吉林省长春市朝阳区2023-2024学年高一下学期期初考试数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024高一下·朝阳开学考）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高一下·朝阳开学考）“”是“”的什么条件（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2024高一下·朝阳开学考）某公司每个月的利润（单位：万元）关于月份的关系式为，则该公司12个月中，利润大于100万元的月份共有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
4．（2019高二上·上海月考）若 ，则函数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高一下·朝阳开学考）已知函数，则=（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
6．（2024高一下·朝阳开学考）已知函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是（ ）
A．（0，1） B．（0， C．[，） D．（，）
7．（2024高一下·朝阳开学考）定义两种运算：，，则函数为（ ）
A．奇函数 B．偶函数
C．奇函数且为偶函数 D．非奇非偶函数
8．（2019高一上·大庆月考）若函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（2024高一下·朝阳开学考）下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022高一上·新化期末）下列结论正确的是（ ）
A．是第三象限角
B．若角的终边过点，则
C．若角为锐角，那么是第一或第二象限角
D．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为
11．（2024高一下·朝阳开学考）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最不可能的三个值是（ ）
（参考数据：lg3≈0.48）
A．1033 B．1053 C．1073 D．1093
12．（2022·莆田模拟）已知定义在上的函数（ ）
A．若恰有两个零点，则的取值范围是
B．若恰有两个零点，则的取值范围是
C．若的最大值为，则的取值个数最多为2
D．若的最大值为，则的取值个数最多为3
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（2024高一下·朝阳开学考）命题，的否定是 ．
14．（2021高一下·昌平期末）函数 的定义域是 .
15．（2024高一下·朝阳开学考）若，则 ．
16．（2024高一下·朝阳开学考）若是三角形的一个内角，且函数对任意实数均取正值，那么所在区间是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2024高一下·朝阳开学考） 求下列各式的值
（1）；
（2）．
18．（2024高一下·朝阳开学考） 已知，且，求下列各式的值．
（1）
（2）
19．（2024高一下·朝阳开学考） 已知函数是上的奇函数，当时，
（1）求的解析式；
（2）用定义证明：函数在为减函数．
20．（2024高一下·朝阳开学考） 已知函数（且）在上的最大值与最小值之差为
（1）求实数的值；
（2）若，当时，解不等式．
21．（2024高一下·朝阳开学考） 已知函数
（1）求的单调递增区间及最小正周期；
（2）若，且，求．
22．（2024高一下·朝阳开学考） 已知是偶函数
（1）求的值；
（2）已知不等式对恒成立，求实数的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】并集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】解：因为集合，所以，
又因为集合，所以.
故答案为：C.
【分析】根据补集的定义先求，再根据集合的并集运算求解即可.
2．【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：“”，当时，不能推出“”，故充分性不成立；
若，则由“”不能推出“”，故必要性不成立；
所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
故答案为：D.
【分析】根据充分条件与必要条件的定义判断即可.
3．【答案】C
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：由题意，可知，解得或，
故、、、、、，共个月利润大于100万元.
故答案为：C.
【分析】由题意，先解关于的一元二次不等式，再根据的取值确定即可.
4．【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】∵ ，∴ （当且仅当 时，即 时，取“=”），所以函数 的最小值为。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件借助均值不等式变形求出函数 的最小值。
5．【答案】B
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：因为，所以.
故答案为：B.
【分析】根据分段函数的解析式，代入求值即可.
6．【答案】C
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：由题意可知，解得.
故答案为：C.
【分析】根据分段函数的单调性列不等式组求解即可，注意分界处函数值比较大小.
7．【答案】A
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：根据新定义的运算可得：，
由，解得，且，
所以函数的定义域为，定义域关于原点对称，
且满足，所以函数是奇函数.
故答案为：A.
【分析】根据定义的新运算求得，再根据函数的奇偶性定义判断即可.
8．【答案】C
【知识点】复合函数的单调性
【解析】【解答】设g（x）＝x2﹣ax+1，
则要使f（x）＝ln（x2﹣ax+1）在区间（2，+∞）上单调递增，
由复合函数单调性可得：
满足 ，即 ，
得a ，
即实数a的取值范围是 ，
故答案为：C．
【分析】根据复合函数单调性之间的关系进行求解即可.
9．【答案】C,D
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：A、函数是奇函数，但在上单调递减，故A不符；
B、函数是偶函数，故B不符；
C、函数是奇函数且在上单调递增，故C符合；
D、函数是奇函数且在上单调递增，故D符合.
故答案为：CD．
【分析】根据反比例函数及三角函数的奇偶性以及单调性逐项判断即可.
10．【答案】B,D
【知识点】象限角、轴线角；扇形的弧长与面积；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】对于A选项，，因为为第四象限角，故是第四象限角，A不符合题意；
对于B选项，若角的终边过点，则，B对；
对于C选项，当，则既不是第一象限角，也不是第二象限角，C不符合题意；
对于D选项，若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的半径为，
因此，该扇形的面积为，D对.
故答案为：BD.
【分析】利用已知条件结合象限角的判断方法、三角函数的定义、不等式的基本性质、扇形的面积公式，进而找出结论正确的选项。
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：设 ，两边同时取对数可得：，解得，
故最接近.
故答案为：D.
【分析】根据题意，设，两边同时取对数，根据对数函数的运算性质求解即可判断.
12．【答案】A,C
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；函数零点存在定理
【解析】【解答】令，
若恰有两个零点，则有：，
解得的取值范围是：，
若的最大值为，分两种情况讨论：
①当，即时，根据正弦函数的单调性可知，，
解得：
②当，即时，根据正弦函数的单调性可知，在上单调递增
则有：，
结合函数与在上的图象可知，如下图：
故存在唯一的，使得，
综上可知，若的最大值为，则的取值个数最多为2。
故答案为：AC
【分析】令，若恰有两个零点结合零点存在性定理，得出实数的取值范围，若的最大值为，再利用分类讨论的方法，①当，得出时，再根据正弦函数的单调性求出函数的最大值，进而求出的值；②当，得出时，再根据正弦函数的单调性可知函数在上的单调性，进而求出函数得知最大值，即，再结合函数与在上的图象可知，得出存在唯一的，使得，进而得出若的最大值为时的实数的取值最多的个数，从而找出正确的选项。
13．【答案】
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题的否定为.
故答案为：.
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题直接写出答案即可.
14．【答案】
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】函数 的定义域为：
即：函数 的定义域为：
故答案为：
【分析】 根据正弦函数的定义域，构造关于x的不等式，解不等式，求出自变量x的取值范围，即可得到函数的定义域.
15．【答案】
【知识点】诱导公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故答案为：.
【分析】利用诱导公式化简求值即可.
16．【答案】
【知识点】二次函数与一元二次不等式的对应关系；三角函数值的符号
【解析】【解答】解：①时，，则函数开口向下，不满足对任意实数均取正值，故舍去；
②时，，则函数为，不满足对任意实数均取正值，故舍去；
③时，，要使函数对任意实数均取正值 ，
则需满足，
所以，
所以，
所以，
所以或，又因为，所以.
故答案为：.
【分析】根据题意，分，和对二次函数系数讨论，确定二次函数开口向上，即可满足条件.
17．【答案】（1）解：原式＝=
==
（2）解：原式＝＝＝
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【分析】（1）根据指数幂的运算性质求解即可；
（2）根据对数函数的运算性质求解即可.
18．【答案】（1）解：因为且，
所以sin α＝－，则tan α＝－2.
＝0；
（2）解：＝＝－tan α＝2.
【知识点】同角三角函数间的基本关系；诱导公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）由题意，根据同角三角函数的关系可得，再根据商数关系化简求值即可.
（2）利用诱导公式化简求值即可.
19．【答案】（1）解：令则，
因为函数是上的奇函数，所以
因为函数是上的奇函数，所以所以
（2）证明：设，为区间上的任意两个值，且
因为所以，，
，
所以函数在为减函数.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）由已知条件，根据函数奇偶性的定义求解析式即可；
（2）利用函数单调性的定义证明即可.
20．【答案】（1）解：当时，，，则，解得
当时，，，则，解得
综上得：或
（2）解：当时，由（Ⅰ）知，为奇函数且在上是增函数
∴ 或
所以，不等式的解集为.
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；指数函数的图象与性质；指数函数的单调性与特殊点；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）分和，利用函数的单调性，求函数的最值，结合已知条件即可求得实数a的值；
（2）由（1）的结论确定函数的解析式，再根据函数的单调性和奇偶性列不等式求解即可.
21．【答案】（1）解：
，
令，得，
所以函数的单调递增区间为，函数的周期为.
（2）解：，且，，即，因为，
所以，故
【知识点】三角函数的化简求值；两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）利用两角差的正弦公式以及余弦的二倍角公式化简函数，再根据三角函数的性质求解即可；
（2）根据（1）的结果，以及，求得，再根据角的变换求的值即可.
22．【答案】（1）解：，，即，
所以对恒成立，所以.
（2）解：由题意得对恒成立，
因为单调递增，所以对恒成立，即对恒成立，
因为，当且仅当，即时等号成立，所以，
又因为，所以，即的取值范围是.
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则；基本不等式
【解析】【分析】（1）根据偶函数定义列等式，再利用对数性质以及指数性质化简即可得的值；
（2）先根据函数单调性化简不等式为，再分离参数得，最后根据基本不等式求的最小值，即可得实数的取值范围.
1 / 1吉林省长春市朝阳区2023-2024学年高一下学期期初考试数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024高一下·朝阳开学考）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】并集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】解：因为集合，所以，
又因为集合，所以.
故答案为：C.
【分析】根据补集的定义先求，再根据集合的并集运算求解即可.
2．（2024高一下·朝阳开学考）“”是“”的什么条件（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：“”，当时，不能推出“”，故充分性不成立；
若，则由“”不能推出“”，故必要性不成立；
所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
故答案为：D.
【分析】根据充分条件与必要条件的定义判断即可.
3．（2024高一下·朝阳开学考）某公司每个月的利润（单位：万元）关于月份的关系式为，则该公司12个月中，利润大于100万元的月份共有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】C
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：由题意，可知，解得或，
故、、、、、，共个月利润大于100万元.
故答案为：C.
【分析】由题意，先解关于的一元二次不等式，再根据的取值确定即可.
4．（2019高二上·上海月考）若 ，则函数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】∵ ，∴ （当且仅当 时，即 时，取“=”），所以函数 的最小值为。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件借助均值不等式变形求出函数 的最小值。
5．（2024高一下·朝阳开学考）已知函数，则=（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】B
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：因为，所以.
故答案为：B.
【分析】根据分段函数的解析式，代入求值即可.
6．（2024高一下·朝阳开学考）已知函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是（ ）
A．（0，1） B．（0， C．[，） D．（，）
【答案】C
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：由题意可知，解得.
故答案为：C.
【分析】根据分段函数的单调性列不等式组求解即可，注意分界处函数值比较大小.
7．（2024高一下·朝阳开学考）定义两种运算：，，则函数为（ ）
A．奇函数 B．偶函数
C．奇函数且为偶函数 D．非奇非偶函数
【答案】A
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：根据新定义的运算可得：，
由，解得，且，
所以函数的定义域为，定义域关于原点对称，
且满足，所以函数是奇函数.
故答案为：A.
【分析】根据定义的新运算求得，再根据函数的奇偶性定义判断即可.
8．（2019高一上·大庆月考）若函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】复合函数的单调性
【解析】【解答】设g（x）＝x2﹣ax+1，
则要使f（x）＝ln（x2﹣ax+1）在区间（2，+∞）上单调递增，
由复合函数单调性可得：
满足 ，即 ，
得a ，
即实数a的取值范围是 ，
故答案为：C．
【分析】根据复合函数单调性之间的关系进行求解即可.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（2024高一下·朝阳开学考）下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C,D
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：A、函数是奇函数，但在上单调递减，故A不符；
B、函数是偶函数，故B不符；
C、函数是奇函数且在上单调递增，故C符合；
D、函数是奇函数且在上单调递增，故D符合.
故答案为：CD．
【分析】根据反比例函数及三角函数的奇偶性以及单调性逐项判断即可.
10．（2022高一上·新化期末）下列结论正确的是（ ）
A．是第三象限角
B．若角的终边过点，则
C．若角为锐角，那么是第一或第二象限角
D．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为
【答案】B,D
【知识点】象限角、轴线角；扇形的弧长与面积；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】对于A选项，，因为为第四象限角，故是第四象限角，A不符合题意；
对于B选项，若角的终边过点，则，B对；
对于C选项，当，则既不是第一象限角，也不是第二象限角，C不符合题意；
对于D选项，若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的半径为，
因此，该扇形的面积为，D对.
故答案为：BD.
【分析】利用已知条件结合象限角的判断方法、三角函数的定义、不等式的基本性质、扇形的面积公式，进而找出结论正确的选项。
11．（2024高一下·朝阳开学考）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最不可能的三个值是（ ）
（参考数据：lg3≈0.48）
A．1033 B．1053 C．1073 D．1093
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：设 ，两边同时取对数可得：，解得，
故最接近.
故答案为：D.
【分析】根据题意，设，两边同时取对数，根据对数函数的运算性质求解即可判断.
12．（2022·莆田模拟）已知定义在上的函数（ ）
A．若恰有两个零点，则的取值范围是
B．若恰有两个零点，则的取值范围是
C．若的最大值为，则的取值个数最多为2
D．若的最大值为，则的取值个数最多为3
【答案】A,C
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；函数零点存在定理
【解析】【解答】令，
若恰有两个零点，则有：，
解得的取值范围是：，
若的最大值为，分两种情况讨论：
①当，即时，根据正弦函数的单调性可知，，
解得：
②当，即时，根据正弦函数的单调性可知，在上单调递增
则有：，
结合函数与在上的图象可知，如下图：
故存在唯一的，使得，
综上可知，若的最大值为，则的取值个数最多为2。
故答案为：AC
【分析】令，若恰有两个零点结合零点存在性定理，得出实数的取值范围，若的最大值为，再利用分类讨论的方法，①当，得出时，再根据正弦函数的单调性求出函数的最大值，进而求出的值；②当，得出时，再根据正弦函数的单调性可知函数在上的单调性，进而求出函数得知最大值，即，再结合函数与在上的图象可知，得出存在唯一的，使得，进而得出若的最大值为时的实数的取值最多的个数，从而找出正确的选项。
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（2024高一下·朝阳开学考）命题，的否定是 ．
【答案】
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题的否定为.
故答案为：.
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题直接写出答案即可.
14．（2021高一下·昌平期末）函数 的定义域是 .
【答案】
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】函数 的定义域为：
即：函数 的定义域为：
故答案为：
【分析】 根据正弦函数的定义域，构造关于x的不等式，解不等式，求出自变量x的取值范围，即可得到函数的定义域.
15．（2024高一下·朝阳开学考）若，则 ．
【答案】
【知识点】诱导公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故答案为：.
【分析】利用诱导公式化简求值即可.
16．（2024高一下·朝阳开学考）若是三角形的一个内角，且函数对任意实数均取正值，那么所在区间是 ．
【答案】
【知识点】二次函数与一元二次不等式的对应关系；三角函数值的符号
【解析】【解答】解：①时，，则函数开口向下，不满足对任意实数均取正值，故舍去；
②时，，则函数为，不满足对任意实数均取正值，故舍去；
③时，，要使函数对任意实数均取正值 ，
则需满足，
所以，
所以，
所以，
所以或，又因为，所以.
故答案为：.
【分析】根据题意，分，和对二次函数系数讨论，确定二次函数开口向上，即可满足条件.
四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2024高一下·朝阳开学考） 求下列各式的值
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式＝=
==
（2）解：原式＝＝＝
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【分析】（1）根据指数幂的运算性质求解即可；
（2）根据对数函数的运算性质求解即可.
18．（2024高一下·朝阳开学考） 已知，且，求下列各式的值．
（1）
（2）
【答案】（1）解：因为且，
所以sin α＝－，则tan α＝－2.
＝0；
（2）解：＝＝－tan α＝2.
【知识点】同角三角函数间的基本关系；诱导公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）由题意，根据同角三角函数的关系可得，再根据商数关系化简求值即可.
（2）利用诱导公式化简求值即可.
19．（2024高一下·朝阳开学考） 已知函数是上的奇函数，当时，
（1）求的解析式；
（2）用定义证明：函数在为减函数．
【答案】（1）解：令则，
因为函数是上的奇函数，所以
因为函数是上的奇函数，所以所以
（2）证明：设，为区间上的任意两个值，且
因为所以，，
，
所以函数在为减函数.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）由已知条件，根据函数奇偶性的定义求解析式即可；
（2）利用函数单调性的定义证明即可.
20．（2024高一下·朝阳开学考） 已知函数（且）在上的最大值与最小值之差为
（1）求实数的值；
（2）若，当时，解不等式．
【答案】（1）解：当时，，，则，解得
当时，，，则，解得
综上得：或
（2）解：当时，由（Ⅰ）知，为奇函数且在上是增函数
∴ 或
所以，不等式的解集为.
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；指数函数的图象与性质；指数函数的单调性与特殊点；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）分和，利用函数的单调性，求函数的最值，结合已知条件即可求得实数a的值；
（2）由（1）的结论确定函数的解析式，再根据函数的单调性和奇偶性列不等式求解即可.
21．（2024高一下·朝阳开学考） 已知函数
（1）求的单调递增区间及最小正周期；
（2）若，且，求．
【答案】（1）解：
，
令，得，
所以函数的单调递增区间为，函数的周期为.
（2）解：，且，，即，因为，
所以，故
【知识点】三角函数的化简求值；两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）利用两角差的正弦公式以及余弦的二倍角公式化简函数，再根据三角函数的性质求解即可；
（2）根据（1）的结果，以及，求得，再根据角的变换求的值即可.
22．（2024高一下·朝阳开学考） 已知是偶函数
（1）求的值；
（2）已知不等式对恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：，，即，
所以对恒成立，所以.
（2）解：由题意得对恒成立，
因为单调递增，所以对恒成立，即对恒成立，
因为，当且仅当，即时等号成立，所以，
又因为，所以，即的取值范围是.
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则；基本不等式
【解析】【分析】（1）根据偶函数定义列等式，再利用对数性质以及指数性质化简即可得的值；
（2）先根据函数单调性化简不等式为，再分离参数得，最后根据基本不等式求的最小值，即可得实数的取值范围.
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