重庆市乌江新高考协作体2023-2024学年高二上学期1月期末学业质量联合调研抽测数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若圆的方程为，则圆心坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．下列直线中，倾斜角最大的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021高二上·成都期末）已知圆 的圆心为 ，且圆 与 轴的交点分别为 ，则圆 的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的空间几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则直线CQ与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知直线：和圆：交于A，B两点，则弦AB所对的圆心角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．折纸是一种以纸张折成各种不同形状的艺术活动，折纸大约起游于公元1世纪或者2世纪时的中国，折纸与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学成为现代几何学的一个分支.如图，现有一半径为4的圆纸片(A为圆心，B为圆内的一定点)，且，如图将圆折起一角，使圆周正好过点B，把纸片展开，并留下一条折痕，折痕上到A，B两点距离之和最小的点为P，如此往复，就能得到越来越多的折痕，设P点的轨迹为曲线C.在C上任取一点M，则△MAB面积的最大值是（ ）
A．2 B．3 C． D．
7．（2019高二上·辽宁月考）已知椭圆的方程为 ，上顶点为 ，左顶点为 ，设 为椭圆上一点，则 面积的最大值为 .若已知 ，点 为椭圆上任意一点，则 的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
8．设双曲线的左、右焦点为，渐近线方程为，过直线交双曲线左支于两点，则的最小值为（ ）
A．9 B．10 C．14 D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分。
9．已知点，在z轴上求一点B，使|AB|＝7，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．下列四个命题中真命题有（ ）
A．直线在轴上的截距为
B．经过定点的直线都可以用方程表示
C．直线必过定点
D．已知直线与直线平行，则平行线间的距离是
11．设．若，则（ ）
A． B． C． D．
12．已知双曲线C： （，），过左焦点作一条渐近线的垂线，垂足为P，过右焦点作一条直线交C的右支于A，B两点，的内切圆与相切于点Q，则（ ）
A．线段AB的最小值为
B．的内切圆与直线AB相切于点
C．当时，C的离心率为2
D．当点关于点P的对称点在另一条渐近线上时，C的渐近线方程为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知直线方程为，则该直线的倾斜角为 .
14．椭圆上有且仅有4个不同的点满足，其中，则椭圆C的离心率的取值范围为 ．
15．古希腊数学家阿波罗尼斯（ApolloniusofPerga，约公元前262~190年）发现：平面上两定点A，B，则满足的动点M的轨迹是一个圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在直角坐标系xOy中，已知，动点M满足，则面积的最大值为 .
16．如图抛物线的顶点为A，焦点为F，准线为，焦准距为4；抛物线的顶点为B，焦点也为F，准线为，焦准距为6．和交于P、Q两点，分别过P、Q作直线与两准线垂直，垂足分别为M、N、S、T，过F的直线与封闭曲线APBQ交于C、D两点，则下列说法正确的是
①；②四边形MNST的面积为；③；④的取值范围为.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，已知直四棱柱中，，底面是直角梯形，为直角，AB∥CD，，，，请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标．
18．圆截直线所得的弦长为，求的值
19．已知抛物线的焦点为是抛物线上一点且三角形MOF的面积为（其中O为坐标原点），不过点M的直线l与抛物线C交于P，Q两点，且以PQ为直径的圆经过点M，过点M作交PQ于点N.
（1）求抛物线C的方程；
（2）求证直线PQ恒过定点，并求出点N的轨迹方程.
20．如图，在四棱锥中，平面平面，且是边长为2的等边三角形，四边形是矩形，，M为的中点．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求点D到平面的距离．
21．图1是由正三角形和正方形组成的一个平面图形，将其沿折起使得平面底面，连结、，如图2．
（1）证明：；
（2）求二面角的余弦值．
22．已知中心在坐标原点，一个焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为.
（1）求此椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于两点，且以为对角线的菱形的一个顶点为，求面积的最大值及此时直线的方程.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】圆的一般方程
【解析】【解答】因为圆的方程为，
则圆的一般方程为，所以圆心坐标为。
故答案为：D.
【分析】利用化简的方法得出圆的一般方程，再结合圆的一般方程求圆心坐标的公式，进而得出圆心的坐标。
2．【答案】B
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】对于A，直线y=0的倾斜角为；
对于B，直线y=1-x的斜率为-1，设直线的倾斜角为，又因为，
由则直线的倾斜角为；
对于C，直线x=1的倾斜角为；
对于D，直线y=x-1的斜率为1，设直线的倾斜角为，又因为，
由则直线的倾斜角为；
因为所以倾斜角最大的直线为y=1-x.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合直线的斜率与直线的倾斜角的关系式和直线的倾斜角的取值范围，进而得出直线的倾斜角，再结合比较法得出倾斜角最大的直线.
3．【答案】B
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】因为圆与轴的交点分别为，所以圆心在直线上，即有，圆心，，所以圆的标准方程为。
故答案为：B．
【分析】圆与轴的交点分别为，所以圆心在直线上，从而求出t的值，进而结合已知条件求出圆心坐标，再利用两点距离公式得出圆的半径，从而求出圆的标准方程。
4．【答案】B
【知识点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】利用已知条件，以O为坐标原点，OE，OC，OG所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，
则
设平面的法向量为
则，令x=1，则y=1，z=1，所以
设直线CQ与平面所成的角为，所以
故答案为：B.
【分析】利用空间建系的方法求出点的坐标和向量的坐标，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，进而得出平面的法向量，再结合数量积求向量夹角公式和诱导公式，进而得出直线CQ与平面所成角的正弦值.
5．【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】因为直线：和圆：交于A，B两点，
联立直线与圆的方程，即，整理得出，
所以
所以弦AB的长为设弦AB所对的圆心角为，因为圆：的半径为，，
则弦AB所对的圆心角的余弦值为。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件，联立直线与圆的方程结合韦达定理和弦长公式得出AB的长，再结合圆的半径长和余弦定理，进而得出弦AB所对的圆心角的余弦值.
6．【答案】D
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质；三角形中的几何计算
【解析】【解答】设点，B关于“折痕”所在直线对称，即折前点B在圆上对应的点为点，
连接交“折痕”于点P，
则点P到A，B两点距离之和最小，且
所以点P的轨迹是以A，B为焦点，且长轴长为2a=4的椭圆，焦距
故短半轴，所以三角形△MAB面积的最大值是。
故答案为：D.
【分析】利用几何关系可得到为定值4，由椭圆定义可知点P轨迹方程为椭圆，结果由椭圆性质可得。
7．【答案】D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】在椭圆 中，
点 ，则 ， ，
直线 的方程为 ，设与直线 平行的椭圆的切线方程为 ，
由方程组 得 ，
由 ，得 ，则 ，
两平行线间的距离 ，
则 面积的最大值为 ，得 ，
∴ ，
∴
，
当且仅当 时取等号.
故答案为：D
【分析】当 面积的最大值时，直线 与椭圆相切，设与直线 平行的椭圆的切线方程为 ，与椭圆联立得到 ，由 面积的最大值为 ，求得 ， ，由均值不等式即得解.
8．【答案】A
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】由双曲线得出b=1，因为双曲线的渐近线方程为，所以a=2，
所以双曲线的标准方程为，
根据双曲线的定义有
两式相加得，
依题意可知直线l与x轴不重合，双曲线的左焦点为
设直线l的方程为，
由消去x并化简得出
由，解得，
由于直线l与双曲线左支相交于两点，所以
设则
所以
所以当m=0时，取得最小值为1，
所以的最小值为1+8=9.
故答案为：A.
【分析】根据双曲线的标准方程和渐近线方程求出a，b的值，从而得出双曲线的标准方程，再利用双曲线中a，b，c三者的关系式得出c的值，再根据双曲线的定义和联立直线与双曲线方程结合韦达定理，从而由弦长公式得出与m的函数关系式，再通过二次函数的图象求最值的方法得出的最小值，进而求出的最小值.
9．【答案】A,C
【知识点】空间中两点间的距离公式
【解析】【解答】因为点，在z轴上求一点B，设点
因为|AB|＝7，所以，所以z=-2或z=10，
则点B的坐标为(0，0，-2)或(0，0，10)。
故答案为：AC.
【分析】利用已知条件结合点B的位置设出点B的坐标，再结合空间两点距离公式得出点B的纵坐标，进而得出点B的坐标.
10．【答案】C,D
【知识点】命题的真假判断与应用；直线的截距式方程；恒过定点的直线；平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】对于A，因为直线中b=-2，所以直线在轴上的截距为，所以A错；
对于B，当直线的斜率存在时，经过定点的直线的方程都可以表示成即，当直线的斜率不存在时，经过定点的直线为x=0，所以B错；
对于C，直线所以直线必过定点(2，-4)，所以C对；
对于D，因为直线与直线平行，所以m=8，
则平行线间的距离d为，所以D对.
故答案为：CD.
【分析】利用已知条件结合直线的斜截式方程得出直线的纵截距，从而判断出选项A；利用直线的点斜式方程和斜率的关系，进而判断出选项B；利用变形的方法，从而建立x，y的方程组，进而得出直线恒过的定点坐标，从而判断出选项C；利用两直线平行得出m的值，再结合两平行直线的距离公式，进而判断出选项D，从而找出真命题的选项.
11．【答案】B,C,D
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】根据题意，由得出
而函数在上单调递增，所以。
故答案为：BCD.
【分析】利用已知条件结合放缩法和函数的单调性，进而得出a，b的不等关系，从而找出正确的选项。
12．【答案】B,D
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】由题意可知，当AB与x轴垂直时，则线段AB取最小值，此时线段AB的长为双曲线的通径，
所以线段AB的最小值为，所以A错；
设的内切圆与三角形三边的切点分别为Q，E，N，
由切线长性质，可得
因为所以
所以与N重合，即的内切圆与直线AB相切于点，所以B对；
由题可知双曲线的渐近线为，则
由上可知所以b=2a，所以，所以C错；
若关于点P的对称点在另一条渐近线上时，则渐近线与x轴的夹角为，
则其渐近线方程为，所以D对.
故答案为：BD.
【分析】设出直线AB的方程，联立双曲线的方程，再利用韦达定理及弦长公式可判断出选项A；根据双曲线的定义和内切圆性质判断出选项B；由题意可得b=2a，进而可判断出选项C；利用已知条件可得渐近线与x轴的夹角，进而判断出选项D，从而找出正确的选项.
13．【答案】//45°
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】因为直线方程为，则该直线的斜率k为1，
设直线的倾斜角为，，
因为，所以直线的倾斜角为.
故答案为：45°。
【分析】利用已知条件结合直线的斜率与直线的倾斜角的关系式，再结合直线的倾斜角的取值范围，进而得出直线的倾斜角.
14．【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】设点，由得出
化简可得
依题意可得圆与椭圆有四个交点，所以
即即所以
所以
故答案为：
【分析】根据题意求出点P的轨迹方程，从而由圆与椭圆有四个交点得出b的取值范围，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式得出c的取值范围，再由椭圆的离心率公式得出椭圆C的离心率的取值范围.
15．【答案】13
【知识点】直线和圆的方程的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】设点
因为，所以MA=2MB，所以，所以，
所以点M的方程为，所以直线AC的方程为，
圆心(0，0)到直线AC的距离d为
设点M到边AC的高为h，，
所以的最大值为
故答案为：13.
【分析】根据题意求出点M的方程与边AC，利用圆上的点到直线的最远距离为圆心到直线的距离加上半径，即求出边AC的高，进而求出三角形面积的最大值.
16．【答案】①②③④
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】设直线AB与直线分别交于G，H，
由题可知所以所以 ① 对；
如图，以A为原点建立平面直角坐标系，
则F(2，0)，直线所以抛物线的方程为
连接PF，由抛物线的定义可知
又因为所以代入可得，
所以又因为所以四边形MNST的面积为，所以 ② 对；
连接QF，因为所以
所以
所以所以③对；
根据抛物线的对称性，不妨设点D在封闭曲线APBQ的上部分，
设C，D在直线上的射影分别为
当点D在抛物线BP，点C在抛物线AQ上时，
当C，D与A，B重合时，最小，最小值为5，
当D与P重合，点C在抛物线AQ上时，
因为直线与抛物线的方程为联立，
可得设
则
所以的取值范围为，所以④对。
故答案为：①②③④
【分析】根据抛物线的定义可得判断出①；以A为原点建立平面直角坐标系，根据条件可得抛物线的方程，可得进而判断出②；利用抛物线的定义结合条件可得进而判断出③；利用抛物线的性质结合焦点弦的性质判断出④，进而找出说法正确的序号.
17．【答案】解：如图，以为坐标原点，
分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系.
则，，，，，，，．
【知识点】空间直角坐标系；空间中的点的坐标
【解析】【分析】利用已知条件建立空间直角坐标系，再利用空间直角坐标系求出各个点的坐标。
18．【答案】解：
因此圆心到直线距离为
因为圆截直线所得的弦长为，
所以
【知识点】直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】将圆的一般方程转化为标准方程，进而得出圆心坐标，再利用点到直线的距离公式得出圆心到直线距离，再结合弦长公式和勾股定理得出实数a的值.
19．【答案】（1）解：由题意得，
故，解得，
故拋物线C的方程为.
（2）解：易得，由题意可设直线PQ的方程为，，
由，消去x，得，
故，
因为，
所以，即，
整理得，
即，
∴，
所以，
所以或，
当，即时，
直线PQ的方程为，此时直线过点，不合题意舍去；
当，即时，
直线PQ的方程为，此时直线PQ恒过定点.
设，
则由，即，
得，
即点N的轨迹方程为.
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合代入法和抛物线的标准方程得出点M的纵坐标与p的关系式，再结合三角形的面积公式得出p的值，从而得出抛物线C的标准方程.（2）由（1）可得点M的坐标，再根据题意设出直线PQ的方程和点P，Q的坐标，再联立直线与抛物线方程结合判别式法和韦达定理以及，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，进而得出a与m的关系式，再利用分类讨论的方法，将直线方程转化为点斜式，从而得出直线恒过的定点坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，进而得出点N的轨迹方程.
20．【答案】（1）证明：以点D为原点，分别以直线为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，依题意，可得 ，
即，∴.
（2）解：设为平面的法向量，
则即
取得
，
设 直线与平面所成角为
.
（3）解：设点到平面的距离为，由(2)可知为平面的一个法向量，
即点到平面的距离为.
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标和向量的坐标，再结合数量积的坐标表示和两向量垂直数量积为0的等价关系，进而证出.
（2）利用已知条件结合两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，进而得出平面的法向量，再利用数量积求向量夹角的公式和诱导公式，进而得出直线与平面所成角的正弦值.
（3）由(2)可知为平面的一个法向量，再利用数量积求出点到平面的距离.
21．【答案】（1）证明：由题可知：在正方形中，有
又平而平面，平而平面
平面，所以平面
又平面，所以
（2）解：根据（1）可知：过点作轴垂直平面
建立如图所示空间直角坐标系
设，所以
所以
设平面的一个法向量为
所以，令，所以
所以
平面的一个法向量为
所以二面角的余弦值为
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正方体的结构特征，从而证出线线垂直，再利用面面垂直的性质定理证出线线垂直，从而证出.
（2）根据（1）可知：过点作轴垂直平面，从而建立空间直角坐标系，进而得出点的坐标和向量的坐标，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系，再利用数量积的坐标表示，进而得出平面的一个法向量和平面的一个法向量，再结合数量积求夹角公式得出二面角的余弦值.
22．【答案】（1）解：设所求椭圆方程为，由题意知，①
设直线与椭圆的两个交点为，弦的中点为，
由，两式相减得：，
两边同除以，得，即.
因为椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，所以，
所以，，所以，即，②
由①②可得，
所以所求椭圆的方程为；
（2）解：设，的中点为，
联立，消可得：，
此时，即①
又，，
为对角线的菱形的一顶点为，由题意可知，即
整理可得：②
由①②可得，∵，
设到直线的距离为，则
，
当时，的面积取最大值1，此时
∴直线方程为.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】 【分析】（1）利用已知条件和焦点坐标确定焦点的位置，进而设出椭圆的方程，再结合代入法和作差法以及两点求斜率公式、中点坐标公式，进而得出a，b的一个方程，再利用椭圆中a，b，c三者的关系式，从而解方程组得出a，b的值，进而得出椭圆的标准方程.（2）设出点P，Q的坐标和PQ中点的坐标，再联立直线与椭圆的方程结合判别式法和中点坐标公式以及两直线垂直斜率之积等于-1，进而得出直线的斜率的取值范围，再结合三角形的面积公式和二次函数的图象求最值的方法，进而得出三角形的面积的最大值，从而得出直线的方程.
1 / 1重庆市乌江新高考协作体2023-2024学年高二上学期1月期末学业质量联合调研抽测数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若圆的方程为，则圆心坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆的一般方程
【解析】【解答】因为圆的方程为，
则圆的一般方程为，所以圆心坐标为。
故答案为：D.
【分析】利用化简的方法得出圆的一般方程，再结合圆的一般方程求圆心坐标的公式，进而得出圆心的坐标。
2．下列直线中，倾斜角最大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】对于A，直线y=0的倾斜角为；
对于B，直线y=1-x的斜率为-1，设直线的倾斜角为，又因为，
由则直线的倾斜角为；
对于C，直线x=1的倾斜角为；
对于D，直线y=x-1的斜率为1，设直线的倾斜角为，又因为，
由则直线的倾斜角为；
因为所以倾斜角最大的直线为y=1-x.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合直线的斜率与直线的倾斜角的关系式和直线的倾斜角的取值范围，进而得出直线的倾斜角，再结合比较法得出倾斜角最大的直线.
3．（2021高二上·成都期末）已知圆 的圆心为 ，且圆 与 轴的交点分别为 ，则圆 的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】因为圆与轴的交点分别为，所以圆心在直线上，即有，圆心，，所以圆的标准方程为。
故答案为：B．
【分析】圆与轴的交点分别为，所以圆心在直线上，从而求出t的值，进而结合已知条件求出圆心坐标，再利用两点距离公式得出圆的半径，从而求出圆的标准方程。
4．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的空间几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则直线CQ与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】利用已知条件，以O为坐标原点，OE，OC，OG所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，
则
设平面的法向量为
则，令x=1，则y=1，z=1，所以
设直线CQ与平面所成的角为，所以
故答案为：B.
【分析】利用空间建系的方法求出点的坐标和向量的坐标，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，进而得出平面的法向量，再结合数量积求向量夹角公式和诱导公式，进而得出直线CQ与平面所成角的正弦值.
5．已知直线：和圆：交于A，B两点，则弦AB所对的圆心角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】因为直线：和圆：交于A，B两点，
联立直线与圆的方程，即，整理得出，
所以
所以弦AB的长为设弦AB所对的圆心角为，因为圆：的半径为，，
则弦AB所对的圆心角的余弦值为。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件，联立直线与圆的方程结合韦达定理和弦长公式得出AB的长，再结合圆的半径长和余弦定理，进而得出弦AB所对的圆心角的余弦值.
6．折纸是一种以纸张折成各种不同形状的艺术活动，折纸大约起游于公元1世纪或者2世纪时的中国，折纸与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学成为现代几何学的一个分支.如图，现有一半径为4的圆纸片(A为圆心，B为圆内的一定点)，且，如图将圆折起一角，使圆周正好过点B，把纸片展开，并留下一条折痕，折痕上到A，B两点距离之和最小的点为P，如此往复，就能得到越来越多的折痕，设P点的轨迹为曲线C.在C上任取一点M，则△MAB面积的最大值是（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质；三角形中的几何计算
【解析】【解答】设点，B关于“折痕”所在直线对称，即折前点B在圆上对应的点为点，
连接交“折痕”于点P，
则点P到A，B两点距离之和最小，且
所以点P的轨迹是以A，B为焦点，且长轴长为2a=4的椭圆，焦距
故短半轴，所以三角形△MAB面积的最大值是。
故答案为：D.
【分析】利用几何关系可得到为定值4，由椭圆定义可知点P轨迹方程为椭圆，结果由椭圆性质可得。
7．（2019高二上·辽宁月考）已知椭圆的方程为 ，上顶点为 ，左顶点为 ，设 为椭圆上一点，则 面积的最大值为 .若已知 ，点 为椭圆上任意一点，则 的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】在椭圆 中，
点 ，则 ， ，
直线 的方程为 ，设与直线 平行的椭圆的切线方程为 ，
由方程组 得 ，
由 ，得 ，则 ，
两平行线间的距离 ，
则 面积的最大值为 ，得 ，
∴ ，
∴
，
当且仅当 时取等号.
故答案为：D
【分析】当 面积的最大值时，直线 与椭圆相切，设与直线 平行的椭圆的切线方程为 ，与椭圆联立得到 ，由 面积的最大值为 ，求得 ， ，由均值不等式即得解.
8．设双曲线的左、右焦点为，渐近线方程为，过直线交双曲线左支于两点，则的最小值为（ ）
A．9 B．10 C．14 D．
【答案】A
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】由双曲线得出b=1，因为双曲线的渐近线方程为，所以a=2，
所以双曲线的标准方程为，
根据双曲线的定义有
两式相加得，
依题意可知直线l与x轴不重合，双曲线的左焦点为
设直线l的方程为，
由消去x并化简得出
由，解得，
由于直线l与双曲线左支相交于两点，所以
设则
所以
所以当m=0时，取得最小值为1，
所以的最小值为1+8=9.
故答案为：A.
【分析】根据双曲线的标准方程和渐近线方程求出a，b的值，从而得出双曲线的标准方程，再利用双曲线中a，b，c三者的关系式得出c的值，再根据双曲线的定义和联立直线与双曲线方程结合韦达定理，从而由弦长公式得出与m的函数关系式，再通过二次函数的图象求最值的方法得出的最小值，进而求出的最小值.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分。
9．已知点，在z轴上求一点B，使|AB|＝7，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,C
【知识点】空间中两点间的距离公式
【解析】【解答】因为点，在z轴上求一点B，设点
因为|AB|＝7，所以，所以z=-2或z=10，
则点B的坐标为(0，0，-2)或(0，0，10)。
故答案为：AC.
【分析】利用已知条件结合点B的位置设出点B的坐标，再结合空间两点距离公式得出点B的纵坐标，进而得出点B的坐标.
10．下列四个命题中真命题有（ ）
A．直线在轴上的截距为
B．经过定点的直线都可以用方程表示
C．直线必过定点
D．已知直线与直线平行，则平行线间的距离是
【答案】C,D
【知识点】命题的真假判断与应用；直线的截距式方程；恒过定点的直线；平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】对于A，因为直线中b=-2，所以直线在轴上的截距为，所以A错；
对于B，当直线的斜率存在时，经过定点的直线的方程都可以表示成即，当直线的斜率不存在时，经过定点的直线为x=0，所以B错；
对于C，直线所以直线必过定点(2，-4)，所以C对；
对于D，因为直线与直线平行，所以m=8，
则平行线间的距离d为，所以D对.
故答案为：CD.
【分析】利用已知条件结合直线的斜截式方程得出直线的纵截距，从而判断出选项A；利用直线的点斜式方程和斜率的关系，进而判断出选项B；利用变形的方法，从而建立x，y的方程组，进而得出直线恒过的定点坐标，从而判断出选项C；利用两直线平行得出m的值，再结合两平行直线的距离公式，进而判断出选项D，从而找出真命题的选项.
11．设．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】根据题意，由得出
而函数在上单调递增，所以。
故答案为：BCD.
【分析】利用已知条件结合放缩法和函数的单调性，进而得出a，b的不等关系，从而找出正确的选项。
12．已知双曲线C： （，），过左焦点作一条渐近线的垂线，垂足为P，过右焦点作一条直线交C的右支于A，B两点，的内切圆与相切于点Q，则（ ）
A．线段AB的最小值为
B．的内切圆与直线AB相切于点
C．当时，C的离心率为2
D．当点关于点P的对称点在另一条渐近线上时，C的渐近线方程为
【答案】B,D
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】由题意可知，当AB与x轴垂直时，则线段AB取最小值，此时线段AB的长为双曲线的通径，
所以线段AB的最小值为，所以A错；
设的内切圆与三角形三边的切点分别为Q，E，N，
由切线长性质，可得
因为所以
所以与N重合，即的内切圆与直线AB相切于点，所以B对；
由题可知双曲线的渐近线为，则
由上可知所以b=2a，所以，所以C错；
若关于点P的对称点在另一条渐近线上时，则渐近线与x轴的夹角为，
则其渐近线方程为，所以D对.
故答案为：BD.
【分析】设出直线AB的方程，联立双曲线的方程，再利用韦达定理及弦长公式可判断出选项A；根据双曲线的定义和内切圆性质判断出选项B；由题意可得b=2a，进而可判断出选项C；利用已知条件可得渐近线与x轴的夹角，进而判断出选项D，从而找出正确的选项.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知直线方程为，则该直线的倾斜角为 .
【答案】//45°
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】因为直线方程为，则该直线的斜率k为1，
设直线的倾斜角为，，
因为，所以直线的倾斜角为.
故答案为：45°。
【分析】利用已知条件结合直线的斜率与直线的倾斜角的关系式，再结合直线的倾斜角的取值范围，进而得出直线的倾斜角.
14．椭圆上有且仅有4个不同的点满足，其中，则椭圆C的离心率的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】设点，由得出
化简可得
依题意可得圆与椭圆有四个交点，所以
即即所以
所以
故答案为：
【分析】根据题意求出点P的轨迹方程，从而由圆与椭圆有四个交点得出b的取值范围，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式得出c的取值范围，再由椭圆的离心率公式得出椭圆C的离心率的取值范围.
15．古希腊数学家阿波罗尼斯（ApolloniusofPerga，约公元前262~190年）发现：平面上两定点A，B，则满足的动点M的轨迹是一个圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在直角坐标系xOy中，已知，动点M满足，则面积的最大值为 .
【答案】13
【知识点】直线和圆的方程的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】设点
因为，所以MA=2MB，所以，所以，
所以点M的方程为，所以直线AC的方程为，
圆心(0，0)到直线AC的距离d为
设点M到边AC的高为h，，
所以的最大值为
故答案为：13.
【分析】根据题意求出点M的方程与边AC，利用圆上的点到直线的最远距离为圆心到直线的距离加上半径，即求出边AC的高，进而求出三角形面积的最大值.
16．如图抛物线的顶点为A，焦点为F，准线为，焦准距为4；抛物线的顶点为B，焦点也为F，准线为，焦准距为6．和交于P、Q两点，分别过P、Q作直线与两准线垂直，垂足分别为M、N、S、T，过F的直线与封闭曲线APBQ交于C、D两点，则下列说法正确的是
①；②四边形MNST的面积为；③；④的取值范围为.
【答案】①②③④
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】设直线AB与直线分别交于G，H，
由题可知所以所以 ① 对；
如图，以A为原点建立平面直角坐标系，
则F(2，0)，直线所以抛物线的方程为
连接PF，由抛物线的定义可知
又因为所以代入可得，
所以又因为所以四边形MNST的面积为，所以 ② 对；
连接QF，因为所以
所以
所以所以③对；
根据抛物线的对称性，不妨设点D在封闭曲线APBQ的上部分，
设C，D在直线上的射影分别为
当点D在抛物线BP，点C在抛物线AQ上时，
当C，D与A，B重合时，最小，最小值为5，
当D与P重合，点C在抛物线AQ上时，
因为直线与抛物线的方程为联立，
可得设
则
所以的取值范围为，所以④对。
故答案为：①②③④
【分析】根据抛物线的定义可得判断出①；以A为原点建立平面直角坐标系，根据条件可得抛物线的方程，可得进而判断出②；利用抛物线的定义结合条件可得进而判断出③；利用抛物线的性质结合焦点弦的性质判断出④，进而找出说法正确的序号.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，已知直四棱柱中，，底面是直角梯形，为直角，AB∥CD，，，，请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标．
【答案】解：如图，以为坐标原点，
分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系.
则，，，，，，，．
【知识点】空间直角坐标系；空间中的点的坐标
【解析】【分析】利用已知条件建立空间直角坐标系，再利用空间直角坐标系求出各个点的坐标。
18．圆截直线所得的弦长为，求的值
【答案】解：
因此圆心到直线距离为
因为圆截直线所得的弦长为，
所以
【知识点】直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】将圆的一般方程转化为标准方程，进而得出圆心坐标，再利用点到直线的距离公式得出圆心到直线距离，再结合弦长公式和勾股定理得出实数a的值.
19．已知抛物线的焦点为是抛物线上一点且三角形MOF的面积为（其中O为坐标原点），不过点M的直线l与抛物线C交于P，Q两点，且以PQ为直径的圆经过点M，过点M作交PQ于点N.
（1）求抛物线C的方程；
（2）求证直线PQ恒过定点，并求出点N的轨迹方程.
【答案】（1）解：由题意得，
故，解得，
故拋物线C的方程为.
（2）解：易得，由题意可设直线PQ的方程为，，
由，消去x，得，
故，
因为，
所以，即，
整理得，
即，
∴，
所以，
所以或，
当，即时，
直线PQ的方程为，此时直线过点，不合题意舍去；
当，即时，
直线PQ的方程为，此时直线PQ恒过定点.
设，
则由，即，
得，
即点N的轨迹方程为.
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合代入法和抛物线的标准方程得出点M的纵坐标与p的关系式，再结合三角形的面积公式得出p的值，从而得出抛物线C的标准方程.（2）由（1）可得点M的坐标，再根据题意设出直线PQ的方程和点P，Q的坐标，再联立直线与抛物线方程结合判别式法和韦达定理以及，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，进而得出a与m的关系式，再利用分类讨论的方法，将直线方程转化为点斜式，从而得出直线恒过的定点坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，进而得出点N的轨迹方程.
20．如图，在四棱锥中，平面平面，且是边长为2的等边三角形，四边形是矩形，，M为的中点．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求点D到平面的距离．
【答案】（1）证明：以点D为原点，分别以直线为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，依题意，可得 ，
即，∴.
（2）解：设为平面的法向量，
则即
取得
，
设 直线与平面所成角为
.
（3）解：设点到平面的距离为，由(2)可知为平面的一个法向量，
即点到平面的距离为.
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标和向量的坐标，再结合数量积的坐标表示和两向量垂直数量积为0的等价关系，进而证出.
（2）利用已知条件结合两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，进而得出平面的法向量，再利用数量积求向量夹角的公式和诱导公式，进而得出直线与平面所成角的正弦值.
（3）由(2)可知为平面的一个法向量，再利用数量积求出点到平面的距离.
21．图1是由正三角形和正方形组成的一个平面图形，将其沿折起使得平面底面，连结、，如图2．
（1）证明：；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明：由题可知：在正方形中，有
又平而平面，平而平面
平面，所以平面
又平面，所以
（2）解：根据（1）可知：过点作轴垂直平面
建立如图所示空间直角坐标系
设，所以
所以
设平面的一个法向量为
所以，令，所以
所以
平面的一个法向量为
所以二面角的余弦值为
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正方体的结构特征，从而证出线线垂直，再利用面面垂直的性质定理证出线线垂直，从而证出.
（2）根据（1）可知：过点作轴垂直平面，从而建立空间直角坐标系，进而得出点的坐标和向量的坐标，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系，再利用数量积的坐标表示，进而得出平面的一个法向量和平面的一个法向量，再结合数量积求夹角公式得出二面角的余弦值.
22．已知中心在坐标原点，一个焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为.
（1）求此椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于两点，且以为对角线的菱形的一个顶点为，求面积的最大值及此时直线的方程.
【答案】（1）解：设所求椭圆方程为，由题意知，①
设直线与椭圆的两个交点为，弦的中点为，
由，两式相减得：，
两边同除以，得，即.
因为椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，所以，
所以，，所以，即，②
由①②可得，
所以所求椭圆的方程为；
（2）解：设，的中点为，
联立，消可得：，
此时，即①
又，，
为对角线的菱形的一顶点为，由题意可知，即
整理可得：②
由①②可得，∵，
设到直线的距离为，则
，
当时，的面积取最大值1，此时
∴直线方程为.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】 【分析】（1）利用已知条件和焦点坐标确定焦点的位置，进而设出椭圆的方程，再结合代入法和作差法以及两点求斜率公式、中点坐标公式，进而得出a，b的一个方程，再利用椭圆中a，b，c三者的关系式，从而解方程组得出a，b的值，进而得出椭圆的标准方程.（2）设出点P，Q的坐标和PQ中点的坐标，再联立直线与椭圆的方程结合判别式法和中点坐标公式以及两直线垂直斜率之积等于-1，进而得出直线的斜率的取值范围，再结合三角形的面积公式和二次函数的图象求最值的方法，进而得出三角形的面积的最大值，从而得出直线的方程.
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