2024年中考数学模拟试卷四(含答案)

2024年中考数学模拟试卷 (四)
说 明: 1. 全卷满分 150 分,考试时间 120分钟。
2. 本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共三个大题 26 个小题。
第Ⅰ卷 选择题(共30 分)
一、选择题(下列每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的.每小题3 分，共30分)
的绝对值是 ( )
C.2024 D. -2024
2.下面四个图标中，属于中心对称图形的是 ( )
3.若关于 x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数c 的取值范围为 ( )
4.为贯彻落实《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的精神，把劳动教育纳入人才培养全过程，某班组织学生到校园农场开展锄地、除草、剪枝、捉虫、施肥、浇水六项实践活动，已知六个项目的参与人数分别是：12，11，9，13，10，13，则这组数据的众数和中位数分别是 ( )
A.13,11 B.13,12 C.12,9 D.13,11.5
5.如图,AB是⊙O的直径,C,D是圆上的两点,连接 AD,CD,AC.若∠ADC=110°,则∠BAC的大小为 ( )
A.20° B.10°
C.70° D.30°
6.随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具.某公司计划购进 A，B两种型号的新能源汽车共 3台，据了解，2 辆 A型和1辆B型汽车的进价共计 55万元，2辆 B型和1辆 A 型汽车的进价共计 50万元，若设每辆A 型汽车的价格为x万元，每辆 B型汽车的价格为y万元，则可列二元一次方程组为 ( )
7.如图，正方形 OABC的面积为 64，它的对角线 OB 与双曲线 相交于点 D，且( 3∶4,则k的值为 ( )
A.18
B.36
C.24
D.48
8.如图,在梯形 ABCD中,∠B=90°,AB=4,CD=3,AD= ,点 P,E分别为对角线AC 和边 BC 上的动点,连接 PE. 点 P 在 CA 上以每秒 1 个单位长度的速度从点 C 运动到点A，在这个过程中始终保持 PE⊥BC.设△CPE的面积为y，则y与点P 的运动时间x 的函数关系图象大致可以表示为（）
9.如图，阴影部分是由直径为 BC的半圆、扇形 ABE、两腰长为4 的等腰直角△ABC围成的，则阴影部分的面积为 ( )
A. 2π-8
B.4π-6
C.4π 8
D.2π-6
10.如图，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，对称轴是直线x= - 1 ,其顶点在第二象限，给出以下结论：①当m≠﹣1时， ②若 且 则 ③若 OA=OC,则 ④若B(1,0),C(0,3),连接 AC,点 P 在抛物线的对称轴上,且∠PCA=90°,则 P(-1,4).其中正确的有 ( )
A.①③④ B.①②③
C.①②④ D.②③④
第Ⅱ卷 非选择题(共 120 分)
二、填空题(每小题4分，共 24分)
11.2022 年 1 月 1 日，我国自主三代核电“华龙一号”福清6号机组首次并网成功，每台“华龙一号”机组装机容量116.1万千瓦，年发电能力相当于每年减少二氧化碳排放 8 160 000吨.数据8 160 000 用科学记数法表示为
12.若 在实数范围内有意义，则 x的取值范围是 .
13.一个不透明的布袋里装有 10个只有颜色不同的球，其中5个白球，3个红球，2个黄球，从布袋里任意摸出1个球，是红球的概率是 .
14.如图,在 Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=a,BC=b,且a>b,将△ABC 绕边 BC 所在的直线旋转一周形成圆锥甲，再将△ABC绕边AB 所在的直线旋转一周形成圆锥乙，记两个圆锥的全面积分别为S甲, Sz,则 S甲, Sz的大小关系为S甲 S乙.(选填“>”“<”或“=”)
15.如图，A，B是反比例函数 的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是1和4，点C是x 轴负半轴上一点，且其横坐标是方程. 6=0的一个根,则△ABC的面积是 .
16.如图,在正方形 ABCD中,E,H 分别为边AD,CD上的点,连接 BE,BH,EH, 在 BH的延长线上取一点F,使∠FDH=∠EBH,EH∥DF,连接 EF.有下列结论:( ②∠EHB=∠HEB;③EB=EF;④DF= AE.其中正确结论的序号是 .
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三、解答题(要求写出必要的解答步骤或证明过程，共 96分)
17.(6 分)
计算：
18.(8 分)
先化简再求值： 其 中 x,y 满 足
19.(8 分)
如图，在 中,F 是AD 的中点,延长 BC 到点 E,使 ,过点 A 作 于点 H ,连接 DE,CF.
(1)求证:(
(2)若 求 DE 的长.
20.(9分)
如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于 A(6,1),B两点. 过点 B 作 轴于点 D, ,过点 A 作. 轴于点C.
(1)求b的值及点B 的坐标；
(2)观察图象，当反比例函数的值小于一次函数的值时，直接写出x的取值范围；
(3)点 P 在线段 AB 上,连接CP,DP,若 求点 P 的坐标.
21.(9分)
为落实“双减提质增效”，某县拟开展“双减”背景下的课外体育活动的情况调查.现随机抽取若干名七年级学生，对他们所参加的课外体育活动进行调查(假设每名学生只参加一项课外体育活动)，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.
A: 篮球
B: 羽毛球
C: 乒乓球
D: 跳绳
E: 足球
根据以上信息，解答下列问题：
(1)参与此次抽样调查的学生共 人，补全统计图1(要求在条形图上方注明人数)；
(2)若参加课外体育活动的七年级学生共有 600人，估计其中“跳绳”项目的学生有多少人；
(3)计划在 A，B，C，D，E 五项活动中随机选取两项作为全县的推荐项目，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中 B，E这两项活动的概率.
22.(10 分)
某老师布置了测量某雕塑(示意图如图所示)高度 AB 的数学活动.某学生先在点 C 处用测角仪测得其顶端 A 的仰角为 ，再由点C 向底座走4m 到点 E 处，测得顶端A 的仰角为 ,已知 B,E,C 三点在同一水平直线上，测角仪离地面的高度 ，求该雕塑的高 AB.(结果保留一位小数)(参考数据：:S )
23.(10 分)
如图，以 的边AB 为直径作⊙O,交 BC于点D,过点 D作⊙O的切线,交 AC于点F,且 AC,延长CA 交⊙O于点E,连接 BE.
(1)求证:
(2)若 ,求⊙O的半径.
24.(10 分)
某商场销售的一种商品的进价为 30 元/件，连续销售 90 天后，统计发现：在这90 天内，该商品每天的销售价格x(元/件)与时间 t(第t天)之间满足如图所示的函数关系，该商品的日销售量y(件)与时间t(第t天)之间满足一次函数
(1)求 x与t 之间的函数解析式；
(2)设销售该商品的日利润为 w(元)，求在这90天内哪天的日利润最大，最大日利润是多少元.
25.(12分)
【问题提出】
小明、小强、小东三人兴趣小组在研究等边三角形时，小明提出了一个猜想：等边三角形内一点到三角形三个顶点的长度确定时，这点与三顶点连线构成的角的度数也就随之确定.
【问题解决】
(1)如图1,点 P 是等边 内的一点， 小强将 绕点 B 逆时针旋转60°，得到△BP'A，连接 PP'，从而求出∠BPC的度数.请你写出小强的求解过程.
【问题延伸】
(2)在研究中，小东又提出一个猜想：当点在等边三角形外与三顶点距离确定时，这点与三顶点连线构成的角的度数也会随之确定.如图2， 求 的度数.
【拓展应用】
(3)如图 3,在正方形 ABCD 内有一点P,. 求 的度数.
26.(14 分)
如图1，二次函数 的图象与x 轴交于点. ，与 y轴交于点
(1)求二次函数的解析式.
(2)点 P 为抛物线上一动点.
①如图2,连接 BC,若点 P在直线 BC 下方的抛物线上,连接 OP,与 BC 交于点E,求 的最小值；
②如图3，过点C作x轴的平行线与抛物线交于另一点D，连接BD，当 时,求点 P 的坐标.
一、选择题(每小题3分，共 30分)
题号 1 2 3 4 5
答案 B C D D A
题号 6 7 8 9 10
答案 A B D C A
二、填空题(每小题 4 分,共 24分)
11.8.16×10 12.x≥-3且.x≠313. 14.> 15.2116.①②③④
三、解答题(共 96 分)
17.解:
…3分
=3+3-3-1
=2. 6分
18.解:原式
………………………………4分
∴x-2=0,y+3=0.………………………………………5分
∴x=2,y=-3. 6分
当 x=2,y=-3 时,
原式： ……………………7分
=-8+9
=1. 8分
19.(1)证明:在□ABCD中,AD∥BC,且AD=BC.
∵F是AD的中点,
∵BE=3CE,BE=CE+BC,
∴DF=CE.
又 DF∥CE,
∴四边形 CEDF 是平行四边形.
∴CF=DE.………………………………………………………4分
(2)解:∵AH⊥BE 于点.H .
∴在 Rt△ABH中,
∴AB=4.
∴CD=AB=4…………………………………………………6分
∵∠DCE=∠B=60°,CE=DF= AD=4,
∴△DCE 是等边三角形.
∴DE=CD=4.………………………………………………8分
20.解:(1)把A(6,1)代入一次函数 和反比例函数 中,得b=4,m=6, 2分
∴一次函数的解析式为 反比例函数的解析式为
∵BD=2,即点B的横坐标 x=2,代入 中,得. y=3,∴B(2,3)…………………………………………………………3分
(2)2(3)∵AC⊥x轴于点C,BD⊥y轴于点 D,A(6,1),B(2,3),∴C(6,0),D(0,3).
∴AC=1.
∵P是线段AB 上的一点，∴设
又 BD=2,
…6分
…8分
…………………………………………………………………………………………………9分
21.解:(1)120 2分
补全统计图如下：
…………………4分
(人).
答：估计其中参加“跳绳”项目的学生有 30人.
…………………………………………………………………………6分
(3)列表如下:
第 1 项 第 2 项 A B C D E
A 一 (A,B) (A,C) (A,D) (A,E)
B (B,A) 一 (B,C) (B,D) (B,E)
C (C,A) (C,B) 一 (C,D) (C,E)
D (D,A) (D,B) (D,C) 一 (D,E)
E (E,A) (E,B) (E,C) (E,D) 一
………………………………………………………………………8分
或者画树状图如下：
…………………………………………………………………8分
∴选中 B，E 这两项活动的概率为 …9 分
22.解:如图,延长 DF交 AB 于点 P.
由题意可得 DF∥BC,DC⊥BC,FE⊥BC,AB⊥BC,
∴四边形 BPFE,四边形 EFDC,四边形 BPDC 都为矩形.
∴CD=EF=BP= 1. 5 m,CE= DF=4 m,BE=FP,BC=PD. 2分
设AP=xm,∵∠AFP=45°,∠APF=90°,
∴PF=AP=xm,DP=(x+4)m.…………………4分
由 得 …6分
解得
经检验符合题意.
答:该雕塑的高AB约为10.8m……………………10分
23.(1)证明:如图,连接 OD.
∵OD是⊙O的半径,DF 是⊙O的切线,
∴DF⊥OD.
∵DF⊥AC,∴OD∥AC.
∴∠ODB=∠C.……………………………………………3分
∵OB=OD,
∴∠ABC=∠ODB,
∴∠C=∠ABC.
∴AB=AC.…………………………………………………5分
(2)解:如图,连接 AD.
∵AB为⊙O的直径,
∴∠BEA=∠ADB=90°.………………………………6分
∵DF⊥AC,AB=AC,
∴∠BEA=∠DFC=90°,BD=CD,
∴BE∥DF,且 DF 是△BCE 的中位线.
∴BE=2DF=8.……………………………………………8分
又 AE=6,
∴⊙O的半径为5. 10分
24.解:(1)由题意,得
①当0≤t≤60时,设函数解析式为 x=kt+b,
由图象可知,函数经过点(0,40),(60,100),代入解析式,
得
解得
∴x=t+40(0≤t≤60).
②当60综上所述，可得
为整数)， 4分为整数).
(2)由题意,得
①当0≤t≤60时,ω=(x-30)y=(t+10)(150-t)=-t +140t+1500=-(t-70) +6400,
∵-1<0,0≤t≤60,
∴当t=60时,ω最大,为6300元………………………7分
②当60=-70t+10 500,
∵-70<0,
∴w随t 的增大而减小，
∴当60综上所述,当t=60时,w最大,为 6300 元.
第60 天的日利润最大,最大利润为 6300 元. 10分
25.解:(1)∵△BP'A 是由△BPC 绕点 B 逆时针旋转 60°得到的，
∴∠P'BP=60°,△BP'A≌△BPC.
∴∠BPC=∠BP'A,P'A=PC=3,BP'=BP=4.
∴△P'BP 为等边三角形.
在△P'AP中,
∴△P'AP 是直角三角形.
150°. 4分
(2)如图 1,将△BPC绕点 B 逆时针旋转60°得到△BP'A,连接 PP',
∴∠P'BP=60°,△BP'A≌△BPC.
∴△P'BP 为等边三角形.
在△P'AP 中,P'A=3,P'P=4,PA=5,
∴△P'AP 是直角三角形.
30°………………………………………………………………8分
(3)如图 2,将△BPC 绕 点 B 逆时 针 旋 转 90°得 到△BP'A,连接 PP',
∴∠P'BP=90°,△BP'A≌△BPC.
∴∠BPC=∠BP'A,P'A=PC=3,BP'=BP=2
∴△P'BP 为等腰直角三角形.
在△P'AP 中,P'A=3,P'P=4,PA=5,
∴△P'AP 是直角三角形.
:135°……………………………………………………………12分
26.解: 的图象与x轴交于点 A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C(0,-3),
解得
………………………………4分
(2)①如图1,过点 P 作y轴的平行线与 BC 交于点 Q，易知直线BC所在的直线方程为y=x-3,设点 则点Q(x,x-3),
∴PQ= yo - yp = (x - 3) -
∵ PQ∥y轴,
∴△OCE∽△PQE.
…7 分
∵点 P 在直线 BC 下方的抛物线上,∴0∴当 时,PEE最小，为 …9分
∴点 P 到直线 BC 的距离是点 D 到直线 BC 距离的 3倍.……………………10分
如图 2,过点 D 作 BC 的平行线与y 轴交于点 E.
∵直线 BC的解析式为y=x-3,
∴设直线 ED的解析式为y=x-m.
∵CD∥x轴,C(0,-3),∴D(2,-3)。
∵点D(2,-3)在直线 y=x-m上,
∴2-m= -3.
∴m=5. 12分
∴直线 ED 的解析式为y=x-5.
∴直线 ED 可以看作是将直线 BC 向下平移 2 个单位长度得到的，将直线 BC 向上平移6 个单位长度得到直线l:y=x+3,则它与抛物线的交点就是满足条件的点 P.
解得
∴ 点 P 的 坐 标 为 或 …………………………………………14分