湖南省长沙市重点中学2023-2024学年高三上册数学8月第一次质量检测试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中；只有一项是符合题目要求的.）
1．（2023高三上·长沙月考）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：集合，
集合，
所以
故答案为：C.
【分析】集合为有限集且都是整数，集合是一段范围，直接求出交集.
2．（2023高三上·长沙月考）已知复数z满足（z-2i）(1-i）=2，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：由（z-2i）（1-i）=2，
可得z＝
2
1 i
+2i＝
2(1+i)
(1 i)(1+i)
+2i＝1+i+2i＝1+3i，
所以=.
故选：B．
【分析】根据复数的混合运算法则，进行有理化，化简得到值，从而化简得到共轭.
3．（2023高三上·长沙月考）已知，是非零实数，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：充分性：
因为，且是单调递增函数，
所以，
所以
所以是的充分条件
必要性：
因为，且 ，是非零实数
所以，
所以，
所以是的必要条件
综上所述，是的充要条件
故答案为：A.
【分析】根据对数函数的单调性，得到，证明充分性；再次利用单调性，得到，证明必要性.
4．（2023高三上·长沙月考）某社区为了丰富退休人员的业余文化生活，自2018年以来，始终坚持开展“悦读小屋读书活动”.下表是对2018年以来近5年该社区退休人员的年人均借阅量的数据统计：
年份 2018 2019 2020 2021 2022
年份代码 1 2 3 4 5
年人均借阅量（册） 16 22 28
（参考数据：）通过分析散点图的特征后，年人均借阅量关于年份代码的回归分析模型为，则2023年的年人均借阅量约为（ ）
A．31 B．32 C．33 D．34
【答案】C
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以回归分析模型为，
因为2023年时，
所以2023年的年人均借阅量约为
故答案为：C.
【分析】首先分布求出年份代码和年人均借阅量的平均数，代入回归分析模型表达式，求出值，再根据题意2023年分析得到，最终得到2023年的年人均借阅量.
5．（2023高三上·长沙月考）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于地物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则直线与间的距离最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】B
【知识点】平面内两条平行直线间的距离；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：抛物线方程为：，
所以焦点坐标为，
根据题意画图如下：
过点设所在直线方程为：，
联立方程组：，
化简得到，
所以由韦达定理得到，，
设直线与直线的距离为，
所以
所以
当时，距离最小值为，
故答案为：B.
【分析】首先根据抛物线方程得到焦点坐标，过焦点设出直线方程，再联立方程组，结合韦达定理，得到直线与直线的距离，从而求出最小值.
6．（2023高三上·长沙月考）某校4名同学参加数学和物理两项竞赛，每项竞赛至少有1名同学参加，每名同学限报其中一项，则两项竞赛参加人数不相等的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：因为每项竞赛至少有1名同学参加，每名同学限报其中一项，
所以有这些情况：数学3人物理1人，数学2人物理2人，数学1人物理3人，
所以一共组合情况：种，
要求两项竞赛参加人数不相等的情况：种，
所以概率为，
故答案为：D.
【分析】首先根据题意，排列组合得到所有情况的事件种数，再单独求出两项竞赛参加人数不相等的情况种数，从而求得概率.
7．（2023高三上·长沙月考）在矩形中，，，现将沿折起成，折起过程中，当时，四面体体积为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：从矩形中可知，，
即，
因为，
所以，
从而得到，
所以
因为，
所以，
所以，
又因为线面垂直，所以
所以，
故答案为：B.
【分析】首先根据两组线线垂直，得到线面垂直，再利用线面垂直的性质得到，结合勾股定理得到值，再次通过勾股定理证出线线垂直，最终利用锥形体积公式，得到四面体的体积.
8．（2023高三上·长沙月考）在三角形中，，，，在上的投影向量为，则（ ）
A．-12 B．-6 C．12 D．18
【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为，
所以，
所以，
所以，
因为在上的投影向量为，
所以与的夹角余弦值，
所以
故答案为：A.
【分析】首先将的表达式代入，并将向量转换为，化简得到新的表达式，再根据所给的投影向量条件，最终得到向量的数量积.
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项对合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2023高三上·长沙月考）已知函数的图象关于点对称，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．的最大值为2
C．函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为
D．在上单调递减
【答案】B,C
【知识点】含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【解答】解：由题意可知，点在图像上，
代入得：，所以，所以A选项错误，
所以，利用辅助角公式得，，所以最大值为2，所以B选项正确，
对称轴为：，所以，所以相邻两个对称轴间距为，所以C选项正确，
因为，，所以，所以D选项错误，
故答案为：BC.
【分析】首先根据题意分析，把点坐标代入到函数，化简，得到值；利用辅助角公式，求得最大值；根据三角函数对称轴公式，求得相邻两个对称轴的间距；通过举例特殊值，证明在上没有单调递减.
10．（2023高三上·长沙月考）已知点，是双曲线：的左、右焦点，是双曲线位于第一象限内一点，若，，则下列结论正确的是（ ）
A．的面积为
B．双曲线的离心率为
C．双曲线的渐近线方程为
D．若双曲线的焦距为，则双曲线的方程为
【答案】B,D
【知识点】平面向量数量积的性质；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；双曲线的应用
【解析】【解答】解：因为，
所以，
因为，且，
所以，所以，所以A选项错误，
在中，，
所以，所以，所以B选项正确，
双曲线的渐近线方程为：，因为，所以，
所以渐近线方程为：，所以C选项错误，
因为，且，所以，，
所以双曲线方程为：，所以D选项正确.
故答案为：BD.
【分析】首先根据题目条件，向量的数量积为0，得到，再结合双曲线上的点到两个焦点距离差为，得到，长度，根据三角形面积公式代入求值；在直角三角形中，通过勾股定理，化简得到离心率；根据离心率关系，结合双曲线中，得到值，得到渐近线方程；根据焦距，得到值，再依次求出值，从而得到双曲线方程.
11．（2023高三上·长沙月考）若数列中任意连续三项，，，均满足，则称数列为跳跃数列.则下列结论正确的是（ ）
A．等比数列：1，，，，，…是跳跃数列
B．数列的通项公式为，数列是跳跃数列
C．等差数列不可能是跳跃数列
D．等比数列是跳跃数列的充要条件是该等比数列的公比
【答案】A,C,D
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；等比数列的性质
【解析】【解答】解：等比数列1，，，，...，
所以公比，通项公式为，
所以，，
所以，
所以A选项正确，
因为通项公式为，
所以，，，
所以，不符合题意，
所以B选项错误，
设等差数列的公差为，
所以，
所以等差数列不可能是跳跃数列，
所以C选项正确，
设等比数列的公比为，
所以，，
所以
所以，
所以D选项正确，
故答案为：ACD.
【分析】根据A选项的等比数列，得到公比q的值，满足，所以是跳跃数列；列举特殊项，不符合，所以B选项的通项公式不是跳跃数列；设出等差数列的公差，化简得到，所以等差数列一定不是跳跃数列；设出等比数列的公比，要符合跳跃数列，满足，代入化简得.
12．（2023高三上·长沙月考）已知函数的定义域为，函数的图象关于点对称，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．函数是奇函数
B．函数的图象关于轴对称
C．函数是最小正周期为2的周期函数
D．若函数满足，则
【答案】A,B,D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的周期性
【解析】【解答】解：函数的图象关于点对称，
所以，
所以是奇函数，
所以A选项正确，
因为，且，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以为偶函数，图象关于轴对称，
所以B选项正确，
因为，
所以，
所以周期为，
所以C选项错误，
因为，
所以，
所以周期也为，
所以，
因为，
又，
所以，
所以，
故答案为：ABD.
【分析】首先利用函数关于点对称，得到，所以是奇函数；再根据题目所给条件，化简得到，所以为偶函数，图像关于轴对称；由前面的等式关系，化简可以得到，周期为；利用的周期性，推导出的周期，最终得到前2024项和.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．（2023高三上·长沙月考）已知，则 .
【答案】
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：因为，且，
所以或
所以
故答案为：.
【分析】首先利用同角的三角函数之间的关系，分别求出正弦值和余弦值，再利用正弦二倍角公式，代入化简.
14．（2023高三上·长沙月考）已知圆：，过动点作圆的切线（为切点），使得，则动点的轨迹方程为 .
【答案】
【知识点】平面内两点间距离公式的应用；直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】解：圆：，
所以半径，坐标为
过动点作圆的切线（为切点），
所以，
因为，
所以，
设点坐标为，
所以，
即点轨迹方程为，
故答案为：.
【分析】首先根据圆的方程，得到半径和圆心坐标，再根据切线的性质，结合巩固定理，得到线段的长度，最后再利用两点间距离公式，得到运动轨迹方程.
15．（2023高三上·长沙月考）如图，圆柱的底面半径和母线长均为3，是底面直径，点在圆上且，点在母线上，，点是上底面的一个动点，且，则四面体的外接球的体积为 .
【答案】
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的性质；球面上的勾股定理
【解析】【解答】解：因为是底面圆的直径，且为圆上一点
所以，
因为，且是中线，
所以，
所以是等腰直角三角形，
因为底面圆半径为，
所以，
又因为底面圆，
所以，且，
所以，
又因为，，
所以，
所以，
所以，
又因为，且点是中点，
所以点为中点，是中位线，
所以，所以
在中，
，
同理，，，，
所以，
所以点为四面体的外接球的球心，
所以
故答案为：.
【分析】首先题意得到是等腰直角三角形，再由线面垂直，得到，在各直角三角形中，利用勾股定理，得到，从而得到点为四面体的外接球的球心，最后根据球的体积公式求出值.
16．（2023高三上·长沙月考）已知是函数的两个不同极值点，若，则实数的值为 .
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为，
所以，
因为有两个极值点，
所以有两个不同的根，
所以有两个不同的根，
设，
所以，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，有最大值，
所以
因为
所以，，
又因为，
所以联立方程组，
所以，
故答案为：.
【分析】首先根据题意有极值点，对求导，从而得到一次导函数与x轴也有两个不同交点，得到a的表达式，再次求导，得到最大值，从而得到a的取值范围，也结合单调性得到的范围，联立方程组，化简最终求得a值.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚.）
17．（2023高三上·长沙月考）在中，内角、、所对的边分别为、、，已知.
（1）求角的值；
（2）若的面积为，为的中点，求的最小值.
【答案】（1）解：由及正弦定理可得：
，则，
因为，则，所以，，
可得，故.
（2）解：由于的面积为，所以，，解得
在中，由余弦定理得：
，故，
当且仅当，即，时，的最小值为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；辅助角公式
【解析】【分析】(1)首先根据正弦定理，将所有边转换为三角函数值，再结合辅助角公式，进行化简，得到正弦值，最后求出∠C.
(2)首先根据题目所给面积，结合正弦定理表达三角形面积，进行化简，再利用余弦定理，通过基本不等式，求出最小值.
18．（2023高三上·长沙月考）在直三棱柱中，，，，延长至，使，连接，，.
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）解：因为三棱柱是直三棱柱，所以平面，
又由延长至，使，连接，可知在平面内，所以
因为，，所以，，
又由，所以，
所以，即，
又，所以平面，因为在平面内，
所以平面平面；
（2）解：由（1）可知，取中点，连接、，所以，
因为平面，易得，所以，所以为二面角的平面角，
因为，所以，，
所以，
所以，
故二面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】(1)首先根据线面垂直的性质，得到一组线线垂直，再根据等式性质，求出另外一组线线垂直，从而根据判定得到线面垂直，再利用定义，得到面面垂直.
(2)首先利用等腰三角形的三线合一，得到一组线线垂直，再通过线面垂直的性质，得到另外一组线线垂直，从而得到二面角，然后勾股定理求出线段长度，最后求出二面角的余弦值.
19．（2023高三上·长沙月考）已知数列的前项和为，且满足，，数列满足.
（1）证明：是等比数列；
（2）设，数列的前项和为，证明：.
【答案】（1）解：由题设，
得，即，
所以，又，
所以，而，
故是首项与公比都为2的等比数列.
（2）解：由（1），得，
当时，，
显然满足上式，所以，
则，
所以，
故.
【知识点】数列与不等式的综合；等差数列与等比数列的综合；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】(1)首先将数列转换为前项和和的表达式，化简得到新的表达式，再进一步替换为通项公式，得到公比，从而证出是等比数列.
(2)利用第一问的结论，是等比数列，求出的通项公式，代入求出的通项公式，再利用与的关系式，求出的通项公式，代入得到，最后通过裂项消元法，证出前项和小于2.
20．（2023高三上·长沙月考） 2023年游泳世锦赛于7月14日—30日在日本福冈进行，甲、乙两名10米跳台双人赛的选手，在备战世锦赛时挑战某高难度动作，每轮均挑战3次，每次挑战的结果只有成功和失败两种.
（1）甲在每次挑战中，成功的概率都为.设甲在3次挑战中成功的次数为，求随机变量的分布列和数学期望；
（2）乙在第一次挑战时，成功的概率为0.5，由于教练点拨、自我反思和心理调控等因素影响下，从第二次开始，每次成功的概率会发生改变，改变规律为：若前一次成功，则该次成功的概率比前一次成功的概率增加0.2；若前一次失败，则该次成功的概率比前一次成功的概率增加0.15.求乙在第三次成功的概率.
【答案】（1）解：由题意得，则，其中，
则的分布列为：
0 1 2 3
则.
（2）解：设事件为“乙在第次挑战成功”，其中.
所以；
；
；
；
故
.
即乙在第三次成功的概率为0.85875.
【知识点】条件概率与独立事件；二项分布；条件概率乘法公式
【解析】【分析】(1)首先根据题意可知X服从二项分布，依次求出概率，列出分布列，再根据分布列的期望公式，求出期望值.
(2)首先设出各事件，再根据条件概率公式，对事件情况进行讨论，结合事件的互斥性，从而得到第三次成功的概率.
21．（2023高三上·长沙月考）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，是椭圆上一动点，，椭圆的离心率为，直线过点交椭圆于不同的两点，.
（1）求椭圆的方程：
（2）若三角形的面积为，求直线的方程.
【答案】（1）解：设椭圆的半焦距为，由已知有，解得
故椭圆的方程为.
（2）解：设，，直线的方程为，，
联立消去，整理得，
则，，
且，即或.
所以的面积为
，
令，得，
解得，
从而.
故直线的方程为，
即.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)首先利用题目所给条件，再结合椭圆方程本身的性质，联立方程组，然后化简求值，得到，从而得出椭圆的方程.
(2)首先根据题意直线过定点坐标，设出直线的表达式，再结合椭圆方程，联立方程组，然后通过韦达定理，得到两根之和与两根之积，再由题意有两个交点，得到根的判别式大于0，求出范围，最后根据题目所给三角形面积，化简得到t值，从而求得直线方程解析式.
22．（2023高三上·长沙月考）证明下面两题：
（1）证明：当时，；
（2）当时，证明函数有2个不同零点.
【答案】（1）解：令，其中，则，
令，，则，
所以在上单调递增，所以，
所以在上单调递增，，故当时，.
（2）解：函数的定义域为，.
因为，，令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以有最大值.
当时，，，
令，则，则在上单调递增，
在上单调递减，所以，所以，
因此当时，，.
因为，所以，于是.
又在上单调递增，，且，
所以在上有唯一零点.
，
由（1）因为，所以，即，
所以.
由，得，即，得，
于是.
又，，在上单调递减，
所以在上有唯一零点.
故时，有两个零点
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；二阶导数
【解析】【分析】(1)首先根据题意构造函数表达式，对函数进行求导，由于对一次导函数无法判断正负性，进行二次求导，根据定义域范围，得到一次导函数的单调性，从而得到原函数的单调性，最终得到结论.
(2)根据题意得到定义域，首先对函数进行一次求导，根据一次导的正负性，得到单调递增区间和单调递减区间，从而利用单调性得到函数最大值大于0；接下来讨论的正负性，再次构造新的函数，求一次导，同样利用单调性，得到最大值为0，进而得到小于0，根据在上有单调性，所以存在上有唯一零点；最后一步得到也小于0，根据在上有单调性，所以存在上也有唯一零点，最终得出结论共有两个零点.
1 / 1湖南省长沙市重点中学2023-2024学年高三上册数学8月第一次质量检测试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中；只有一项是符合题目要求的.）
1．（2023高三上·长沙月考）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023高三上·长沙月考）已知复数z满足（z-2i）(1-i）=2，则=（ ）
A． B． C． D．
3．（2023高三上·长沙月考）已知，是非零实数，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2023高三上·长沙月考）某社区为了丰富退休人员的业余文化生活，自2018年以来，始终坚持开展“悦读小屋读书活动”.下表是对2018年以来近5年该社区退休人员的年人均借阅量的数据统计：
年份 2018 2019 2020 2021 2022
年份代码 1 2 3 4 5
年人均借阅量（册） 16 22 28
（参考数据：）通过分析散点图的特征后，年人均借阅量关于年份代码的回归分析模型为，则2023年的年人均借阅量约为（ ）
A．31 B．32 C．33 D．34
5．（2023高三上·长沙月考）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于地物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则直线与间的距离最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
6．（2023高三上·长沙月考）某校4名同学参加数学和物理两项竞赛，每项竞赛至少有1名同学参加，每名同学限报其中一项，则两项竞赛参加人数不相等的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023高三上·长沙月考）在矩形中，，，现将沿折起成，折起过程中，当时，四面体体积为（ ）
A．2 B． C． D．
8．（2023高三上·长沙月考）在三角形中，，，，在上的投影向量为，则（ ）
A．-12 B．-6 C．12 D．18
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项对合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2023高三上·长沙月考）已知函数的图象关于点对称，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．的最大值为2
C．函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为
D．在上单调递减
10．（2023高三上·长沙月考）已知点，是双曲线：的左、右焦点，是双曲线位于第一象限内一点，若，，则下列结论正确的是（ ）
A．的面积为
B．双曲线的离心率为
C．双曲线的渐近线方程为
D．若双曲线的焦距为，则双曲线的方程为
11．（2023高三上·长沙月考）若数列中任意连续三项，，，均满足，则称数列为跳跃数列.则下列结论正确的是（ ）
A．等比数列：1，，，，，…是跳跃数列
B．数列的通项公式为，数列是跳跃数列
C．等差数列不可能是跳跃数列
D．等比数列是跳跃数列的充要条件是该等比数列的公比
12．（2023高三上·长沙月考）已知函数的定义域为，函数的图象关于点对称，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．函数是奇函数
B．函数的图象关于轴对称
C．函数是最小正周期为2的周期函数
D．若函数满足，则
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．（2023高三上·长沙月考）已知，则 .
14．（2023高三上·长沙月考）已知圆：，过动点作圆的切线（为切点），使得，则动点的轨迹方程为 .
15．（2023高三上·长沙月考）如图，圆柱的底面半径和母线长均为3，是底面直径，点在圆上且，点在母线上，，点是上底面的一个动点，且，则四面体的外接球的体积为 .
16．（2023高三上·长沙月考）已知是函数的两个不同极值点，若，则实数的值为 .
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚.）
17．（2023高三上·长沙月考）在中，内角、、所对的边分别为、、，已知.
（1）求角的值；
（2）若的面积为，为的中点，求的最小值.
18．（2023高三上·长沙月考）在直三棱柱中，，，，延长至，使，连接，，.
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
19．（2023高三上·长沙月考）已知数列的前项和为，且满足，，数列满足.
（1）证明：是等比数列；
（2）设，数列的前项和为，证明：.
20．（2023高三上·长沙月考） 2023年游泳世锦赛于7月14日—30日在日本福冈进行，甲、乙两名10米跳台双人赛的选手，在备战世锦赛时挑战某高难度动作，每轮均挑战3次，每次挑战的结果只有成功和失败两种.
（1）甲在每次挑战中，成功的概率都为.设甲在3次挑战中成功的次数为，求随机变量的分布列和数学期望；
（2）乙在第一次挑战时，成功的概率为0.5，由于教练点拨、自我反思和心理调控等因素影响下，从第二次开始，每次成功的概率会发生改变，改变规律为：若前一次成功，则该次成功的概率比前一次成功的概率增加0.2；若前一次失败，则该次成功的概率比前一次成功的概率增加0.15.求乙在第三次成功的概率.
21．（2023高三上·长沙月考）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，是椭圆上一动点，，椭圆的离心率为，直线过点交椭圆于不同的两点，.
（1）求椭圆的方程：
（2）若三角形的面积为，求直线的方程.
22．（2023高三上·长沙月考）证明下面两题：
（1）证明：当时，；
（2）当时，证明函数有2个不同零点.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：集合，
集合，
所以
故答案为：C.
【分析】集合为有限集且都是整数，集合是一段范围，直接求出交集.
2．【答案】B
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：由（z-2i）（1-i）=2，
可得z＝
2
1 i
+2i＝
2(1+i)
(1 i)(1+i)
+2i＝1+i+2i＝1+3i，
所以=.
故选：B．
【分析】根据复数的混合运算法则，进行有理化，化简得到值，从而化简得到共轭.
3．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：充分性：
因为，且是单调递增函数，
所以，
所以
所以是的充分条件
必要性：
因为，且 ，是非零实数
所以，
所以，
所以是的必要条件
综上所述，是的充要条件
故答案为：A.
【分析】根据对数函数的单调性，得到，证明充分性；再次利用单调性，得到，证明必要性.
4．【答案】C
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以回归分析模型为，
因为2023年时，
所以2023年的年人均借阅量约为
故答案为：C.
【分析】首先分布求出年份代码和年人均借阅量的平均数，代入回归分析模型表达式，求出值，再根据题意2023年分析得到，最终得到2023年的年人均借阅量.
5．【答案】B
【知识点】平面内两条平行直线间的距离；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：抛物线方程为：，
所以焦点坐标为，
根据题意画图如下：
过点设所在直线方程为：，
联立方程组：，
化简得到，
所以由韦达定理得到，，
设直线与直线的距离为，
所以
所以
当时，距离最小值为，
故答案为：B.
【分析】首先根据抛物线方程得到焦点坐标，过焦点设出直线方程，再联立方程组，结合韦达定理，得到直线与直线的距离，从而求出最小值.
6．【答案】D
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：因为每项竞赛至少有1名同学参加，每名同学限报其中一项，
所以有这些情况：数学3人物理1人，数学2人物理2人，数学1人物理3人，
所以一共组合情况：种，
要求两项竞赛参加人数不相等的情况：种，
所以概率为，
故答案为：D.
【分析】首先根据题意，排列组合得到所有情况的事件种数，再单独求出两项竞赛参加人数不相等的情况种数，从而求得概率.
7．【答案】B
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：从矩形中可知，，
即，
因为，
所以，
从而得到，
所以
因为，
所以，
所以，
又因为线面垂直，所以
所以，
故答案为：B.
【分析】首先根据两组线线垂直，得到线面垂直，再利用线面垂直的性质得到，结合勾股定理得到值，再次通过勾股定理证出线线垂直，最终利用锥形体积公式，得到四面体的体积.
8．【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为，
所以，
所以，
所以，
因为在上的投影向量为，
所以与的夹角余弦值，
所以
故答案为：A.
【分析】首先将的表达式代入，并将向量转换为，化简得到新的表达式，再根据所给的投影向量条件，最终得到向量的数量积.
9．【答案】B,C
【知识点】含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【解答】解：由题意可知，点在图像上，
代入得：，所以，所以A选项错误，
所以，利用辅助角公式得，，所以最大值为2，所以B选项正确，
对称轴为：，所以，所以相邻两个对称轴间距为，所以C选项正确，
因为，，所以，所以D选项错误，
故答案为：BC.
【分析】首先根据题意分析，把点坐标代入到函数，化简，得到值；利用辅助角公式，求得最大值；根据三角函数对称轴公式，求得相邻两个对称轴的间距；通过举例特殊值，证明在上没有单调递减.
10．【答案】B,D
【知识点】平面向量数量积的性质；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；双曲线的应用
【解析】【解答】解：因为，
所以，
因为，且，
所以，所以，所以A选项错误，
在中，，
所以，所以，所以B选项正确，
双曲线的渐近线方程为：，因为，所以，
所以渐近线方程为：，所以C选项错误，
因为，且，所以，，
所以双曲线方程为：，所以D选项正确.
故答案为：BD.
【分析】首先根据题目条件，向量的数量积为0，得到，再结合双曲线上的点到两个焦点距离差为，得到，长度，根据三角形面积公式代入求值；在直角三角形中，通过勾股定理，化简得到离心率；根据离心率关系，结合双曲线中，得到值，得到渐近线方程；根据焦距，得到值，再依次求出值，从而得到双曲线方程.
11．【答案】A,C,D
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；等比数列的性质
【解析】【解答】解：等比数列1，，，，...，
所以公比，通项公式为，
所以，，
所以，
所以A选项正确，
因为通项公式为，
所以，，，
所以，不符合题意，
所以B选项错误，
设等差数列的公差为，
所以，
所以等差数列不可能是跳跃数列，
所以C选项正确，
设等比数列的公比为，
所以，，
所以
所以，
所以D选项正确，
故答案为：ACD.
【分析】根据A选项的等比数列，得到公比q的值，满足，所以是跳跃数列；列举特殊项，不符合，所以B选项的通项公式不是跳跃数列；设出等差数列的公差，化简得到，所以等差数列一定不是跳跃数列；设出等比数列的公比，要符合跳跃数列，满足，代入化简得.
12．【答案】A,B,D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的周期性
【解析】【解答】解：函数的图象关于点对称，
所以，
所以是奇函数，
所以A选项正确，
因为，且，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以为偶函数，图象关于轴对称，
所以B选项正确，
因为，
所以，
所以周期为，
所以C选项错误，
因为，
所以，
所以周期也为，
所以，
因为，
又，
所以，
所以，
故答案为：ABD.
【分析】首先利用函数关于点对称，得到，所以是奇函数；再根据题目所给条件，化简得到，所以为偶函数，图像关于轴对称；由前面的等式关系，化简可以得到，周期为；利用的周期性，推导出的周期，最终得到前2024项和.
13．【答案】
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：因为，且，
所以或
所以
故答案为：.
【分析】首先利用同角的三角函数之间的关系，分别求出正弦值和余弦值，再利用正弦二倍角公式，代入化简.
14．【答案】
【知识点】平面内两点间距离公式的应用；直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】解：圆：，
所以半径，坐标为
过动点作圆的切线（为切点），
所以，
因为，
所以，
设点坐标为，
所以，
即点轨迹方程为，
故答案为：.
【分析】首先根据圆的方程，得到半径和圆心坐标，再根据切线的性质，结合巩固定理，得到线段的长度，最后再利用两点间距离公式，得到运动轨迹方程.
15．【答案】
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的性质；球面上的勾股定理
【解析】【解答】解：因为是底面圆的直径，且为圆上一点
所以，
因为，且是中线，
所以，
所以是等腰直角三角形，
因为底面圆半径为，
所以，
又因为底面圆，
所以，且，
所以，
又因为，，
所以，
所以，
所以，
又因为，且点是中点，
所以点为中点，是中位线，
所以，所以
在中，
，
同理，，，，
所以，
所以点为四面体的外接球的球心，
所以
故答案为：.
【分析】首先题意得到是等腰直角三角形，再由线面垂直，得到，在各直角三角形中，利用勾股定理，得到，从而得到点为四面体的外接球的球心，最后根据球的体积公式求出值.
16．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为，
所以，
因为有两个极值点，
所以有两个不同的根，
所以有两个不同的根，
设，
所以，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，有最大值，
所以
因为
所以，，
又因为，
所以联立方程组，
所以，
故答案为：.
【分析】首先根据题意有极值点，对求导，从而得到一次导函数与x轴也有两个不同交点，得到a的表达式，再次求导，得到最大值，从而得到a的取值范围，也结合单调性得到的范围，联立方程组，化简最终求得a值.
17．【答案】（1）解：由及正弦定理可得：
，则，
因为，则，所以，，
可得，故.
（2）解：由于的面积为，所以，，解得
在中，由余弦定理得：
，故，
当且仅当，即，时，的最小值为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；辅助角公式
【解析】【分析】(1)首先根据正弦定理，将所有边转换为三角函数值，再结合辅助角公式，进行化简，得到正弦值，最后求出∠C.
(2)首先根据题目所给面积，结合正弦定理表达三角形面积，进行化简，再利用余弦定理，通过基本不等式，求出最小值.
18．【答案】（1）解：因为三棱柱是直三棱柱，所以平面，
又由延长至，使，连接，可知在平面内，所以
因为，，所以，，
又由，所以，
所以，即，
又，所以平面，因为在平面内，
所以平面平面；
（2）解：由（1）可知，取中点，连接、，所以，
因为平面，易得，所以，所以为二面角的平面角，
因为，所以，，
所以，
所以，
故二面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】(1)首先根据线面垂直的性质，得到一组线线垂直，再根据等式性质，求出另外一组线线垂直，从而根据判定得到线面垂直，再利用定义，得到面面垂直.
(2)首先利用等腰三角形的三线合一，得到一组线线垂直，再通过线面垂直的性质，得到另外一组线线垂直，从而得到二面角，然后勾股定理求出线段长度，最后求出二面角的余弦值.
19．【答案】（1）解：由题设，
得，即，
所以，又，
所以，而，
故是首项与公比都为2的等比数列.
（2）解：由（1），得，
当时，，
显然满足上式，所以，
则，
所以，
故.
【知识点】数列与不等式的综合；等差数列与等比数列的综合；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】(1)首先将数列转换为前项和和的表达式，化简得到新的表达式，再进一步替换为通项公式，得到公比，从而证出是等比数列.
(2)利用第一问的结论，是等比数列，求出的通项公式，代入求出的通项公式，再利用与的关系式，求出的通项公式，代入得到，最后通过裂项消元法，证出前项和小于2.
20．【答案】（1）解：由题意得，则，其中，
则的分布列为：
0 1 2 3
则.
（2）解：设事件为“乙在第次挑战成功”，其中.
所以；
；
；
；
故
.
即乙在第三次成功的概率为0.85875.
【知识点】条件概率与独立事件；二项分布；条件概率乘法公式
【解析】【分析】(1)首先根据题意可知X服从二项分布，依次求出概率，列出分布列，再根据分布列的期望公式，求出期望值.
(2)首先设出各事件，再根据条件概率公式，对事件情况进行讨论，结合事件的互斥性，从而得到第三次成功的概率.
21．【答案】（1）解：设椭圆的半焦距为，由已知有，解得
故椭圆的方程为.
（2）解：设，，直线的方程为，，
联立消去，整理得，
则，，
且，即或.
所以的面积为
，
令，得，
解得，
从而.
故直线的方程为，
即.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)首先利用题目所给条件，再结合椭圆方程本身的性质，联立方程组，然后化简求值，得到，从而得出椭圆的方程.
(2)首先根据题意直线过定点坐标，设出直线的表达式，再结合椭圆方程，联立方程组，然后通过韦达定理，得到两根之和与两根之积，再由题意有两个交点，得到根的判别式大于0，求出范围，最后根据题目所给三角形面积，化简得到t值，从而求得直线方程解析式.
22．【答案】（1）解：令，其中，则，
令，，则，
所以在上单调递增，所以，
所以在上单调递增，，故当时，.
（2）解：函数的定义域为，.
因为，，令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以有最大值.
当时，，，
令，则，则在上单调递增，
在上单调递减，所以，所以，
因此当时，，.
因为，所以，于是.
又在上单调递增，，且，
所以在上有唯一零点.
，
由（1）因为，所以，即，
所以.
由，得，即，得，
于是.
又，，在上单调递减，
所以在上有唯一零点.
故时，有两个零点
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；二阶导数
【解析】【分析】(1)首先根据题意构造函数表达式，对函数进行求导，由于对一次导函数无法判断正负性，进行二次求导，根据定义域范围，得到一次导函数的单调性，从而得到原函数的单调性，最终得到结论.
(2)根据题意得到定义域，首先对函数进行一次求导，根据一次导的正负性，得到单调递增区间和单调递减区间，从而利用单调性得到函数最大值大于0；接下来讨论的正负性，再次构造新的函数，求一次导，同样利用单调性，得到最大值为0，进而得到小于0，根据在上有单调性，所以存在上有唯一零点；最后一步得到也小于0，根据在上有单调性，所以存在上也有唯一零点，最终得出结论共有两个零点.
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