(共17张PPT)
频率的稳定性
26.3.1
第26章 概率初步
0.3
1
2
3
4
5
6
答 案 呈 现
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A
B
D
C
1
0.3
某班按课外阅读时间将学生分为3组，第1，2组的频率分别为0.2，0.5，则第3组的频率是________．
【点拨】
因为3组的频率之和为1，所以第3组的频率是1－0.2－0.5＝0.3.
2
小胡将一枚质地均匀的硬币抛掷了10次，正面朝上的情况出现了6次，若用A表示正面朝上这个事件，则事件A发生的( )
A．频率是0.4 B．频率是0.6
C．频率是6 D．频率接近0.6
【点拨】
【答案】B
3
[2022·牡丹江]王老师对本班40名学生的血型作了统计，列出如下的统计表，则本班A型血的人数是( )
A．16人 B．14人 C．4人 D．6人
组别 A型 B型 AB型 O型
频率 0.4 0.35 0.1 0.15
【点拨】
本班A型血的人数为40×0.4＝16(人)．
【答案】A
4
[2023·泰州]在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f，该事件的概率为P，下列说法正确的是( )
A．试验次数越多，f越大
B．f与P都可能发生变化
C．试验次数越多，f越接近于P
D．当试验次数很大时，f在P附近摆动，并趋于稳定
D
5
[2023·恩施州]县林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示：
根据表中的信息，估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为(精确到0.1)( )
A．0.905 B．0.90 C．0.9 D．0.8
【点拨】
由表格数据可得，随着样本数量不断增加，银杏树苗移植成活的频率稳定在0.9左右，故估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为0.9.故选C.
【答案】C
6
[2022·温州]为了解某校400名学生在校午餐所需的时间，抽查了20名学生在校午餐所花的时间，由图示分组信息得A，C，B，B，C，C，C，A，B，C，C，C，D，B，C，C，C，E，C，C．
分组信息
A组：5＜x≤10
B组：10＜x≤15
C组：15＜x≤20
D组：20＜x≤25
E组：25＜x≤30
注：x(分钟)为午餐时间！
(1)请填写频数表(如下表)，并估计这400名学生午餐所花时间在C组的人数．
某校被抽查的20名学生在校午餐所花时间的频数表
组别 划记 频数
A 2
B 4
C ______ ______
D ______ ______
E ______ ______
合计 20
【解】频数表填写如下．
组别 划记 频数
A 2
B 4
C 12
D 1
E 1
合计 20
(2)在既考虑学生午餐用时需求，又考虑食堂运行效率的情况下，校方准备在15分钟，20分钟，25分钟，30分钟中选择一个作为午餐时间，你认为应选择几分钟为宜？说明理由．
【解】选择25分钟为宜．理由：选择25分钟，有19人能按时完成用餐，占比95%，可以鼓励最后一名同学适当加快用餐速度，有利于食堂提高运行效率．(答案不唯一，合理即可)(共28张PPT)
用频率估计概率
26.3.2
第26章 概率初步
0.93
1
2
3
4
5
6
7
8
答 案 呈 现
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A
B
0.5
①③
B
1
[2023·扬州]某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下：
每批粒数n 发芽的频数m 发芽的频率 (精确到0.001)
2 2 1.000
5 4 0.800
10 9 0.900
50 44 0.880
0.93
这种绿豆发芽的概率的估计值为________(精确到0.01)．
100 92 0.920
500 463 0.926
1 000 928 0.928
1 500 1 398 0.932
2 000 1 866 0.933
3 000 2 794 0.931
【点拨】
根据表中的发芽的频率，随着试验次数的增多，发芽的频率越来越稳定在0.93左右，所以这种绿豆发芽的概率的估计值为0.93.
2
如图①所示，平整的地面上有一个不规则的图案(图中阴影部分)，小明想了解该图案的面积是多少，他采用了以下办法：用一个长为5 m，宽为4 m的长方形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案内
的次数(小球扔在界线上或长方形区域外
不计试验结果)，
他将若干次有效试验的结果绘制成了如图②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为( )
A．6 m2 B．7 m2 C．8 m2 D．9 m2
【点拨】
根据统计图可知小球落在不规则图案内的概率约为0.35，所以估计不规则图案的面积约为5×4×0.35＝7(m2)．
【答案】B
3
在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数最有可能是( )
A．5 B．10 C．12 D．15
【点拨】
【点方法】
【答案】A
4
[2022·桂林]当重复试验次数足够多时，可用频率来估计概率．历史上数学家皮尔逊(Pearson)曾在试验中掷均匀的硬币24 000次，正面朝上的次数是12 012次，频率约为0.5，则掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是______．
0.5
【点拨】
根据大量重复试验中事件发生的频率可以估计出概率．
5
[2023·兰州]某学习小组做拋掷一枚瓶盖的试验，整理的试验数据如表：
累计抛掷次数 盖面朝上次数 盖面朝上频率
50 28 0.560 0
100 54 0.540 0
200 106 0.530 0
300 158 0.526 7
500 264 0.528 0
1 000 527 0.527 0
2 000 1 056 0.528 0
3 000 1 587 0.529 0
5 000 2 650 0.530 0
下面有三个推断：
①通过上述试验的结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的；
②第2 000次试验的结果一定是“盖面朝上”；
③随着试验次数的增多，“盖面朝上”的概率接近0.53.
其中正确的是________．(填序号)
①③
6
圆周率π是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对π有过深入的研究．目前，超级计算机已计算出π的小数部分超过31.4万亿位．有学者发现，随着π小数部分位数的增加，0～9这10个数字出现的频率趋于稳定，接近相同．
(1)从π的小数部分随机取出一个数字，估计数字是6的概率为________；
(2)某校进行校园文化建设，拟从以上4位数学家的画像中随机选用两幅，求其中有一幅是祖冲之的概率．(用画树状图或列表的方法求解)
【解】将祖冲之、刘徽、韦达、欧拉4位数学家的画像分别记作甲、乙、丙、丁，列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 (乙，甲) (丙，甲) (丁，甲)
乙 (甲，乙) (丙，乙) (丁，乙)
丙 (甲，丙) (乙，丙) (丁，丙)
丁 (甲，丁) (乙，丁) (丙，丁)
【点方法】
当一次试验涉及两个因素(同时进行两种相同的操作或先后进行两次相同的操作，即两步试验)，并且出现的等可能结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，常采用列表法．
7
【点拨】
把三部影片分别记为A，B，C，
画树状图如下：
【答案】B
8
一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出1个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复试验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.75左右．
(1)请你估计箱子里白色小球的个数；
(2)现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率．(用画树状图或列表的方法求解)
【解】画树状图如图：(共19张PPT)
第26章 概率初步
26.3 用频率估计概率
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
用频率估计概率
知识点
用频率估计概率
知1－讲
1
1. 用频率估计概率的适用条件 在试验中，当所有可能出现的不同结果不是有限个，或各种不同结果出现的可能性不相等时，我们就要通过大量重复的试验去探究不同结果出现可能性的大小，并用随机事件发生的频率去估计它的概率.
知1－讲
2. 用随机事件的频率估计概率 一般地，在大量重复试验下，随机事件A 发生的频率(这里n 是总试验次数，它必须相当大，m 是在n 次试验中随机事件A 发生的次数)会稳定到某个常数p. 于是，我们用p 这个常数表示随机事件A 发生的概率，即P(A)=p.
3. 频率与概率的区别与联系
区别：频率是试验值或使用时的统计值，与试验人、试验时间、试验地点等有关；概率是理论值，与其他外界因素无关.
联系：试验次数越多，频率越趋向于概率.
知1－讲
知1－讲
特别提醒
试验得出的频率只是概率的估计值.对一个随机事件A，用频率估计的概率P(A)不可能小于0，也不可能大于1.用频率估计概率是针对大量重复试验而言的，大量重复试验反映的规律并非在每一次试验中都发生.
知1－练
关于频率和概率的关系，下列说法正确的是( )
A. 频率等于概率
B. 当试验次数很大时，频率稳定在概率附近
C. 当试验次数很大时，概率稳定在频率附近
D. 试验得到的频率与概率不可能相同
例 1
知1－练
解题秘方：紧扣频率与概率的定义解答.
要点提醒
频率是通过试验得到的一个数据结果，因试验次数的不同而有所改变，是一个实际的具体值.概率是一个事件发生的可能性大小的理论值，它不因试验次数的改变而改变，是一个常数.
知1－练
解：A. 频率只能估计概率；B. 正确；C. 概率是定值；D. 抛硬币试验，可能得到正面向上的频率为0.5，与概率相同．
答案：B
知1－练
商场举办一次迎元旦抽大奖的酬宾活动，在两个不透明的箱子里分别放入红球1 个，黄球2 个，蓝球3 个，由顾客分别从两个箱子里随机摸出一个球，若两个球颜色相同，即可获得奖品.
例2
知1－练
解法提醒
用频率估计概率的方法：
对于一个随机事件，当试验的所有可能的结果不是有限个，或各种可能发生的结果的可能性不相等时，可以用大量重复试验得出的频率来估计事件发生的概率.求出每次试验结果的频率，随着试验次数的增加，表示频率的数据集中指向的那个数值就是事件发生的概率的估计值.
知1－练
(1)请用画树状图法或列表法求出顾客摸取一次获得奖品的概率；
解题秘方：画树状图或列表表示所有等可能的结果，从中找出符合条件的结果，然后利用概率公式计算即可；
知1－练
解：画树状图如图26.3-1，共有36 种等可能的结果，其中分别从两个箱子里随机摸出一个球，两个球颜色相同的结果共有1+2+2+3+3+3=14(种)，故摸取一次获得奖品的概率为=.
知1－练
(2)为了增强活动的趣味性，商场在两个箱子里分别放入同样多的白球若干，小明对顾客摸取的结果中出现中奖(两个球颜色相同)的次数做了大量的统计，统计数据如下表：
摸取球的次数 30 50 100 150 200 250 300 400
出现中奖的次数 8 14 27 45 58 70 90 120
出现中奖的频率 0.27 0.28 0.27 0.30 0.29 0.28 0.30 0.30
知1－练
如果继续进行下去，根据上表数据，出现中奖的频率将
稳定在它的概率附近，试估计摸取一次中奖的概率(精确到0.1)；
解题秘方：用频率估计概率，在大量重复试验下，使频率稳定到某个固定值即可；
知1－练
解：由表可知，随着摸取次数的增加，出现中奖的频率稳定在0.30 附近，∴估计摸取一次中奖的概率为0.3.
知1－练
(3)设商场在两个箱子里分别放入白球x 个，根据(2)求出x 的值.
解题秘方：利用添加球，求出所有等可能的结果，找出满足条件的结果，然后利用概率公式列出方程求解即可.
知1－练
解：从两个箱子中各取一个球，所有等可能的
结果有(x+6)2 种，其中两个小球颜色相同的结果有
(x2+14)种，∴=0.3. 整理，得7x2－36x+32=0. 因式分解，得(7x－8 )(x－4)=0，解得x1=4，x2=. 经检验，都是分式方程的根，但x2=不合题意，舍去.
∴ x 的值为4.
用频率估计概率
随机事件
计算评判
事件发生的概率
事件发生
的频率
估计
大量试验(共19张PPT)
第26章 概率初步
26.4 综合与实践 概率在遗传学中的应用
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
遗传中的显性性状与隐性性状
几何概率(拓展点)
知识点
遗传中的显性性状与隐性性状
知1－讲
1
显性性状与隐性性状 生物的形态、结构和生理等特征统称为性状，同种生物同一性状的不同表现形式叫做相对性状；生物的某些性状是由一对基因(遗传因子)控制的，而成对的基因往往有显性和隐性之分. 一般地，子一代表现出来的性状称为显性性状，没有表现出来的性状称为隐性性状.
知1－讲
知识拓展
孟德尔认为，生物的遗传性状是由成对基因(遗传因子)决定的，其中控制显性性状的为显性基因(一般用大写英文字母表示)；控制隐性性状的为隐性基因(一般用小写英文字母表示).
知1－练
遗传学家孟德尔的豌豆杂交试验是经典的遗传学试验，如图26.4-1 所示的是他的试验之一，请填空.
例 1
知1－练
解题秘方：利用树状图分析子一代、子二代的结果，结合概率说明遗传现象.
特别提醒
解答此类题目的关键是理解基因的显性性状与隐性性状以及基因在亲子间的遗传特征.
知1－练
(1)孟德尔选用纯种高茎豌豆和纯种矮茎豌豆杂交，所得子一代的性状表现为高茎豌豆，基因组成是______.
(2)子一代自交得到子二代， 子二代的基因组成有______种，植株表现型有高茎和矮茎，高茎豌豆和矮茎豌豆数量的比例约为______.
Dd
3
3∶1
知1－练
解：高茎豌豆和矮茎豌豆杂交，子一代中只出现了高茎豌豆，说明豌豆的高茎是显性性状. 隐性基因习惯用小写英文字母表示，对应的显性基因则以相应的大写英文字母表示，矮茎豌豆的基因组成是dd，亲代高茎豌豆的基因组成是DD，子一代高茎豌豆的基因组成是Dd.
知1－练
子一代高茎豌豆Dd 自交得到子二代，子二代的基因组成有3 种，植株表现型有高茎和矮茎，高茎豌豆和矮茎豌豆数量的比约为3 ∶ 1，如图26.4-2 所示.
类似于树状图.
知识点
几何概率(拓展点)
知2－讲
2
几何图形中的概率
设每个结果是一个点，所有结果的点组成的几何图形的面积为S，其中组成事件A 的结果是几何图形的部分区域，其面积为S′，由于对这个几何图形内的每个点，事件发生的可能性是相等的，因此我们可以得到事件A 发生的概率P(A)= .
知2－讲
特别提醒
当几何图形内各个区域的面积都相等时，则面积比可转化为份数比.
知2－练
如图26.4-3，一个质地均匀的正五边形转盘，指针的位置固定，当转盘自由转动停止后，观察指针指向的区域内的数(若指针正好指向分界线，则重新转一次)，这个数是一个奇数的概率是_______.
例2
知2－练
解题秘方：根据题意可写出所有的结果数，然后再写出其中指向的区域内的数是一个奇数的结果数，由转盘特点知各个结果发生的可能性相同，从而可以计算出指向的区域内的数是一个奇数的概率．
解法提醒
只要事件的各种结果出现的可能性相等，且所有可能出现的结果数有限， 都可用P(A)=求事件的概率.
知2－练
解：由图可知，指针指向的区域内的数有5 种结果，其中指向的区域内的数是奇数的结果有3 种，由转盘为质地均匀的正五边形可知，各个结果发生的可能性相同，∴这个数是一个奇数的概率是.
知2－练
[中考·烟台] 如图26.4-4，在正方形中，阴影部分是以正方形的顶点及其对称中心为圆心，以正方形边长的一半为半径作弧形成的封闭图形．
例 3
知2－练
将一个小球在该正方形内自由滚动，小球随机地停在正方形内的某一点上．若小球停在阴影部分的概率为P1，停在空白部分的概率为P2，则P1 与P2 的大小关系为( )
A. P1 ＜ P2 B. P1=P2
C. P1 ＞ P2 D. 无法判断
知2－练
解题秘方：明确“阴影部分的面积是正方形面积的一半”是解题的关键．
特别提醒
当事件出现的可能结果不能用数量来表示时, 往往采用P(A)= 来计算事件A发生的概率.
知2－练
解：如图26.4-5，连接AE，BD，交于点O，
由题意得A，B，E，D 分别是正方形四条边的中点，
∴点O 为正方形的对称中心，∴ S 四边形AOBF=
S 四边形AODC，根据题意得S 扇形OAB=S 扇形CAD，
∴ S 四边形AOBF－6S 扇形OAB=S 四边形AODC－S 扇形CAD，
同理易求得阴影部分的面积等于空白部分的面积.
∴ P1=P2．
答案：B
综合与实践 概率在遗传学中的应用
学科内
综合
概率
几何概率
学科
渗透
解释遗传现象
