(共27张PPT)
平行投影与中心投影
25.1.1
第25章 投影与视图
D
1
2
3
4
5
6
7
8
答 案 呈 现
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A
A
9
10
11
12
C
9.88
D
C
A
D
B
1
D
下列现象不属于投影的是( )
A．皮影 B．树影 C．手影 D．素描画
2
皮影戏是在哪种光照射下形成的？( )
A．灯光 B．太阳光
C．A，B都对 D．A，B都不对
A
3
平行投影中的光线是( )
A．平行的
B．聚成一点的
C．不平行的
D．向四面发散的
A
4
如图是胡老师画的一幅写生画，四名同学对这幅画的作画时间作了猜测．根据胡老师给出的方向坐标，猜测比较合理的是( )
A．小明：“早上8点”
B．小亮：“中午12点”
C．小刚：“下午5点”
D．小红：“什么时间都行”
【点拨】
本题考查了平行投影的特点和规律．在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同．就北半球而言，从早晨到傍晚影子的指向是西－西北－北－东北－东，影子由长变短，再变长．
【答案】C
5
某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上(如图)，同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC＝8.72 m，EF＝2.18 m．已知B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BC，
DE⊥EF，DE＝2.47 m，
则AB＝________m.
9.88
6
下列现象属于中心投影的有( )
①小孔成像；②皮影；③手影；④放电影．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
D
7
C
(母题：教材P74练习T1)下列投影中，不属于中心投影的是( )
A．晚上路灯下小孩的影子
B．舞台上灯光下演员的影子
C．阳光下树的影子
D．电影银幕上演员的影子
8
如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2∶5，且三角板的一边长为8 cm，则投影三角板的对应边长为( )
A．20 cm B．10 cm
C．8 cm D．3.2 cm
【点拨】
设投影三角板的对应边长为x cm，由题可得8∶x＝2∶5，解得x＝20.
【答案】A
9
[2023·宜昌夷陵区模拟]如图，正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯(看作一个点)与这条对角线所确定的平面垂直于纸板．在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是( )
【点拨】
由题意知投影关于对角线对称，因为灯在纸板上方，所以正方形纸板的上半部分的投影比下半部分的投影要长．
【答案】D
10
如图，下列判断正确的是( )
A．图①是在阳光下的影子，图②是在灯光下的影子
B．图②是在阳光下的影子，图①是在灯光下的影子
C．图①和图②都是在阳光下的影子
D．图①和图②都是在灯光下的影子
【点拨】
题图①中影子的方向不同，是在灯光下的影子；题图②中影子的方向相同，且影长与树高成正比例，是在阳光下的影子．
【答案】B
11
学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律．如图，在同一时间，身高为1.6 m的小明(AB)的影子BC长是3 m，而小颖(EH)刚好在路灯灯泡的正下方，并测得HB＝6 m.
(1)请在图中画出形成影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置G.
【解】如图所示．
(2)求路灯灯泡的垂直高度GH.
12
如图①，某人的一器官后面A处长了一个新生物，现需检测其到皮肤的距离，为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离方案如下：
课题 检测新生物到皮肤的距离 工具 医疗仪器等 示意图
说明 如图②，新生物在A处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的B处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠DBN；再在皮肤上选择距离B处9 cm的C处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠ECN.
测量 数据 ∠DBN＝35°，∠ECN＝22°，BC＝9 cm
请你根据上表中的测量数据，计算新生物A处到皮肤的距离(结果精确到0.1 cm；参考数据：sin 35°≈0.57，cos 35°≈0.82，tan 35°≈0.70，sin 22°≈0.37，cos 22°≈0.93，tan 22°≈0.40)．
【解】如图，过点A作AF⊥MN，垂足为点F.
设BF＝x cm.∵BC＝9 cm，
∴CF＝BC＋BF＝(x＋9)cm.
∵∠ABF＝∠DBN＝35°，
∴在Rt△ABF中，AF＝BF·tan 35°≈0.7x(cm)．
∵∠ACF＝∠ECN＝22°，
∴在Rt△ACF中，AF＝CF·tan 22°≈0.4(x＋9)cm，
∴0.7x≈0.4(x＋9)，解得x≈12，∴AF≈8.4 cm，
∴新生物A处到皮肤的距离约为8.4 cm.(共20张PPT)
正投影
25.1.2
第25章 投影与视图
A
1
2
3
4
5
6
7
8
答 案 呈 现
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B
D
9
D
D
A
C
1
A
球的正投影是( )
A．圆 B．椭圆 C．点 D．圆环
2
D
[中考·绥化]正方形的正投影不可能是( )
A．线段 B．矩形 C．正方形 D．梯形
下列投影(如图)中，正投影有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
3
【点拨】
只有第三个是正投影．
【答案】B
4
(母题：教材P78练习T2)如图，水杯的杯口与投影面平行，投影线的方向如箭头所示，它的正投影是( )
【点拨】
由题可知水杯杯体的正投影是一个圆，把手的正投影是一条线段，故选D．
【答案】D
5
一根笔直的小木棒(记为线段AB)，它的正投影为线段CD，则下列各式中一定成立的是( )
A．AB＝CD B．AB≤CD
C．AB＞CD D．AB≥CD
【点拨】
根据正投影的定义可知，当AB与投影面平行时，AB＝CD；当AB与投影面不平行时，AB大于CD，故选D．
【答案】D
6
几何体在平面P的正投影，取决于( )
①几何体的形状；②投影面与几何体的位置关系；③投影面P的大小．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【点拨】
几何体在平面的正投影与几何体的形状、投影面与几何体的位置关系有关，与投影面的大小无关．
【答案】A
7
如图，把正方体一个顶点朝上立放，在它下面放一张白纸，使纸面与太阳光垂直，则正方体在纸上的正投影是( )
【点拨】
根据题意可知，正方体在纸上的投影是个正六边形．
【答案】C
8
已知一正方形纸板ABCD的边长为10 cm.如图，四边形A1B1C1D1是正方形ABCD在面β上的正投影，AD，BC与投影面β平行，且AB，CD与
投影面β成30°角，求正方形
ABCD的正投影的面积．
9
甲、乙两人在做了“圆的正投影”探究性试验后，得到了如下结论：
甲说：“圆的正投影一定还是圆．”
乙说：“你说的不对，圆的正投影应该是圆或椭圆．”
根据以上对话，结合平面图形的正投影规律，判断谁说的正确．若都不正确，请你说出正确的结论．
【解】两人说的都不正确．圆的正投影是圆(圆与投影面平行)或椭圆(圆倾斜于投影面)或线段(圆与投影面垂直)．
【点拨】
此题容易只考虑圆与投影面平行这一种情况而致错．(共42张PPT)
第25章 投影与视图
25.1 投影
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
投影
平行投影
中心投影
正投影
知识点
投影
知1－讲
1
1. 投影的定义 一个物体放在阳光下或者灯光前，就会在地面上或者墙面上留下它的影子，这个影子称为物体的投影. 照射光线叫做投射线，投影所在的平面叫做投影面.
2. 投影的性质
(1)光线是沿直线照射的，因此可以由物体与它的投影确定光线的方向.
(2)不同时刻，物体的影子的方向和大小会发生变化；在投射线和投影面相同的情况下，不同形状的物体的投影一般不同.
知1－讲
知1－讲
特别提醒
形成投影应具备的条件：
1. 要有光线；
2. 要有一个呈现投影的面,即投影面(投影面应是平的)；
3. 要有物体存在且物体处于光源与投影面之间.
知1－练
下列现象不属于投影的是( )
A. 皮影 B. 树影 C. 手影 D. 素描画
例 1
知1－练
解题秘方：紧扣“投影的定义”中的三个条件进行识别.
特别提醒
投影是生活中一种常见的现象，没有特殊说明时，本章中的投影问题均指在平面上形成的投影.
知1－练
解：皮影、手影和树影都符合“用光线照射物体，在某个平面上得到的影子”，因此选项A，B，C 都属于投影，用排除法知应选D.
答案：D
深度理解
1. 平行投影中对应点的连线是互相平行的；反之，物体与其投影的对应点的连线是互相平行的就说明是平行投影.
2. 物体在太阳光照射下的不同时刻，物体的影子的大小和方向都在改变.
知识点
平行投影
知2－讲
2
1. 平行投影的定义 由平行的光线所形成的投影叫做平行投影. 例如，太阳光可以看成平行光线，太阳光照射物体所形成的影子属于平行投影.
知2－讲
(1)等高的物体垂直于地面放置时，如图25.1-1 ①，同一时刻，在太阳光下，它们的影长相等.
知2－讲
(2)等长的物体平行于地面放置时，如图25.1-1 ②，同一时刻，在太阳光下，它们的影长相等，并且影长等于物体本身的长度.
知2－讲
(3)在太阳光下，不同时刻，同一地点、同一物体的影子不仅方向不同，影子的长度一般也不同，从早晨到傍晚，物体影子的指向是正西→西北→正北→东北→正东(北半球北回归线以北地区). 一天之中，同一物体的影子的长度的变化规律是：长→短→最短→短→长.
知2－讲
(4)在太阳光下，不同时刻，同一物体的影子长度不同；同一时刻，不同物体本身的高度与它们的影子长度成正比.
特别提醒
这一结论可以用相似三角形的性质得到，即：
知2－练
[中考·陕西] 小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高.
例2
知2－练
如图25.1-2，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB 的影长OC 为16 米，OA 的影长OD 为
20 米，小明的影长FG 为2.4 米，其中O，C，D，F，G 五点在同一直线上，A，B，O 三点在同一
直线上，且AO ⊥ OD，EF ⊥ FG.
已知小明的身高EF 为1.8 米，
求旗杆的高AB.
知2－练
解题秘方：先证明△ AOD ∽△ EFG，利用相似比计算出AO 的长，再证明△ BOC ∽△ AOD，然后利用相似比计算出OB 的长，进一步计算出AB 即可得解.
方法点拨
本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影.
知2－练
解：易知AD ∥ EG，∴∠ ADO= ∠ EGF.
∵ AO ⊥ OD，EF ⊥ FG，∴∠ AOD= ∠ EFG=90°，
∴△ AOD ∽△ EFG.
∴=. ∴ AO= ==15(米).
知2－练
同理，△ BOC ∽△ AOD. ∴= .
∴ BO= ==12(米).
∴ AB=OA－OB=15－12=3(米).
∴旗杆的高AB 为3 米.
知识点
中心投影
知3－讲
3
1. 中心投影的定义 由一点(点光源)发出的光线所形成的投影叫做中心投影. 如物体在灯泡发出的光照射下形成的影子就是中心投影.
特别提醒：中心投影的光源是点光源，它的光线相交于一点，常见的点光源有手电筒、路灯、台灯等.
知3－讲
2. 中心投影的性质
(1)等高的物体垂直于地面放置时，如图25.1-3，在灯光下，(水平方向)离点光源近的物体的影子短，离点光源远的物体的影子长.
知3－讲
(2)等长的物体平行于地面放置时，如图
25.1-4，一般情况下，(竖直方向)离点
光源越近，影子越长；离点光源越远，
影子越短，但不会比物体本身的长度短.
(3)在中心投影的情况下，点光源、物体边缘的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上.
知3－讲
3. 中心投影点光源的确定方法 形成中心投影的光线是不平行的，即光线是相交的，分别过两个物体的顶端及其影子的顶端作一条直线，这两条直线的交点即为点光源的位置.
知3－讲
示图
中心投影示意图如图25.1-5所示.
知3－练
[月考·滁州] 圆桌面(桌面中间有一个直径为0.4 m 的圆洞)正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射平行于地面的桌面后，在地面上形成如图25.1-6 所示的圆环形阴影．
例 3
知3－练
已知桌面直径为1.2 m，桌面离地面1 m，若灯泡离地面3 m，则地面圆环形阴影的面积是( )
A. 0.324π m2 B. 0.288π m2
C. 1.08π m2 D. 0.72π m2
知3－练
解题秘方：本题考查的是相似三角形的应用以及中心投影，利用相似三角形的对应边成比例得出阴影部分内、外边缘的半径是解题关键．
解法提醒
先根据AC ⊥ OB，BD ⊥ OB 可得出AC ∥ BD，进一步得出△ AOC ∽ △ BOD， 由相似三角形的对应边成比例可求出BD 的长，同理得出BD′的长，再由圆环的面积公式求解即可．
知3－练
解：如图25.1-7，∵ AC ⊥ OB，BD ⊥ OB，
∴ AC ∥ BD.∴△ AOC ∽△ BOD.
∴= ，即= .
解得BD=0.9 m.同理可得，BD'=0.3 m，
∴ S 圆环形阴影=0.92 π－0.32π=0.72π(m2)．
答案：D
知识点
正投影
知4－讲
4
1. 正投影的定义 在平行投影中，如果投射线垂直于投影面，那么这种投影称为正投影.
示图(如图25.1-8)：
知4－讲
活用巧记
投射线垂直于投影面，
所得投影正投影；
物体平行投影面，
投影原图是全等；
物体倾斜投影面，
形状大小都会变；
物体垂直投影面，
投影就是点线面.
知4－讲
2. 正投影与平行投影、中心投影的关系
（1）正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投影；
（2）正投影限制的是光线与投影面之间的关系，与物体的位置无关；
（3）物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，它分为物体与投影面平行、倾斜、垂直三种情况.
知4－讲
3. 线段、平面图形、几何体的正投影
线段的正投影 平面图形的正投影 几何体的正投影
规 律 平行长不变，倾斜长缩短，垂直成一点 平行形不变，倾斜形改变，垂直成 线段 一般地，一个几何体在一个平面上的正投影是一个平面图形
图 示
知4－讲
4. 一个几何体在一个平面上的正投影叫做这个几何体的视图.
知4－讲
特别提醒
一般地，一个立体图形在一个平面上的正投影是一个平面图形，同时，立体图形的正投影可以归结为点、线段及平面图形的正投影.
知4－练
把一个圆柱如图25.1-9 摆放，当投射线由正前方射到
正后方时，它的正投影是( )
例4
知4－练
解题秘方：紧扣“几何体的正投影”的特征进行识别.
警示误区
立体图形的放置情况多种多样，故其正投影要视放置情况而定.
知4－练
解：把一个圆柱如图25.1-9 摆放，根据正投影的性质，知当投射线由正前方射到正后方时，其正投影是矩形，且宽等于圆柱底面的直径的长，长等于圆柱的高.
答案：A
知4－练
如图25.1-10，棱长为 的正方体的侧棱与平面H 平行， 其上、下底面的对角线AC，A1C1 与平面H 垂直.
例 5
知4－练
特别提醒
物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，画一般立体图形的正投影的关键是找出平行于投影面的立体图形的最大截面.
知4－练
解题秘方：利用“过关键点的投射线”作正投影；
(1)作出正方体在平面H 上的正投影；
解：正方体在平面H 上的正投影如图25.1-11 所示，
为矩形MNPQ.
知4－练
如图25.1-11，棱AA1在投影面上的正投影应为EF这条线段.因为棱AA1能够被看到，所以它的正投影应画成实线，不要画成虚线或漏画.
知4－练
解题秘方：紧扣“正投影的线段长等于对应的立体图形的两点间的距离”进行计算.
(2)计算正投影的面积.
解：∵正方体的棱长为，
∴对角线BD= ()2+ ()2 =2.
由正投影的性质知，MQ=BD=2，MN=BB1= ，
∴正投影MNPQ 的面积为2× =2 .
投影
物体的
投影
投射线
的特征
平行投影
中心投影
正投影
投射线垂直
于投影面
