第四章《三角形》复习学案

第四章《三角形》复习学案
（一）、三角形
1.由不在同一直线上的 线段首尾 相接所组成的图形叫做三角形
2.按三角形内角的大小把三角形分为： 三角形、 三角形、 三角形。
3.三角形有三要素： 、 、 。
4、三角形的三个内角之和等于180°
5、按三角形内角的大小把三角形分为：
三个角都是锐角的是 三角形 有一个角是直角的是 三角形
有一个角是钝角的事 三角形。
6、能够构成的条件
两边之和大于第三边。 两边之差小于第三边。
第三边大于两边之 ,小于两边之
7、有 相等的三角形叫等腰三角形
等腰三角形两底角相等，两腰相等
有三边都相等的三角形式 三角形，也叫正三角形（等边三角形三个角相等，都等于60度）
8、三角形的“中线”：在三角形中，连接一个顶点与它对边 的线段，叫做这个三角形的 .AE是BC边上的中线.
几何语言：
∵ AE是⊿ABC的一条中线（已知）
∴ BE=CE (三角形的中线定义)
三角形的三条 交于一点，这点成为三角形的
9、三角形的角平分线的定义在三角形中，一 ( http: / / www.21cnjy.com )个内角的 与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的 叫三角形的角平分线。（注意：“三角形的角平分线”是一条线段）
几何语言：
∵ AD是⊿ABC的一条角平分线（已知）
∴ ∠1=∠2 (三角形的角平分线定义)
10、三角形的三条角平分线线交于一点。
11、从三角形的一个 向它的对边所在直线作 ，顶点和垂足之间的 叫做三角形的高线，简称三角形的高.
12、三角形的三条高所在的 交于一点。
13、三角形高线的性质
几何语言：∵ AF是⊿ABC中BC边上的高 （已知）
∴ AF⊥BC (三角形的高线定义)
∴∠AFB=∠AFC=90°(垂直定义)
能够完全重合的两个图形成为 图形。
15、如果两个图形全等，它们的形状和大小一定都相同
16、能够完全重合的两个三角形叫做 表示方法:△ABC≌△DEF
17、归纳：全等三角形的性质：全等三角形的 ( http: / / www.21cnjy.com ) 相等， 相等，全等三角形对应边上的高，对应边上的中线也 （注意：要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上）
几何语言：
∵ △ABC≌△DEF （已知）
∴∠A=∠D ∠B=∠E ∠C=∠F (全等三角形的对应角相等)
∴AB=DE BC=EF AC=DF (全等三角形的对应边相等)
18、三角形全等的判定
（1）三边分别______的两个三角形全等，简称为“边边边”或“SSS”。
通常写成下面的格式：
在△ABC与△DEF中，
∵
∴△ABC≌△DEF（SSS）
（2）两角及其 分别 的两个三角形全等，简写为“角边角”或“ASA”。
通常写成下面的格式：
在△ABC与△DEF中，
∵
∴△ABC≌ （ ）
（3）、两角分别 且其中一组等角的 相等的两个三角形 ，简写成“角角边”或“AAS”。
通常写成下面的格式：
在△ABC与△DEF中，
∵
∴ ≌△DEF（ )
（4）、两边及其 分别 的两个三角形全等，简写成“ ”或“SAS”。
通常写成下面的格式：
在△ABC与△DEF中，
∵
∴△ABC≌△DEF（SAS）
二、例题
1、小明在上周末游览风景区时，看到了一个美 ( http: / / www.21cnjy.com )的池塘 ，他想知道最远两点A、B之间的距离， 但是他没有船，不能直接去测。手里只有一根绳子和一把尺子，他怎样才能测出A、B之间的距离呢？把你的设计方案在图上画出来，并与你的同伴交流你的方案，看看谁是方案更便捷。
方案一：在能够到达A、B的 ( http: / / www.21cnjy.com )空地上取一适当点C，连接AC，并延长AC到D，使CD=AC，连接BC，并延长BC到E，使CE=BC，连接ED。则只要测ED的长就可以知道AB的长了
理由: 在△ACB与△DCE中，
AC=CD （已知）
∵ ∠BCA=∠ECD (对顶角相等)
BC=CE （已知）
∴ △ABC≌△DEC (SAS)
∴AB=DE (全等三角形的 相等)
方案二：如图，找一点D，使AD⊥BD，延长AD至C，使CD=AD，连结BC，量BC的长即得AB的长。
解:在Rt ADB与Rt CDB中
BD=BD （同一条线段）
∠ADB=∠CDB （都是 ）
CD=AD （ ）
≌ CDB ( )
∴ BA = BC （ ）
2、如图，已知，∠C＝∠E，∠1＝∠2，AB＝AD，求证：△ABC≌△ADE
解：∵∠1＝∠2（已知）　　　　　　　　　
∴∠1＋∠DAC＝∠2＋∠DAC　　　　　
即∠BAC＝∠DAE　
在△ABC和△ADC 中　
∠C＝∠E （已知）
∠BAC＝ （已证）
AB＝AD （ ）
∴ △ABC≌ （ ）
三、练习
1、若等腰三角形的一边是7，另一边是4，则此等腰三角形的周长是（　）
A．18 B．15 C．18或15 D．无法确定
2、下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（）
(1)7 cm、5 cm、11 cm　　(2)4 cm、3 cm、7 cm　
(3)5 cm、10 cm、4 cm （4）2 cm、3 cm、1cm　
A．(1)　 B．(2) 　 C．（3） D．(4)
3、两根木棒分别为5cm和7cm，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，如果第三根木棒长为偶数，那么第三根木棒的取值情况有（　）种
A．3 B．4 C．5 D．6
4、在△ABC中，AB＝6 cm，AC＝8 cm那么BC长的取值范围是___________．
5、等腰三角形一边长9cm，另一边长4cm，则它的第三边是_________
6、一个三角形的三边长分别是3,4,，则的取值范围是（ ）
A.＞3 B.＞4 C.3＜＜4 D.1＜＜7
7、在⊿ABC中，∠A：∠B：∠C=7：3：5，求∠A、∠B、∠C的度数,
8、在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线。那么BD与CD相等吗？为什么？
解：相等
理由：∵AD是∠BAC的角平分线
∴∠BAD＝ （ ）
AB＝AC （ ）
∵ （ ）
　AD＝AD （ ）
9、如图：在△ABE和△ACF中，AB=AC, BF=CE.
求证：（1）AF=AE （2）△ABE≌△ACF
证明：（1）∵AB=AC, BF=CE （已知） （2）在△ABE和△ACF中
∴AB-BF=AC-CE （ ） AB=AC (已知)
即 ∵ （公共角）
（已证）
∴ △ABE≌△ACF ( )
10、如图,已知AB=DE，AC=DF，BE=CF，
求证：⊿ABC≌⊿DEF 。
证明：∵ BE=CF (已知)
∴ BE+EC=CF+EC
即 BC=FE
在⊿ABC与⊿DEF中,
AB=DE （ ）
∵ AC= （ ）
BC=FE （已证）
∴⊿ABC≌ （ ）
如图12，已知OA＝OC，OB＝OD，∠1＝∠2，
求证：∠B＝∠D（12分）
12．如图，在△ABC中，∠BAC是钝角．画出：
（1）∠ABC的平分线； （2）边AC上的中线；
（3）边AC上的高．
13、已知，M是AB的中点，MC＝MD，∠1＝∠2，若AC＝8 cm，
求BD的长度．
11、如图10，已知A、B、C、D在一条直线上，
AB＝CD， AE∥DF，BF∥EC，
求证：∠E＝∠F（12分）
12、如图，已知点A、F、E、C在同一直线上，
AB∥CD，∠ABE=∠CDF，AF=CE．
（1）从图中任找两组全等三角形；
（2）从（1）中任选一组进行证明．
13、如图，已知AB =DC ，AC =DB，试说明：∠A =∠D．
14、如图（3）在△ABC中，∠BAC＝80 ，∠B＝40 ，AD是△ABC的角平分线，
则∠ADB等于多少度？
15、如图14，△ABC中，AD⊥BC于点D，BE是∠ABC的平分线，
已知∠ABC＝40 ，∠C＝60 ，求∠AOB的度数（12分）
16、如图8，已知：AC和BD相交于点O，OA=OC，OB=OD，AB与DC平行吗？
说明理由。
17、如图，已知：在△AFD和△CEB中，点A、E、F、C在同一直线上，
AE=CF，∠B=∠D，AD∥BC．
求证：AD=BC．
18、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB．
（1）求∠CAD的度数；
（2）延长AC至E，使CE=AC，求证：DA=DE．
19.如图，已知，∠C＝∠E，∠1＝∠2，AB＝AD，求证：△ABC≌△ADE
解：∵∠1＝∠2（已知）　　　　　　　　　
∴∠1＋∠DAC＝∠2＋∠DAC　　　　　
即∠BAC＝∠DAE　
在△ABC和△ADC 中　
∠C＝∠E （已知）
∠BAC＝ （已证）
AB＝AD （ ）
∴ △ABC≌ （ ）
20．已知∠α，∠β和线段a，求作△ABC，使∠A=∠α, ∠B=∠β,BC=a
（不写作法，保留痕迹）
22、已知：线段a，b，c。求作：ΔABC，使得AB=c，AC=b，BC=a。
23、战士面向碉堡的方向站好，然后 ( http: / / www.21cnjy.com )调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿势，这时视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡的距离。你觉得他测的距离准确吗？
∴△ABD≌△ACD（SAS）
∴BD＝CD （ ）
图10
A
B
C
D
O
图8
β
a
α