(x+8)(x+1) B．(x-2)(x+4) C．(x-4)(x+2) D．(x-10)(x+8)
【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：（x+1）2-9=（x+1）2-32=（x+1-3）（x+1+3）=（x-2）（x+4）；
故答案为：B.
【分析】根据平方差公式进行分解因式即可得出答案.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2023·舟山）一个多项式，把它因式分解后有一个因式为，请你写出一个符合条件的多项式： 。
【答案】（答案不唯一）
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：令另一个因式为(x-1)，则该多项式为(x+1)(x-1)=x2-1.
故答案为：x2-1.（答案不唯一）
【分析】令另一个因式为(x-1)，则该多项式为(x+1)(x-1)，然后利用平方差公式进行计算.
12．（2020·吉林）分解因式： = ．
【答案】a（a﹣b）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： =a（a﹣b）．
故答案为a（a﹣b）．
【分析】直接提取公因式a即可分解因式.
13．计算10n+2-8×10n+1-19×10n的值为 .
【答案】10n
【知识点】同底数幂的乘法；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：10n+2-8×10n+1-19×10n
=10n×102-8×10n×10-19×10n
=10n×（102-8×10-19）
=10n×（100-80-19）
=10n.
故答案为：10n.
【分析】将原式整理可提取公因式10n，整理计算解求解.
14．（2023八上·前郭尔罗斯月考）如图，长方形的长、宽分别为a，b，且a比b大3，面积为7，则a2b-ab2的值为
【答案】21
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：a-b=3 ，ab=7，则 a2b-ab2＝ab(a-b)=21
故答案为：B.
【分析】利用提取公因式分解因式，进而得出，把已知代入即可。
15．（2021·婺城模拟）分解因式：16﹣4x2= .
【答案】4（2+x）（2﹣x）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】原式=4(4-x2)=4(2+x)(2-x)
【分析】观察多项式可知各项含有公因式4，括号内的因式符合平方差公式特征“a2-b2=(a+b)(a-b)”可求解.
16．（2019八上·海口期中）已知 ， .则代数式 的值是 .
【答案】5
【知识点】代数式求值；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ =(x+y)(x-y)=5.
故答案为：5.
【分析】先把 利用平方差公式分解因式，再整体代入计算即可.
三、解答题（共7题，共72分）
17．因式分解：
（1）9－
（2）＋2ab＋－4
【答案】（1）9（m+n）－(m－n) ===4（2m+n）(m+2n)
(2) a＋2ab＋b－4=（a+b）2-22=(a+b+2) (a+b－2)
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【分析】因式分解-运用公式法．
18．（2018七上·虹口期中）请阅读下面一题因式分解的解题过程：
因式分解：
分析：题中 是 ，把 分别看作u，v，用公式法分解因式，即可得
解：设 则原式=
像这样因式分解的方法叫做换元法。
请你参照上诉方法因式分解：
【答案】解：由题意可知：设xy-1=u，y=v
原式=（xy-1）2-2y（xy-1）+y2=（u-v）2=（xy-1-y）2
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】定义未知数，代入式子中，并用公式法分解因式得到最终值
19．（2023八上·天门月考）教科书中这样写道：“形如 的式子称为完全平方式“，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题．
例如：分解因式： ．
解：原式
再如：求代数式 的最小值．
解： ，可知当 时，有最小值，最小值是－8．
根据阅读材料，用配方法解决下列问题：
（1）分解因式： ．（直接写出结果）
（2）当x为何值时，多项式 有最大值？并求出这个最大值．
（3）利用配方法，尝试求出等式 中a，b的值．
【答案】（1）
（2）解： ，
∴当 时，多项式 有最大值，最大值是7；
（3）解： ，
，
，
，
， ，
解得 ， ．
【知识点】因式分解的应用；偶次方的非负性
【解析】【解答】解：（1）原式=
故答案为： .
【分析】（1）因式分解是指将多项式化为两个或多个因式相乘的形式，根据题中的例子，可以直接求出结果；
（2）根据题目中的例子，先将所求代数式进行配方，即可得到所求式子的最大值；
（3）先将等式进行配方化为完全平方式的形式，然后根据偶次方的非负性，列等式，即可求出a和b的值.
20．（2019七下·迁西期末）解下列各题：
（1）分解因式：9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）；
（2）甲，乙两同学分解因式x2+mx+n，甲看错了n，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了m，分解结果为（x+1）（x+9），请分析一下m，n的值及正确的分解过程．
【答案】（1）解：原式＝9a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）
＝（x﹣y）（9a2﹣4b2）
＝（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）
（2）解：∵（x+2）（x+4）＝x2+6x+8，甲看错了n，
∴m＝6．
∵（x+1）（x+9）＝x2+10x+9，乙看错了m，
∴n＝9，
∴x2+mx+n＝x2+6x+9＝（x+3）2．
【知识点】多项式乘多项式；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）用提取公因式和平方差公式进行因式分解即可解答；（2）根据已知条件分别求出m和n的值，然后进行因式分解即可解答.
21．阅读材料：
因为，这说明多项式有一个因式为x1，我们把x=1代入此多项式发现 x=1能使多项式的值为0.
解决问题：
（1）若x3是多项式的一个因式，求 k 的值.
（2）x-3和x-4时多项式x3+mx2+12x+n的两个因式，试求m、n的值.
（3）在(2)的条件下，把多项式分解因式.
【答案】（1）解：∵x-3是多项式x2+kx+12的一个因式，
∴当x=3时，x2+kx+12=0，
∴9+3k+12=0，
解得k=-7，
∴k的值为-7；
（2）解：∵x-3与x-4时多项式x3+mx2+12x+n的两个因式，
∴当x=3和x=4时，x3+mx2+12x+n=0，
∴
解得
∴m的值为-7，n的值为0；
（3）解：∵m=-7，n=0，
∴x3+mx2+12x+n=x3-7x2+12x，
∴x3-7x2+12x
=x(x2-7x+12)
=x(x-3)(x-4).
【知识点】因式分解的定义；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）由阅读材料可得，当x=3时，x2+kx+12=0，从而将x=3代入方程可求出k的值；
（2）由阅读材料可得，当x=3和x=4时，x3+mx2+12x+n=0，从而将x=3和x=4分别代入方程可得关于字母m、n的方程组，求解可得m、n的值；
（3）将（2）中求出的m、n的值代入x3+mx2+12x+n后，先利用提取公因式法分解因式，再利用十字相乘法进行第二次分解可.
22．分解因式有一种很重要的方法叫“十字相乘法”，常用于二次三项式的分解因式，实质是逆用多项式的乘法过程：x2+( a+b)x+ab=(x+a)(x+b)．这个方法的关键是把二次项系数和常数项分别都拆成两个因数的积，并使这两组因数交叉相乘再求和等于一次项系数．
例如：
（1）分解因式：
①x2+2x-24=
②6x2-7x-3=
（2）参考以上方法解方程：
①x2+2x-35=0；
②4x2-16x+15=0．
【答案】（1）①(x+6)(x-4)
②(2x-3)(3x+1)
（2）解：①x2 +2x-35=0，(x+7)(x-5)=0，x1=-7，x2=5．
②4x2-16x+15=0，(2x-5)(2x-3)=0，x1= ，x2=
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：（1）①1=1×1，-24=6×(-4) ，2=1×6+1×(-4)，则x2+2x-24=(x+6)(x-4) ；
②6=2×3，-3=1×(-3)，-7=2×1+3x(-3)，则6x2-7x-3=(2x-3)(3x+1)．
【分析】（1）利用“十字相乘法”进行解方程即可；
（2）利用“十字相乘法”进行解方程即可.
23．“换元”是重要的数学思想，它可以使一些复杂的问题得到简化.
例如：分解因式：
解
这里就是把当成一个整体，那么式子可以看成是一个关于的二次多项式，就容易分解.
（1）请模仿上面的方法分解因式：
（2）在(1)中，若求上式的值.
【答案】（1）解：x(x-4)(x-2)2-45
=(x2-4x)(x2-4x+4)-45
=(x2-4x)2+4(x2-4x)-45
=(x2-4x+9)(x2-4x-5)
=(x2-4x-9)(x-5)(x+1)；
（2）解：∵x2-4x-6=0，
∴x2-4x=6，
∴原式=(x2-4x+9)(x2-4x-5)
=(6+9)(6-5)
=15.
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】（1）利用单项式乘以多项式及完全平方公式将原式整理成(x2-4x)(x2-4x+4)-45，然后把“x2-4x”看成一个整体，原式变形为“(x2-4x)2+4(x2-4x)-45”，接着连续两次利用十字相乘法分解因式即可；
（2）由已知等式得x2-4x=6，然后整体代入计算可得答案.
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