2023-2024学年广东省湛江市雷州二中高一（下）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年广东省湛江市雷州二中高一（下）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，则( )
A. B.
C. 或 D.
2.命题：，，则命题的否定为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.关于的不等式的解集为，则的值为( )
A. B. C. D.
4.函数的单调减区间是( )
A. B. C. D.
5.如图，在矩形中，是两条对角线，的交点，则( )
A.
B.
C.
D.
6.函数且满足，则的值为( )
A. B. C. D.
7.函数，且过定点( )
A. B. C. D.
8.已知，那么的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知集合，，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
10.下列诱导公式正确的是( )
A. B.
C. D.
11.下列四个函数中，以为最小正周期且在区间上单调递增的函数是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，用列表法表示如下：
则 ______
13.已知函数是定义在上的奇函数，当时的图象如图所示，那么的解集是______．
14.已知，且，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
计算：
；
．
16.本小题分
已知，，角的终边过点．
求的值；
求的值．
17.本小题分
已知函数．
证明：函数在区间上为减函数；
求函数在区间上的最值．
18.本小题分
已知函数的最小正周期为．
求的值；
求在上的单调递增区间．
19.本小题分
某变异病毒感染的治疗过程中，需要用到某医药公司生产的类药品该公司每年生产此类药品的年固定成本为万元，每生产千件需另投入成本为万元，每千件药品售价为万元，此类药品年生产量不超过千件，假设在疫情期间，该公司生产的药品能全部售完．
求公司生产类药品当年所获利润万元的最大值；
当年产量为多少千件时，每千件药品的平均利润最大？并求最大平均利润．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为，，
所以．
故选：．
利用集合的补集运算即可得解．
本题考查补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：命题是特称命题，则否定是：
，，
故选：．
根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．
本题主要考查含有量词的命题的否定，根据特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键．
3.【答案】
【解析】解：因为不等式的解集为，
所以，是方程的两个实根，
所以，解得，
所以．
故选：．
问题化为，是方程的两个实根，直接代入方程得到关于，的方程组，求解即可．
本题考查了不等式与对应方程的关系应用问题，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：由于函数的对称轴为，可得函数的单调减区间是，
故选：．
由条件利用二次函数的图象和性质，可得结论．
本题主要考查二次函数的图象和性质，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：，
故选：．
根据向量的线性运算求解即可．
本题考查了向量的加减运算，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：，，，．
．
故选：．
利用指数幂的运算性质即可得出．
熟练掌握指数幂的运算性质是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：令，可得，故函数，且过定点，
故选：．
令对数的真数，解得的值，可得函数经过的定点．
本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，属于中档题．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查同角三角函数的基本关系．
已知条件给的是三角分式形式，且分子和分母都含正弦和余弦的一次式，因此，分子和分母都除以角的余弦，变为含正切的等式，解方程求出正切值．
【解答】
解：由题意可知：，分子分母同除以，
得，
．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：集合，，
则，故A正确，，故B错误，
元素与集合间的关系为属于与不属于关系，故C错误，
，故D正确．
故选：．
根据已知条件，结合交、并、补集的定义，即可依次求解．
本题主要考查交、并、补集的运算，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，，故A项错误；
对于，，故B正确；
对于，，故C正确；
对于，，故D错误．
故选：．
利用三角函数的诱导公式即可得解．
本题主要考查了诱导公式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：函数的最小正周期，时，，则函数在区间上不单调，故A不符合；
函数的最小正周期，时，，则函数在区间上单调递增，故B符合；
函数的最小正周期，故C不符合；
函数的最小正周期，时，函数单调递增，故D符合．
故选：．
根据三角函数的性质可逐项判断最小正周期和单调性即可．
本题主要考查了三角函数的周期性和单调性，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：由列表可知．
故答案为：．
利用列表可得函数值，从而得解．
本题主要考查了函数值的求解，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：由题意得，
当时，或，，
所以，
所以的解集是．
故答案为：．
由图象结合奇函数性质分类讨论即可求解．
本题考查函数奇偶性的性质与判断，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为，所以，解得，
又因为，所以，所以．
故答案为：．
利用二倍角公式列方程，即可求得的值．
本题考查了二倍角公式应用问题，是基础题．
15.【答案】解：
．
．
【解析】根据指数和对数的运算得解；
根据指数幂的运算化简得解．
本题主要考查了指数及对数的运算性质的应用，属于基础题．
16.【答案】解：因为， ，
所以 ，
所以 ．
由题意可得 ， ，
因为，
．
【解析】结合同角平方关系及两角和的正弦公式即可求解；
由二倍角的正切公式及两角差的正切公式即可求解．
本题主要考查了三角函数的定义，和差角公式，二倍角公式在三角求值中的应用，属于中档题．
17.【答案】解：证明：设，
则，
由，可得，，，
则，即，即，
故函数在区间上为减函数；
由可得函数在区间上单调递减，
可得的最小值为，最大值为．
【解析】运用单调性的定义，可分取值、作差和变形、定符号和下结论，等步骤；
运用的单调性，计算可得所求最值．
本题考查函数的单调性的判断和运用：求最值，考查运算能力和推理能力，属于基础题．
18.【答案】解：
，
的的最小正周期，
；
因为，
所以 ，
由 ，，
得 ，，
由，得 ，
由，得 ，
所以在，上的单调递增区间为，， ．
【解析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，然后利用周期公式求出即可；
由题意利用正弦函数的单调性即可求解．
本题主要考查三角恒等变换和正弦函数的性质，考查了整体思想和转化思想，属基础题．
19.【答案】解：由题可得，
所以，
当时，，
所以当年产量为千件时，在这一药品的生产中所获利润最大为万元；
可知平均利润为，
当且仅当，即时等号成立，
所以当年产量为千件时，每千件药品的平均利润最大为万元．
【解析】本题考查了函数在实际生产生活中的应用，解题的关键是正确理解题意，从中抽出数学模型求解，属于中档题．
根据题意列出所获利润万元与每生产千件药品之间的函数关系，然后利用二次函数求最值即可；
先利用的结论求出平均利润的表达式，然后利用基本不等式求解最值即可．
第1页，共1页