(共26张PPT)
图形的旋转
24.1.1
第24章 圆
C
1
2
3
4
5
6
7
8
答 案 呈 现
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B
C
9
10
11
A
D
C
45°或105°
1
C
下列运动形式属于旋转的是( )
A．氢气球的上升
B．火车沿直线运动
C．时钟上钟摆的摆动
D．掷出的标枪的运动
2
如图，△ABC和△ADE均为等边三角形，则图中可以看成是旋转关系的三角形是( )
A．△ABC和△ADE
B．△ABC和△ABD
C．△ABD和△ACE
D．△ACE和△ADE
C
3
如图，在正三角形网格中，以某点为中心，将△MNP旋转，得到△M1N1P1，则旋转中心是( )
A．点A
B．点B
C．点C
D．点D
B
4
[2023·天津]如图，把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在BC的延长线上，连接BD，则下列结论一定正确的是( )
A．∠CAE＝∠BED
B．AB＝AE
C．∠ACE＝∠ADE
D．CE＝BD
A
5
[2022·常德]如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△DEC，点A，B的对应点分别是D，E，F是边AC的中点，连接BF，BE，连接FD交CE于点G.下列结论错误的是( )
A．BE＝BC
B．BF∥DE，BF＝DE
C．∠DFC＝90°
D．DG＝3GF
D
6
如图，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE处，旋转角为α(0°<α<180°)，点B的对应点D恰好落在BC边上，若DE⊥AC，∠CAD＝24°，则旋转角α的度数为( )
A．24° B．28°
C．48° D．66°
【点拨】
∵DE⊥AC，∠CAD＝24°，∴∠ADE＝66°.
∵将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE处，
∴∠B＝∠ADE＝66°，AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB＝66°，
∴∠BAD＝48°，即α＝48°.故选C.
【答案】C
7
如图，在△ABC中，以点C为旋转中心，将△ABC旋转到△A′B′C的位置，其中A′，B′分别是点A，B的对应点，且点B′恰好落在边AB上，
按照上述方法旋转△A′B′C……
这样共旋转四次恰好构成一个
旋转对称图形．
(1)求∠BCB′的度数；
(2)判断△BCB′的形状．
【解】∵旋转四次恰好构成一个旋转对称图形，∴∠BCB′＝360°÷(1＋4)＝72°.
由题意得CB＝CB′，∴△BCB′是等腰三角形．
8
如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，将△ABC绕点A旋转30°后得到△AB1C1，则∠BAC1＝___________．
45°或105°
【点拨】
∵∠B＝45°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝75°.当△ABC绕点A顺时针旋转30°时，如图①所示，则∠B1AC1＝∠BAC＝75°，∠B1AB＝30°，∴∠BAC1＝75°－30°＝45°；
当△ABC绕点A逆时针旋转30°时，如图②所示，则∠BAC1＝75°＋30°＝105°.
综上所述，∠BAC1的度数为45°或105°.
【点易错】
在旋转问题中，要考虑旋转方向，如果题目中未指明旋转方向，应分两种情况进行讨论．
9
如图①所示，魔术师把4张扑克牌放在桌子上，然后蒙住眼睛，请一位观众上台，把某一张牌旋转180°.魔术师解除蒙具后，看到4张扑克牌如图②所示，他很快确定了哪一张牌被旋转过，你能吗？
【解】能．
图①与图②中扑克牌完全一样，说明被旋转过的牌旋转前后完全一样，而图中只有方块4旋转前后完全一样，故方块4被旋转过．
10
如图，点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且∠MAN＝45°.把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABE.
(1)求证：△AEM≌△ANM；
【证明】由旋转的性质得△ADN≌△ABE，
∴∠DAN＝∠BAE，AE＝AN.
∵∠DAB＝90°，∠MAN＝45°，
∴∠MAE＝∠BAE＋∠BAM＝
∠DAN＋∠BAM＝90°－45°＝45°.
∴∠MAE＝∠MAN.又∵AM＝AM，
∴△AEM≌△ANM(SAS)．
(2)若BM＝3，DN＝2，求正方形ABCD的边长．
【解】设CD＝BC＝x，则CM＝x－3，CN＝x－2.
∵△AEM≌△ANM，∴EM＝MN.
∵ADN≌△ABE，∴BE＝DN，
∴MN＝EM＝BM＋BE＝BM＋DN＝5.
∵∠C＝90°，∴MN2＝CM2＋CN2，
即25＝(x－3)2＋(x－2)2，解得x＝6或x＝－1(舍去)．
∴正方形ABCD的边长为6.
11
小伟遇到这样一个问题：如图①，在正三角形ABC内有一点P，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数．小伟是这样思考的：如图②，将△APB绕点A逆时针旋转60°得到△AP′C，
连接PP′，得到两个特殊
的三角形，从而将问
题解决．
(1)请你借助图②求∠APB的度数．
【解】由旋转的性质得P′A＝PA＝3，P′C＝PB＝4，∠PAP′＝60°，∠APB＝∠AP′C，
∴△APP′是等边三角形，
∴PP′＝PA＝3，∠AP′P＝60°.
∵PP′2＋P′C2＝32＋42＝25，PC2＝52＝25，
∴PP′2＋P′C2＝PC2，∴∠PP′C＝90°，
∴∠AP′C＝∠AP′P＋∠PP′C＝60°＋90°＝150°，
∴∠APB＝∠AP′C＝150°.
【解】如图，把△APB绕点A逆时针旋转90°得到△AP′D，连接PP′.(共30张PPT)
中心对称
24.1.2
第24章 圆
C
1
2
3
4
5
6
7
8
答 案 呈 现
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B
①②③
9
10
C
(3，－1)
1
C
如图，如果甲、乙两图关于点O成中心对称，那么乙图中不符合题意的一块是( )
2
[2023·宁夏]如图是由边长为1的小正方形组成的9×6网格，点A，B，C，D，E，F，G均在格点上，
下列结论：
①点D与点F关于点E成中心对称；
②连接FB，FC，FE，则FC平分∠BFE；
③连接AG，则点B，F到线段AG的距离相等．
其中正确结论的序号是________．
①②③
【点拨】
①连接DF，如图：
由图可知，点D与点F关于点E成中心对称，故①正确；
②如图：
由SSS可知△BFC≌△EFC，
∴∠BFC＝∠EFC，即FC平分∠BFE，故②正确；
③如图，取AG上的格点M，N，连接BM，FN，
易知∠AMB＝∠FNG＝90°，
∴B到AG的距离为BM的长度，
F到AG的距离为FN的长度，
而BM＝FN，
∴点B，F到线段AG的距离相等，故③正确．
∴正确结论是①②③.
3
如图，已知△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列判断不正确的是( )
A．∠ABC＝∠A′B′C′
B．∠BOC＝∠B′A′C′
C．AB＝A′B′
D．OA＝OA′
B
4
如图由6×6个边长为1的小正方形组成，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的三个顶点A，B，C均在格点上，O是AC与网格线的交点，将△ABC绕着点O顺时针旋转180°.
以下是嘉嘉和淇淇得出的结论，其中正确的是( )
嘉嘉：旋转后的三角形的三个顶点均在格点上；
淇淇：旋转前后两个三角形可形成平行四边形．
A．只有嘉嘉对 B．只有淇淇对
C．两人都对 D．两人都不对
C
5
如图，△ABO与△CDO关于点O成中心对称，点E，F在线段AC上，且AF＝CE.求证：FD＝BE.
【证明】∵△ABO与△CDO
关于点O成中心对称，
∴BO＝DO，AO＝CO.
又∵AF＝CE，
∴AO－AF＝CO－CE，∴FO＝EO.
6
[2022·牡丹江]如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC与△DEF关于点O成中心对称，△ABC与△DEF的顶点均在格点上，请按要求完成下列各题．
(1)在图中画出点O的位置；
【解】如图，点O即为所求．
(2)将△ABC先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
【解】如图，△A1B1C1即为所求．
(3)在网格中画出格点M，使A1M平分∠B1A1C1.
【解】如图，点M即为所求．
7
(3，－1)
(母题：教材P11习题T9)如图， 在平面直角坐标系中，若△ABC与△A1B1C1关于点E成中心对称，则对称中心点E的坐标是_________．
【点易错】
由中心对称的性质可知，对称中心在一对对应点的连线上，对称中心到一对对应点的距离相等，本题易对对称中心的特点认识不清而致错．
8
如图，D是△ABC的边BC的中点，连接AD并延长到点E，使DE＝AD，连接BE.
(1)哪两个图形成中心对称？
【解】△ADC和△EDB成中心对称．
(2)已知△ADC的面积为4，求△ABE的面积．
【解】∵△ADC和△EDB成中心对称，
∴S△EDB＝S△ADC＝4.
∵D为BC的中点，
∴BD＝CD，∴S△ABD＝S△ADC＝4，
∴S△ABE＝S△ABD＋S△EDB＝8.
(3)若AB＝5，AC＝3，求AD长度的取值范围．
【解】由(1)知△ADC和△EDB成中心对称，则△ADC≌△EDB，∴BE＝AC＝3.
∵AD＝ED，∴AE＝2AD.
在△ABE中，AB－BE＜AE＜AB＋BE，
∴2＜AE＜8，即2＜2AD＜8，∴1＜AD＜4.
9
[2023·江苏南京期中]由16个边长均为1的小正方形组成的图形如图所示，请你用一条割线(可以是折线)将它分割成两个图形，使其关于某一点成中心对称，要求给出两种不同的方法．
【解】如图所示，分割成的两个图形关于点O成中心对称．(答案不唯一)
10
在某次课外兴趣小组的活动中，老师提出了如下问题：
如图①，在△ABC中，若AB＝9，AC＝5，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，再连接BE(或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD)，把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得4＜AE＜14，则2＜AD＜7.
感悟：若出现“中点”“中线”等字样，考虑构造以中点为对称中心成中心对称的图形．
解决问题：如图②，在△ABC
中，D是BC边的中点，DE⊥
DF，DE交边AB于点E，DF交
边AC于点F，连接EF.
(1)求证：BE＋CF＞EF.
【证明】如图，将△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD，连接EG，
∴E，D，F三点共线，CF＝BG，DF＝DG.
∵DE⊥DF，∴EF＝EG.
∵在△BEG中，BE＋BG＞EG，
∴BE＋CF＞EF.
(2)若∠A＝90°，探索线段BE，CF，EF之间的等量关系，并加以证明．
【解】BE2＋CF2＝EF2.证明如下：
若∠A＝90°，则∠EBC＋∠FCD＝90°.
由(1)知∠FCD＝∠DBG，EF＝EG，BG＝FC，
∴∠EBC＋∠DBG＝90°，即∠EBG＝90°.
∵在Rt△EBG中，BE2＋BG2＝EG2，
∴BE2＋CF2＝EF2.(共27张PPT)
中心对称图形
24.1.3
第24章 圆
A
1
2
3
4
5
6
7
8
答 案 呈 现
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A
B
9
10
11
D
A
D
A
1
A
下列图案是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
2
[2023·抚顺]下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
B
3
围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是( )
A
4
如图，△ABC与△CDA关于点O成中心对称，过点O任意作直线EF，分别交AD，BC于点E，F，下面的结论：
①点E和点F，点B和点D分别关于点O成中心对称；
②直线BD必经过点O；
③四边形ABCD是中心对称图形；
④四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等；
⑤△AOE与△COF成中心对称．
其中正确的个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
D
5
【点拨】
在Rt△AOC中，∠A＝30°，OC＝1，
∴OA＝2OC＝2.根据中心对称图形的性质可知OB＝OA＝2，点A，O，B共线，∴AB＝4.
【答案】A
6
如图是一块正方形草地，要在上面修建两条交叉的小路，使得这两条小路将草地分成的四部分面积相等，修路的方法有( )
A．1种
B．2种
C．4种
D．无数种
【点拨】
∵正方形是中心对称图形，∴过正方形的对称中心作互相垂直的两条直线，则这两条直线把草地分成的四部分面积相等，故选D.
【答案】D
7
③
图a和图b中所有的小正方形都全等，将图a的正方形放在图b中①②③④的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是_______．
【点拨】
当小正方形放在③的位置时，组成的图形是中心对称图形．
8
下列图案中是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是( )
【点拨】
A选项中的图案是旋转对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；B，C，D选项中的图案是旋转对称图形，也是中心对称图形，不符合题意．故选A.
【点易错】
注意中心对称图形是旋转对称图形的特例，当旋转对称图形绕某一个定点旋转180°后能与原图形重合时，该图形是中心对称图形．
【答案】A
9
图①，图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，其中点A，B，C均在格点上，请在给定的网格中按要求画四边形．
(1)在图①中，找一格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形；
【解】如图①，四边形ABCD即为所求．(答案不唯一)
(2)在图②中，找一格点E，使以点A，B，C，E为顶点的四边形是中心对称图形．
【解】如图②，四边形ABCE即为所求．(答案不唯一)
10
如图，点O是 ABCD的对称中心，连接AC，DB，将DB绕点O按顺时针方向旋转，分别交DC，AB于点E，F，连接AE，CF.
(1)求证：△DEO≌△BFO；
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB.∴∠EDO＝∠FBO.
∵点O是 ABCD的对称中心，
∴OD＝OB.
又∵∠EOD＝∠FOB，∴△DEO≌△BFO.
当DB绕点O按顺时针方向旋转45°，即∠DOE＝45°时，∠AOE＝∠AOD＋∠DOE＝90°.∴AC⊥EF.
由(1)得△DEO≌△BFO.∴OE＝OF.
又∵点O是 ABCD的对称中心，∴OA＝OC.
∴四边形AECF是平行四边形．
又∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．
11
知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分．
(1)如图①，直线m经过平行四边形ABCD对角线的交点O，试判断S四边形AEFB与S四边形DEFC的数量关系；
【解】S四边形AEFB＝S四边形DEFC.
(2)如图②，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分；
【解】如图①所示．
(3)八个大小相同的正方形如图③所示摆放，求作直线将整个图形分成面积相等的两部分(用三种方法分割)．
【解】如图②③④所示．(共20张PPT)
关于原点对称的点的坐标
24.1.4
第24章 圆
D
1
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3
4
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6
7
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D
5
C
A
1
D
[2023·凉山州]点P(2，－3)关于原点对称的点P′的坐标是( )
A．(2，3)
B．(－2，－3)
C．(－3，2)
D．(－2，3)
2
[2022·怀化]已知点A(－2，b)与点B(a，3)关于原点对称，则a－b＝______.
5
【点拨】
根据关于原点对称的点的坐标特点可知a＝2，b＝－3，∴a－b＝5.
3
(母题：教材P11习题T7)如图， ABCD的两条对角线AC与BD交于平面直角坐标系的原点，点A的坐标为(－2，3)，则点C的坐标为( )
A．(－3，2) B．(－2，－3)
C．(3，－2) D．(2，－3)
【点拨】
平行四边形是中心对称图形，故点A与点C关于原点对称．
【答案】D
4
[2022·青岛]如图，将△ABC先向右平移3个单位长度，再绕原点O旋转180°，得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标是( )
A．(2，0) B．(－2，－3)
C．(－1，－3) D．(－3，－1)
【点拨】
△ABC向右平移3个单位长度后，点A(－2, 3)的对应点的坐标为(1, 3)，再根据关于原点对称的点的坐标特点得A′的坐标为(－1，－3)．
【答案】C
5
点A(－3，2)关于原点的对称点是点B，点B关于x轴对称的点是点C，则点C的坐标是( )
A．(3，2)
B．(－3，2)
C．(3，－2)
D．(－2，3)
【点拨】
点A(－3，2)关于原点对称的点B的坐标是(3，－2)，点B关于x轴对称的点C的坐标是(3，2)．
【点易错】
本题易混淆关于坐标轴对称和关于原点对称的点的坐标的区别而致错．
【答案】A
6
如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别是A(－1，4)，B(－3，1)．
(1)画出线段AB向右平移4个单位长度后的线段A1B1；
【解】如图，线段A1B1即为所求．
(2)画出线段AB绕原点O旋转180°后的线段A2B2.
【解】如图，线段A2B2即为所求．
7
[2023·人大附中月考]如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A(1，1)，B(4，2)，C(3，4)．
(1)请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；
【解】如图，△A1B1C1即为所求．
(2)请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2；
【解】如图，△A2B2C2即为所求．
(3)在x轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请画出△PAB，并直接写出点P的坐标，并求△PAB周长的最小值．(共60张PPT)
24.1 旋转
第24章 圆
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
旋转及其相关概念
旋转的性质
旋转作图
中心对称及其性质
中心对称的作图
中心对称图形
关于原点对称的点的坐标(拓展点)
知识点
旋转及其相关概念
知1－讲
1
1. 旋转的定义 在平面内，一个图形绕着一个定点(如点O)，旋转一定的角度(如θ)，得到另一个图形的变换，叫做旋转. 定点O 叫做旋转中心，θ 叫做旋转角.
知1－讲
2. 旋转的“三要素” 旋转中心、旋转方向和旋转角.
(1)在旋转过程中，始终保持不动的点是旋转中心，旋转中心可以在图形的内部，也可以在图形的外部，还可以是图形上的某点；
(2)旋转方向有顺时针和逆时针两种；
(3)在描述一个旋转过程时，需要指明旋转的“三要素”，即旋转中心、旋转方向和旋转角.
3. 对应元素 旋转得到的图形能与原图形重合，我们把能够重合的点叫做对应点，能够重合的线段叫做对应线段，能够重合的角叫做对应角.
知1－讲
知1－讲
特别提醒
1. “平面内一个图形绕着一个定点O旋转一定的角度”是指图形上的每一个点都绕点O沿相同的方向旋转相等的角度.
2. 确定旋转角的关键是找到旋转中心.
3. 旋转前后对应点与旋转中心所连线段的夹角就是旋转角.
知1－练
如图24.1－1，A，B，C 三点共线，△ ACD 和△ BCE 都是等边三角形，△ ACE经过旋转后到达△ DCB 的位置.
例 1
知1－练
解题秘方：紧扣“图形旋转时，固定不动的点是旋转中心，转过的角是旋转角”进行判断.
解法提醒
两个三角形的对应边所夹的角即为旋转角.
知1－练
(1)旋转中心是哪一点？
解：点C 是旋转中心.
点C在△ACE旋转的过程中保持不动.
知1－练
(2)旋转角是多少度？
解：△ ACE 经过旋转后到达△ DCB 的位置，AC 绕点C 旋转到DC，AC 转过的角即∠ ACD 就是旋转角.
因为△ ACD 是等边三角形，
所以∠ ACD=60°，即旋转角是60°.
知识点
旋转的性质
知2－讲
2
1. 旋转的性质
(1)在一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等；
(2)两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角相等，都等于旋转角；
(3)旋转中心是唯一不动的点.
知2－讲
2. 旋转与平移、轴对称的对比
图形变换 异同点 旋转 平移 轴对称
不 同 点 对应线段、对应角 旋转变换前、 后两个图形的任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角都是旋转角 平移变换前、后两个图形的对应线段平行(或共线)，对应角的两边分别平行(或共线)，平移方向一致 如果成轴对称的两个图形的对应线段或其延长线相交，那么交点在对称轴上，成轴对称的两个图形的对应点的连线被对称轴垂直平分
作图、运动方式 作图所需要的条件不同，运动方式不同
知2－讲
图形变换 异同点 旋转 平移 轴对称
相同点 (1)都是在平面内进行的图形变换； (2)都只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，即变换前、后图形的对应边相等，对应角相等； (3)都是把一个已知图形变换后得到另一个图形
知2－讲
特别提醒
旋转的性质的作用：
1. 可以用来判断线段或角是否相等.
2. 可以用来计算图形的面积、线段的长度或角的度数.
3. 可以用来确定旋转中心.因为对应点到旋转中心的距离相等，所以旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上，因此旋转中心是两对对应点所连线段的垂直平分线的交点.
知2－练
如图 24.1－2，在正方形ABCD 中，点E 在BC 上，
∠ FDE=45°，△ DEC 按顺时针方向旋转一个角度后到达△ DGA 的位置.
例2
知2－练
解题秘方：紧扣旋转的性质解答相关问题.
解题通法
由于旋转后图形的形状、大小未发生改变，因此我们在利用旋转解决相关问题时，应抓住以下三点：
1. 明确旋转中的“变”与“不变”；
2. 找准旋转前后的“对应关系”，正确判断旋转前后图形的对应点、对应角、对应线段、旋转中心以及旋转角；
3. 充分挖掘旋转过程中的相等关系.
知2－练
(1)图中哪一个点是旋转中心？旋转角是多少度？
解：图中的点D 是旋转中心，旋转角是90°.
(2)试指明图中旋转图形的对应线段与对应角.
图中DE 与DG，DC 与DA，EC 与GA 是对应线
段；∠ CDE 与∠ ADG，∠ C 与∠ DAG，∠ DEC 与∠ G 是对应角.
知2－练
(3)请写出图中除直角和正方形的四条边外的相等角与相等线段及能够完全重合的三角形.
解：相等角： ∠ G= ∠ DEC= ∠ ADE，∠ ADG=
∠ CDE， ∠ GDF= ∠ EDF，∠ AFD= ∠ CDF；
相等线段：DG=DE，GA=EC；
能够完全重合的三角形：△ DEC 与△ DGA.
知2－练
(4)你能求出∠ GDF 的度数吗？说明你的理由.
解：相等角： ∠ G= ∠ DEC= ∠ ADE，∠ ADG=
∠ CDE， ∠ GDF= ∠ EDF，∠ AFD= ∠ CDF；
相等线段：DG=DE，GA=EC；
能够完全重合的三角形：△ DEC 与△ DGA.
知识点
旋转作图
知3－讲
3
1. 旋转对称图形 在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度θ(0°<θ<360°)后，能够与原图形重合，这样的图形叫做旋转对称图形，这个定点就是旋转中心.
2. 旋转作图的一般步骤
(1)确定旋转中心、旋转方向和旋转角.
(2)找出图形的关键点.
知3－讲
(3)作关键点旋转后的对应点，方法如下：
①连：连接图形的每个关键点与旋转中心；
②转：把连线绕旋转中心按旋转方向旋转相同的角度(作旋转角)；
③截：在作出的角的另一边截取与关键点到旋转中心的距离相等的线段，得到各个关键点的对应点.
知3－讲
(4)按原图形的顺序连接这些对应点，所得到的图形就是旋转后的图形.
(5)写出结论，说明作出的图形即为所求作的图形.
知3－讲
特别提醒
确定旋转中心的方法：
在图形旋转的过程中，判断旋转中心的位置，要看旋转中心是在图形上还是不在图形上.
若在图形上，哪一点在旋转的过程中位置没有改变，那一点就是旋转中心；
若不在图形上，对应点连线的垂直平分线的交点就是旋转中心.
知3－练
如图24.1－3，分别画出△ ABC 绕点O 逆时针旋转90°，180°和270°后的图形．
例 3
知3－练
解题秘方：本题主要考查了旋转变换的作图，熟练掌握旋转的性质是作图的关键．
作图提醒
为了避免作图混乱，可以先对一个关键点进行连、转、截，找到其对应点后再找下一个关键点的对应点.
已知旋转中心和一对对应点，画旋转图形时，要先将这对对应点与旋转中心相连，找出旋转方向和旋转角. 由此将此类问题转化成已知旋转三要素的旋转作图.
知3－练
解： 如图24.1－4， 旋转90 ° 得到△ A1B1C1，旋转180°得到△ A2B2C2，旋转270°得到△ A3B3C3．
知识点
中心对称及其性质
知4－讲
4
1. 中心对称的定义 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称，这个点叫做对称中心.
特别解读
中心对称是特殊的旋转对称，其旋转角为180°.中心对称是指两个图形的位置关系.
知4－讲
2. 中心对称的性质
(1)成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分；反之，如果两个图形的对应点的连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点成中心对称. 利用这一性质可以识别中心
对称.
知4－讲
(2)成中心对称的两个图形是全等图形，对应角相等，对应线段平行(或在同一直线上)且相等.
全等的两个图形不一定成中心对称，而成中心对称的两个图形一定是全等图形.
知4－讲
3. 确定对称中心的方法
方法一：连接任意一对对应点，取这条线段的中点，则
该中点为对称中心.
方法二：连接任意两对对应点，这两条线段的交点就是
对称中心.
知4－讲
深度理解
由中心对称的性质可以得到如下结论：
1. 对称中心在一对对应点的连线上;
2. 对称中心到一对对应点的距离相等.
知4－练
如图24.1－5，已知四边形ABCD 关于点O 的中心对称图形是四边形A1B1C1D1，请回答下列问题：
例4
知4－练
解题秘方：紧扣中心对称的性质进行判断.
解法提醒
找对应点是解决问题的关键. 每一对对应点与对称中心在同一条直线上，根据对应点来找对应线段、对应角；由中心对称的性质得到对应线段、对应角的相等关系，从而确定三角形的形状和大小关系.
知4－练
(1)点A 的对应点是点____，点B 的对应点是点____ .
(2)指出图中在同一条直线上的三点.
A1
B1
解：图中在同一条直线上的三点有A，O，A1；B，O，B1；C，O，C1；D，O，D1.
知4－练
(3)指出图中相等的线段和全等的三角形.
解：图中相等的线段有OA=OA1，OB=OB1，OC=OC1，OD=OD1，AB=A1B1，BC=B1C1，CD=C1D1，DA=D1A1； 全等的三角形有△ ABO 与△ A1B1O，△ ADO 与△ A1D1O，△ BCO
与△ B1C1O，△ DCO 与△ D1C1O.
知识点
中心对称的作图
知5－讲
5
1. 作图关键 确定对称中心，再作出原图形上关键点关于对称中心的对应点.
知5－讲
2. 作图步骤
(1)分别将原图形上的所有关键点与对称中心连接；
(2)将以上连线延长找对应点，使得对应点与对称中心的距离和关键点与对称中心的距离相等；
(3)将对应点按原图形的形状顺次连接起来，即可得到关于对称中心成中心对称的图形.
知5－讲
特别提醒
作一个图形关于某点成中心对称的图形，要运用中心对称的性质，将已知图形的关键点与对称中心连接并延长至某点，使之到对称中心的距离与已知关键点到对称中心的距离相等.
知5－练
如图24.1－6，已知四边形ABCD 和点O，画四边形A′B′C′D′，使四边形A′B′C′D′与四边形ABCD关于点O 成中心对称.
例 5
知5－练
解题秘方：此题只要作出点A，B，C，D 关于点O 成中心对称的对应点，然后顺次连接即可.
作图通法
作已知图形关于某一点成中心对称的图形的方法：
1. 作图依据: 对称中心是对应点所连线段的中点.
2. 作图步骤：
(1)连接；(2)延长；(3)等长截取；(4)顺次连接对应点.
知5－练
解：如图24.1－7，(1)连接AO 并延长到A′，使OA′=OA，得到点A 关于点O 成中心对称的对应点A′.
(2)按同样的方法分别画出点B，C，D 关于点O 成中心对称的对应点B′，C′，D′.
(3)连接A′B′，B′C′，
C′D′，D′A′.
则四边形A′B′C′D′ 即为所求作的图形．
知识点
中心对称图形
知6－讲
6
1. 中心对称图形 把一个图形绕某一个定点旋转180°，如果旋转后的图形能和原来图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个定点就是对称中心.
知6－讲
2. 中心对称图形的性质
(1)中心对称图形上对应点的连线必经过对称中心，且被对称中心平分，即过对称中心的直线与中心对称图形所交的两点是对应点；中心对称图形上所有的点关于对称中心的对应点都在这个图形上.
(2)过对称中心的任意一条直线把中心对称图形分成了全等的两部分.
知6－讲
3. 中心对称与中心对称图形的区别和联系
中心对称 中心对称图形
区 别 (1)是针对两个图形而言的； (2)是指两个图形的位置关系； (3)对应点在两个图形上 (1)是针对一个图形而言的；
(2)是指具有某种性质的一个图形；
(3)对应点在一个图形上
联 系 若把成中心对称的两个图形视为一个整体，则整个图形是中心对称图形；若把中心对称图形相互对称的两部分看作两个图形，则这两个图形成中心对称
知6－讲
特别提醒
判断中心对称图形的方法：
1. 中心对称图形的“三要素”：
(1)对称中心；(2)旋转180°；(3)与本身重合.
2. 常见的中心对称图形有线段、平行四边形、矩形、菱形、边数是偶数的正多边形、圆等.
知6－练
如图24.1－8， ABCD 是中心对称图形吗？如果是，找出它的对称中心，并说明理由.
例6
知6－练
解题秘方：紧扣中心对称图形的“三要素”进行说明.
特别提醒
确定中心对称图形的对称中心，只需连接两对对应点，所连线段的交点即是对称中心；说明它是对称中心，需说明这个点是各对对应点连线的中点.
知6－练
解： ABCD 是中心对称图形.
如图24.1－8，连接AC，BD 交于点O，
则点O 是它的对称中心.
理由如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴ AD=BC，OA=OC，OB=OD，AB=DC.
∴点A 与点C 关于点O 对称，
点B 与点D 关于点O 对称.
知6－练
∴将 ABCD 绕点O 旋转180°后，
点A 与点C 重合，点B 与点D 重合.
从而AD 与CB 重合，AB 与CD 重合，即 ABCD 绕点O 旋转180°后与自身重合.
∴ ABCD 是中心对称图形，点O 是它的对称中心.
知6－练
如图24.1－9 是一个中心对称图形，点A 为对称中心，若∠ C=90°，∠ B=30°，BC=1，则BB′的长为( )
A. 4 B.
C. D.
例 7
知6－练
解题秘方：紧扣中心对称图形的对称中心平分对应点的连线解答.
审题提醒
“图形是中心对称图形”即已知AB=AB’，AC=AC’，B，A，B’和C，A，C’均三点共线，△ABC≌△AB’C’等.
知6－练
解：∵∠ C=90°，∠ B=30°，∴ AC=AB.
又∵ BC=1，∴易得AB= .∴ BB′=2AB= .
答案：D
知识点
关于原点对称的点的坐标(拓展点)
知7－讲
7
1. 关于原点对称的点的坐标 两个点关于原点对称，它们的横、纵坐标分别互为相反数，即点P(x，y)关于原点的对称点为P′(－x，－y).
2. 图形绕原点旋转后点的坐标的变化情况
知7－讲
原图形上任一点的坐标 以原点O 为旋转中心按逆时针方向旋转后对应点的坐标 旋转90° 旋转180° 旋转270° 旋转360°
(x，y) (－y，x) (－x，－y) (y，－x) (x，y)
知7－讲
拓宽视野
1. 若点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)关于点P(x，y)对称，则x=，y=.
2. P(x，y) P′(y，x)
关于直线
y=x 对称
知7－练
△ ABC 在平面直角坐标系中的位置如图24.1－10 所示，A，B，C 三点在格点上.
例8
知7－练
解题秘方：紧扣“关于坐标轴、原点对称的点的坐标特征”来解答.
作图通法
在坐标平面内作对称图形的方法：
先按对应点的坐标的特征，求出原图形上关键点的对应点的坐标，再在平面直角坐标系中描出对应点，最后将这些对应点顺次连接即可.
知7－练
解：△ A1B1C1 如图24.1－10所示，点C1 的坐标是(－3，2).
(1)作出△ ABC 关于y 轴对称的△ A1B1C1，并写出点C1 的坐标；
知7－练
解：△ A2B2C2 如图24.1－10 所示，点C2 的坐标是(－3，－2).
(2)作出△ ABC 关于原点O 对称的△ A2B2C2，并写出点C2 的坐标.
旋转
三要素
旋转
旋转中心
旋转角
旋转方向
性质
对称
旋转180°
全等变换
旋转对称图形
中心对称图形
