四川省仁寿重点学校2023-2024学年高一下学期数学开学考试试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2024高一下·仁寿开学考）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为集合，，
所以.
故答案为：A.
【分析】根据集合的交集运算求解即可.
2．（2019高一上·蕉岭月考）函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】依题意 ，解得 .
故答案为：D.
【分析】根据分式分母不为零，偶次方根的被开方数为非负数列不等式组，解不等式组求得函数 的定义域.
3．（2024高一下·仁寿开学考）命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题“，”的否定是“，”.
故答案为：D.
【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题直接判断即可.
4．（2024高一下·仁寿开学考）用二分法求函数在内零点近似值的过程中，得到，则函数的零点落在区间（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】B
【知识点】二分法求函数零点近似值；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：易知函数在上单调递增，因为 ，
所以，故存在，使得 .
故答案为：B.
【分析】根据零点存在性定理，结合已知条件判断即可.
5．（2024高一下·仁寿开学考）已知角的终边经过点，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：，解得，即角的终边过点，
故．
故答案为：C.
【分析】根据三角函数定义求解即可．
6．（2024高一下·仁寿开学考）一种药在病人血液中的量保持在以上，才有疗效；而低于，病人就有危险．现给某病人的静脉注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，那么距下次注射这种药物最多不能超过（ ）小时．（精确到，参考数据：）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数的性质与运算法则；换底公式的应用
【解析】【解答】解：设病人距下次注射这种药物最多不能超过小时，
由题意，可得， 整理可得，
则，，
， 解得：， 所以距下次注射这种药物最多不能超过7.0小时．
故答案为：C.
【分析】设病人距下次注射这种药物最多不能超过小时， 根据题意列出不等式，利用指数函数的单调性、换底公式以及对数的运算性质求解即可．
7．（2024高一下·仁寿开学考）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：因为函数在上单调递增，所以，即；
因为函数在上也单调递增，所以，即；
，故.
故答案为：C.
【分析】利用对数函数的单调性结合中间值“2”比较的大小，再根据特殊角的三角函数值比较的大小即可.
8．（2024高一下·仁寿开学考）已知函数，若方程有六个相异实根，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：作出函数的图象，如图所示：
令，由图可知，当时，有3个交点，
所以要使有六个相异实根，则等价于方程有两个根，，
且，，
令（图象如图所示）
则由根的分布可得，即，即，
解得，
故实数的取值范围是.
故答案为：B.
【分析】作出函数，令，数形结合可知当时，函数图象有3个交点，原问题转化为在上有两个不同的根，由根的分布列不等式组求解即可.
二、多选题
9．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A,B,C
【知识点】集合关系中的参数取值问题；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：因为“”是“”的必要不充分条件，
所以，
所以m＜1，所以ABC选项符合条件，
故答案为：ABC.
【分析】利用必要不充分条件对应的集合之间的关系判断.
10．（2024高一下·仁寿开学考）若实数，，满足．以下选项中正确的有（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最小值为
【答案】A,D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：A、因为实数，，，所以，即，
当且仅当，即时等号成立，故的最大值为，故正确；
B、因为，，，所以，
当且仅当，即时等号成立，故错误；
C、因为，所以，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
因为，所以等号取不到，故错误；
D、因为，则，
所以，当且仅当，即时等号成立，故正确.
故答案为：AD.
【分析】利用基本不等式逐项计算判断即可.
11．（2024高一下·仁寿开学考）已知函数的最小正周期为，则（ ）
A．
B．是图象的一条对称轴
C．在区间上单调递增
D．在区间上的最小值为
【答案】A,B
【知识点】余弦函数的性质；函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：因为函数的最小正周期为，
所以，解得，即函数，
A、由函数的最小正周期为 ，求得，故A正确；
B、，故B正确；
C、当时，，因为在单调递减，故C错误；
D、当时，，所以，可得，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】利用函数的最小正周期为求出即可判断A；代入法即可判断B；利用余弦函数的单调性即可判断C；根据的范围求出的值域即可判断D.
12．（2022高一上·泗洪期中）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（ ）
A．的值域为
B．的定义域为
C．
D．任意一个非零有理数， 对任意恒成立
【答案】B,C,D
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域；函数的值
【解析】【解答】因为函数，所以的值城为，A不正确；
因为函数，所以的定义城为，B符合题意；
因为，所以，C符合题意；
对于任意一个非零有理数，若x是有理数，则x+T是有理数；若x是无理数，则x+T是无理数，根据函数的解析式，任取一个不为零的有理数T，都有对任意恒成立，D符合题意，
故答案为：BCD.
【分析】由f(x)的解析式可求得f(x)的定义域和值域，即可判断选项A， B；根据函数的解析式，可得无论x是有理数还是无理数，均有f(f(x)) = 1，即可判断选项C；根据函数的解析式，结合有理数和无理数的性质，即可判断选项D.
三、填空题
13．（2020高二下·奉化期中）幂函数 的图像经过点 ，则 .
【答案】3
【知识点】函数的值；幂函数的概念与表示
【解析】【解答】设幂函数 ，
图像经过点 ，
， ，
，
.
故答案为：3
【分析】设幂函数 ，由条件求 ，再求 的值.
14．（2024高一下·仁寿开学考）化简求值： ．
【答案】2
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：.
故答案为：2.
【分析】根据对数函数的运算性质计算即可.
15．（2024高一下·仁寿开学考）函数，的值域是 .
【答案】
【知识点】函数的值域；函数单调性的性质
【解析】【解答】解：，令，
原函数转化为，函数在区间上单调递增，
在区间上单调递减，
又因为，，所以，
所以函数的值域为.
故答案为：.
【分析】令，将原函数转化为，利用二次函数的性质求解即可.
16．（2024高一下·仁寿开学考）已知函数（）的最小正周期不小于，且恒成立，则的值为 ．
【答案】1
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：因为函数（）的最小正周期不小于，
所以，即，解得，
又因为恒成立，故函数的最大值为，所以，
解得，
因为，所以.
故答案为：1.
【分析】根据函数的最小正周期不小于，求得，再根据，恒成立，得函数的最大值为列式求的值即可.
四、解答题
17．（2024高一下·仁寿开学考）已知集合，，.
（1）求；
（2）若，求m的取值范围.
【答案】（1）解：，
所以.
（2）解：因为，所以，
若，则，解得：，
若，则，解得：，
所以m的取值范围为：.
【知识点】集合间关系的判断；集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）解一元二次不等式求出集合A，再根据集合的交集和并集的定义求解即可；
（2）由推出，分和讨论，列不等式或不等式组求解即可.
18．（2024高一下·仁寿开学考）已知是第二象限角，且.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）解：由，
可得，即，
解得或.
因为是第二象限角，所以.
（2）解：
【知识点】同角三角函数间的基本关系；诱导公式
【解析】【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系化弦为切，结合已知条件，解关于的一元二次方程即可求解；
（2）利用诱导公式结合同角三角函数基本关系化简原式，再代入（1）的结论求解即可.
19．（2024高一下·仁寿开学考）已知函数.
（1）求函数的周期以及单调递增区间；
（2）求在区间上的最大值和最小值及相应的值.
【答案】（1）解：由可得：函数的周期为.
令，
解得：，
∴的单调递增区间为，．
（2）解：令，因为，所以.
所以当，即时，在区间上可取得最大值，最大值为；
当，即时，在区间上可取得最小值，最小值为.
故在区间上最大值为，相应的；最小值为，相应的.
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）利用正弦型函数的周期公式求函数的周期即可；再整体代，结合正弦函数的性质即可求函数的单调增区间；
（2）利用整体代入法和正弦函数的性质求解即可.
20．（2024高一下·仁寿开学考）在党的二十大胜利召开之际，某厂发行具有音频功能的《光辉历程》纪念册．生产该产品需要固定设备投资10万元，每生产x万册纪念册，投入生产成本万元，且每册纪念册售价30元，根据市场调查生产的纪念册能全部售出．
（1）求利润（万元）关于生产册数x（万册）的函数关系式；
（2）问生产多少册纪念册时，利润最大？并求出最大值．
【答案】（1）解：因为
所以
（2）解：时，，时，最大值，
时，，当且仅当，即时等号成立．
综上，生产7万册纪念册时，利润最大，最大值为60万元．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质；函数的最大（小）值；基本不等式
【解析】【分析】（1）根据所给条件用总销售收减去所有成本即可得利润函数的解析式；
（2）根据（1）的结论，利用二次函数性质，基本不等式求最大值，再比较即可得利润的最值．
21．（2024高一下·仁寿开学考）已知函数（且）的图象经过点和．
（1）求函数的解析式；
（2）令，求的最小值及取最小值时x的值．
【答案】（1）解：依题意可得，解得，所以
（2）解：由（1）知，，所以，
因为，所以，当且仅当时等号成立，
又，所以，此时.
所以的最小值为，且取最小值时x的值为.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；对数的性质与运算法则；对数函数的单调性与特殊点；基本不等式
【解析】【分析】（1）将点，代入，根据对数函数的运算性质求出，即可得函数的解析式；
（2）由（1）得，代入化简可得，再利用基本不等式和对数函数的单调性即可求解.
22．（2024高一下·仁寿开学考）已知函数，．
（1）若为奇函数，求实数a的值；
（2）若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．
【答案】（1）解：因为是奇函数，，
所以，即，
即，所以．
（2）解：，
在区间上单调递减，为增函数，
所以函数在区间上单调递减，
由题意得
即，即，
即，．
令，．
因为，所以．
所以函数在上递增，
当时，y有最小值，
所以实数a的取值范围是．
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义列式求解即可；
（2）先判断函数在区间的单调性，得到函数的最大值和最小值的差，将问题转化为一元二次不等式恒成立问题求解即可.
1 / 1四川省仁寿重点学校2023-2024学年高一下学期数学开学考试试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2024高一下·仁寿开学考）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2019高一上·蕉岭月考）函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024高一下·仁寿开学考）命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．（2024高一下·仁寿开学考）用二分法求函数在内零点近似值的过程中，得到，则函数的零点落在区间（ ）
A． B． C． D．不能确定
5．（2024高一下·仁寿开学考）已知角的终边经过点，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高一下·仁寿开学考）一种药在病人血液中的量保持在以上，才有疗效；而低于，病人就有危险．现给某病人的静脉注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，那么距下次注射这种药物最多不能超过（ ）小时．（精确到，参考数据：）
A． B． C． D．
7．（2024高一下·仁寿开学考）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高一下·仁寿开学考）已知函数，若方程有六个相异实根，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（ ）
A． B． C． D．2
10．（2024高一下·仁寿开学考）若实数，，满足．以下选项中正确的有（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最小值为
11．（2024高一下·仁寿开学考）已知函数的最小正周期为，则（ ）
A．
B．是图象的一条对称轴
C．在区间上单调递增
D．在区间上的最小值为
12．（2022高一上·泗洪期中）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（ ）
A．的值域为
B．的定义域为
C．
D．任意一个非零有理数， 对任意恒成立
三、填空题
13．（2020高二下·奉化期中）幂函数 的图像经过点 ，则 .
14．（2024高一下·仁寿开学考）化简求值： ．
15．（2024高一下·仁寿开学考）函数，的值域是 .
16．（2024高一下·仁寿开学考）已知函数（）的最小正周期不小于，且恒成立，则的值为 ．
四、解答题
17．（2024高一下·仁寿开学考）已知集合，，.
（1）求；
（2）若，求m的取值范围.
18．（2024高一下·仁寿开学考）已知是第二象限角，且.
（1）求的值；
（2）求的值.
19．（2024高一下·仁寿开学考）已知函数.
（1）求函数的周期以及单调递增区间；
（2）求在区间上的最大值和最小值及相应的值.
20．（2024高一下·仁寿开学考）在党的二十大胜利召开之际，某厂发行具有音频功能的《光辉历程》纪念册．生产该产品需要固定设备投资10万元，每生产x万册纪念册，投入生产成本万元，且每册纪念册售价30元，根据市场调查生产的纪念册能全部售出．
（1）求利润（万元）关于生产册数x（万册）的函数关系式；
（2）问生产多少册纪念册时，利润最大？并求出最大值．
21．（2024高一下·仁寿开学考）已知函数（且）的图象经过点和．
（1）求函数的解析式；
（2）令，求的最小值及取最小值时x的值．
22．（2024高一下·仁寿开学考）已知函数，．
（1）若为奇函数，求实数a的值；
（2）若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为集合，，
所以.
故答案为：A.
【分析】根据集合的交集运算求解即可.
2．【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】依题意 ，解得 .
故答案为：D.
【分析】根据分式分母不为零，偶次方根的被开方数为非负数列不等式组，解不等式组求得函数 的定义域.
3．【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题“，”的否定是“，”.
故答案为：D.
【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题直接判断即可.
4．【答案】B
【知识点】二分法求函数零点近似值；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：易知函数在上单调递增，因为 ，
所以，故存在，使得 .
故答案为：B.
【分析】根据零点存在性定理，结合已知条件判断即可.
5．【答案】C
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：，解得，即角的终边过点，
故．
故答案为：C.
【分析】根据三角函数定义求解即可．
6．【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数的性质与运算法则；换底公式的应用
【解析】【解答】解：设病人距下次注射这种药物最多不能超过小时，
由题意，可得， 整理可得，
则，，
， 解得：， 所以距下次注射这种药物最多不能超过7.0小时．
故答案为：C.
【分析】设病人距下次注射这种药物最多不能超过小时， 根据题意列出不等式，利用指数函数的单调性、换底公式以及对数的运算性质求解即可．
7．【答案】C
【知识点】利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：因为函数在上单调递增，所以，即；
因为函数在上也单调递增，所以，即；
，故.
故答案为：C.
【分析】利用对数函数的单调性结合中间值“2”比较的大小，再根据特殊角的三角函数值比较的大小即可.
8．【答案】B
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：作出函数的图象，如图所示：
令，由图可知，当时，有3个交点，
所以要使有六个相异实根，则等价于方程有两个根，，
且，，
令（图象如图所示）
则由根的分布可得，即，即，
解得，
故实数的取值范围是.
故答案为：B.
【分析】作出函数，令，数形结合可知当时，函数图象有3个交点，原问题转化为在上有两个不同的根，由根的分布列不等式组求解即可.
9．【答案】A,B,C
【知识点】集合关系中的参数取值问题；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：因为“”是“”的必要不充分条件，
所以，
所以m＜1，所以ABC选项符合条件，
故答案为：ABC.
【分析】利用必要不充分条件对应的集合之间的关系判断.
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：A、因为实数，，，所以，即，
当且仅当，即时等号成立，故的最大值为，故正确；
B、因为，，，所以，
当且仅当，即时等号成立，故错误；
C、因为，所以，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
因为，所以等号取不到，故错误；
D、因为，则，
所以，当且仅当，即时等号成立，故正确.
故答案为：AD.
【分析】利用基本不等式逐项计算判断即可.
11．【答案】A,B
【知识点】余弦函数的性质；函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：因为函数的最小正周期为，
所以，解得，即函数，
A、由函数的最小正周期为 ，求得，故A正确；
B、，故B正确；
C、当时，，因为在单调递减，故C错误；
D、当时，，所以，可得，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】利用函数的最小正周期为求出即可判断A；代入法即可判断B；利用余弦函数的单调性即可判断C；根据的范围求出的值域即可判断D.
12．【答案】B,C,D
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域；函数的值
【解析】【解答】因为函数，所以的值城为，A不正确；
因为函数，所以的定义城为，B符合题意；
因为，所以，C符合题意；
对于任意一个非零有理数，若x是有理数，则x+T是有理数；若x是无理数，则x+T是无理数，根据函数的解析式，任取一个不为零的有理数T，都有对任意恒成立，D符合题意，
故答案为：BCD.
【分析】由f(x)的解析式可求得f(x)的定义域和值域，即可判断选项A， B；根据函数的解析式，可得无论x是有理数还是无理数，均有f(f(x)) = 1，即可判断选项C；根据函数的解析式，结合有理数和无理数的性质，即可判断选项D.
13．【答案】3
【知识点】函数的值；幂函数的概念与表示
【解析】【解答】设幂函数 ，
图像经过点 ，
， ，
，
.
故答案为：3
【分析】设幂函数 ，由条件求 ，再求 的值.
14．【答案】2
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：.
故答案为：2.
【分析】根据对数函数的运算性质计算即可.
15．【答案】
【知识点】函数的值域；函数单调性的性质
【解析】【解答】解：，令，
原函数转化为，函数在区间上单调递增，
在区间上单调递减，
又因为，，所以，
所以函数的值域为.
故答案为：.
【分析】令，将原函数转化为，利用二次函数的性质求解即可.
16．【答案】1
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：因为函数（）的最小正周期不小于，
所以，即，解得，
又因为恒成立，故函数的最大值为，所以，
解得，
因为，所以.
故答案为：1.
【分析】根据函数的最小正周期不小于，求得，再根据，恒成立，得函数的最大值为列式求的值即可.
17．【答案】（1）解：，
所以.
（2）解：因为，所以，
若，则，解得：，
若，则，解得：，
所以m的取值范围为：.
【知识点】集合间关系的判断；集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）解一元二次不等式求出集合A，再根据集合的交集和并集的定义求解即可；
（2）由推出，分和讨论，列不等式或不等式组求解即可.
18．【答案】（1）解：由，
可得，即，
解得或.
因为是第二象限角，所以.
（2）解：
【知识点】同角三角函数间的基本关系；诱导公式
【解析】【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系化弦为切，结合已知条件，解关于的一元二次方程即可求解；
（2）利用诱导公式结合同角三角函数基本关系化简原式，再代入（1）的结论求解即可.
19．【答案】（1）解：由可得：函数的周期为.
令，
解得：，
∴的单调递增区间为，．
（2）解：令，因为，所以.
所以当，即时，在区间上可取得最大值，最大值为；
当，即时，在区间上可取得最小值，最小值为.
故在区间上最大值为，相应的；最小值为，相应的.
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）利用正弦型函数的周期公式求函数的周期即可；再整体代，结合正弦函数的性质即可求函数的单调增区间；
（2）利用整体代入法和正弦函数的性质求解即可.
20．【答案】（1）解：因为
所以
（2）解：时，，时，最大值，
时，，当且仅当，即时等号成立．
综上，生产7万册纪念册时，利润最大，最大值为60万元．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质；函数的最大（小）值；基本不等式
【解析】【分析】（1）根据所给条件用总销售收减去所有成本即可得利润函数的解析式；
（2）根据（1）的结论，利用二次函数性质，基本不等式求最大值，再比较即可得利润的最值．
21．【答案】（1）解：依题意可得，解得，所以
（2）解：由（1）知，，所以，
因为，所以，当且仅当时等号成立，
又，所以，此时.
所以的最小值为，且取最小值时x的值为.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；对数的性质与运算法则；对数函数的单调性与特殊点；基本不等式
【解析】【分析】（1）将点，代入，根据对数函数的运算性质求出，即可得函数的解析式；
（2）由（1）得，代入化简可得，再利用基本不等式和对数函数的单调性即可求解.
22．【答案】（1）解：因为是奇函数，，
所以，即，
即，所以．
（2）解：，
在区间上单调递减，为增函数，
所以函数在区间上单调递减，
由题意得
即，即，
即，．
令，．
因为，所以．
所以函数在上递增，
当时，y有最小值，
所以实数a的取值范围是．
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义列式求解即可；
（2）先判断函数在区间的单调性，得到函数的最大值和最小值的差，将问题转化为一元二次不等式恒成立问题求解即可.
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