(共32张PPT)
直线与圆的位置关系
24.4.1
第24章 圆
B
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8
答 案 呈 现
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12
D
C
D
C
1
有唯一
(1)直线a和⊙O________公共点，则直线a和⊙O相切；
(2)直线b和⊙O________公共点，则直线b和⊙O相交；
(3)直线c和⊙O________公共点，则直线c和⊙O相离．
有两个
没有
2
如图是“光盘行动”的宣传海报，图中筷子与餐盘可看成直线和圆的位置关系是( )
A．相切
B．相交
C．相离
D．平行
【点拨】
筷子与餐盘有2个交点，即相交关系．
【答案】B
3
设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则：
(1)d______r 直线l和⊙O相离；
(2)d______r 直线l和⊙O相切；
(3)d______r 直线l和⊙O相交．
>
＝
<
4
已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O的半径为2 cm，线段OA＝3 cm，OB＝2 cm，则直线AB和⊙O的位置关系为( )
A．相离 B．相交
C．相切 D．相交或相切
【点拨】
⊙O的半径为2 cm，线段OA＝3 cm，OB＝2 cm，∴点A在⊙O外，点B在⊙O上．∴直线AB和⊙O的位置关系为相交或相切．
【答案】D
5
(母题：教材P36练习T1)已知⊙O的直径等于12 cm，圆心O到直线l的距离为5 cm，则直线l和⊙O的公共点个数为( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．无法确定
【点拨】
根据题意，得该圆的半径是6 cm，即大于圆心到直线的距离5 cm，则直线和圆相交，故直线l与⊙O的公共点个数为2个．
【答案】C
6
如图，直线l是⊙O的切线，A为切点，B为直线l上一点，连接OB交⊙O于点C.若AB＝12，OA＝5，则BC的长为( )
A．5
B．6
C．7
D．8
【点拨】
【答案】D
7
[2023·衡阳]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
AC＝8，BC＝6.以点C为圆心，r为半径作圆，当所作的圆与斜边AB所在的直线相切时，
r的值为________．
【点拨】
8
【点拨】
如图，当⊙O与BC，BA都相切时，连接AO并延长交⊙O于点D，则AD的长为点A到⊙O上的点的距离的最大值．
9
若直线m和⊙O的公共点个数不小于1，则直线m和⊙O的位置关系是( )
A．相交
B．相切
C．相交或相切
D．相离
【点拨】
直线和圆的公共点的个数不小于1，则直线和圆有一个或两个交点．本题易因不能正确理解题意而漏解．
【答案】C
10
(1)试判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由；
11
在△ABC中，AB＝5 cm，BC＝4 cm，AC＝3 cm.
(1)若以点C为圆心，2 cm长为半径画⊙C，求直线AB和⊙C的位置关系；
(2)若直线AB和半径为r cm的⊙C相切，求r的值；
【解】由(1)知CD⊥AB，CD＝2.4 cm，
∴当r＝2.4时，直线AB和半径为r cm的⊙C相切．
(3)若线段AB和半径为r cm的⊙C有唯一公共点，求r的取值范围．
【解】若线段AB和半径为r cm的⊙C有唯一公共点，分两种情况：
①⊙C和AB相切时，即r＝2.4；
②点A在⊙C内部，点B在⊙C上或⊙C外部时，312
已知∠MAN＝30°，点O在AN上，以点O为圆心，2为半径作⊙O，交AN于点D，E，设AD＝x.
(1)如图①，当x取何值时，直线AM和⊙O相切？
【解】如图①，过点O作OF⊥AM，垂足为F，当OF＝2时，直线AM和⊙O相切，此时易知OA＝4，故AD＝2.即当x＝2时，直线AM和⊙O相切．
(2)如图②，当x取何值时，直线AM交⊙O于点B，C，且∠BOC＝90°？(共35张PPT)
切线的性质和判定
24.4.2
第24章 圆
65°
1
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4
5
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答 案 呈 现
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B
66°
9
10
11
B
C
B
A
1
65°
【点拨】
连接OC，OB，根据切线的性质得到∠ACO＝∠ABO＝90°，则∠COB＝360°－∠A－∠ACO－∠ABO＝130°，根据圆周角定理即可得到结论．
2
66°
【点拨】
如图，连接OC，OD.
∵BF是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，
∴OB⊥BF.
∴∠ABF＝90°.
∵∠AFB＝68°，
∴∠BAF＝90°－∠AFB＝22°.
∴∠BOD＝2∠BAF＝44°.
3
[2023·重庆]如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，连接AC，若∠ACD＝50°，则∠BAC的度数为( )
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
【点拨】
连接OC，根据切线的性质得到∠OCD＝90°，求得∠ACO＝40°，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACO＝40°.
【答案】B
4
【点拨】
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，由勾股定理得AB＝10.
如图，连接AE，OE.
设半圆O的半径为r，
则OA＝OE＝r.
∴OB＝AB－OA＝10－r.
【答案】B
5
如图，△ABC是⊙O的内接三角形，下列能使过点A的直线EF与⊙O相切于点A的条件是( )
A．∠EAB＝∠C
B．∠B＝90°
C．EF⊥AC
D．AC是⊙O的直径
【点拨】
如图，作直径AM，连接BM.
∵AM是直径，EF是切线，
∴∠EAM＝∠ABM＝90°.
∴∠EAB＋∠MAB＝90°，
∠M＋∠MAB＝90°.∴∠EAB＝∠M.
∵∠C＝∠M，∴∠EAB＝∠C.
∴当∠EAB＝∠C时，过点A的直线EF与⊙O相切于点A.
【答案】A
6
[2022·北京]如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，AB⊥CD，连接AC，OD.
(1)求证：∠BOD＝2∠CAB；
(2)连接DB，过点C作CE⊥DB，CE交DB的延长线于点E，延长DO，交AC于点F.若F为AC的中点，求证：直线CE为⊙O的切线．
7
如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上(不与A，B重合)，DE⊥AB于点D，DE交BC于点F，下列条件中能判定CE是切线的是( )
A．∠E＝∠CFE
B．∠E＝∠ECF
C．∠ECF＝∠EFC
D．∠ECF＝60°
【点拨】
连接OC.∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠B.
∵DE⊥AB，∴∠BDF＝90°，∴∠B＋∠DFB＝90°.∵∠EFC＝∠BFD，∴∠B＋∠EFC＝90°.
∵∠ECF＝∠EFC，∴∠OCB＋∠ECF＝90°，即OC⊥CE.
又∵OC是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线．故选C.
【点方法】
圆的切线一定是垂直于经过切点的半径的，故此题中要使CE是切线，第一步就要连接OC，构造过切点的半径．对切线判定理解不够透彻就不能够正确作出辅助线．
【答案】C
8
[2022·宁夏]如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB，AD交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E，DE交AB的延长线于点F，连接BD并延长交射线AC于点M.
(1)求证：直线DE是⊙O的切线；
【证明】如图，连接OD，则OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD.
∵AD平分∠CAB，∴∠OAD＝∠DAC.
∴∠ODA＝∠DAC，∴OD∥AC.
∵DE⊥AC，∴∠ODF＝∠AED＝90°，即DE⊥OD.
又∵OD是⊙O的半径，∴直线DE是⊙O的切线．
(2)求证：AB＝AM；
【证明】∵线段AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADM＝180°－∠ADB＝90°＝∠ADB.
∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠BAD.
∴∠M＝∠ABM，∴AB＝AM.
(3)若ME＝1，∠F＝30°，求BF的长．
【解】∵∠AEF＝90°，∠F＝30°，∴∠BAM＝60°.又∵AB＝AM，∴△ABM是等边三角形，
∴∠M＝60°.∵∠DEM＝90°，∴∠MDE＝30°.又∵ME＝1，∴MD＝2ME＝2.易知BD＝MD＝2.
∵∠BDF＝∠EDM＝30°，∴∠BDF＝∠F，
∴BF＝BD＝2.
9
如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E是斜边AC上一点，以AE为直径的⊙O经过点D，交AB于点F，连接DF.
(1)求证：BC是⊙O的切线；
【证明】如图，连接OD.
∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.
∵AD平分∠BAC，∴∠OAD＝∠BAD.
∴∠ODA＝∠BAD.∴OD∥AB.
∴∠ODC＝∠B＝90°.
∴OD⊥BC.∴BC是⊙O的切线．
10
【点拨】
【答案】B
11
已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA的延长线上一点，连接CD.
(1)如图①，若CO⊥AB，∠D＝30°，OA＝1，求AD的长；
(2)如图②，若DC与⊙O相切，E为OA上一点，且∠ACD＝∠ACE，求证：CE⊥AB.
【证明】∵DC与⊙O相切，
∴OC⊥CD，即∠ACD＋∠OCA＝90°.
∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC.
∵∠ACD＝∠ACE，∴∠OAC＋∠ACE＝90°.
∴∠AEC＝90°，即CE⊥AB.(共39张PPT)
切线长定理
24.4.3
第24章 圆
B
1
2
3
4
5
6
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8
答 案 呈 现
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C
9
10
B
6.9
20或34
1
如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，若∠BAC＝26°，则∠P的度数为( )
A．32°
B．52°
C．64°
D．72°
【点拨】
∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA＝PB，CA⊥PA.∴∠PAB＝∠PBA，∠PAC＝90°.
∵∠BAC＝26°，∴∠PAB＝90°－26°＝64°.∴∠P＝180°－2∠PAB＝52°.
【答案】B
2
如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B，∠P＝70°，C为⊙O上一点，则∠ACB的度数为( )
A．110°
B．120°
C．125°
D．130°
【点拨】
连接OA，OB，在优弧AB上取点D，连接AD，BD，由切线的性质得∠OAP＝∠OBP＝90°，利用四边形内角和可求∠AOB＝110°，再利用圆周角定理求∠ADB＝55°，再根据圆内接四边形对角互补可求∠ACB＝125°.
【答案】C
3
[2023·河南]如图，PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点B，点C在PA上，且CB＝CA.若OA＝5，PA＝12，则CA的长为________．
【点拨】
如图，连接OC.
∵PA与⊙O相切于点A，
∴∠OAP＝90°.
∵OA＝OB，OC＝OC，CA＝CB，
∴△OAC≌△OBC，
∴∠OAP＝∠OBC＝90°.
∴∠PBC＝90°.
4
【点拨】
【答案】B
5
如图，AC是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，且∠APB＝60°.
(1)求∠BAC的度数；
【解】∵PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，
∴PA＝PB，∠PAC＝90°.
∵∠APB＝60°，∴△APB是等边三角形，
∴∠BAP＝60°.
∴∠BAC＝∠PAC－∠BAP＝30°.
(2)若PA＝1，求点O到弦AB的距离．
【点方法】
切线长定理揭示了两个方面的内容，一是切线长相等，揭示线段之间的数量关系；二是圆外一点与圆心的连线平分两条切线的夹角．这两个方面的内容为证明线段之间的关系或者角之间的关系提供了条件．
6
6.9
【点拨】
如图，设光盘的圆心为O，由题意可知AB，AC分别切⊙O于点B，C，连接OC，OB，OA.
∵AC，AB分别为⊙O的切线，
∴AO为∠CAB的平分线，OC⊥AC，OB⊥AB.
7
20或34
已知PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，点C是⊙O上异于A，B的一点，过点C作⊙O的切线分别交PA和PB于点D，E，若PA＝10 cm，DE＝7 cm，则△PDE的周长为________cm.
【点拨】
分两种情况：(1)点C在劣弧AB上时，如图①.根据切线长定理得AD＝CD，BE＝CE，PA＝PB，则△PDE的周长为PD＋DE＋PE＝
PD＋CD＋CE＋PE＝PD＋AD＋
PE＋BE＝PA＋PB＝2PA＝20 cm.
(2)点C在优弧AB上时，如图②.根据切线长定理得AD＝CD，BE＝CE，PA＝PB，则△PDE的周长为PD＋DE＋PE＝PA＋AD＋CD＋CE＋BE＋PB＝2PA＋2CD＋2CE＝2PA＋2DE＝2×10＋2×7＝34(cm)．综上，△PDE的周长为
20 cm或34 cm.
【点易错】
题目中没有给出图形，需要根据题意画出草图，本题易因考虑问题不全面而导致漏解．
8
[2022·衡阳]如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作OE∥AD交CD于点E，连接BE.
(1)直线BE与⊙O相切吗？并说明理由．
【解】直线BE与⊙O相切．
理由：如图，连接OD.
∵CD与⊙O相切于点D，
∴∠ODE＝90°.∵AD∥OE，
∴∠ADO＝∠DOE，∠DAO＝∠EOB.
∵OD＝OA，∴∠ADO＝∠DAO.∴∠DOE＝∠EOB.
∵OD＝OB，OE＝OE，∴△DOE≌△BOE(SAS)．
∴∠OBE＝∠ODE＝90°.
∵OB是⊙O的半径，∴直线BE与⊙O相切．
(2)若CA＝2，CD＝4，求DE的长．
【解】设⊙O的半径为r.
在Rt△DOC中，OD2＋DC2＝OC2，
∴r2＋42＝(r＋2)2，解得r＝3.∴AB＝2r＝6.
∴BC＝AC＋AB＝2＋6＝8.
∵DE，BE与⊙O相切，∴DE＝BE.
在Rt△BCE中，BC2＋BE2＝CE2，
∴82＋BE2＝(4＋DE)2，
即64＋DE2＝(4＋DE)2，解得DE＝6.
9
如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AC，P是射线AC上的动点，连接OP，过点B作BD∥OP，交⊙O于点D，连接PD.
(1)求证：PD是⊙O的切线；
【证明】如图，连接OD.
∵PA切⊙O于A，
∴PA⊥AB，即∠PAO＝90°.
∵OP∥BD，∴∠DBO＝∠AOP，∠BDO＝∠DOP.
∵OD＝OB，∴∠BDO＝∠DBO.∴∠DOP＝∠AOP.
又∵OA＝OD，OP＝OP∴△AOP≌△DOP(SAS)．
∴∠PDO＝∠PAO＝90°，即OD⊥PD.∵OD是⊙O的半径，∴PD是⊙O的切线．
(2)当四边形POBD是平行四边形时，求∠APO的度数．
【解】由(1)可知PA＝PD.
∵四边形POBD是平行四边形，∴PD＝OB.
∵OB＝OA，PA＝PD，∴PA＝OA.
∴∠APO＝∠AOP.
∵∠PAO＝90°，∴∠APO＝∠AOP＝45°.
10
下面是小颖对一道题目的解答．
题目：如图，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD＝3，BD＝4，求△ABC的面积．
解：设△ABC的内切圆分别
与AC，BC相切于点E，F，
CE的长为x，如图所示．
小颖发现12恰好就是3×4，即△ABC的面积等于AD与BD的积．这仅仅是巧合吗？
请你帮她完成下面的探索．
已知：△ABC的内切圆与AB相切于点D，AD＝m，BD＝n.
可以一般化吗？
(1)若∠C＝90°，求证：△ABC的面积等于mn.倒过来思考呢
【解】设△ABC的内切圆分别与AC，BC相切于点E，F，CE的长为x.
根据切线长定理，得AE＝AD＝m，BF＝BD＝n，
CF＝CE＝x.
(2)若AC·BC＝2mn，求证：∠C＝90°.改变一下条件……
【证明】由AC·BC＝2mn，得(x＋m)(x＋n)＝2mn.
整理，得x2＋(m＋n)x＝mn.
∴AC2＋BC2＝(x＋m)2＋(x＋n)2＝2[x2＋(m＋n)x]＋
m2＋n2＝2mn＋m2＋n2＝(m＋n)2＝AB2.
根据勾股定理逆定理可得∠C＝90°.
(3)若∠C＝60°，用m，n表示△ABC的面积．(共36张PPT)
第24章 圆
24.4 直线与圆的位置关系
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
直线与圆的位置关系
切线性质定理
切线判定定理
切线长定理
知识点
直线与圆的位置关系
知1－讲
1
直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系 相交 相切 相离
图示
公共点个数 2 1 0
知1－讲
直线与圆的位置关系 相交 相切 相离
公共点名称 交点 切点
直线名称 割线 切线
圆心O 到直线l 的距离d 与半径r 的关系 d知1－讲
直线与圆的位置关系 相交 相切 相离
等价关系 dr 直线l 与
⊙ O 相离
知1－讲
易错警示
1. 理解切线的定义时，要抓住关键字眼“只有一个”，避免出现“有公共点时，直线和圆相切”的错误，用动态的观点及数形结合思想来准确理解切线的定义.
2. 射线、线段和圆的位置关系不能像直线一样依据交点的个数判断，要具体情况具体分析.
知1－练
如图24.4-1， 在Rt △ ABC 中， ∠ ACB=90 °，AC=
6 cm，BC=8 cm，则直线AB 和以点C 为圆心，r 为半径的圆有何位置关系？为什么？
(1)r=4 cm；
(2)r = 4.8 cm；
(3)r = 7 cm.
例 1
知1－练
解题秘方：先求出点C 到直线AB 的距离，再将其与圆的半径进行比较判断即可.
解法提醒
判断直线与圆的位置关系的两种方法：
1. 根据直线与圆的公共点的个数判断；
2. 将圆心到直线的距离d与圆的半径r 相比较，在没有给出d 与r的具体数值的情况下，可先利用图形条件及性质求出d与r的值，再通过比较大小判断其位置关系.
知1－练
解：如图24.4-1，过点C 作CD ⊥ AB 于点D.
在Rt △ ABC 中，∠ ACB=90°，AC=6 cm，BC=8 cm，则AB= = =10(cm).
知1－练
∵ S △ ABC= AB·CD= AC·BC，
∴ AB·CD=AC·BC，即10×CD=6×8. ∴ CD=4.8 cm.
(1)当r =4 cm 时，CD ＞ r，直线AB 和⊙ C 相离；
(2)当r =4.8 cm 时，CD=r，直线AB 和⊙ C 相切；
(3)当r =7 cm 时，CD知识点
切线性质定理
知2－讲
2
1. 切线性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径.
2. 切线的性质 (1)切线和圆只有一个公共点.(2)圆心到切线的距离等于半径.(3)圆的切线垂直于过切点的半径.
(4)经过圆心且垂直于切线的直线必过切点(找切点用).
(5)经过切点且垂直于切线的直线必过圆心(找圆心用).
知2－讲
以上(3)(4)(5)可归纳为：如果直线满足过圆心、过切点、垂直于切线这三个条件中的任意两个，那么第三个也成立.
知2－讲
特别提醒
切线必须同时具备两个条件：
1. 直线过半径的外端;
2. 直线垂直于这条半径.
知2－练
[中考·重庆] 如图24.4-2，AB 是⊙ O 的切线，B 为切
点，连接AO 交⊙ O 于点C，延长AO 交⊙ O 于点D，连接BD．若∠ A= ∠ D，且AC=3，则AB 的长度是( )
A. 3 B. 4
C. 3 D. 4
例2
知2－练
解题秘方：本题主要考查切线的性质、圆周角定理、勾股定理、直角三角形中30°角的性质. 得出∠ A=30°是解题关键．
解法提醒
已知圆的切线时，常连接圆心和切点，得到半径垂直于切线，通过构造直角三角形来解决问题，即“见切线，连半径，得垂线”.
知2－练
解：如图24.4-2，连接OB.
∵ AB 是⊙ O 的切线，B 为切点，
∴ OB ⊥ AB. ∴∠ A+ ∠ AOB=90°.
又∵∠ AOB=2 ∠ D，∠ A= ∠ D，
∴∠ A+2 ∠ A=90°，解得∠ A=30°，
∴ AO=2OB，∴ 3+OB=2OB，解得OB=3，
∴ OA=6，∴ AB= = =3 .
答案：C
知识点
切线判定定理
知3－讲
3
1. 判定定理 经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
知3－讲
2. 判定方法
(1)定义法：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；
(2)数量法：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线；
(3)判定定理法：经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
知3－讲
特别提醒
切线的判定定理与性质定理的区别：
切线的判定定理是在未知相切而要证明相切的情况下使用；切线的性质定理是在已知相切而要推得其他的结论时使用，它们是一个互逆的过程，不要混淆.
知3－练
[中考·湖州]如图24.4-3，已知BC 是⊙ O 的直径，AC切⊙ O 于点C，AB 交⊙ O 于点D，E 为AC 的中点，连接DE.
例 3
知3－练
解法提醒
看到切线，就想作过切点的半径；
看到直径，就想直径所对的圆周角是直角；
看到切线的判定，就想：(1)若已知直线与圆的公共点，则采用判定定理法，其基本思路是：当已知点在圆上时，连接过这点的半径，证明这条半径与直线垂直即可，即有切点，连半径，证垂直；
(2)若未知直线与圆有公共点，则采用数量关系法，其基本思路是：过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于圆的半径，即无切点，作垂直，证半径.
知3－练
(1)若AD=DB，OC=5，求切线AC 的长；
解题秘方：构造直径所对的圆周角，利用直径所对的圆周角是直角求解；
解：如图24.4-3，连接CD.
∵ BC 是⊙ O 的直径，
∴∠ BDC=90°，即CD ⊥ AB.
∵ AD=DB，∴ AC=BC=2OC=10.
知3－练
(2)求证：DE 是⊙ O 的切线.
解题秘方：利用“有切点，连半径，证垂直”求解.
知3－练
证明：如图24.4-3，连接OD.
∵∠ ADC=90°，E 为AC 的中点，
∴ DE=EC=AC. ∴∠ 1= ∠ 2.
∵ OD=OC，∴∠ 3= ∠ 4.
∵ AC 切⊙ O 于点C，∴ AC ⊥ OC.
∴∠ 1+ ∠ 3= ∠ 2+ ∠ 4=90°，即DE ⊥ OD.
∴ DE 是⊙ O 的切线.
知3－练
如图24.4-4，在Rt △ ABC 中，∠ B=90°，∠ BAC的平分线交BC 于点D，以点D 为圆心，DB 长为半径作⊙ D.
求证：AC 与⊙ D 相切.
例4
知3－练
解题秘方：利用“无切点，作垂线，证半径”判定圆的切线.
知3－练
证明：如图24.4-4，过点D 作DF ⊥ AC 于点F.
∵∠ B=90°，
∴ DB ⊥ AB.
又∵ AD 平分∠ BAC，
∴ DF=DB.
∴ AC 与⊙ D 相切.
知识点
切线长定理
知4－讲
4
1. 切线长
切线上一点到切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.
2. 切线长定理
过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.
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3. 示例 如图24.4-5 是切线长定理的一个基本图形，可以直接得到结论：(1)PO ⊥ AB；
(2)OA ⊥ AP，OB ⊥ BP；
(3)AP=BP；
(4)∠ 1= ∠ 2= ∠ 3= ∠ 4；
(5)AD=BD；
(6)AC = BC等.
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特别提醒
经过圆上一点作圆的切线，有且只有一条，过切点的半径垂直于这条切线；
经过圆外一点作圆的切线，有两条，这点和两个切点所连的两条线段相等.
知4－练
如图24.4-6，PA，PB，DE 分别切⊙ O 于点A，B，C，点D 在PA 上，点E 在PB 上.
例 5
解题秘方：根据切线长的定义，判断
出PA，PB，DA，DC，EC，EB 的长都是切线长，再利用切线长定理，找到相等关系.
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(1)若PA=10，求△ PDE 的周长；
解： ∵ PA，PB，DE 分别切⊙ O 于点A，B，C，
∴ PA=PB，DA=DC，EC=EB.
∴ PD+DE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=10+10=20，
即△ PDE 的周长为20.
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(2)若∠ P=50°，求∠ DOE 的度数.
解：如图24.4-6，连接OA，OC，OB.
∵ PA，PB，DE 分别切⊙ O 于点A，B，C，
∴ OA ⊥ PA，OB ⊥ PB，OC ⊥ DE.
∴∠ DAO= ∠ EBO=90°.
∴∠ P+ ∠ AOB=180°.
∴∠ AOB=180°－50°=130°.
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易知∠ AOD= ∠ DOC，∠ COE= ∠ BOE，
∴∠ DOE= ∠ AOB= ×130°=65°.
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图解
如图24.4-7， 利用切线长定理，可将求△ PDE 的周长转化为求PA 与PB 的和.
直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系
相交
相切
割线
切线
性质
判定
切线长定理
相离
