2024年中考数学模拟试卷一(含答案)
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2024年中考数学模拟试卷(一)
说 明: 1. 全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。
2. 本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共三个大题26个小题。
第Ⅰ 卷 选择题(共 30 分)
一、选择题(下列每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的.每小题3分，共30分)
1.下列各数中，最大的是 ( )
A.—2024 B.0 C. D.|-1|
2.如图，该几何体是由六个棱长为1的小正方体组合而成，则该几何体主视图的面积是 ( )
A.5
B.4
C.3
D.2
3.下列计算，结果正确的是 ( )
4.为了解某校开展劳动教育的情况，组织人员进行了调查，调查发现其中8名同学每周做家务的天数(单位：天)依次为 3，5，6，7，5，6，5，4，则这组数据的众数和中位数分别为 ( )
A.5 和 5 B.7 和 5 C.5 和 7 D.6 和 5
5.如图,已知AB∥DE,AC:EC=2:3,若 DE的长度为9,则 AB的长度为 ( )
A.4
B.4.5
C.6
D.8
6.将相似比为1：2的△ABC与△ADE 如图摆放，现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是 ( )
E
A. B. C. D.
7.阅读以下作图步骤：
①以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交 OA，OB于点C，D；
②分别以C，D为圆心，OC 的长为半径作弧，两弧在∠AOB 的内部交于点 M；
③作射线 OM,连接 CD,CM,DM.
根据以上作图步骤，下列结论错误的是 ( )
A.∠1=∠2 B. OM⊥CD
C.四边形 OCMD 是菱形 D. OM=2OC
8.为大力发展交通事业，广元市建成多条快速通道.李某开车从家到单位有两条路线可选择，甲路线为全程24 千米的普通道路，乙路线包含快速通道，全程 15 千米，走乙路线比走甲路线的平均速度提高35%，时间节省 15 分钟，求走乙路线和走甲路线的平均速度分别是多少.设走甲路线的平均速度为x千米/时，依题意，可列方程为 ( )
9.如图,OA,OB,OC都是⊙O的半径,∠ACB=2∠BAC,若AB=4,BC= ,则⊙O的半径为 ( )
A. B. C.2 D.3
10.抛物线 的图象如图所示，对称轴为直线 x=2.有下列说法：①abc<0；②c— (t为任意实数)；④若图象上存在点. 和点 当 m< 时，满足 ，则m的取值范围为-1A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
第Ⅱ卷 非选择题(共 120 分)
二、填空题(每小题 4 分,共 24分)
11.若式子 有意义，则x的取值范围是______ .
12.中央财政在2023年四季度增发2023年国债10 000 亿元，增发的国债全部通过转移支付方式安排给地方，将10 000亿元用科学记数法表示为 元.
13.如图,矩形 ABCD 的对角线AC,BD相交于点O,∠ADC的平分线与边 AB 相交于点P,E是PB 的中点,连接 EO,若AD=6,则 EO的长为 .
14.根据图中数字的规律，若第 n个图中的q=120，则p的值为 .
15.如图,已知点 M(1,3),N(3,3),反比例函数 的图象的一支与线段 MN有交点，则符合条件的k的整数值共有 个.
16.如图,正方形 ABCD 的边长为 4,点 E,F 分别在边 BC,CD上,AE平分∠BAC,连接 BF,分别交AE,AC于点G,H,且AE=BF.有下列四个结论:①AE垂直平分BH;②若点 P 是边 AB上的一个动点，则 PH+PC的最小值为4 ;③GH =AG·EG;④S△ABH=6 .其中正确的有 .
三、解答题(要求写出必要的解答步骤或证明过程，共96分)
17.(6分)
计算：
18.(8分)
先化简，再求值： 其中a，b满足
19.(8 分)
如图,在四边形ABCD中,.
(1)求证:
(2)若 求四边形 BCDE 的面积.
20.(9分)某县教体局对全县学生喜欢足球、篮球、羽毛球、乒乓球(以下分别用A，B，C，D 表示)的情况进行抽样调查(每名学生只选择其中一种)，并将调查情况绘制成如下两幅不完整的统计图.
请根据以上信息回答：
(1)本次参加抽样调查的学生有多少人
(2)将两幅不完整的统计图补充完整.
(3)若某社团随机买了 A，B，C，D四种球中的两种，用列表或画树状图的方法，求该社团恰好买到 A 和B的概率。
21.(9分)某数学兴趣小组开展了测量某红军纪念塔顶“五角星”高度的实践活动.具体过程如下：如图，“五角星”CD位于垂直于地面的纪念塔 BC 上方，且B，C，D三点共线， ，在地面上的 A 处测得 ，求“五角星”CD 的高度.(结果精确到 1 m)(参考数据：sin 1)
22.(10 分)某商店购进 A，B两种雨伞，已知购买 A 种雨伞 30 把，B种雨伞 40 把，共花费2900元，A 种雨伞的单价比 B种雨伞的单价高 15元.
(1)A，B两种雨伞的单价分别是多少元
(2)商店决定再次购进 A，B两种雨伞共50 把，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：A 种雨伞按单价的八折出售，B种雨伞每把降价 5 元出售.如果此次购买 A 种雨伞的数量不低于 B种雨伞数量的 ，那么应购买多少把 A 种雨伞，使此次购买雨伞的总费用最小 最小费用是多少元
23.(10分)如图,在等腰三角形 ABC中,CA=CB,C(3,0),点A(2,m),B(n,1)在反比例函数 的图象上.
(1)求反比例函数的解析式，并证明 为直角三角形；
(2)在x轴上求作一点 P ,使 的值最小，写出点P 的坐标并求出最小值.
24.(10 分)如图，在 中, 为直角，以直角边 AB为直径作圆，圆心为O，⊙O交斜边 AC 于点 F，AD 是 的外角平分线，交⊙O于点D，过点 D 作 AC 的垂线，垂足为 E.
(1)求证:DE 是⊙O的切线;
(2)连接 BD,若 求CF 的长.
25.(12分)在 中,M 是斜边AB 的中点,将线段 MA 绕点 M 旋转至 MD 的位置,点 D 在直线 AB 下方,连接 AD,BD.
(1)如图 1,求 的大小.
(2)如图 2,当点 D 和直线 AC 上的点 E 满足 时,连接 BE,DE.
①求证:
②若 求 的值.
26.(14 分)如图1，抛物线 与x轴交于A，B两点，且点B的坐标为(5，0)，与y轴交于点C，该抛物线的顶点坐标为
(1)求抛物线和直线 BC的解析式.
(2)在抛物线上是否存在点 M，使得 是以 BC 为底边的等腰三角形 若存在，求出所有点 M的坐标；若不存在，请说明理由.
(3)如图 2,以点 B为圆心,画半径为 2 的圆,点 P 为⊙B上的一个动点,连接 AC,求, 面积的最大值.
一、选择题(每小题 3 分,共 30分)
题号 1 2 3 4 5
答案 C B A A C
题号 6 7 8 9 10
答案 D D A B C
二、填空题(每小题4分，共 24分)
11.x≥-2且x≠0 12.1×10 13.3 14.100 15.716.①②③
三、解答题(共 96 分)
17.解:
…3分
=4-3
=1. 6分
18.解:原式
…… …………………………………………。……………………2分
………………4分
=4a+2b. 6分
由 2a+b-1=0,得2a+b=1,
∴原式=2×1=2. 8分
19.(1)证明:∵AD∥EC,
∴∠A=∠BEC.……………………………………………1分
在△ABD 和△ECB中,∠A=∠BEC,∠ABD=∠ECB,AD=BE,
∴△ABD≌△ECB(AAS).………………………………3分
∴AB=EC.…………………………………………………4分
(2)解:∵AD∥EC,BD⊥CE,∴AD⊥BD,∴△ABD 和△ECB为直角三角形…………………………………………5分
…6分
由(1)知, ……………7分
…8 分
20.解:(1)60÷10%=600(人),
∴本次参加抽样调查的学生有600人。………………2分
(2)补全统计图如下：
……………………………………………………………………5分
(3)画树状图如下：
……………………………………………………………………8分
由树状图可知，一共有 12 种等可能的结果，其中买到 A(足球)和 B(篮球)的结果有 2 种,
∴买到 A(足球)和B(篮球)的概率为 …9分
21.解:在 Rt△ABC中,AB=15 m,∠BAC=73.6°,
∴BC=AB · tan∠BAC=15×tan 73. 6°≈15×3.4=51(m)……………………………………………………………3分
在 Rt△ABD中,AB=15 m,∠BAD=74.5°,
∴BD=AB· tan∠BAD=15×tan 74.5°≈15×3.61=54.15(m)…………………………………………………………6分
∴CD=BD-BC=54.15-51≈3(m).………………8分
答:“五角星”CD的高度约为3m. 9分
22.解：(1)设 B 种雨伞的单价为 x元，则 A 种雨伞的单价为(x+15)元,根据题意,得 30(x+15)+40x=2900,
……………………………………………………………………2分
解得x=35,
35+15=50(元),……………………………………………3分
答:A,B两种雨伞的单价分别是50元, 35 元. 4分
(2)设购买m 把 A 种雨伞,总费用为 W 元,
则 解得 故最小整数解为m=13.……………………………………………………………………6分
W=0.8×50m+(35-5)(50-m)=10m+1500.
……………………………………………………………………8分
∵10>0,∴W 随m 的增大而增大.
∴当m=13时,W 取得最小值,最小值为 10×13+1500=1630.…………………………………………………………………9分
答：应购买 13 把 A 种雨伞，使此次购买雨伞的总费用最小,最小费用为1630元. 10分
23.解:(1)如图 1,过点 A 作 AE⊥x轴于点 E,过点 B 作BD⊥x轴于点D,
则∠AEC=∠CDB=90°.
∵点 C(3,0),A(2,m),B(n,1),
∴EC=BD=1,AE=m.
∵∠AEC=∠CDB=90°,EC=BD,CA=CB,
∴△ACE≌△CBD(HL).
∴CD=AE=m.
∴OD=3+m=n.
∴点 B 的坐标是(3+m,1).
∵点A(2,m),B(3+m,1)在反比例函数 的图象上，
∴2m=(3+m)×1.解得 m=3.
∴点 A 的坐标是(2,3),点 B 的坐标是(6,1).
∴k=2×3=6.
∴反比例函数的解析式是 ………………3分
∵△ACE≌△CBD,
∴∠CAE=∠BCD.
又∠ACE+∠CAE=90°,
∴∠ACE+∠BCD=90°.∴∠ACB=90°.
∴△ABC为直角三角形……………………………………5分
(2)如图 2,过点 C 在 x 轴下方作射线 CN,使∠OCN=150°,过点 B 作 BM⊥CN,垂足为 M,交 x 轴于点 P,则∠PCM=30°.
根据“垂线段最短”可知，此时 的值最小.
………………………………………………………………………7分
过点 B作BF⊥x轴,垂足为 F,
综上可知，点 使 的值最小，最小值是 ………………………………………………………10分
24.(1)证明:如图,连接OD,∵AD是△ABC的外角平分线，
∴∠OAD=∠EAD.…………………………1分
∵OA=OD,∴∠ODA=∠OAD.
∴∠ODA=∠EAD.………………………………………2分
∵DE⊥AC,∴∠EAD+∠EDA=90°.
∴∠ODA+∠EDA=90°∴ED⊥OD.…………………3分
又OD是⊙O的半径,∴DE是⊙O的切线.……4分
(2)解:如图,连接 BF.
∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°. 5分
∵∠BAD=∠EAD,tan∠EAD=2,
∴tan∠BAD=tan∠EAD=2= BD. 又
………………7分
在 Rt△ABC中,AB=15,BC=20,∴AC=25.
∵AB是⊙O的直径,∴∠CFB=∠AFB=90°.…8分
∵∠ABC=90°,∴∠CFB=∠CBA.
又∠C=∠C,∴△CBF∽△CAB.………………………9分
…10分
25.(1)解:∵MA=MD=MB,
∴∠MAD=∠MDA,∠MBD=∠MDB.
在△ABD中,∠MAD+∠MDA+∠MBD+∠MDB=180°,
…3分
(2)①证明:
∵∠ACB=∠ADB=90°,M是斜边AB 的中点,
∴点A,B,C,D在以点M 为圆心,AB为直径的⊙M上,如图1………………………………………4分
∵M是圆心,ME⊥AD,
∴由垂径定理可知ME垂直平分AD.………………5分
∴EA=ED.∴∠EAD=∠EDA.
∵BD=CD,∴ BD=CD.
∴∠BAD=∠DBC. 6分
∵A,B,C,D四点共圆,∴∠CAD+∠DBC=180°.
又∠CAD+∠EAD=180°,
∴∠EAD=∠DBC.∴∠EAD=∠BAD.
∴∠BAD=∠EDA.
∴DE∥AB.……………………………………………………8分
②解:如图 2,过点 E 作 EH⊥AB,交 BA 的延长线于点 H,
由①易证AE=AM.
∵AC=6,BC=8,
则
∵∠EAH=∠BAC,∠ACB=∠AHE=90°,
…………………………………………10分
∴EH=4,AH=3.
∴BH=AB+AH=10+3=13.
…12分
26.解:(1)∵抛物线的顶点坐标为(3,-4),
∴设抛物线的解析式为
将 B(5,0)代入 解得 a=1,
∴抛物线的解析式为 …………………2分
令 解得x =1,x =5, ∴A(1,0).
令x=0,得 y=5,∴C(0,5).
设直线 BC的解析式为y=kx+t,
将 B(5,0),C(0,5)代入y=kx+t,得k=-1,t=5,
∴直线BC的解析式为y=-x+5.…………………4分
(2)存在点 M，使得△BCM是以 BC为底边的等腰三角形.要使△BCM 是以 BC 为底边的等腰三角形，点 M 应在BC 的垂直平分线上.
∵B(5,0),C(0,5),
∴线段 BC的中点坐标为
∵直线 BC 的解析式为 y=-x+5,
∴如图1,可设直线 M M 的解析式为y=x+m.………………6分
将 代入 y=x+m,得m=0,
∴直线M M 的解析式为y=x.………………………8分
联立
解得
∴点 M 的 坐 标 为 …………………………………………………………10分
(3)如图2,过点 B 作PH⊥AC,交 CA 的延长线于点 H,此时点 P 的位置使得△ACP 的面积最大.
∵OA=1,OB=5,OC=5,
∴AB=OB-OA=4.
易证△OAC∽△HAB,………………………………12分
∵BP=2,
…………………………………14分
2024年中考数学模拟试卷(一)
说 明: 1. 全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。
2. 本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共三个大题26个小题。
第Ⅰ 卷 选择题(共 30 分)
一、选择题(下列每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的.每小题3分，共30分)
1.下列各数中，最大的是 ( )
A.—2024 B.0 C. D.|-1|
2.如图，该几何体是由六个棱长为1的小正方体组合而成，则该几何体主视图的面积是 ( )
A.5
B.4
C.3
D.2
3.下列计算，结果正确的是 ( )
4.为了解某校开展劳动教育的情况，组织人员进行了调查，调查发现其中8名同学每周做家务的天数(单位：天)依次为 3，5，6，7，5，6，5，4，则这组数据的众数和中位数分别为 ( )
A.5 和 5 B.7 和 5 C.5 和 7 D.6 和 5
5.如图,已知AB∥DE,AC:EC=2:3,若 DE的长度为9,则 AB的长度为 ( )
A.4
B.4.5
C.6
D.8
6.将相似比为1：2的△ABC与△ADE 如图摆放，现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是 ( )
E
A. B. C. D.
7.阅读以下作图步骤：
①以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交 OA，OB于点C，D；
②分别以C，D为圆心，OC 的长为半径作弧，两弧在∠AOB 的内部交于点 M；
③作射线 OM,连接 CD,CM,DM.
根据以上作图步骤，下列结论错误的是 ( )
A.∠1=∠2 B. OM⊥CD
C.四边形 OCMD 是菱形 D. OM=2OC
8.为大力发展交通事业，广元市建成多条快速通道.李某开车从家到单位有两条路线可选择，甲路线为全程24 千米的普通道路，乙路线包含快速通道，全程 15 千米，走乙路线比走甲路线的平均速度提高35%，时间节省 15 分钟，求走乙路线和走甲路线的平均速度分别是多少.设走甲路线的平均速度为x千米/时，依题意，可列方程为 ( )
9.如图,OA,OB,OC都是⊙O的半径,∠ACB=2∠BAC,若AB=4,BC= ,则⊙O的半径为 ( )
A. B. C.2 D.3
10.抛物线 的图象如图所示，对称轴为直线 x=2.有下列说法：①abc<0；②c— (t为任意实数)；④若图象上存在点. 和点 当 m< 时，满足 ，则m的取值范围为-1
B.2个
C.3个
D.4个
第Ⅱ卷 非选择题(共 120 分)
二、填空题(每小题 4 分,共 24分)
11.若式子 有意义，则x的取值范围是______ .
12.中央财政在2023年四季度增发2023年国债10 000 亿元，增发的国债全部通过转移支付方式安排给地方，将10 000亿元用科学记数法表示为 元.
13.如图,矩形 ABCD 的对角线AC,BD相交于点O,∠ADC的平分线与边 AB 相交于点P,E是PB 的中点,连接 EO,若AD=6,则 EO的长为 .
14.根据图中数字的规律，若第 n个图中的q=120，则p的值为 .
15.如图,已知点 M(1,3),N(3,3),反比例函数 的图象的一支与线段 MN有交点，则符合条件的k的整数值共有 个.
16.如图,正方形 ABCD 的边长为 4,点 E,F 分别在边 BC,CD上,AE平分∠BAC,连接 BF,分别交AE,AC于点G,H,且AE=BF.有下列四个结论:①AE垂直平分BH;②若点 P 是边 AB上的一个动点，则 PH+PC的最小值为4 ;③GH =AG·EG;④S△ABH=6 .其中正确的有 .
三、解答题(要求写出必要的解答步骤或证明过程，共96分)
17.(6分)
计算：
18.(8分)
先化简，再求值： 其中a，b满足
19.(8 分)
如图,在四边形ABCD中,.
(1)求证:
(2)若 求四边形 BCDE 的面积.
20.(9分)某县教体局对全县学生喜欢足球、篮球、羽毛球、乒乓球(以下分别用A，B，C，D 表示)的情况进行抽样调查(每名学生只选择其中一种)，并将调查情况绘制成如下两幅不完整的统计图.
请根据以上信息回答：
(1)本次参加抽样调查的学生有多少人
(2)将两幅不完整的统计图补充完整.
(3)若某社团随机买了 A，B，C，D四种球中的两种，用列表或画树状图的方法，求该社团恰好买到 A 和B的概率。
21.(9分)某数学兴趣小组开展了测量某红军纪念塔顶“五角星”高度的实践活动.具体过程如下：如图，“五角星”CD位于垂直于地面的纪念塔 BC 上方，且B，C，D三点共线， ，在地面上的 A 处测得 ，求“五角星”CD 的高度.(结果精确到 1 m)(参考数据：sin 1)
22.(10 分)某商店购进 A，B两种雨伞，已知购买 A 种雨伞 30 把，B种雨伞 40 把，共花费2900元，A 种雨伞的单价比 B种雨伞的单价高 15元.
(1)A，B两种雨伞的单价分别是多少元
(2)商店决定再次购进 A，B两种雨伞共50 把，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：A 种雨伞按单价的八折出售，B种雨伞每把降价 5 元出售.如果此次购买 A 种雨伞的数量不低于 B种雨伞数量的 ，那么应购买多少把 A 种雨伞，使此次购买雨伞的总费用最小 最小费用是多少元
23.(10分)如图,在等腰三角形 ABC中,CA=CB,C(3,0),点A(2,m),B(n,1)在反比例函数 的图象上.
(1)求反比例函数的解析式，并证明 为直角三角形；
(2)在x轴上求作一点 P ,使 的值最小，写出点P 的坐标并求出最小值.
24.(10 分)如图，在 中, 为直角，以直角边 AB为直径作圆，圆心为O，⊙O交斜边 AC 于点 F，AD 是 的外角平分线，交⊙O于点D，过点 D 作 AC 的垂线，垂足为 E.
(1)求证:DE 是⊙O的切线;
(2)连接 BD,若 求CF 的长.
25.(12分)在 中,M 是斜边AB 的中点,将线段 MA 绕点 M 旋转至 MD 的位置,点 D 在直线 AB 下方,连接 AD,BD.
(1)如图 1,求 的大小.
(2)如图 2,当点 D 和直线 AC 上的点 E 满足 时,连接 BE,DE.
①求证:
②若 求 的值.
26.(14 分)如图1，抛物线 与x轴交于A，B两点，且点B的坐标为(5，0)，与y轴交于点C，该抛物线的顶点坐标为
(1)求抛物线和直线 BC的解析式.
(2)在抛物线上是否存在点 M，使得 是以 BC 为底边的等腰三角形 若存在，求出所有点 M的坐标；若不存在，请说明理由.
(3)如图 2,以点 B为圆心,画半径为 2 的圆,点 P 为⊙B上的一个动点,连接 AC,求, 面积的最大值.
一、选择题(每小题 3 分,共 30分)
题号 1 2 3 4 5
答案 C B A A C
题号 6 7 8 9 10
答案 D D A B C
二、填空题(每小题4分，共 24分)
11.x≥-2且x≠0 12.1×10 13.3 14.100 15.716.①②③
三、解答题(共 96 分)
17.解:
…3分
=4-3
=1. 6分
18.解:原式
…… …………………………………………。……………………2分
………………4分
=4a+2b. 6分
由 2a+b-1=0,得2a+b=1,
∴原式=2×1=2. 8分
19.(1)证明:∵AD∥EC,
∴∠A=∠BEC.……………………………………………1分
在△ABD 和△ECB中,∠A=∠BEC,∠ABD=∠ECB,AD=BE,
∴△ABD≌△ECB(AAS).………………………………3分
∴AB=EC.…………………………………………………4分
(2)解:∵AD∥EC,BD⊥CE,∴AD⊥BD,∴△ABD 和△ECB为直角三角形…………………………………………5分
…6分
由(1)知, ……………7分
…8 分
20.解:(1)60÷10%=600(人),
∴本次参加抽样调查的学生有600人。………………2分
(2)补全统计图如下：
……………………………………………………………………5分
(3)画树状图如下：
……………………………………………………………………8分
由树状图可知，一共有 12 种等可能的结果，其中买到 A(足球)和 B(篮球)的结果有 2 种,
∴买到 A(足球)和B(篮球)的概率为 …9分
21.解:在 Rt△ABC中,AB=15 m,∠BAC=73.6°,
∴BC=AB · tan∠BAC=15×tan 73. 6°≈15×3.4=51(m)……………………………………………………………3分
在 Rt△ABD中,AB=15 m,∠BAD=74.5°,
∴BD=AB· tan∠BAD=15×tan 74.5°≈15×3.61=54.15(m)…………………………………………………………6分
∴CD=BD-BC=54.15-51≈3(m).………………8分
答:“五角星”CD的高度约为3m. 9分
22.解：(1)设 B 种雨伞的单价为 x元，则 A 种雨伞的单价为(x+15)元,根据题意,得 30(x+15)+40x=2900,
……………………………………………………………………2分
解得x=35,
35+15=50(元),……………………………………………3分
答:A,B两种雨伞的单价分别是50元, 35 元. 4分
(2)设购买m 把 A 种雨伞,总费用为 W 元,
则 解得 故最小整数解为m=13.……………………………………………………………………6分
W=0.8×50m+(35-5)(50-m)=10m+1500.
……………………………………………………………………8分
∵10>0,∴W 随m 的增大而增大.
∴当m=13时,W 取得最小值,最小值为 10×13+1500=1630.…………………………………………………………………9分
答：应购买 13 把 A 种雨伞，使此次购买雨伞的总费用最小,最小费用为1630元. 10分
23.解:(1)如图 1,过点 A 作 AE⊥x轴于点 E,过点 B 作BD⊥x轴于点D,
则∠AEC=∠CDB=90°.
∵点 C(3,0),A(2,m),B(n,1),
∴EC=BD=1,AE=m.
∵∠AEC=∠CDB=90°,EC=BD,CA=CB,
∴△ACE≌△CBD(HL).
∴CD=AE=m.
∴OD=3+m=n.
∴点 B 的坐标是(3+m,1).
∵点A(2,m),B(3+m,1)在反比例函数 的图象上，
∴2m=(3+m)×1.解得 m=3.
∴点 A 的坐标是(2,3),点 B 的坐标是(6,1).
∴k=2×3=6.
∴反比例函数的解析式是 ………………3分
∵△ACE≌△CBD,
∴∠CAE=∠BCD.
又∠ACE+∠CAE=90°,
∴∠ACE+∠BCD=90°.∴∠ACB=90°.
∴△ABC为直角三角形……………………………………5分
(2)如图 2,过点 C 在 x 轴下方作射线 CN,使∠OCN=150°,过点 B 作 BM⊥CN,垂足为 M,交 x 轴于点 P,则∠PCM=30°.
根据“垂线段最短”可知，此时 的值最小.
………………………………………………………………………7分
过点 B作BF⊥x轴,垂足为 F,
综上可知，点 使 的值最小，最小值是 ………………………………………………………10分
24.(1)证明:如图,连接OD,∵AD是△ABC的外角平分线，
∴∠OAD=∠EAD.…………………………1分
∵OA=OD,∴∠ODA=∠OAD.
∴∠ODA=∠EAD.………………………………………2分
∵DE⊥AC,∴∠EAD+∠EDA=90°.
∴∠ODA+∠EDA=90°∴ED⊥OD.…………………3分
又OD是⊙O的半径,∴DE是⊙O的切线.……4分
(2)解:如图,连接 BF.
∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°. 5分
∵∠BAD=∠EAD,tan∠EAD=2,
∴tan∠BAD=tan∠EAD=2= BD. 又
………………7分
在 Rt△ABC中,AB=15,BC=20,∴AC=25.
∵AB是⊙O的直径,∴∠CFB=∠AFB=90°.…8分
∵∠ABC=90°,∴∠CFB=∠CBA.
又∠C=∠C,∴△CBF∽△CAB.………………………9分
…10分
25.(1)解:∵MA=MD=MB,
∴∠MAD=∠MDA,∠MBD=∠MDB.
在△ABD中,∠MAD+∠MDA+∠MBD+∠MDB=180°,
…3分
(2)①证明:
∵∠ACB=∠ADB=90°,M是斜边AB 的中点,
∴点A,B,C,D在以点M 为圆心,AB为直径的⊙M上,如图1………………………………………4分
∵M是圆心,ME⊥AD,
∴由垂径定理可知ME垂直平分AD.………………5分
∴EA=ED.∴∠EAD=∠EDA.
∵BD=CD,∴ BD=CD.
∴∠BAD=∠DBC. 6分
∵A,B,C,D四点共圆,∴∠CAD+∠DBC=180°.
又∠CAD+∠EAD=180°,
∴∠EAD=∠DBC.∴∠EAD=∠BAD.
∴∠BAD=∠EDA.
∴DE∥AB.……………………………………………………8分
②解:如图 2,过点 E 作 EH⊥AB,交 BA 的延长线于点 H,
由①易证AE=AM.
∵AC=6,BC=8,
则
∵∠EAH=∠BAC,∠ACB=∠AHE=90°,
…………………………………………10分
∴EH=4,AH=3.
∴BH=AB+AH=10+3=13.
…12分
26.解:(1)∵抛物线的顶点坐标为(3,-4),
∴设抛物线的解析式为
将 B(5,0)代入 解得 a=1,
∴抛物线的解析式为 …………………2分
令 解得x =1,x =5, ∴A(1,0).
令x=0,得 y=5,∴C(0,5).
设直线 BC的解析式为y=kx+t,
将 B(5,0),C(0,5)代入y=kx+t,得k=-1,t=5,
∴直线BC的解析式为y=-x+5.…………………4分
(2)存在点 M，使得△BCM是以 BC为底边的等腰三角形.要使△BCM 是以 BC 为底边的等腰三角形，点 M 应在BC 的垂直平分线上.
∵B(5,0),C(0,5),
∴线段 BC的中点坐标为
∵直线 BC 的解析式为 y=-x+5,
∴如图1,可设直线 M M 的解析式为y=x+m.………………6分
将 代入 y=x+m,得m=0,
∴直线M M 的解析式为y=x.………………………8分
联立
解得
∴点 M 的 坐 标 为 …………………………………………………………10分
(3)如图2,过点 B 作PH⊥AC,交 CA 的延长线于点 H,此时点 P 的位置使得△ACP 的面积最大.
∵OA=1,OB=5,OC=5,
∴AB=OB-OA=4.
易证△OAC∽△HAB,………………………………12分
∵BP=2,
…………………………………14分
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