(共17张PPT)
函数的奇偶性
说
课
目
录
Contents
1
教材分析
2
学情分析
3
教学目标
4
教学、学法
5
教学过程
函数奇偶性是函数重要性质之一，从知识结构看，它既是函数概念的拓展和深化，又是后续研究指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的基础。因此，本节课起着承上启下的重要作用。
本节课利用函数图象来研究函数奇偶性的数形结合思想将贯穿于整个高中数学的学习当中。并且本节课还渗透了探索发现、数形结合、归纳转化等数学思想方法。因此，本节课无论是在知识方面还是在思维方法方面对学生后续进一步学习函数知识起着非常重要的作用。
认知基础和方法基础：
轴对称图形、中心对称图形的相关知识；一次函数、二次函数、反比例函数图像；全称量词、充分条件和必要条件；研究函数单调性的方法，会用用符号语言表达函数的单调性。
能力发展分析：
学生从函数的图形表征提炼数字特征，再抽象出符号语言有些困难；用数学符号语言表达函数的性质的方法尚不熟练。
知识目标：通过具体函数，使学生经历用数量关系刻画函数图象对称性的过程，同时了解函数奇偶性的概念和几何意义。
能力目标：让学生根据图象特征和奇偶性的定义判断简单函数的奇偶性，能利用函数的奇偶性解决一些简单问题。
素养目标：让学生经历从特殊到一般的数学活动，会用数学符号语言描述奇函数和偶函数，经历从图形语言到符号语言的过渡，感悟常用逻辑用语中量词与数学严谨性的关系，提升学生的直观想象、数学抽象、逻辑推理素养。
教学重点
函数奇偶性的定义和图像特征，函数奇偶性的判断
如何从函数的图像特征中抽象出函数奇偶性的符号表达
教学难点
教法：
本节课采用以学生为主体的探究式教学方法，采用“设问—探索—归纳—定论”层层递进的方式来突破本课的重难点。
在研究函数的奇偶性概念时，通过几个特殊函数的图象，让学生直观感受函数的奇偶性，然后利用表格探究数量变化的特征，通过代数运算，验证发现自变量x与因变量y的数量特征规律，进而建立函数奇偶性的概念。
学法：
设置了一个个问题链，并以此为主线，由浅入深，循序渐进。培养学生探究精神，感受知识的形成和发展过程，注重学生学习的过程体验，给不同层次的学生提供思考、创造、表现和成功的舞台。
第四环节
第一环节
第三环节
第二环节
创设情境
引入新课
逐步探索
构建概念
课堂小结
当堂检测
概念应用
深化理解
创设情境，引入新课
思考：函数f(x)=x3+x的图像具有对称性吗？
【设计意图】剪纸图片，复习回顾初中的对称图形及对称概念。之后设置问题，引发认知冲突，从而激发学生对新知的探究欲，并引导学生类比单调性从“形”转化到“数”的研究方法，既连接了新知识，也为用数量刻画对称性作好铺垫。
逐步探索，构建概念
【设计意图】在尝试刻画函数对称性的过程中发现列表法不能取尽所有的数值；图象法不够严谨；因此尝试用解析式刻画对称性。
在此过程中渗透特殊到一般，数形结合的数学思想.学生在直观感知图象性质、寻找特值关系的过程中，逐步认识“任意”的必要性。
f(x)=x2
逐步探索，构建概念
【设计意图】用点坐标刻画函数的性质是研究形的基本方法。通过对点坐标的研究把几何问题代数化，使学生理解两个“任意”，一是图形的对称性对任意点都成立；二是任意关于y轴对称的图形都有该数量关系。
问题引导，构建概念
【设计意图】通过分析、观察、归纳得出偶函数的定义，充分引导学生发现和归纳定义域的特征，有利于学生丰富和完善偶函数的概念，加深对定义的理解。
问题引导，构建概念
【设计意图】
通过分组讨论，合作交流，让学生类比探究偶函数定义的方法推导出奇函数的定义，培养学生创新能力和探索意识。
概念应用，深化理解
【设计意图】通过例题和练习加深学生对函数奇偶性概念的理解，及时巩固所学的新知识，明确判断奇偶性的步骤以及图象法、特值法、定义法等几种判断方法。
课堂小结，当堂检测
【设计意图】
本节课的知识进一步巩固，并检测学生的学习情况。
感谢聆听
希望各位评委老师给予建议和指导(共23张PPT)
函数的奇偶性
情境引入
观察：下列剪纸图形有什么特点？
思考：在我们学过的函数中，哪些函数图像是轴对称图形？怎么判断？
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫轴对称图形.
f(x)=x2
f(x)=|x|
思考：在我们学过的函数中，哪些函数图像是中心图形？怎么判断？
如果一个图形绕某个点旋转180°,旋转前后的图形能互相重合,这个图形叫中心对称图形.
f(x)=x
f(x)=
思考：函数f(x)=x3+x的图像具有对称性吗？
单调性
类比
对称性
由“数”到“形”，数形结合
数量特征
图像特征
刻画
完成表格，画出y=x2和y=|x|图像，并回答下列问题.
… －3 －2 －1 0 1 2 3 …
… …
9
4
1
0
1
4
9
探究一：量化对象，初识任意
… －3 －2 －1 0 1 2 3 …
… …
3 2 1 0 1 2 3
1.函数图像有何共同特征？
2.观察表格中的数量特征，有什么规律？有何结论？
3.当自变量取一对相反数时，对应函数值相等”
结论是否具有一般性？
探究二：问题引导，理解“任意”
已知函数f(x)的图像关于y轴对称，回答下列问题。
问题1：图像关于y轴对称的实质是什么？
问题2：图像上任取一点A(x0，f(x0))，则点A关于y轴对称的点A’在哪里？点A’坐标是什么？
探究二：问题引导，理解“任意”
f(x)=x2
问题3：点A’( x0，f(x0))也在函数图像上，点A’坐标还能怎样表示？
问题4：两种方式都表示点A’，你能得到什么结论？
( x0，f( x0))
问题5：反之，若f( x0)=f(x0)成立，如何理解这个等式？
f( x0)=f(x0)
探究二：问题引导，理解“任意”
探究三：抽象概括，揭示特征
问题1：图像关于y轴对称具有一般性，定义域一定为R吗？
问题2：图像如果在f(x)=x2的图象上去掉点(2，2)，图象还关于y轴对称吗？定义域取[ 3，2]呢？
你对偶函数又有什么新的认识？
能完善偶函数的定义吗
偶函数
定义域关于y轴对称，且f( x)=f(x)
概念形成
问题3：假设函数的定义域为I，用符号语言怎么描述定义域关于原点对称？
图象关于y轴对称
探究四：概念形成，深化理解
y
x
探究任务
1.发现两函数图像的共同特征，列出函数值对应表。
2.找出函数自变量和函数值之间的特点，并用符号语言描述。
3.类比偶函数定义，归纳概括出奇函数的定义。
合作探究：小组成员合作，类比偶函数的探究过程，请同学们以小组为单位，以f(x)=为例探究奇函数的定义.
偶函数定义
奇函数定义
偶函数 奇函数
定义域 图像
定义
关于原点对称
关于原点对称
关于y轴对称
,都有 ，且f( x)=f(x)
,都有 ，且f( x)= f(x)
1.归纳奇函数与偶函数的异同点
2.如何说明一个函数不是偶函数
3.判定奇偶性的方法和步骤是什么
例1.判断下列函数的奇偶性.
0
x
y
1
2
3
-1
-2
-1
1
2
3
-2
-3
非奇非偶函数
非奇非偶函数
概念应用
偶函数
变式：
变式：
例1.判断下列函数的奇偶性.
偶函数
非奇非偶函数
非奇非偶函数
概念应用
偶函数
既奇又偶函数
变式：
变式：
0
x
y
1
2
3
-1
-2
-1
1
2
3
-2
-3
x
y
0
例2.已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如下图，
你能画出它在y轴左边的图象吗？若y=f(x)是奇函数呢
概念应用
课堂小结，课后作业
1.知识清单：
(1)奇函数、偶函数的图象特征.
(2)奇函数、偶函数的定义.
(3)判断函数奇偶性的方法与步骤.
2.方法归纳：特值法、数形结合法.
当堂检测
1.下列函数是偶函数的是
A.y＝x B.y＝2x2－3
C.y＝ D.y＝x2，x∈(－1,1]
√
2.函数f(x)＝ －x的图象关于
A.y轴对称 B.直线y＝－x对称
C.坐标原点对称 D.直线y＝x对称
√
当堂检测
3.下列图象表示的函数具有奇偶性的是
√
4.f(x)＝x2＋|x|
A.是偶函数，在R上是增函数 B.是偶函数，在R上是减函数
C.不是偶函数，在R上是增函数 D.是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
√
当堂检测教学设计标题：函数的奇偶性
学情分析： 认知基础和方法基础：学习本节课之前，学生在初中已经学习了轴对称图形和中心对称图形的相关知识，对一次函数、二次函数、反比例函数的图象比较熟悉，有一定的函数储备，因此，学生很容易从函数图象来判断函数的对称性，即获得对函数的奇偶性的“图形表征”，加上前面学生已经了解了全称量词、充分条件和必要条件，并经历了研究函数单调性的方法的学习过程，会用符号语言表达函数的单调性，这些为学生学习本节课内容奠定了认知基础和方法基础。 能力发展分析：学生从函数的图形表征提炼数字特征，再抽象出符号语言有些困难。对用数学符号语言表达函数的性质的方法尚不熟练，概念形成的经验不足，自主探究和合作交流能力有待提高，因此，教学中引导学生从“数”与“形”两个方面来加深对函数奇偶性本质的认识。
教学目标： (1)通过具体函数，使学生经历用数量关系刻画函数图象对称性的过程，同时了解函数奇偶性的概念和几何意义。 (2)让学生根据图象特征和奇偶性的定义判断简单函数的奇偶性，能利用函数的奇偶性解决一些简单问题. (3)让学生经历从特殊到一般的数学活动，会用数学符号语言描述奇函数和偶函数，经历从图形语言到符号语言的过渡，感悟常用逻辑用语中量词与数学严谨性的关系，提升学生的直观想象、数学抽象、逻辑推理素养.
教学重难点： 1.教学重点：函数奇偶性的定义和图像特征，函数奇偶性的判断。 2.教学难点：如何从函数的图像特征中抽象出函数奇偶性的符号表达。
教学过程： 创设情境，引入新课 观看剪纸工艺品图片，感受剪纸艺术中的对称。 问题1：剪纸剪出来的图形有什么特点？ 预设回答：图形都具有对称性。 追问：分别对应我们数学中哪种对称关系？ 预设回答：轴对称图形和中心对称图形。 问题2：在我们学过的函数中,哪些函数图像是轴对称图形？哪些函数图像是中心图形？怎么判断？ 预设答案：函数f(x)=x2是轴对称图形，函数图像关于y轴对称； 函数f(x)=x， f(x)=是中心对称图形，函数图像关于原点对称； 问题3：函数f(x)=x3+x的图像有没有对称性？（学生回答不出来） 追问：在研究函数单调性时，我们有没有遇到类似的困难？当时是怎样解决的？ （学生联想到类比研究单调性的研究方法，尝试用数量刻画函数的对称性。） 【设计意图】通过剪纸工艺品图片，复习回顾初中的对称图形及对称概念。之后设置问题，引发认知冲突，从而激发学生对新知的探究欲，并引导学生类比单调性从“形”转化到“数”的研究方法，既连接了新知识，也为用数量刻画对称性作好铺垫。 逐步探索，构建概念 探究一：量化对象，初识“任意” 完成表格，画出y=x2和y=|x|图像，并回答下列问题. x…－3－2－10123…y=x2…9410149…
x…－3－2－10123…y…3210123…
1.图像有何共同特征？ 预设答案：都关于y轴对称 2.仔细观察表格中的数量特征，有什么规律？有何结论？ 预设答案：f( 1)=f(1)，f( 2)=f(2)，f( 3)=f(3) …… 符号语言： f( x)=f(x) “当自变量取一对相反数时，对应函数值相等”结论是否具有一般性？ 【设计意图】用函数的三种表示方法分别尝试刻画函数对称性，在对比过程中学生发现列表法刻画对称性不够完善，不能取尽所有的数值；图象法不够严谨；唯有解析法能精确地刻画函数的数量关系，因此尝试用解析式刻画对称性。在此过程中渗透特殊到一般，数形结合的数学思想.学生在直观感知图象性质、寻找特值关系的过程中，逐步认识“任意”的必要性。 探究二：问题引导，理解“任意” 已知函数f(x)的图像关于y轴对称，回答下列问题。 问题1：怎么判断一个图像关于y轴对称？ 预设回答：图像沿y轴折叠，y轴两旁的部分能够完全重合。 追问：函数图像关于y轴对称的实质是什么？ 预设回答：图像上的点关于y轴对称。 问题2：图像上任取一点A，则点A关于y轴对称的点A’在哪里？点A’坐标是什么？ 预设回答：点A’也在函数f(x)的图像上，坐标为( x0，f(x0)). 问题3：点A’( x0，f(x0))也在函数图像上，坐标还能怎样表示？ 预设回答：A’( x0，f( x0)). 问题4：两种方式都表示点A’，你能得到什么结论？ 预设回答：f( x0)=f(x0). 问题5：反之，若f( x0)=f(x0)成立，如何理解这个等式？ 预设回答：横坐标互为相反数时，相应的两个函数值相等，即点关于y轴对称。 问题6:我们将具有以上条件的函数成为偶函数，你能用符号语言概括偶函数的定义吗？ 预设回答：，f( x)=f(x). 【设计意图】用点坐标刻画函数的性质是研究形的基本方法。通过对点坐标的研究把几何问题代数化，使学生理解两个“任意”，一是图形的对称性对任意点都成立；二是任意关于y轴对称的图形都有该数量关系。 探究三：抽象概括，揭示特征 问题1：图像关于y轴对称具有一般性，定义域一定为R吗 预设回答：不一定，不妨设定义域为I，，f( x)=f(x). 问题2：如果f(x)=x2的图象去掉点(2，2)，图象还关于y轴对称吗 定义域取[-3，2]呢 预设回答：不关于y轴对称。 问题3:那么我们对偶函数又有什么新的认识 预设回答：偶函数的定义域关于原点对称。 问题4：能完善偶函数的定义吗 且f( x)=f(x)。 追问1：假设函数定义域为，用符号语言怎么描述定义域关于原点对称？ ，都有。 追问2：那我们概括一下偶函数的定义。 ，都有，且f( x)=f(x)。 【设计意图】通过分析、观察、归纳出偶函数的定义是本节课的核心部分,充分引导学生发现和归纳定义域的特征,有利于学生丰富和完善偶函数的概念,加深对定义的理解。 探究四：概念形成，深化理解 合作探究：类比偶函数的探究过程，请同学们以小组为单位，以函数f(x)=x和f(x)=为例探究奇函数的定义. 【探究任务】 1.发现两函数图像的共同特征，列出函数值对应表。 2.找出函数自变量和函数值之间的特点，并用符号语言描述。 3.类比偶函数定义，归纳概括出奇函数的定义。 【师生活动】学生小组合作，交流讨论后，汇报探究成果。 如果函数f(x)是奇函数或偶函数，则称函数f(x)具有奇偶性。 问题1:归纳奇函数与偶函数的异同点。 偶函数奇函数定义域关于原点对称图像关于y轴对称关于原点对称定义，都有，且f( x)=f(x).，都有，且f( x)= f(x).
问题2:如何说明一个函数不是偶函数 预设回答：，都有，或且，f( x) f(x)。 或文字语言：定义域不关于原点对称或举特例说明，如：f( 1)f(1)。 即存在自变量互为相反数时,函数值不相等的情况。 问题3:判定奇偶性的方法和步骤是什么 预设回答：方法:图象法和定义法； 步骤:①判断定义域是否关于原点对称；②f( x)和f(x)的关系；③下结论。 【设计意图】通过分组讨论，合作交流，让学生类比探究偶函数定义的方法推导出奇函数的定义，培养学生创新能力和探索意识。从四种命题的角度来看，若“f(x)满足，都有，且f( x)=f(x)，则f(x)是偶函数”为真命题，则逆否命题：“若函数f(x)不是偶函数，则有，或f( x) f(x)。也为真命题，处理时不用过多强调，只需理清逻辑关系。 概念应用，深化理解 例1.判断下列函数奇偶性. 变式1：f(x)=x2 1 变式2： 变式： 例2. 已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如下图，你能画出它在y轴左边的图象吗？变式：如果是奇函数呢？ 【设计意图】通过例题和练习加深学生对函数奇偶性概念的理解，及时巩固所学的新知识，明确判断奇偶性的步骤以及图象法、特值法、定义法等几种判断方法。 课堂小结，当堂检测 课堂小结 1.知识清单： (1)奇函数、偶函数的图象特征. (2)奇函数、偶函数的定义. (3)判断函数奇偶性的方法与步骤. 2.方法归纳：特值法、数形结合法. 当堂检测 1．下列函数是偶函数的是( ) 答案 B A．y＝x B．y＝2x2－3 C．y＝ D．y＝x2，x∈(－1,1] 2．函数f(x)＝－x的图象关于( )答案 C A．y轴对称 B．直线y＝－x对称 C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称 3．下列图象表示的函数具有奇偶性的是( ) 答案 B 4．f(x)＝x2＋|x|( ) 答案 D A．是偶函数，在R上是增函数 B．是偶函数，在R上是减函数 C．不是偶函数，在R上是增函数 D．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 5．若已知函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f ＝， 则函数f(x)的解析式为________． 答案 f(x)＝ 【设计意图】检测学生学习情况，并对本节课的知识进一步巩固。
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