北京市海淀区2024届高三上学期期中练习数学试题
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：集合，
所以，
故答案为：B.
【分析】根据并集的运算即可求解.
2．若复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】复数满足，
所以.
故答案为：A.
【分析】根据复数除法和乘法运算法则计算.
3．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的单调性及单调区间；函数的奇偶性
【解析】【解答】A选项，在区间上单调递增，但定义域为，定义域不关于原点对称，故不是偶函数，A错误；
B选项，的定义域为R，定义域关于原点对称，且，故为奇函数，B错误；
C选项，设，因为，，
故在上不单调递增，C错误；
D选项，的定义域为R，且，故为偶函数，
又当x>0时，，在上单调递增，故满足要求，D正确.
故答案为：D.
【分析】根据函数的奇偶性以及单调性对各个选项中的函数进行判断即可得出结论.
4．已知向量满足，则（ ）
A． B．0 C．5 D．7
【答案】C
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量坐标表示的应用；平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】因为，
设，则，
所以，即，
所以，
，
故答案为：C.
【分析】先求出的坐标，进而利用向量数量积公式求出答案.
5．设等差数列的前项和为，且，则的最大值为（ ）
A． B．3 C．9 D．36
【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；等差数列的前n项和；等差数列的性质；等差中项；等差数列的实际应用
【解析】【解答】数列为等差数列，
则，化简得，
所以，
当且仅当时等号成立.
故答案为：C.
【分析】先求得，然后利用基本不等式求得正确答案.
6．设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】，
，
因为是增函数，，
所以，
即.
故答案为：D.
【分析】先将化为同底的对数，再根据指数函数的单调性比较大小即可得出结论.
7．“”是“为第一或第三象限角”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；三角函数值的符号；同角三角函数间的基本关系；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】，
即由时，则，
所以为第一或第三象限角，
反之，当为第一或第三象限角时，，所以，
综上，“”是“为第一或第三象限角”的充分必要条件.
故答案为：C.
【分析】根据同角三角函数关系化简，利用三角函数在各象限的符号的正负判断，再结合充分条件、必要条件即可得解.
8．在中，，则（ ）
A．为直角 B．为钝角 C．为直角 D．为钝角
【答案】C
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】由，
由正弦定理化简可得，即，
又，所以由余弦定理可得，
化简得，即，，
则，
故在中，，
故答案为：C.
【分析】由正弦定理边化角得，结合余弦定理和化解，可求出.
9．古典吉他的示意图如图所示．分别是上弦枕、下弦枕，是第品丝．记为与的距离，为与的距离，且满足，其中为弦长（与的距离），为大于1的常数，并规定．则（ ）
A．数列是等差数列，且公差为
B．数列是等比数列，且公比为
C．数列是等比数列，且公比为
D．数列是等差数列，且公差为
【答案】B
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的前n项和；等比数列的实际应用
【解析】【解答】因为，，
则，
当时，，
所以，
即，
又M为大于1的常数，所以，
即数列是等比数列，且公比为，故A错误，B正确；
由上可知，又，
所以，
所以不是常数，故C错误；
所以，不是常数，故D错误.
故答案为：B.
【分析】根据题意可得，根据等比数列的概念进而判断AB，结合条件可得，进而判断CD.
10．在等腰直角三角形中，为斜边的中点，以为圆心，为半径作，点在线段上，点在上，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】向量的模；平面向量的线性运算；平面内两点间距离公式的应用；平面向量加、减运算的坐标表示
【解析】【解答】如图所示，以M为圆心，以为轴，建立空间直角坐标系，
由于，所以，
由于点Q在，不妨设 ，，
，其中，，，
所以，
所以，
可看作是上的点到点的距离，
由于点在线段上运动，
故当点运动到点时，此时距离最大，为，
当点运动到点时，此时距离最小为0，
综上可知：.
故答案为：A.
【分析】根据向量的坐标运算即可得，进而将可看作是点到点的距离，即可求解.
二、填空题
11．（2017高一上·无锡期末）函数 的定义域是 ．
【答案】（﹣1，0）∪（0，+∞）
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：要使原函数有意义，则 ，得x＞﹣1且x≠0．
∴函数 的定义域是：（﹣1，0）∪（0，+∞）．
故答案为：（﹣1，0）∪（0，+∞）．
【分析】由对数式的真数大于0，分式的分母不为0联立不等式组求解．
12．在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点，则 ．
【答案】
【知识点】二倍角的正切公式；任意角三角函数的定义；三角函数值的符号
【解析】【解答】，角以为始边，终边经过点，
由三角函数的定义可知，
所以，
故答案为：.
【分析】根据三角函数的定义及二倍角公式即可求解.
13．已知非零向量，其中是一组不共线的向量．能使得与的方向相反的一组实数的值为 ， ．
【答案】-1(不唯一)；1
【知识点】共线（平行）向量；平面向量的共线定理；平面向量的基本定理
【解析】【解答】设非零向量，其中是一组不共线的向量，
若与的方向相反，则，则有，
即，
所以，所以，解得，
取.
故答案为：-1(不唯一)，1.
【分析】根据与的方向相反，设，则有，列出方程组求解即可.
14．已知函数的部分图象如图所示．
①函数的最小正周期为 ；
②将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．若函数为奇函数，则的最小值是 ．
【答案】；
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的单调性；三角函数模型的其他应用
【解析】【解答】填空1：由图可知，
填空2：，即，
则，又过点，
所以，即，
又在原图增区间上，所以可取，
所以，
向右平移个单位可得，
又为奇函数，则，
即，
则t得最小值是，此时k=0.
故答案为：；.
【分析】填空1：可由图像直接读出半个周期，进而可得周期大小；填空2：通过周期大小和函数上的点，可求出的解析式，再平移得到，然后根据奇偶性求参即可.
15．已知函数给出下列四个结论：
①当时，的最小值为；
②当时，存在最小值；
③的零点个数为，则函数的值域为；
④当时，对任意．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①③
【知识点】函数的值域；函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数恒成立问题；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：函数，
对①，当时，，
当时，，当时，，
综上，最小值为0，①正确；
对②，，，
当时，，
当时，若；
若，，
如时，，函数不存在最小值，②错误；
对③，当a<0时，最多一个解，
得或，
如时，由可得(舍去)，
由得或，故此时两个零点，即；
如时，，由可得，
由得或，故此时三个零点，即；
当时，，由，得，
由得，故此时一个零点，即；
当时，，时，，无解，
时，，无解，
此时没有零点，即.
综上，的值域为，故③正确；
对④，当时，如时，，
，，此时，故④错误.
故答案为：①③
【分析】利用函数的单调性及最值、零点定义结合条件分类讨论以及利用特值法可对各个结论判断即可.
三、证明题
16．已知无穷等比数列的各项均为整数，其前项和为．
（1）求的通项公式；
（2）证明：对这三个数成等差数列．
【答案】（1）设公比为，由题意有
代入得，故或3
又各项均为整数，故
于是.
（2）由（1）得
所以
故，获证.
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等差关系的确定；等比数列的实际应用；等差数列的实际应用
【解析】【分析】（1）设出公比，将代入解方程即可；
（2）按照等差数列的定义，作差即可证明
17．已知函数，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在.
条件①：；
条件②：函数在区间上是增函数；
条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
（1）求的值；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
【答案】（1）由题意得：
.
当选条件①：，
又因为，所以，所以，
所以时，即得：，即.
当选条件②：
从而得：当时，单调递增，
化简得：当时，单调递增，
又因为函数在区间上是增函数，
所以得：，解之得：，
当时，得，与已知条件矛盾，故条件②不能使函数存在.
故：若选条件②，不存在.
当选条件③：
由，，
得当时，，又因为，
所以得，得.
（2）当选条件①：
由（1）知：，则得：，
又因为，所以，
所以当时，有最大值；
所以当时，有最小值；
当选条件③：
由（1）知：，则得：，
又因为，所以，
所以当时，有最大值；
所以当时，有最小；
【知识点】三角函数的化简求值；三角函数中的恒等变换应用；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）化简函数，然后根据所选的条件，去利用三角函数辅助角公式，三角函数单调递增区间而分别计算并判断是否使函数存在，从而求解；
（2）根据（1）中选的不同条件下得出不同的函数的解析式，然后求出在区间上的最大值和最小值.
18．已知曲线与轴交于不同的两点（点在点的左侧），点在线段上（不与端点重合），过点作轴的垂线交曲线于点．
（1）若为等腰直角三角形，求的面积；
（2）记的面积为，求的最大值．
【答案】（1）依题意，，所以，
由，得，
则，解得或（舍去），则，
所以.
（2）由，得，
则，
，
所以在区间上单调递增，
在区间上单调递减，
所以的最大值是.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；实际问题中导数的意义
【解析】【分析】（1）由已知条件求得的坐标，从而求得三角形的面积.
（2）先求得三角形面积的表达式，然后利用导数求得面积的最大值.
19．某景区有一人工湖，湖面有两点，湖边架有直线型栈道，长为，如图所示．现要测是两点之间的距离，工作人员分别在两点进行测量，在点测得，；在点测得．（在同一平面内）
（1）求两点之间的距离；
（2）判断直线与直线是否垂直，并说明理由．
【答案】（1）依题意，，，，
所以，
，所以，
在三角形中，由正弦定理得，
在三角形中，由余弦定理得.
（2）在三角形中，由余弦定理得，
，
在三角形中，由正弦定理得，
，
直线与直线不垂直，理由如下：
，
所以直线与直线不垂直.
【知识点】平面向量减法运算；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）先求得，利用正弦定理和余弦定理即可求得.
（2）先求得，然后根据向量法进行判断即可.
20．已知函数，且．
（1）求的值；
（2）求的单调区间；
（3）设实数满足：存在，使直线是曲线的切线，且对恒成立，求的最大值．
【答案】（1）依题意，，解得.
（2）由（1）得，，
当时，，
所以在区间上单调递增，
在区间上单调递减.
（3）由（2）得，
所以的图象在处的切线方程为，此时.
同时，，因此在时恒成立，
直线是曲线的切线，则，
结合图象可知，当时，不恒成立.
当时，，恒成立.
当时，，因此，所以的最大值为.
【知识点】函数恒成立问题；函数的值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）将代入函数，列方程组求解即可.
（2）利用导数求得的单调区间即可得出结论.
（3）结合的图象、切线以及不等式恒成立，再通过对k进行分类讨论，从而求得的最大值.
21．设无穷数列的前项和为为单调递增的无穷正整数数列，记，，定义．
（1）若，写出的值；
（2）若，求；
（3）设求证：对任意的无穷数列，存在数列，使得为常数列．
【答案】（1）由题意，
，，，
∴，，
，，
，
∴
（2）由题意，
在数列中，，
∴.
若为奇数，则.
所以.
若为偶数，则当时，
所以.
所以.
（3）由题意证明如下，
在中，
若为有限集，设其最大元素为(若为空集，取)，
则当时，存在满足.
令，
则.所以；
若为无限集，设，其中，记，则.
①若数列中只有有限项为正数，记(若中没有正数项，取，则.
令，则.
所以；
②若数列中有无穷项为正数，将这些项依次记为，其中，则.
令，则.
所以.
综上所述，对任意的无穷数列都存在数列，使得为常数列.
【知识点】数列的概念及简单表示法；等比数列的前n项和；数列的递推公式；数列的前n项和；等比数列的实际应用
【解析】【分析】（1）通过已知条件的公式化简计算即可求出的值；
（2）求出数列的前项和，对讨论其奇偶，即可求出；
（3）通过讨论为有限集和无限集时的不同情况下的值，即可证明.
1 / 1北京市海淀区2024届高三上学期期中练习数学试题
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量满足，则（ ）
A． B．0 C．5 D．7
5．设等差数列的前项和为，且，则的最大值为（ ）
A． B．3 C．9 D．36
6．设，则（ ）
A． B． C． D．
7．“”是“为第一或第三象限角”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．在中，，则（ ）
A．为直角 B．为钝角 C．为直角 D．为钝角
9．古典吉他的示意图如图所示．分别是上弦枕、下弦枕，是第品丝．记为与的距离，为与的距离，且满足，其中为弦长（与的距离），为大于1的常数，并规定．则（ ）
A．数列是等差数列，且公差为
B．数列是等比数列，且公比为
C．数列是等比数列，且公比为
D．数列是等差数列，且公差为
10．在等腰直角三角形中，为斜边的中点，以为圆心，为半径作，点在线段上，点在上，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2017高一上·无锡期末）函数 的定义域是 ．
12．在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点，则 ．
13．已知非零向量，其中是一组不共线的向量．能使得与的方向相反的一组实数的值为 ， ．
14．已知函数的部分图象如图所示．
①函数的最小正周期为 ；
②将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．若函数为奇函数，则的最小值是 ．
15．已知函数给出下列四个结论：
①当时，的最小值为；
②当时，存在最小值；
③的零点个数为，则函数的值域为；
④当时，对任意．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、证明题
16．已知无穷等比数列的各项均为整数，其前项和为．
（1）求的通项公式；
（2）证明：对这三个数成等差数列．
17．已知函数，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在.
条件①：；
条件②：函数在区间上是增函数；
条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
（1）求的值；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
18．已知曲线与轴交于不同的两点（点在点的左侧），点在线段上（不与端点重合），过点作轴的垂线交曲线于点．
（1）若为等腰直角三角形，求的面积；
（2）记的面积为，求的最大值．
19．某景区有一人工湖，湖面有两点，湖边架有直线型栈道，长为，如图所示．现要测是两点之间的距离，工作人员分别在两点进行测量，在点测得，；在点测得．（在同一平面内）
（1）求两点之间的距离；
（2）判断直线与直线是否垂直，并说明理由．
20．已知函数，且．
（1）求的值；
（2）求的单调区间；
（3）设实数满足：存在，使直线是曲线的切线，且对恒成立，求的最大值．
21．设无穷数列的前项和为为单调递增的无穷正整数数列，记，，定义．
（1）若，写出的值；
（2）若，求；
（3）设求证：对任意的无穷数列，存在数列，使得为常数列．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：集合，
所以，
故答案为：B.
【分析】根据并集的运算即可求解.
2．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】复数满足，
所以.
故答案为：A.
【分析】根据复数除法和乘法运算法则计算.
3．【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的单调性及单调区间；函数的奇偶性
【解析】【解答】A选项，在区间上单调递增，但定义域为，定义域不关于原点对称，故不是偶函数，A错误；
B选项，的定义域为R，定义域关于原点对称，且，故为奇函数，B错误；
C选项，设，因为，，
故在上不单调递增，C错误；
D选项，的定义域为R，且，故为偶函数，
又当x>0时，，在上单调递增，故满足要求，D正确.
故答案为：D.
【分析】根据函数的奇偶性以及单调性对各个选项中的函数进行判断即可得出结论.
4．【答案】C
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量坐标表示的应用；平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】因为，
设，则，
所以，即，
所以，
，
故答案为：C.
【分析】先求出的坐标，进而利用向量数量积公式求出答案.
5．【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；等差数列的前n项和；等差数列的性质；等差中项；等差数列的实际应用
【解析】【解答】数列为等差数列，
则，化简得，
所以，
当且仅当时等号成立.
故答案为：C.
【分析】先求得，然后利用基本不等式求得正确答案.
6．【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】，
，
因为是增函数，，
所以，
即.
故答案为：D.
【分析】先将化为同底的对数，再根据指数函数的单调性比较大小即可得出结论.
7．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；三角函数值的符号；同角三角函数间的基本关系；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】，
即由时，则，
所以为第一或第三象限角，
反之，当为第一或第三象限角时，，所以，
综上，“”是“为第一或第三象限角”的充分必要条件.
故答案为：C.
【分析】根据同角三角函数关系化简，利用三角函数在各象限的符号的正负判断，再结合充分条件、必要条件即可得解.
8．【答案】C
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】由，
由正弦定理化简可得，即，
又，所以由余弦定理可得，
化简得，即，，
则，
故在中，，
故答案为：C.
【分析】由正弦定理边化角得，结合余弦定理和化解，可求出.
9．【答案】B
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的前n项和；等比数列的实际应用
【解析】【解答】因为，，
则，
当时，，
所以，
即，
又M为大于1的常数，所以，
即数列是等比数列，且公比为，故A错误，B正确；
由上可知，又，
所以，
所以不是常数，故C错误；
所以，不是常数，故D错误.
故答案为：B.
【分析】根据题意可得，根据等比数列的概念进而判断AB，结合条件可得，进而判断CD.
10．【答案】A
【知识点】向量的模；平面向量的线性运算；平面内两点间距离公式的应用；平面向量加、减运算的坐标表示
【解析】【解答】如图所示，以M为圆心，以为轴，建立空间直角坐标系，
由于，所以，
由于点Q在，不妨设 ，，
，其中，，，
所以，
所以，
可看作是上的点到点的距离，
由于点在线段上运动，
故当点运动到点时，此时距离最大，为，
当点运动到点时，此时距离最小为0，
综上可知：.
故答案为：A.
【分析】根据向量的坐标运算即可得，进而将可看作是点到点的距离，即可求解.
11．【答案】（﹣1，0）∪（0，+∞）
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：要使原函数有意义，则 ，得x＞﹣1且x≠0．
∴函数 的定义域是：（﹣1，0）∪（0，+∞）．
故答案为：（﹣1，0）∪（0，+∞）．
【分析】由对数式的真数大于0，分式的分母不为0联立不等式组求解．
12．【答案】
【知识点】二倍角的正切公式；任意角三角函数的定义；三角函数值的符号
【解析】【解答】，角以为始边，终边经过点，
由三角函数的定义可知，
所以，
故答案为：.
【分析】根据三角函数的定义及二倍角公式即可求解.
13．【答案】-1(不唯一)；1
【知识点】共线（平行）向量；平面向量的共线定理；平面向量的基本定理
【解析】【解答】设非零向量，其中是一组不共线的向量，
若与的方向相反，则，则有，
即，
所以，所以，解得，
取.
故答案为：-1(不唯一)，1.
【分析】根据与的方向相反，设，则有，列出方程组求解即可.
14．【答案】；
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的单调性；三角函数模型的其他应用
【解析】【解答】填空1：由图可知，
填空2：，即，
则，又过点，
所以，即，
又在原图增区间上，所以可取，
所以，
向右平移个单位可得，
又为奇函数，则，
即，
则t得最小值是，此时k=0.
故答案为：；.
【分析】填空1：可由图像直接读出半个周期，进而可得周期大小；填空2：通过周期大小和函数上的点，可求出的解析式，再平移得到，然后根据奇偶性求参即可.
15．【答案】①③
【知识点】函数的值域；函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数恒成立问题；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：函数，
对①，当时，，
当时，，当时，，
综上，最小值为0，①正确；
对②，，，
当时，，
当时，若；
若，，
如时，，函数不存在最小值，②错误；
对③，当a<0时，最多一个解，
得或，
如时，由可得(舍去)，
由得或，故此时两个零点，即；
如时，，由可得，
由得或，故此时三个零点，即；
当时，，由，得，
由得，故此时一个零点，即；
当时，，时，，无解，
时，，无解，
此时没有零点，即.
综上，的值域为，故③正确；
对④，当时，如时，，
，，此时，故④错误.
故答案为：①③
【分析】利用函数的单调性及最值、零点定义结合条件分类讨论以及利用特值法可对各个结论判断即可.
16．【答案】（1）设公比为，由题意有
代入得，故或3
又各项均为整数，故
于是.
（2）由（1）得
所以
故，获证.
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等差关系的确定；等比数列的实际应用；等差数列的实际应用
【解析】【分析】（1）设出公比，将代入解方程即可；
（2）按照等差数列的定义，作差即可证明
17．【答案】（1）由题意得：
.
当选条件①：，
又因为，所以，所以，
所以时，即得：，即.
当选条件②：
从而得：当时，单调递增，
化简得：当时，单调递增，
又因为函数在区间上是增函数，
所以得：，解之得：，
当时，得，与已知条件矛盾，故条件②不能使函数存在.
故：若选条件②，不存在.
当选条件③：
由，，
得当时，，又因为，
所以得，得.
（2）当选条件①：
由（1）知：，则得：，
又因为，所以，
所以当时，有最大值；
所以当时，有最小值；
当选条件③：
由（1）知：，则得：，
又因为，所以，
所以当时，有最大值；
所以当时，有最小；
【知识点】三角函数的化简求值；三角函数中的恒等变换应用；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）化简函数，然后根据所选的条件，去利用三角函数辅助角公式，三角函数单调递增区间而分别计算并判断是否使函数存在，从而求解；
（2）根据（1）中选的不同条件下得出不同的函数的解析式，然后求出在区间上的最大值和最小值.
18．【答案】（1）依题意，，所以，
由，得，
则，解得或（舍去），则，
所以.
（2）由，得，
则，
，
所以在区间上单调递增，
在区间上单调递减，
所以的最大值是.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；实际问题中导数的意义
【解析】【分析】（1）由已知条件求得的坐标，从而求得三角形的面积.
（2）先求得三角形面积的表达式，然后利用导数求得面积的最大值.
19．【答案】（1）依题意，，，，
所以，
，所以，
在三角形中，由正弦定理得，
在三角形中，由余弦定理得.
（2）在三角形中，由余弦定理得，
，
在三角形中，由正弦定理得，
，
直线与直线不垂直，理由如下：
，
所以直线与直线不垂直.
【知识点】平面向量减法运算；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）先求得，利用正弦定理和余弦定理即可求得.
（2）先求得，然后根据向量法进行判断即可.
20．【答案】（1）依题意，，解得.
（2）由（1）得，，
当时，，
所以在区间上单调递增，
在区间上单调递减.
（3）由（2）得，
所以的图象在处的切线方程为，此时.
同时，，因此在时恒成立，
直线是曲线的切线，则，
结合图象可知，当时，不恒成立.
当时，，恒成立.
当时，，因此，所以的最大值为.
【知识点】函数恒成立问题；函数的值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）将代入函数，列方程组求解即可.
（2）利用导数求得的单调区间即可得出结论.
（3）结合的图象、切线以及不等式恒成立，再通过对k进行分类讨论，从而求得的最大值.
21．【答案】（1）由题意，
，，，
∴，，
，，
，
∴
（2）由题意，
在数列中，，
∴.
若为奇数，则.
所以.
若为偶数，则当时，
所以.
所以.
（3）由题意证明如下，
在中，
若为有限集，设其最大元素为(若为空集，取)，
则当时，存在满足.
令，
则.所以；
若为无限集，设，其中，记，则.
①若数列中只有有限项为正数，记(若中没有正数项，取，则.
令，则.
所以；
②若数列中有无穷项为正数，将这些项依次记为，其中，则.
令，则.
所以.
综上所述，对任意的无穷数列都存在数列，使得为常数列.
【知识点】数列的概念及简单表示法；等比数列的前n项和；数列的递推公式；数列的前n项和；等比数列的实际应用
【解析】【分析】（1）通过已知条件的公式化简计算即可求出的值；
（2）求出数列的前项和，对讨论其奇偶，即可求出；
（3）通过讨论为有限集和无限集时的不同情况下的值，即可证明.
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