2023-2024学年云南省红河州开远一中高一（下）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年云南省红河州开远一中高一（下）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若点在角的终边上，则( )
A. B. C. D.
3.已知，，，则( )
A. B. C. D.
4.为了得到函数，的图象，只需把，的图象上所有点( )
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
5.的内角，，的对边分别为，，，若，，则( )
A. B. C. D.
6.函数的零点所在的区间是( )
A. B. C. D.
7.如图所示，四边形是正方形，，分别，的中点，若，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
8.已知是定义在上的偶函数，且对任意，有，当时，，则下列结论错误的是( )
A. 是以为周期的周期函数
B.
C. 函数有个零点
D. 当时，
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
10.下列说法正确的是( )
A. 命题“，”的否定是“，”
B. 命题“，”是假命题
C. “”是“”的充分条件
D. “”是“”的充分不必要条件
11.下列命题正确的是( )
A. 若，，则
B. 若正数、满足，则
C. 若，则的最大值是
D. 若，，，则的最小值是
12.已知函数的部分图象如图所示，则( )
A. 函数的最小正周期为
B. 函数的图象关于点对称
C. 函数在上单调递增
D. 恒成立
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.化简：
14.若幂函数在上单调递增，则 ______．
15.已知扇形的圆心角为，弧长为，则扇形的面积为______．
16.某人在点测得塔在南偏西，仰角为，沿南偏东方向前进到，测得塔仰角为，则塔高为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知集合，集合．
求；
若集合，，求实数的取值范围．
18.本小题分
计算：
；
已知，求的值．
19.本小题分
已知函数，．
求函数的单调递减区间；
求函数在上的值域．
20.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，且满足．
求的大小；
若，的面积为，求的值．
21.本小题分
已知函数，．
用单调性的定义证明在上是单调减函数；
若关于的不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围．
22.本小题分
正安县是中国白茶之乡在饮用中发现，茶水的口感与水的温度有关经实验表明，用的水泡制，待茶水温度降至时，饮用口感最佳某实验小组为探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的．
时间
水温
设茶水温度从经过后温度变为，现给出以下三种函数模型：
；
．
从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前组数据求出该解析式；
根据中所求函数模型，求刚泡好的白茶达到最佳饮用口感的放置时间精确到；
考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的室温约为多少．
参考数据：，
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，
则．
故选：．
由已知结合集合的交集及补集运算即可求解．
本题主要考查了集合的交集及补集运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为点在角的终边上，
所以，
则．
故选：．
利用三角函数的定义与诱导公式即可得解．
本题考查了三角函数的定义与诱导公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为，，，
故．
故选：．
由已知结合指数及对数函数的单调性即可比较大小．
本题主要考查了指数函数及对数函数的单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由于把函数，的图象向左平移个单位，可得的图象，
故为了得到函数，的图象，只需把，的图象上所有点向右平移个单位长度即可，
故选D．
根据函数的图象变换规律，可得结论．
本题主要考查函数的图象变换规律，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：，，则，
则由余弦定理得．
故选：．
由余弦定理即可求出．
本题考查了余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：因为函数在上单调递增，
且，，故．
故选：．
判断函数的单调性，利用零点判断定理，求解即可．
本题考查零点判断定理的应用，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：由题可得：
，
所以，
即，
所以，
所以．
故选：．
由平面向量的线性运算可得，即可求出，，进而求出的值．
本题考查平面向量的线性运算和平面向量基本定理，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：因为，且为偶函数，
所以，
故的周期为，故A正确．
由的周期为，则，，
所以，故B错误；
令，可得，
作函数和的图像如下图所示，
由图可知，两个函数图像有个交点，故C正确；
当时，，则，故D正确．
故选：．
根据函数对称性和奇偶性，可得的周期，即可判断的正误，根据解析式及周期，代入数据，可判断的正误；分别作出和的图像，即可判断的正误；根据函数周期及奇偶性，化简整理，可判断的正误，即可得答案．
本题考查了抽象函数的奇偶性、周期性与对称性，考查函数的零点与解析式，考查数形结合思想，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，，则，故A正确，B错误；
对于，，，
则，则，故C正确；
对于，，显然，
则，故不成立，故D错误．
故选：．
利用向量平行与垂直的坐标表示，对选项逐一分析判断即可得解．
本题主要考查平面向量的数量积运算，以及向量平行、垂直的性质，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，根据存在量词命题的否定形式可知A正确；
对于，在中，，所以方程无解，故B正确；
对于，取，，满足，但，即充分性不成立，故C错误；
对于，因为是的真子集，所以“”是“”的充分必要不条件，故D正确．
故选：．
利用量词命题的否定与真假性判断，；利用充分与必要条件的定义判断，．
本题考查了对命题真假的判断，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于选项A，
，
，，
，
，
故命题不正确；
对于选项B，
，
，
，
当且仅当，即时，等号成立；
故命题正确；
对于选项C，
，
当且仅当，即时，等号成立；
，
故的最大值是，
故命题正确；
对于选项D，
，
，
，
，
当且仅当，即，时，等号成立；
故的最小值是，
故命题不正确；
故选：．
对于选项A，作差法比较与的大小即可；
对于选项B，化简，，从而利用基本不等式判断；
对于选项C，利用基本不等式判断即可；
对于选项D，化简得，，利用基本不等式判断即可．
本题考查了基本不等式的应用及作差法的应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：因为，
由的图象知其经过点，
故得，即，
因，则，
故，
又图象经过点，则，
所以或，
解得或，
由三角函数图象的对称性可知，该函数的周期满足，即得，
解得，满足，
故，
对于，因周期，故A错误；
对于，，故B正确；
对于，当时，，此时为增函数，故C正确；
对于，令，则当时，，
则在上单调递减，
故有，此时有，故D正确．
故选：．
通过观察函数的图象，可得函数图象经过点，且半周期为，从而可得的解析式，再根据该正弦型函数的周期性，对称性，单调性和给定区间上的值域分别判断即可得解．
本题主要考查了由的部分图象确定其解析式以及正弦函数的性质，已知的部分图象求其解析式时，比较容易看图得出，困难的是求待定系数和，常用如下两种方法：由即可求出，确定时，若能求出离原点最近的右侧图象上升或下降的“零点”横坐标，则令或，即可求出；代入点的坐标，利用一些已知点最高点、最低点或零点坐标代入解析式，再结合图形解出和，若对，的符号或对的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求，本题属于中档题．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查向量的基本运算，比较基础．
根据向量加法和减法的运算法则进行化简即可．
【解答】
解：
，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：幂函数在上单调递增，
则，解得或，
当时，，在上单调递减，不符合题意，
当时，，在上单调递增，符合题意．
故．
故答案为：．
根据已知条件，结合幂函数的定义与性质，即可求解．
本题主要考查幂函数的定义与性质，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：圆心角为，弧长为，，
则扇形的面积为．
故答案为：．
代入弧长公式，求得，再代入扇形面积公式即可．
本题考查扇形面积公式，弧长公式，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：画出示意图，如下图所示．

，，，，，平面．
令，
则．
在中，由余弦定理，得
，
整理得，解得
，舍去．
故答案为：．
结合题意画出示意图，然后结合余弦定理求解塔高即可．
本题考查了解三角形问题，余弦定理及其应用等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．
17.【答案】解：因为，，
所以；
因为，所以，又，
因为，恒成立，故C，
则，解得，
所以实数的取值范围是．
【解析】利用集合的并集运算即可得解；
先根据题意得到，再分析得，从而利用集合的包含关系即可得解．
本题考查并集、交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18.【答案】解：
；
因为，解得，
所以
．
【解析】利用对数的运算法则即可得解；
利用三角函数的齐次式法求得，进而得解．
本题主要考查了对数的运算性质及同角基本关系的应用，属于中档题．
19.【答案】解：
，
由，解得，
所以函数的单调递减区间为；
因为，
则，
所以，
故，
所以函数在上的值域为．
【解析】利用倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，再利用整体代入法即可得解；
由定义区间和函数解析式，结合正弦函数的性质即可得解．
本题主要考查了三角函数恒等变换以及正弦函数的性质，考查了转化思想和函数思想的应用，属于基础题．
20.【答案】解：因为，
所以，
所以，
所以，
所以．
由得，
由余弦定理得，
所以．
【解析】利用正弦定理化简式子得到答案．
利用余弦定理和面积公式得到方程组，解得答案．
本题主要考查解三角形，属于中档题．
21.【答案】解：证明：任取，，且，
则，
又，，，
，，
，即，
在上是单调减函数．
在上单调递减且恒有，
不等式对于任意恒成立，
即为，对于任意恒成立，
令，
当时取得最小值，，
所以的取值范围是．
【解析】本题考查定义法证明函数的单调性以及恒成立问题的转化，尤其是恒成立问题转化为最值问题，是解决恒成立问题的常用方法，属于中档题．
利用定义法设，，且，化简，证明其大于即可；
先利用二次函数的性质判断在上，，不等式两边同时除以，将恒成立问题转化为函数最值问题求解．
22.【答案】解：由表格数据知：函数单调递减且递减速度逐渐变慢，故模型不符合，
选模型，则，即，
解得，
所以且；
令，则，
所以泡好的白茶达到最佳饮用口感的放置时间为；
由，即，
所以进行实验时的室温约为．
【解析】根据表格数据判断函数的单调性及增长率，根据一次函数、指对数函数性质确定模型，再结合数据求解析式；
令利用指对数关系及对数运算性质求结果；
根据指数函数性质求函数的值域，即可确定进行实验时的室温．
本题主要考查了根据实际问题选择函数模型，考查了对数的运算性质，属于中档题．
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