【精品解析】四川省仁寿重点学校2023-2024学年高一下学期数学开学考试试卷

文档属性

名称 【精品解析】四川省仁寿重点学校2023-2024学年高一下学期数学开学考试试卷
格式 zip
文件大小 137.3KB
资源类型 试卷
版本资源
科目 数学
更新时间 2024-03-19 20:32:34

文档简介

四川省仁寿重点学校2023-2024学年高一下学期数学开学考试试卷
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2024高一下·仁寿开学考)已知集合,,则(  )
A. B.
C. D.
【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解:因为集合,,
所以.
故答案为:A.
【分析】根据集合的交集运算求解即可.
2.(2019高一上·蕉岭月考)函数 的定义域为(  )
A. B.
C. D.
【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】依题意 ,解得 .
故答案为:D.
【分析】根据分式分母不为零,偶次方根的被开方数为非负数列不等式组,解不等式组求得函数 的定义域.
3.(2024高一下·仁寿开学考)命题“,”的否定是(  )
A., B.,
C., D.,
【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解:命题“,”的否定是“,”.
故答案为:D.
【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题直接判断即可.
4.(2024高一下·仁寿开学考)用二分法求函数在内零点近似值的过程中,得到,则函数的零点落在区间(  )
A. B. C. D.不能确定
【答案】B
【知识点】二分法求函数零点近似值;函数零点存在定理
【解析】【解答】解:易知函数在上单调递增,因为 ,
所以,故存在,使得 .
故答案为:B.
【分析】根据零点存在性定理,结合已知条件判断即可.
5.(2024高一下·仁寿开学考)已知角的终边经过点,,则(  )
A. B. C. D.
【答案】C
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解:,解得,即角的终边过点,
故.
故答案为:C.
【分析】根据三角函数定义求解即可.
6.(2024高一下·仁寿开学考)一种药在病人血液中的量保持在以上,才有疗效;而低于,病人就有危险.现给某病人的静脉注射了这种药,如果药在血液中以每小时的比例衰减,那么距下次注射这种药物最多不能超过(  )小时.(精确到,参考数据:)
A. B. C. D.
【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点;对数的性质与运算法则;换底公式的应用
【解析】【解答】解:设病人距下次注射这种药物最多不能超过小时,
由题意,可得, 整理可得,
则,,
, 解得:, 所以距下次注射这种药物最多不能超过7.0小时.
故答案为:C.
【分析】设病人距下次注射这种药物最多不能超过小时, 根据题意列出不等式,利用指数函数的单调性、换底公式以及对数的运算性质求解即可.
7.(2024高一下·仁寿开学考)已知,,,则(  )
A. B. C. D.
【答案】C
【知识点】利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解:因为函数在上单调递增,所以,即;
因为函数在上也单调递增,所以,即;
,故.
故答案为:C.
【分析】利用对数函数的单调性结合中间值“2”比较的大小,再根据特殊角的三角函数值比较的大小即可.
8.(2024高一下·仁寿开学考)已知函数,若方程有六个相异实根,则实数的取值范围(  )
A. B. C. D.
【答案】B
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解:作出函数的图象,如图所示:
令,由图可知,当时,有3个交点,
所以要使有六个相异实根,则等价于方程有两个根,,
且,,
令(图象如图所示)
则由根的分布可得,即,即,
解得,
故实数的取值范围是.
故答案为:B.
【分析】作出函数,令,数形结合可知当时,函数图象有3个交点,原问题转化为在上有两个不同的根,由根的分布列不等式组求解即可.
二、多选题
9.若“”是“”的必要不充分条件,则实数的值可以是(  )
A. B. C. D.2
【答案】A,B,C
【知识点】集合关系中的参数取值问题;必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解:因为“”是“”的必要不充分条件,
所以,
所以m<1,所以ABC选项符合条件,
故答案为:ABC.
【分析】利用必要不充分条件对应的集合之间的关系判断.
10.(2024高一下·仁寿开学考)若实数,,满足.以下选项中正确的有(  )
A.的最大值为 B.的最小值为
C.的最小值为 D.的最小值为
【答案】A,D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解:A、因为实数,,,所以,即,
当且仅当,即时等号成立,故的最大值为,故正确;
B、因为,,,所以,
当且仅当,即时等号成立,故错误;
C、因为,所以,
所以

当且仅当,即时等号成立,
因为,所以等号取不到,故错误;
D、因为,则,
所以,当且仅当,即时等号成立,故正确.
故答案为:AD.
【分析】利用基本不等式逐项计算判断即可.
11.(2024高一下·仁寿开学考)已知函数的最小正周期为,则(  )
A.
B.是图象的一条对称轴
C.在区间上单调递增
D.在区间上的最小值为
【答案】A,B
【知识点】余弦函数的性质;函数y=Acos(ωx+φ)的图象与性质
【解析】【解答】解:因为函数的最小正周期为,
所以,解得,即函数,
A、由函数的最小正周期为 ,求得,故A正确;
B、,故B正确;
C、当时,,因为在单调递减,故C错误;
D、当时,,所以,可得,故D错误.
故答案为:AB.
【分析】利用函数的最小正周期为求出即可判断A;代入法即可判断B;利用余弦函数的单调性即可判断C;根据的范围求出的值域即可判断D.
12.(2022高一上·泗洪期中)德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,是解析数论的创始人之一,以其命名的函数,称为狄利克雷函数,则关于,下列说法正确的是(  )
A.的值域为
B.的定义域为
C.
D.任意一个非零有理数, 对任意恒成立
【答案】B,C,D
【知识点】函数的定义域及其求法;函数的值域;函数的值
【解析】【解答】因为函数,所以的值城为,A不正确;
因为函数,所以的定义城为,B符合题意;
因为,所以,C符合题意;
对于任意一个非零有理数,若x是有理数,则x+T是有理数;若x是无理数,则x+T是无理数,根据函数的解析式,任取一个不为零的有理数T,都有对任意恒成立,D符合题意,
故答案为:BCD.
【分析】由f(x)的解析式可求得f(x)的定义域和值域,即可判断选项A, B;根据函数的解析式,可得无论x是有理数还是无理数,均有f(f(x)) = 1,即可判断选项C;根据函数的解析式,结合有理数和无理数的性质,即可判断选项D.
三、填空题
13.(2020高二下·奉化期中)幂函数 的图像经过点 ,则    .
【答案】3
【知识点】函数的值;幂函数的概念与表示
【解析】【解答】设幂函数 ,
图像经过点 ,
, ,

.
故答案为:3
【分析】设幂函数 ,由条件求 ,再求 的值.
14.(2024高一下·仁寿开学考)化简求值:   .
【答案】2
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解:.
故答案为:2.
【分析】根据对数函数的运算性质计算即可.
15.(2024高一下·仁寿开学考)函数,的值域是   .
【答案】
【知识点】函数的值域;函数单调性的性质
【解析】【解答】解:,令,
原函数转化为,函数在区间上单调递增,
在区间上单调递减,
又因为,,所以,
所以函数的值域为.
故答案为:.
【分析】令,将原函数转化为,利用二次函数的性质求解即可.
16.(2024高一下·仁寿开学考)已知函数()的最小正周期不小于,且恒成立,则的值为   .
【答案】1
【知识点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质
【解析】【解答】解:因为函数()的最小正周期不小于,
所以,即,解得,
又因为恒成立,故函数的最大值为,所以,
解得,
因为,所以.
故答案为:1.
【分析】根据函数的最小正周期不小于,求得,再根据,恒成立,得函数的最大值为列式求的值即可.
四、解答题
17.(2024高一下·仁寿开学考)已知集合,,.
(1)求;
(2)若,求m的取值范围.
【答案】(1)解:,
所以.
(2)解:因为,所以,
若,则,解得:,
若,则,解得:,
所以m的取值范围为:.
【知识点】集合间关系的判断;集合关系中的参数取值问题;并集及其运算;交集及其运算;一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】(1)解一元二次不等式求出集合A,再根据集合的交集和并集的定义求解即可;
(2)由推出,分和讨论,列不等式或不等式组求解即可.
18.(2024高一下·仁寿开学考)已知是第二象限角,且.
(1)求的值;
(2)求的值.
【答案】(1)解:由,
可得,即,
解得或.
因为是第二象限角,所以.
(2)解:
【知识点】同角三角函数间的基本关系;诱导公式
【解析】【分析】(1)利用同角三角函数的基本关系化弦为切,结合已知条件,解关于的一元二次方程即可求解;
(2)利用诱导公式结合同角三角函数基本关系化简原式,再代入(1)的结论求解即可.
19.(2024高一下·仁寿开学考)已知函数.
(1)求函数的周期以及单调递增区间;
(2)求在区间上的最大值和最小值及相应的值.
【答案】(1)解:由可得:函数的周期为.
令,
解得:,
∴的单调递增区间为,.
(2)解:令,因为,所以.
所以当,即时,在区间上可取得最大值,最大值为;
当,即时,在区间上可取得最小值,最小值为.
故在区间上最大值为,相应的;最小值为,相应的.
【知识点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质
【解析】【分析】(1)利用正弦型函数的周期公式求函数的周期即可;再整体代,结合正弦函数的性质即可求函数的单调增区间;
(2)利用整体代入法和正弦函数的性质求解即可.
20.(2024高一下·仁寿开学考)在党的二十大胜利召开之际,某厂发行具有音频功能的《光辉历程》纪念册.生产该产品需要固定设备投资10万元,每生产x万册纪念册,投入生产成本万元,且每册纪念册售价30元,根据市场调查生产的纪念册能全部售出.
(1)求利润(万元)关于生产册数x(万册)的函数关系式;
(2)问生产多少册纪念册时,利润最大?并求出最大值.
【答案】(1)解:因为
所以
(2)解:时,,时,最大值,
时,,当且仅当,即时等号成立.
综上,生产7万册纪念册时,利润最大,最大值为60万元.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法;函数单调性的性质;函数的最大(小)值;基本不等式
【解析】【分析】(1)根据所给条件用总销售收减去所有成本即可得利润函数的解析式;
(2)根据(1)的结论,利用二次函数性质,基本不等式求最大值,再比较即可得利润的最值.
21.(2024高一下·仁寿开学考)已知函数(且)的图象经过点和.
(1)求函数的解析式;
(2)令,求的最小值及取最小值时x的值.
【答案】(1)解:依题意可得,解得,所以
(2)解:由(1)知,,所以,
因为,所以,当且仅当时等号成立,
又,所以,此时.
所以的最小值为,且取最小值时x的值为.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法;对数的性质与运算法则;对数函数的单调性与特殊点;基本不等式
【解析】【分析】(1)将点,代入,根据对数函数的运算性质求出,即可得函数的解析式;
(2)由(1)得,代入化简可得,再利用基本不等式和对数函数的单调性即可求解.
22.(2024高一下·仁寿开学考)已知函数,.
(1)若为奇函数,求实数a的值;
(2)若对任意,函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1,求a的取值范围.
【答案】(1)解:因为是奇函数,,
所以,即,
即,所以.
(2)解:,
在区间上单调递减,为增函数,
所以函数在区间上单调递减,
由题意得
即,即,
即,.
令,.
因为,所以.
所以函数在上递增,
当时,y有最小值,
所以实数a的取值范围是.
【知识点】函数单调性的性质;函数的奇偶性;函数恒成立问题
【解析】【分析】(1)根据奇函数的定义列式求解即可;
(2)先判断函数在区间的单调性,得到函数的最大值和最小值的差,将问题转化为一元二次不等式恒成立问题求解即可.
1 / 1四川省仁寿重点学校2023-2024学年高一下学期数学开学考试试卷
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2024高一下·仁寿开学考)已知集合,,则(  )
A. B.
C. D.
2.(2019高一上·蕉岭月考)函数 的定义域为(  )
A. B.
C. D.
3.(2024高一下·仁寿开学考)命题“,”的否定是(  )
A., B.,
C., D.,
4.(2024高一下·仁寿开学考)用二分法求函数在内零点近似值的过程中,得到,则函数的零点落在区间(  )
A. B. C. D.不能确定
5.(2024高一下·仁寿开学考)已知角的终边经过点,,则(  )
A. B. C. D.
6.(2024高一下·仁寿开学考)一种药在病人血液中的量保持在以上,才有疗效;而低于,病人就有危险.现给某病人的静脉注射了这种药,如果药在血液中以每小时的比例衰减,那么距下次注射这种药物最多不能超过(  )小时.(精确到,参考数据:)
A. B. C. D.
7.(2024高一下·仁寿开学考)已知,,,则(  )
A. B. C. D.
8.(2024高一下·仁寿开学考)已知函数,若方程有六个相异实根,则实数的取值范围(  )
A. B. C. D.
二、多选题
9.若“”是“”的必要不充分条件,则实数的值可以是(  )
A. B. C. D.2
10.(2024高一下·仁寿开学考)若实数,,满足.以下选项中正确的有(  )
A.的最大值为 B.的最小值为
C.的最小值为 D.的最小值为
11.(2024高一下·仁寿开学考)已知函数的最小正周期为,则(  )
A.
B.是图象的一条对称轴
C.在区间上单调递增
D.在区间上的最小值为
12.(2022高一上·泗洪期中)德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,是解析数论的创始人之一,以其命名的函数,称为狄利克雷函数,则关于,下列说法正确的是(  )
A.的值域为
B.的定义域为
C.
D.任意一个非零有理数, 对任意恒成立
三、填空题
13.(2020高二下·奉化期中)幂函数 的图像经过点 ,则    .
14.(2024高一下·仁寿开学考)化简求值:   .
15.(2024高一下·仁寿开学考)函数,的值域是   .
16.(2024高一下·仁寿开学考)已知函数()的最小正周期不小于,且恒成立,则的值为   .
四、解答题
17.(2024高一下·仁寿开学考)已知集合,,.
(1)求;
(2)若,求m的取值范围.
18.(2024高一下·仁寿开学考)已知是第二象限角,且.
(1)求的值;
(2)求的值.
19.(2024高一下·仁寿开学考)已知函数.
(1)求函数的周期以及单调递增区间;
(2)求在区间上的最大值和最小值及相应的值.
20.(2024高一下·仁寿开学考)在党的二十大胜利召开之际,某厂发行具有音频功能的《光辉历程》纪念册.生产该产品需要固定设备投资10万元,每生产x万册纪念册,投入生产成本万元,且每册纪念册售价30元,根据市场调查生产的纪念册能全部售出.
(1)求利润(万元)关于生产册数x(万册)的函数关系式;
(2)问生产多少册纪念册时,利润最大?并求出最大值.
21.(2024高一下·仁寿开学考)已知函数(且)的图象经过点和.
(1)求函数的解析式;
(2)令,求的最小值及取最小值时x的值.
22.(2024高一下·仁寿开学考)已知函数,.
(1)若为奇函数,求实数a的值;
(2)若对任意,函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1,求a的取值范围.
答案解析部分
1.【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解:因为集合,,
所以.
故答案为:A.
【分析】根据集合的交集运算求解即可.
2.【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】依题意 ,解得 .
故答案为:D.
【分析】根据分式分母不为零,偶次方根的被开方数为非负数列不等式组,解不等式组求得函数 的定义域.
3.【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解:命题“,”的否定是“,”.
故答案为:D.
【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题直接判断即可.
4.【答案】B
【知识点】二分法求函数零点近似值;函数零点存在定理
【解析】【解答】解:易知函数在上单调递增,因为 ,
所以,故存在,使得 .
故答案为:B.
【分析】根据零点存在性定理,结合已知条件判断即可.
5.【答案】C
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解:,解得,即角的终边过点,
故.
故答案为:C.
【分析】根据三角函数定义求解即可.
6.【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点;对数的性质与运算法则;换底公式的应用
【解析】【解答】解:设病人距下次注射这种药物最多不能超过小时,
由题意,可得, 整理可得,
则,,
, 解得:, 所以距下次注射这种药物最多不能超过7.0小时.
故答案为:C.
【分析】设病人距下次注射这种药物最多不能超过小时, 根据题意列出不等式,利用指数函数的单调性、换底公式以及对数的运算性质求解即可.
7.【答案】C
【知识点】利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解:因为函数在上单调递增,所以,即;
因为函数在上也单调递增,所以,即;
,故.
故答案为:C.
【分析】利用对数函数的单调性结合中间值“2”比较的大小,再根据特殊角的三角函数值比较的大小即可.
8.【答案】B
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解:作出函数的图象,如图所示:
令,由图可知,当时,有3个交点,
所以要使有六个相异实根,则等价于方程有两个根,,
且,,
令(图象如图所示)
则由根的分布可得,即,即,
解得,
故实数的取值范围是.
故答案为:B.
【分析】作出函数,令,数形结合可知当时,函数图象有3个交点,原问题转化为在上有两个不同的根,由根的分布列不等式组求解即可.
9.【答案】A,B,C
【知识点】集合关系中的参数取值问题;必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解:因为“”是“”的必要不充分条件,
所以,
所以m<1,所以ABC选项符合条件,
故答案为:ABC.
【分析】利用必要不充分条件对应的集合之间的关系判断.
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解:A、因为实数,,,所以,即,
当且仅当,即时等号成立,故的最大值为,故正确;
B、因为,,,所以,
当且仅当,即时等号成立,故错误;
C、因为,所以,
所以

当且仅当,即时等号成立,
因为,所以等号取不到,故错误;
D、因为,则,
所以,当且仅当,即时等号成立,故正确.
故答案为:AD.
【分析】利用基本不等式逐项计算判断即可.
11.【答案】A,B
【知识点】余弦函数的性质;函数y=Acos(ωx+φ)的图象与性质
【解析】【解答】解:因为函数的最小正周期为,
所以,解得,即函数,
A、由函数的最小正周期为 ,求得,故A正确;
B、,故B正确;
C、当时,,因为在单调递减,故C错误;
D、当时,,所以,可得,故D错误.
故答案为:AB.
【分析】利用函数的最小正周期为求出即可判断A;代入法即可判断B;利用余弦函数的单调性即可判断C;根据的范围求出的值域即可判断D.
12.【答案】B,C,D
【知识点】函数的定义域及其求法;函数的值域;函数的值
【解析】【解答】因为函数,所以的值城为,A不正确;
因为函数,所以的定义城为,B符合题意;
因为,所以,C符合题意;
对于任意一个非零有理数,若x是有理数,则x+T是有理数;若x是无理数,则x+T是无理数,根据函数的解析式,任取一个不为零的有理数T,都有对任意恒成立,D符合题意,
故答案为:BCD.
【分析】由f(x)的解析式可求得f(x)的定义域和值域,即可判断选项A, B;根据函数的解析式,可得无论x是有理数还是无理数,均有f(f(x)) = 1,即可判断选项C;根据函数的解析式,结合有理数和无理数的性质,即可判断选项D.
13.【答案】3
【知识点】函数的值;幂函数的概念与表示
【解析】【解答】设幂函数 ,
图像经过点 ,
, ,

.
故答案为:3
【分析】设幂函数 ,由条件求 ,再求 的值.
14.【答案】2
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解:.
故答案为:2.
【分析】根据对数函数的运算性质计算即可.
15.【答案】
【知识点】函数的值域;函数单调性的性质
【解析】【解答】解:,令,
原函数转化为,函数在区间上单调递增,
在区间上单调递减,
又因为,,所以,
所以函数的值域为.
故答案为:.
【分析】令,将原函数转化为,利用二次函数的性质求解即可.
16.【答案】1
【知识点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质
【解析】【解答】解:因为函数()的最小正周期不小于,
所以,即,解得,
又因为恒成立,故函数的最大值为,所以,
解得,
因为,所以.
故答案为:1.
【分析】根据函数的最小正周期不小于,求得,再根据,恒成立,得函数的最大值为列式求的值即可.
17.【答案】(1)解:,
所以.
(2)解:因为,所以,
若,则,解得:,
若,则,解得:,
所以m的取值范围为:.
【知识点】集合间关系的判断;集合关系中的参数取值问题;并集及其运算;交集及其运算;一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】(1)解一元二次不等式求出集合A,再根据集合的交集和并集的定义求解即可;
(2)由推出,分和讨论,列不等式或不等式组求解即可.
18.【答案】(1)解:由,
可得,即,
解得或.
因为是第二象限角,所以.
(2)解:
【知识点】同角三角函数间的基本关系;诱导公式
【解析】【分析】(1)利用同角三角函数的基本关系化弦为切,结合已知条件,解关于的一元二次方程即可求解;
(2)利用诱导公式结合同角三角函数基本关系化简原式,再代入(1)的结论求解即可.
19.【答案】(1)解:由可得:函数的周期为.
令,
解得:,
∴的单调递增区间为,.
(2)解:令,因为,所以.
所以当,即时,在区间上可取得最大值,最大值为;
当,即时,在区间上可取得最小值,最小值为.
故在区间上最大值为,相应的;最小值为,相应的.
【知识点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质
【解析】【分析】(1)利用正弦型函数的周期公式求函数的周期即可;再整体代,结合正弦函数的性质即可求函数的单调增区间;
(2)利用整体代入法和正弦函数的性质求解即可.
20.【答案】(1)解:因为
所以
(2)解:时,,时,最大值,
时,,当且仅当,即时等号成立.
综上,生产7万册纪念册时,利润最大,最大值为60万元.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法;函数单调性的性质;函数的最大(小)值;基本不等式
【解析】【分析】(1)根据所给条件用总销售收减去所有成本即可得利润函数的解析式;
(2)根据(1)的结论,利用二次函数性质,基本不等式求最大值,再比较即可得利润的最值.
21.【答案】(1)解:依题意可得,解得,所以
(2)解:由(1)知,,所以,
因为,所以,当且仅当时等号成立,
又,所以,此时.
所以的最小值为,且取最小值时x的值为.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法;对数的性质与运算法则;对数函数的单调性与特殊点;基本不等式
【解析】【分析】(1)将点,代入,根据对数函数的运算性质求出,即可得函数的解析式;
(2)由(1)得,代入化简可得,再利用基本不等式和对数函数的单调性即可求解.
22.【答案】(1)解:因为是奇函数,,
所以,即,
即,所以.
(2)解:,
在区间上单调递减,为增函数,
所以函数在区间上单调递减,
由题意得
即,即,
即,.
令,.
因为,所以.
所以函数在上递增,
当时,y有最小值,
所以实数a的取值范围是.
【知识点】函数单调性的性质;函数的奇偶性;函数恒成立问题
【解析】【分析】(1)根据奇函数的定义列式求解即可;
(2)先判断函数在区间的单调性,得到函数的最大值和最小值的差,将问题转化为一元二次不等式恒成立问题求解即可.
1 / 1
同课章节目录