2023-2024学年河北省秦皇岛市新世纪高级中学高二（下）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年河北省秦皇岛市新世纪高级中学高二（下）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.点到直线：的距离是( )
A. B. C. D.
2.已知双曲线，则其渐近线方程为( )
A. B. C. D.
3.“今有城，下广四丈，上广二丈，高五丈，袤两百丈，“这是我国古代数学名著九章算术卷第五“商功”中的问题意思为“现有城如图，等腰梯形的直棱柱体，下底长丈，上底长丈，高丈，纵长丈丈尺”，则该问题中“城”的体积等于( )
A. 立方尺 B. 立方尺 C. 立方尺 D. 立方尺
4.文椭圆的一个焦点与短轴的两端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D. 不确定
5.圆：与圆：的公切线有( )
A. 条 B. 条 C. 条 D. 条
6.已知点是抛物线：的焦点，是上的一点，，则( )
A. B. C. D.
7.双曲线的两个焦点为、，点在双曲线上，若，则点到轴的距离为( )
A. B. C. D.
8.已知直线：与椭圆交于，两点，若点恰为弦的中点，则椭圆的焦距为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.方程表示圆，则的可能取值是( )
A. B. C. D.
10.已知直线：，则下列结论正确的是( )
A. 直线的倾斜角是
B. 过点与直线平行的直线是
C. 直线到直线的距离为
D. 若直线：，则
11.方程表示的曲线为，下列正确的命题是( )
A. 曲线可以是圆 B. 若，则曲线为椭圆
C. 曲线可以表示抛物线 D. 若曲线为双曲线，则或
12.如图所示，在棱长为的正方体中，，分别为棱，的中点，为侧面的一动点，下列说法正确的是( )
A. 异面直线与所成角的余弦值为
B. 若的面积为，则动点的轨迹为椭圆的一部分
C. 若点到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹为抛物线的一部分
D. 过直线的平面与面所成角最小时，平面截正方体所得的截面面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知抛物线的准线方程为，则抛物线的标准方程为______．
14.已知直线：和圆心为的圆，则直线被圆截得的弦长为______．
15.设为椭圆上的一点，，是该椭圆的两个焦点，若：：，则的面积为______．
16.设点是曲线右支上一动点，为左焦点，点是圆上一动点，则的最小值是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知顶点、、．
Ⅰ求边上中线所在的直线方程；
Ⅱ求边上高线所在的直线方程．
18.本小题分
已知椭圆：的离心率为且椭圆经过点．
求椭圆的方程；
过椭圆的左焦点作斜率为的直线交椭圆于、两点，求．
19.本小题分
已知圆经过点和，且圆关于直线对称．
求圆的方程；
过点作直线与圆相切，求直线的方程．
20.本小题分
如图，已知正三棱柱，是的中点，是的中点，且，．
证明：平面；
求二面角的余弦值．
21.本小题分
已知双曲线的方程为，离心率为，右顶点为．
求双曲线的标准方程；
过的直线与双曲线的一支交于、两点，求的取值范围．
22.本小题分
已知抛物线的顶点是椭圆的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合．
求抛物线的方程；
已知动直线过点，交抛物线于、两点，坐标原点为中点，求证：；
是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出的方程；如果不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：点到直线：的距离．
故选：．
利用点到直线的距离公式直接求解．
本题考查点到直线的距离的求法，考查点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：双曲线，可得，，
所以渐近线方程为，即．
故选：．
直接利用双曲线方程求出，，求解渐近线方程．
本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由题意，计算直四棱柱的底面积为平方尺；
因为直四棱柱的高为丈尺，
所以问题中“城”的体积即直四棱柱的体积为立方尺．
故选：．
由题意求出直四棱柱的底面积，再由棱柱的体积公式计算即可．
本题考查了直四棱柱体积的计算问题，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：由题意，椭圆的短轴的两个端点与椭圆的一个焦点构成正三角形
，，
．
故选：．
根据椭圆的短轴的两个端点与椭圆的一个焦点构成正三角形，得到，，的关系，又根据椭圆的基本性质可知，把可用表示出，然后根据离心率，分别把与的式子代入，约分后即可得到值．
此题考查学生掌握椭圆的简单性质，考查了数形结合的数学思想，是一道综合题．
5.【答案】
【解析】解：由圆：与圆：，
可得圆的标准方程为，圆心坐标为，半径为．
圆与圆的圆心距为，等于两个圆的半径之和，
所以圆与圆外切，故圆与圆的公切线有条．
故选：．
求出两圆的圆心坐标与半径，由圆心距与半径间的关系可知两圆相离，从而得到两圆公切线的条数．
本题考查圆与圆的位置关系，考查圆的公切线条数的确定，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：由抛物线的定义可知，，所以．
故选：．
根据抛物线的定义即可求解．
本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线的定义的应用，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：设点，
由双曲线可知、，
，
，
，
代入双曲线方程，
，
，
，
到轴的距离是．
故选：．
设出点坐标，由得到一个方程，将此方程代入双曲线的方程，消去，求出的值，即得点到轴的距离．
本题以双曲线为载体，考查双曲线的几何性质，考查双曲线方程的运用，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：如图所示，
已知直线：与椭圆交于，两点，点恰为弦的中点，
依题意，直线的斜率为，设，，
则，且 ，
由 两式相减得：，
于是，解得，
此时椭圆，显然点在椭圆内，符合要求，
所以椭圆的焦距为．
故选：．
运用点差法求得的值，进而可求得椭圆的焦距．
本题考查了椭圆的性质，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：方程，即为 ，
它表示圆，需满足，解得．
故选：．
将圆的一般方程化成标准方程，根据半径大于，即可求出参数的范围，从而判断正确选项．
本题主要考查二元二次方程表示圆的条件，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：直线：，
对于：直线的斜率，由于，故，故A错误；
对于：设过点且与直线平行的直线为，由于点满足该直线，故；
所以所求的直线方程为，故B正确；
对于：由于直线：与直线平行，故两直线的距离，故C正确；
对于：直线：，直线：，则，故直线和直线不垂直，故D错误．
故选：．
直接利用直线的倾斜角和斜率，直线垂直的充要条件求出结果．
本题考查的知识要点：直线的倾斜角和斜率，直线垂直的充要条件，点到直线的距离公式，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于，若曲线是圆，则，解得，故A正确；
对于，若曲线为椭圆，则，解得且，故B错误；
对于，显然不可能为抛物线，故C错误；
对于，若曲线为双曲线，则，解得或，故D正确；
故选：．
根据方程的特点，结合圆、椭圆和双曲线的标准方程判断．
本题考查了根据方程表示的圆锥曲线求参数的范围，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：如图所示，以为原点，以、、所在的直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，可得，
所以，故A项错误；
设到的距离为，则，解得，所以点位于以为中轴线，半径为的圆柱面上，
又因为位于平面上，所以位于平面与圆柱面的交线上，
根据圆柱面与平面的位置关系，可得的轨迹为椭圆的一部分，故B项正确；
由正方体的性质，可知点到直线的距离等于，即到点与到直线的距离相等，
根据抛物线的定义，则动点的轨迹为抛物线的一部分，故C项正确；
取中点，则易得，且平面，
可知当与平面和底面的交线垂直时，过直线的平面与面所成角最小，
因此，且平面和底面的交线与平行，
此时平面即为图中的平面，其中点，，，是所在棱的中点，
可得截面图形为正六边形，边长为，所以截面面积为，故D项正确．
故选：．
根据题意以为原点建立空间直角坐标系，可得，根据向量的夹角公式判断出项的正误；设到的距离为，求得，得到点位于圆柱面上，判断出项的正误；根据到点与到直线的距离相等，结合抛物线的定义，判断出项的正误；根据题意，得到截面图形为正六边形，判断出项的正误．
本题主要考查正方体的结构特征、异面直线所成角的定义与求法、圆锥曲线的定义与平面的基本性质等知识，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：由题意，设抛物线的标准方程为，准线方程是，
抛物线的准线方程为，
，解得，
故所求抛物线的标准方程为．
故答案为：．
设抛物线方程为，根据题意建立关于的方程，解之可得，得到抛物线方程．
本题给出抛物线的准线，求抛物线的标准方程，着重考查了抛物线的定义与标准方程的知识，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：圆化为标准方程为，
圆心，，
又直线：，
圆心到直线的距离，
弦长为，
故答案为：．
先求圆心到直线的距离，再根据弦长公式计算即可．
本题考查点到直线的距离，圆的弦长问题，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：由椭圆的方程可知：，，，
由：：，
则，，丨丨，
由丨丨，
，
的面积，
的面积，
故答案为．
由椭圆的定义即可求得，，丨丨，则，根据三角形的面积公式即可求得的面积．
本题考查椭圆的定义，椭圆的焦点三角形的面积公式，考查计算能力，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：由双曲线的方程可得，，则，
设双曲线的右焦点，则，
圆的圆心，半径，
由题意可得，
当且仅当，，三点共线，且在，之间时取等号．
即的最小值为．
故答案为：．
由双曲线的方程，可得，的值，进而求出的值，由双曲线的定义及三点共线的性质可得的最小值．
本题考查双曲线的性质的应用及三点共线时线段和最小的性质的应用，属于中档题．
17.【答案】解：设的中点为，
则，
，
，
故BC边上中线所在的直线方程为，即．
、，
，
边上高线所在的直线的斜率为，
边上高线所在的直线方程为，即．
【解析】先求出的中点，再结合直线的斜率公式，以及点斜式方程，即可求解．
根据已知条件，结合直线的斜率公式，以及直线垂直的性质，即可求解．
本题主要考查直线方程的求解，属于基础题．
18.【答案】解：由题意可得：，
解得，
椭圆的方程为；
左焦点，右焦点，
直线的方程为：，设，，
联立，化为：，
则，
所以．
【解析】根据椭圆的离心率和所过点求得，，，从而求得椭圆的方程．
求得直线的方程并与椭圆方程联立，求得，两点的坐标即可求解．
本题考查了椭圆的性质和直线与椭圆的位置关系的应用，属于中档题．
19.【答案】解：已知圆经过点和，
则线段的垂直平分线方程为：，即，
又圆心在直线上，
联立，解得，
所以其圆心为，，
所以圆的标准方程；
若直线的斜率存在，方程可设为，即，
圆心到直线的距离，解得，
所求的一条切线为，
当直线的斜率不存在时，与圆相切，
所以直线的方程为和．
【解析】先求得线段的垂直平分线方程，与联立，求得圆心即可；
若直线的斜率存在，方程可设为，由题意可得，可求直线方程，再讨论斜率不存在时的情况，可求切线方程．．
本题主要考查圆的方程的求解，考查圆的切线方程的求法，属中档题．
20.【答案】解：证明：取的中点，连结、，
、分别是，的中点，，
，是的中点，，
四边形是平行四边形，，
平面，平面，
平面．
解：是正三角形，是的中点，，
在正三棱柱中，平面，
，
由知，、、两两垂直，
以为原点，、、所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
设平面的法向量，
则，取，得，
设二面角的平面角为，
则．
二面角的余弦值为．
【解析】取的中点，连结、，推导出四边形是平行四边形，从而，由此能证明平面．
推导出、、两两垂直，以为原点，、、所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．
本题考查线面平行的证明，考查二面角和余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力以及化归与转化思想，是中档题．
21.【答案】解：由离心率，又，所以，
又右顶点为，所以，所以，
故双曲线的标准方程为．
设直线的方程为，设，，
则由得，
因为直线与双曲线一支交于、两点，
所以，解得，
因此，
因为，所以，
所以，所以，
故．
【解析】根据题意建立，，的方程组即可求解；
利用韦达定理确定的取值范围，再建立之间的等量关系即可求解．
本题考查双曲线的标准方程及其性质，考查直线与双曲线的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】本小题满分分
解：由题意，可设抛物线方程为．
由，得．
抛物线的焦点为，．
抛物线的方程为分
证明：设，，
由于为之中点，故当轴时，由抛物线的对称性知，一定有，
当不垂直轴时，设：，
由，得，
，
，
，
，
．
综上证知，
解：设存在直线满足题意，
则圆心，
过作直线的垂线，垂足为，
，
即
，
当时，，
此时直线被以为直径的圆截得的弦长恒为定值分
因此存在直线：满足题意分
【解析】由题意，设抛物线方程为由，得由此能求出抛物线的方程．
设，，由于为之中点，故当轴时由抛物线的对称性知，当不垂直轴时，设：，由，得，由此能够证明．
设存在直线满足题意，则圆心，过作直线的垂线，垂足为，故，由此能够导出存在直线：满足题意．
本题考查抛物线方程的求法，直线和抛物线的位置关系，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．
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