(共32张PPT)
概率的计算
26.2.1
第26章 概率初步
D
1
2
3
4
5
6
7
8
答 案 呈 现
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A
D
9
10
11
D
A
9
1
【点拨】
甲、乙、丙3人随机坐到这3个座位上，则甲和乙相邻是必然事件，故甲和乙相邻的概率为1.
【答案】D
2
下列说法正确的是( )
A．“打开电视机，正在播放《新闻联播》”是必然事件
B．“明天下雨概率为0.5”，是指明天有一半的时间可能下雨
C．一组数据“6，6，7，7，8”的中位数是7，众数也是7
D．甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是s2甲＝0.2，s2乙＝0.4，则甲的成绩更稳定
【点拨】
利用随机事件的定义、概率的意义、中位数及众数的定义、方差的意义对各选项逐一判断．
【答案】D
3
【点拨】
【答案】A
4
剪纸是中国最古老的民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．小文购买了以“剪纸图案”为主题的5张书签，他想送给好朋友小乐一张．
【点拨】
【答案】D
5
老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将6种生活现象制成看上去无差别的卡片(如图)．从中随机抽取一张卡片，抽中生活现象是物理变化的概率是________．
【点拨】
6
[2022·北部湾]如图，一个质地均匀的正五边形转盘，指针的位置固定，当转盘自由转动停止后，观察指针指向区域内的数(若指针正好指向分界线，则重新转一次)，这个数是一个奇数的概率是________．
【点拨】
7
【点拨】
先分别求出圆和正六边形的面积，再求出正六边形的面积是圆面积的几分之几即可．
【答案】A
8
9
【点拨】
9
问题情境：在数学探究活动中，老师给出了如图的图形及下面三个等式：
①AB＝AC；②DB＝DC；③∠BAD＝
∠CAD.若以其中两个等式作为已知
条件，能否得到余下一个等式成立？
解决方案：探究△ABD与△ACD全等．
问题解决：(1)当选择①②作为已知条件时，△ABD与△ACD全等吗？________(填“全等”或“不全等”)，理由是______________________________；
全等
三边对应相等的两个三角形全等
(2)当任意选择两个等式作为已知条件时，列举所有可能的结果，并求△ABD≌△ACD的概率．
10
如图所示，甲、乙两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形(两个转盘除表面数不同外，其他完全相同)，转盘甲上的数分别是－6，－1，8，转盘乙上的数分别是－4，5，7
(规定：指针恰好停留
在分界线上，则重新
转一次)．
(1)转动转盘，转盘甲指针指向正数的概率是____；转盘乙指针指向正数的概率是______．
(2)若同时转动两个转盘，转盘甲指针所指的数记为a，转盘乙指针所指的数记为b，求满足a＋b＜0的概率．
11
某市教育局为了解“双减”政策落实情况，随机抽取几所学校部分初中生进行调查，统计他们平均每天完成作业的时间t(分钟)，并根据调查结果绘制成如下不完整的统计图(如图)：
请根据上图中提供的信息，解答下面的问题：
(1)在调查活动中，教育局采取的调查方式是__________(填写“普查”或“抽样调查”)；
抽样调查
【点拨】
根据题意可知采取的是抽样调查．
(2)教育局抽取的初中生有________名，扇形统计图中m的值是________；
300
【点拨】
教育局抽取的初中生有45÷15%＝300(名)，1－15%－3%－7%－45%＝30%，∴m＝30.
30
(3)已知平均每天完成作业时间在“100≤t＜110”分钟的9名初中生中有5名男生和4名女生，若从这9名学生中随机抽取一名进行访谈，且每一名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到男生的概率是________；
【点拨】
(4)若该市共有初中生10 000名，则平均每天完成作业时间在“70≤t＜80”分钟的初中生约有________名．
【点拨】
平均每天完成作业时间在“70≤t＜80”分钟的初中生约有10 000×30%＝3 000(名)．
3 000(共29张PPT)
用树状图法求概率
26.2.2
第26章 概率初步
C
1
2
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4
5
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7
8
答 案 呈 现
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C
C
9
10
D
C
1
【点拨】
【答案】C
2
【点拨】
【答案】C
3
【点拨】
【答案】C
4
【点拨】
【答案】D
5
中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取两本(先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本)，则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是________．
【点拨】
6
【点拨】
【答案】C
7
如图，这是一个竖直放置的钉板，其中，黑色圆面表示钉板上的钉子，A1，B1，B2，…，D3，D4分别表示相邻两颗钉子之间的空隙，这些空隙大小均相等，
从入口A1处投放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的圆球，圆球下落过程中，总是碰到空隙正下方的钉子，且沿该钉子左右两个相邻空隙继续下落的机会相等，直至圆球落入下面的某个槽内．用画树状图的方法，求圆球落入③号槽内的概率．
8
为弘扬中华优秀传统文化，学校举办“经典诵读”比赛，将比赛内容分为“唐诗”“宋词”“元曲”三类(用A，B，C依次表示这三类比赛内容)．现将正面写有A，B，C的三张完全相同的卡片背面朝上洗匀，由选手抽取卡片确定比赛内容．选手小明先从三张卡片中随机抽取一张，记下字母后放回洗匀，选手小梅再随机抽取一张，记下字母．请用画树状图的方法，求小明和小梅抽到同一类比赛内容的概率．
9
[2023·连云港]如图，有4张分别印有Q版西游图案的卡片：A唐僧、B孙悟空、C猪八戒、D沙悟净．
现将这4张卡片(卡片的形状、大小、质地都相同)放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片，求下列事件发生的概率：
(1)第一次取出的卡片图案为“B孙悟空”的概率为________；
(2)用画树状图的方法，求两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“A唐僧”的概率．
10
[2023·抚顺]为了推进“优秀传统文化进校园”活动，学校准备在七年级成立4个课外活动小组，分别是：A．民族舞蹈组；B．经典诵读组；C．民族乐器组；D．地方戏曲组．为了了解学生最喜欢哪一个活动小组，学校从七年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，每人必须选择且只能选择1个，并将调查结果绘制成如图所示的两幅统计图．
请根据图中提供的信息解答下列问题：
(1)本次调查的学生共有________人；
(2)在扇形统计图中，求D组所对应的扇形圆心角的度数，并补全条形统计图；
100
(3)在重阳节来临之际，学校计划组织学生到敬老院为老人表演节目，准备从这4个小组中随机抽取2个小组汇报演出，请你用画树状图法，求选中的2个小组恰好是C和D小组的概率．(共30张PPT)
用列表法求概率
26.2.3
第26章 概率初步
C
1
2
3
4
5
6
7
8
答 案 呈 现
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B
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10
11
A
D
B
1
【点拨】
【答案】C
2
【点拨】
【答案】B
3
如图，电路图上有A，B，C 3个开关和1个灯泡，闭合开关C或同时闭合开关A，B都可以使小灯泡发亮．任意闭合其中的1个开关，小灯泡发亮的概率是________．
【点拨】
4
【点拨】
列表如下：
晓静 晓君 红 红 黄 黄 黄
红 (红，红) (红，黄) (红，黄) (红，黄)
红 (红，红) (红，黄) (红，黄) (红，黄)
黄 (黄，红) (黄，红) (黄，黄) (黄，黄)
黄 (黄，红) (黄，红) (黄，黄) (黄，黄)
黄 (黄，红) (黄，红) (黄，黄) (黄，黄)
【答案】A
5
【点拨】
先利用表格列出任选两条横线和两条竖线所围成的矩形的所有等可能的情况，再从中找到所选矩形含点A的情况，从而利用概率公式求解．
【答案】D
6
【点拨】
将《在希望的田野上》《我和我的祖国》《十送红军》分别用A，B，C表示．
列表如下：
歌曲 A B C
A (A，B) (A，C)
B (B，A) (B，C)
C (C，A) (C，B)
【答案】B
7
看了《田忌赛马》的故事后，小杨用数学模型来分析：齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马记分如下表，每匹马只赛一场，两数相比，大数为胜，三场两胜则赢．已知齐王的三匹马出场顺序为10，8，6.若田忌的三匹马随机出场，
则田忌能赢得比
赛的概率为
________．
马匹 姓名 下等马 中等马 上等马
齐王 6 8 10
田忌 5 7 9
【点拨】
8
有5张看上去无差别的卡片，正面分别写着1，2，3，4，5，洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取2张，抽取的卡片上的数字恰好是两个连续整数的概率是________.
【点拨】
本题是不放回试验，不可能抽到2张数字相同的卡片，所列表格里要排除掉数字相同的情况．
9
[2022·吉林]长白山国家级自然保护区、松花湖风景区和净月潭国家森林公园是吉林省著名的三个景区．甲、乙两人用抽卡片的方式决定一个自己要去的景区．他们准备了3张不透明的卡片，正面分别写上长白山、松花湖、净月潭．卡片除正面景区名称不同外其余均相同，将3张卡片正面向下洗匀，甲先从中随机抽取一张卡片，记下景区名称后正面向下放回，洗匀后乙再从中随机抽取一张卡片．请用列表的方法求两人都决定去长白山的概率．
【解】由题意列表如下：
甲 乙 长白山 松花湖 净月潭
长白山 (长白山，长白山) (松花湖，长白山) (净月潭，
长白山)
松花湖 (长白山，松花湖) (松花湖，松花湖) (净月潭，松花湖)
净月潭 (长白山，净月潭) (松花湖， 净月潭) (净月潭，
净月潭)
10
[2022·泰州]在泰州举办的江苏省第20届运动会带动了我市的全民体育热．小明去某体育馆锻炼，该体育馆有A，B两个进馆通道和C，D，E三个出馆通道，从进馆通道进馆的可能性相同，从出馆通道出馆的可能性也相同，用列表的方法列出小明一次经过进馆通道与出馆通道的所有等可能的结果，并求出他恰好经过通道A与通道D的概率．
【解】列表如下：
进馆通道 出馆通道 A B
C (A，C) (B，C)
D (A，D) (B，D)
E (A，E) (B，E)
11
在5张相同的小纸条上，分别写有语句：
①函数表达式为y＝x；②函数表达式为y＝x2；③函数的图象关于原点对称；④函数的图象关于y轴对称；⑤函数值y随自变量x的增大而增大．
将这5张小纸条做成5支签，①②放在不透明的盒子A中搅匀，③④⑤放在不透明的盒子B中搅匀．
(1)从盒子A中任意抽出1支签，抽到①的概率是________；
(2)先从盒子A中任意抽出1支签，再从盒子B中任意抽出1支签，求抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的概率．
【解】列表如下：
盒子A 盒子B ① ②
③ ①③ ②③
④ ①④ ②④
⑤ ①⑤ ②⑤(共27张PPT)
游戏的公平性
26.2.4
第26章 概率初步
A
1
2
3
4
5
6
7
8
答 案 呈 现
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不公平
D
9
B
D
1
在如图所示的圆形图案中，黑、白两色的直角三角形都全等．甲、乙两人将它作为一个游戏盘，游戏规则如下：按一定距离向盘中投镖一次(扎不中游戏盘或扎在分界线上则重新投镖)，扎在黑色区域为甲胜，扎在白色区域为乙胜，则这个游戏( )
A．对双方公平 B．对甲有利
C．对乙有利 D．无法确定公平性
【点拨】
由题图知，黑色区域的直角三角形有6个，弓形有3个，白色区域的直角三角形有6个，弓形有3个，所以黑色区域与白色区域的面积相等，所以甲获胜的概率等于乙获胜的概率，所以这个游戏对双方公平，故选A.
【答案】A
2
如图，有7名同学玩扔石子进筐的游戏，图①、图②分别是两种站立方式，关于这两种方式的“公平性”有下列说法，其中正确的是( )
A．两种均公平 B．两种均不公平
C．仅图①公平 D．仅图②公平
D
3
甲、乙两人玩抽扑克牌游戏，游戏规则：从一副去掉“大、小王”的扑克牌中(将A，J，Q，K牌看作数字1，11，12，13)随机抽取一张，若所抽的牌面数字为奇数，则甲获胜；若所抽的牌面数字为偶数，则乙获胜．这个游戏________．(填“公平”或“不公平”)
不公平
【点拨】
因为牌面数字分别为1～13，其中6种是偶数，7种是奇数，所以甲、乙两人获胜的概率不相等．故这个游戏不公平．
4
如图，准备三张纸片，两张纸片上各画一个三角形，另一张纸片上画一个正方形，将这三张纸片放在一个盒子里搅匀．
(1)随机从盒子里抽取一张纸片，纸片上画有一个三角形的概率是多少？
(2)甲、乙两人制定了这样的游戏规则：随机抽取两张纸片，可能拼成一个菱形(取出的是两张画三角形的纸片)，也可能拼成一个房子(取出的是一张画三角形、一张画正方形的纸片)．若拼成一个菱形，则甲赢；若拼成一个房子，则乙赢．你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
5
暑假快到了，父母打算带兄妹俩去某个景点旅游一次，可是哥哥坚持去黄山，妹妹坚持去泰山，争执不下，父母为了公平起见，决定设计一款游戏，哥哥赢了就去黄山，妹妹赢了就去泰山．
下列游戏中，不能选用的是( )
A．掷一枚硬币，正面向上则哥哥赢，反面向上则妹妹赢
B．同时掷两枚硬币，两枚都正面向上则哥哥赢，一正一反向上则妹妹赢
C．掷一枚骰子，向上的一面是奇数则哥哥赢，反之则妹妹赢
D．在不透明的袋子中装有两黑两红四个球，除颜色外，其余均相同，随机模出一个是黑球则哥哥赢，是红球则妹妹赢
B
6
某白袋中有10个球，其中白球x个，绿球2x个，其余为黑球．甲从口袋中任意摸出1个球，若为绿球，则甲获胜；甲摸出的球放回口袋中，摇匀后乙从口袋中摸出1个球，若为黑球，则乙获胜．要使游戏对甲、乙双方公平，则x的值为( )
A．3 B．4 C．1 D．2
【点拨】
由题意知，绿球与黑球的个数相等，都为2x个，列方程可得x＋2x＋2x＝10，解得x＝2.
【答案】D
7
某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘(如图)，并规定：顾客消费300元以上(含300元)，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准九折、八折、七折区域，那么
顾客就可以获得此项优惠；如果指针
恰好在分割线上，那么需重新转动转盘．
(1)某顾客正好消费420元，他转一次转盘，获得九折、八折、七折优惠的概率分别是多少？
(2)某顾客消费中获得了转动一次转盘的机会，实际付费252元，则他消费所购物品的原价应为多少元？
【解】∵300×0.9＝270(元)，270＞252，∴他不是获得九折优惠．∵300×0.8＝240(元)，240＜252，∴他可能获得八折优惠，此时他消费所购物品的原价为252÷0.8＝315(元)．∵300×0.7＝210(元)，210＜252，∴他可能获得七折优惠，此时他消费所购物品的原价为252÷0.7＝360(元)．∴他消费所购物品的原价应为315元或360元．
8
如图，平面内半径分别是1，2，3的三个同心圆形成了A，B，C三个区域，其中B，C两个区域均为圆环．
(1)请分别求出A，B，C三个区域的面积．
【解】根据题意，得SA＝π·12＝π，SB＝π·22－π·12＝3π，SC＝π·32－π·22＝5π，∴A，B，C三个区域的面积分别是π，3π，5π.
(2)甲、乙、丙三人玩投飞镖游戏，游戏规则如下：若飞镖落在A区域，则甲得1分；若飞镖落在B区域，则乙得1分；若飞镖落在C区域，则丙得1分(飞镖落在圆周上或落在最大圆以外区域重新投掷)．请分别计算飞镖落在三个区域的概率，并说明该游戏是否公平．若公平，请说明理由；若不公平，应该如何设定得分规则，使该游戏相对公平？
9
现有除数字外完全相同的10张卡片，上面分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10.小明和小亮两人合作完成一个游戏，规则是小明先随意抽取1张卡片，然后由小亮猜这张卡片上标的数字，如果小亮猜对了，则小亮获胜；如果小亮猜错了，则小明获胜．
(1)这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
(2)下面这几个游戏规则，你认为对双方公平的是哪几个？
①猜奇数还是偶数；②猜不是3的倍数；③猜是3的倍数；④猜大于5的数；⑤猜不大于5的数．
(3)如果你是小亮，为了获胜，你想选择(2)中的哪一个猜法？并说明理由．(共40张PPT)
第26章 概率初步
26.2 等可能情形下的概率计算
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
概率公式
画树状图法
列表法
知识点
概率公式
知1－讲
1
1. 概率公式 一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且这些结果发生的可能性相等，其中使事件A 发生的结果有m(m ≤ n) 种， 那么事件A 发生的概率为P(A)=.
应用该公式时，应先确定出事件的所有等可能的结果数及所关注的结果数.
知1－讲
2. 概率的取值范围 在概率公式中，当A 是必然事件时，m=n，P(A)=1；当A 是不可能事件时，m=0，P(A)=0. 所以有0 ≤ P(A)≤ 1.
一般地， 对任何随机事件A， 它的概率P(A) 满 足
0
3. 枚举法 枚举法是将事件发生的各种结果一一列举出来，再根据概率公式计算概率的方法.
4. 用枚举法求概率的两个前提
(1)所有可能出现的结果是有限个；
(2)每个结果出现的可能性相等.
知1－讲
知1－讲
特别提醒
1. 枚举要有一定的顺序性；
2. 枚举要做到不重复不遗漏.
知1－练
某景区7 月1 日~7 月7 日
一周天气预报如图26.2-1 所示，小丽打算选择这期间的1 天或2 天去该景区旅游，求下列事件的概率：
例 1
知1－练
解题秘方：按照一定顺序不重不漏地列举出所有等可能的结果.
解法提醒
利用概率公式计算某个事件发生的概率时，注意找全所有可能出现的结果数作为分母.在判断某个事件A可能出现的结果数时，要审查关于事件A的说法.
知1－练
特别提醒
在判断某个事件A可能出现的结果数时，要弄清楚事件A的具体意思，如本题第(2)问中要求的是“随机选择连续的2 天，恰好天气预报都是晴”的概率，注意选择的是连续的2天而不是任意2 天.
知1－练
(1)随机选择1 天，恰好天气预报是晴；
解：∵在这7 天中，天气预报是晴的有4 天，
∴ P(随机选择1 天，恰好天气预报是晴)= .
知1－练
(2)随机选择连续的2天，恰好天气预报都是晴.
解：∵随机选择连续的2 天，天气预报可能出现的结果有6 种：晴晴、晴雨、雨阴、阴晴、晴晴、晴阴，且每种结果出现的可能性相等，天气预报都是晴的结果有2 种，∴P(随机选择连续的2 天，恰好天气预报都是晴)= = .
知识点
画树状图法
知2－讲
2
1. 画树状图法 画树状图法是用树状图的形式反映事件发生的各种结果出现的次数和方式，以及某一事件发生的次数和方式，并求出概率的方法.
知2－讲
2. 画树状图法的应用 当一次试验涉及两个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有等可能的结果，通常采用画树状图法来求事件发生的概率. 用树状图列举出的结果看起来很清楚，当事件要经过多个步骤(三步或三步以上)完成时，用画树状图法求事件的概率更有效.
知2－讲
特别提醒
1. 用画树状图法求事件的概率时，应注意各种结果出现的可能性必须相等.
2. 当试验步骤分为三步或三步以上时，用画树状图法比较方便.
知2－讲
画树状图如图26.2-2 所示.
故共有mnk 种等可能的结果，再计算要求结果发生的概率.
知2－练
[中考·扬州] 某超市为回馈广大消费者，在开业周年
之际举行摸球抽奖活动．摸球规则如下：在一个不透明的口袋中装有1 个白球和2 个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后先从中任意摸出1 个球(不放回)，再从余下的2 个球中任意摸出1 个球．
例2
知2－练
特别提醒
此题考查的是用画树状图法求概率．画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意题中是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为概率等于所求情况数与总情况数之比．
知2－练
(1) 用树状图列出所有等可能出现的结果；
解题秘方：画出树状图即可；
解：记2 个红球分别为红1，红2. 画树状图如图26.2-3：
共有6 种等可能出现的结果.
知2－练
(2)活动设置了一等奖和二等奖两个奖次，一等奖的
获奖率低于二等奖．现规定摸出颜色不同的两球和摸出颜色相同的两球分别对应不同奖次，请写出它们分别对应的奖次，并说明理由．
解题秘方：由树状图可知，摸出颜色不同的两球的结果有4种，摸出颜色相同的两球的结果有2 种，再由概率公式求摸出颜色不同的两球的概率和摸出颜色相同的两球的概率，进而得出结论．
知2－练
解：2摸出颜色不同的两球对应的奖次为二等奖，摸出颜色相同的两球对应的奖次为一等奖. 理由如下：
由树状图可知，摸出颜色不同的两球的结果有4 种，摸出颜色相同的两球的结果有2 种，
∴摸出颜色不同的两球的概率为=，摸出颜色相同
的两球的概率为=.
知2－练
∵一等奖的获奖率低于二等奖，＜，
∴摸出颜色不同的两球对应的奖次为二等奖，摸出颜色相同的两球对应的奖次为一等奖．
知识点
列表法
知3－讲
3
1. 列表法 列表法是用表格的形式反映事件发生的各种结果出现的次数和方式，以及某一事件发生的次数和方式，并求出概率的方法.
知3－讲
2. 列表法的适用条件 当一次试验涉及两个因素(同时进行两种相同的操作或先后进行两次相同的操作，即两步试验)，并且可能出现的等可能结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，常采用列表法.
知3－讲
特别提醒
列表法适用于求两步试验的概率，利用表格的行和列，分别表示出试验涉及的两个因素.
列表法不适用于求三步及三步以上试验的概率.
列表法适用的条件还可以理解为各种结果出现的可能性相等，含有两次操作(如掷一枚骰子两次)或两个条件(如两个转盘)的事件.
知3－讲
3. 列表法的具体步骤
(1)选其中的一次操作(或一个条件)为横行，另一次操作(或另一个条件)为纵列，列出表格；
(2)运用概率公式P(A)= 计算概率.
注意：在运用列表法分析随机事件发生的概率时，顺
序不能混淆，如(1，2)与(2，1)不是相同的事件.
知3－练
小刚和小明两名同学玩一种游戏，游戏规则：两
人各执象、虎、鼠三张牌，同时随机各出一张牌定胜负，其中象胜虎、虎胜鼠、鼠胜象，若两人所出的牌相同，则为平局. 例如，小刚出“象”牌，小明出“虎”牌，则小刚胜；两人同时出“象”牌，则两人平局.
例 3
知3－练
解题秘方：抓住小明、小刚同时进行两种相同的操作的情况列表，利用公式求概率.
解法提醒
用列表法求概率的步骤：
1. 列表，即通过表格计数，确定所有等可能的结果数n 和某一事件发生的结果数m的值；
2. 利用概率公式P(A)=计算出事件的概率.
知3－练
(1)一次出牌小刚出“象”牌的概率是多少？
解：P(一次出牌小刚出“象”牌)=.
知3－练
(2)如果用A，B，C 分别表示小刚的象、虎、鼠三张牌，用A1，B1，C1 分别表示小明的象、虎、鼠三张牌，那么一次出牌小刚胜小明的概率是多少？用列表法加以说明.
知3－练
解：根据题意列表如下：
小刚 结果 小明 A B C
A1 (A，A1) (B，A1) (C，A1)
B1 (A，B1) (B，B1) (C，B1)
C1 (A，C1) (B，C1) (C，C1)
知3－练
由上表可得，小刚和小明出牌的结果共有9 种，它们出现的可能性相等，满足小刚胜小明的结果有( A，B1 ) ，(B，C1)， ( C，A1 ) 3 种. ∴ P (一次出牌小刚胜小明) = =.
知3－练
袋中有大小、质地相同的白球2 个、黑球2 个，每次从袋中任意摸出1 个球.
例4
解题秘方：紧扣“放回”与“不放回”反映在表格中就是舍不舍去表格中一条对角线上的所有结果来求概率.
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特别提醒
对于两次操作事件的概率，如抽牌, 放回和不放回其结果是有区别的,如第一次抽出不放回，则第二次就不能抽出第一次抽出的牌了, 反映在表格上就是去掉表格中一条对角线上的所有结果.
顺序：顺序不同，结果也不同，如(2)中球的顺序为黑、白的概率为，但一黑一白的概率为= .
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(1)从袋中不放回地连续摸2 次球，摸出的2 个球中有1 个白球、1 个黑球的概率是多少？
解：记袋中的4 个球为白1、白2、黑1、黑2.
(1)根据题意列表如下：
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第一次 结果 第二次 白1 白2 黑1 黑2
白1 白2 白1 黑1 白1 黑2 白1
白2 白1 白2 黑1 白2 黑2 白2
黑1 白1 黑1 白2 黑1 黑2 黑1
黑2 白1 黑2 白2 黑2 黑1 黑2
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共有12 种等可能的结果，符合题意的有8 种，
故P(有1 个白球、1 个黑球)= =.
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(2)从袋中有放回地连续摸2 次球，摸出的2 个球的顺序为黑、白的概率是多少？
解：根据题意列表如下：
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第一次 结果 第二次 白1 白2 黑1 黑2
白1 白1 白1 白2 白1 黑1 白1 黑2 白1
白2 白1 白2 白2 白2 黑1 白2 黑2 白2
黑1 白1 黑1 白2 黑1 黑1 黑1 黑2 黑1
黑2 白1 黑2 白2 黑2 黑1 黑2 黑2 黑2
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共有16 种等可能的结果，符合题意的有4 种，
故P(摸出的2 个球的顺序为黑、白)= = .
等可能情形下的概率计算
用列举法求概率
有一定的顺序
枚举法
保证结果不重不漏
适用范围
列表法
涉及两个因素且可能出现的结果较多
适用范围
画树状图法
涉及两个或更多个因素且可能出现的结果较多