第七章 7.2.2 复数的乘、除运算（27页ppt）

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第七章
7.2 复数的四则运算
7.2.2 复数的乘、除运算
人教A版（2019)
教学目标
学习目标 数学素养
1.掌握复数乘除的运算法则，能够进行复数的乘除运算. 1.数学运算素养.
2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律. 2.数学运算素养.
3.会在复数范围内解一元二次方程.
温故知新
数集
扩充原因
1.复数加法运算法则
2.复数加法运算律
3.复数减法运算法则
4.复平面内的两点之间的距离
复数加法交换律=
复数加法结合律
.
5.多项式与多项式相乘
知新探究
我们规定，复数的乘法法则如下：
设是任意两个复数，那么它们的积
复数的乘法
①两个复数的积仍然是一个确定的复数．
②当都是实数时，把它们看作复数时积就是这两个实数的积．
③两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成-1,并且把实部和虚部分别合并即可.
.
知新探究
复数的乘法
复数的乘法满足交换律、结合律吗？乘法对加法满足分配律吗？
对任意，
∵
∴.
又∵
.
=
.
乘法交换律
知新探究
复数的乘法
复数的乘法满足交换律、结合律吗？乘法对加法满足分配律吗？
对任意，
∵
∴.
又∵
.
.
乘法结合律
知新探究
复数的乘法
复数的乘法满足交换律、结合律吗？乘法对加法满足分配律吗？
对任意，
∵
∴.
又∵
.
.
.
.
乘法对加法分配律
知新探究
复数的乘法
复数的乘法满足交换律、结合律吗？乘法对加法满足分配律吗？
对任意，有
=
新知探究
【例1】计算 (1－2i)(3＋4i) (－2＋i).
解：
=
=.
复数的乘法
新知探究
【例2】计算：
⑴； ⑵.
解：
⑴
=
=13.
分析：本例可以用复数的乘法法则计算，也可以用乘法公式计算．
⑵
复数的乘法
新知探究
复数的乘法
思考：若z1, z2是共轭复数，则z1z2是一个怎样的数？
对任意，
若是共轭复数，则是一个实数.
若则
.
常用结论
①(a±bi)2＝a2±2abi－b2(a，b∈R)；
②(1±i)2＝±2i.
初试身手
1.计算
⑴； ⑵；
⑶.
⑴
解：
.
⑵
.
⑶
.
初试身手
2.计算
⑴； ⑵；
⑶.
⑴
解：
.
⑵
.
⑶
=5.
知新探究
复数的除法
类比实数的除法是乘法的逆运算，我们规定复数的除法是乘法的逆运算．请探求复数除法的法则.
我们把满足的复数叫做复数除以复数的商，记作或.
利用.于是将的分母实数化得：
．
．
知新探究
复数的除法
类比实数的除法是乘法的逆运算，我们规定复数的除法是乘法的逆运算．请探求复数除法的法则.
两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数.
根式除法: 分子分母都乘以分母的“有理化因式”,从而使分母“有理化”．
复数除法的法则是：
类比
复数除法: 分子分母都乘以分母的“实数化因式”(共轭复数),从而使分母“实数化”.
新知探究
【例3】 计算.
解：
.
.
.
①写成分式形式
②分母实数化,同时乘以分母的共轭复数
③化简得结果
初试身手
解：
.
⑴
.
⑵.
3.计算
⑴； ⑵； ⑶； ⑷.
⑶
⑷
.
新知探究
【例4】在复数范围内解下列方程：
⑴
⑵.
解：
⑴∵;
.
∴方程的根为
分析：利用复数的乘法容易得到⑴中方程的根．
新知探究
【例4】在复数范围内解下列方程：
⑵.
解：
⑵将方程的二次项系数化为1，得;
即 .
配方，得
分析：对于⑵，当时， 一元二次方程无实数根．利用求解一元二次方程的 “根本大法”——配方法，类似于⑴就能在复数范围内求得⑵中方程的根．
由Δ＜０，知.类似⑴，可得
.
∴原方程的根为.
新知探究
在复数范围内，实系数一元二次方程的求根公式为：
⑴当Δ≥0时，;
两个根互为共轭复数.
⑵当Δ＜0时， .
根据复数的加法法则、乘法法则，你能说明实数系经过扩充得到的新数集就是复数集C吗？
由两个复数的和仍然是一个确定的复数，两个复数的积仍然是一个确定的复数，可以得到实数系经过扩充得到的新数集就是复数集C.
初试身手
4.在复数范围内解下列方程：
⑴；
解：
，
⑴将方程的二次项系数化为1，得
解得，
即，
则原方程的根为.
初试身手
4.在复数范围内解下列方程：
⑵.
解：
，
⑵方程的二次项系数为1，配方，得
由Δ＜０，知 ，
即，
则原方程的根为i.
可得.
课堂小结
1. 复数的乘法
2.复数的除法
3.在复数范围内解实系数一元二次方程
.
对任意，有
=
⑴配方法；
⑵求根公式法.
作业布置
作业： P80-81 习题7.2 第3,4,6,7题.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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