2023-2024学年山东省潍坊市国开中学高二（下）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年山东省潍坊市国开中学高二（下）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
2.已知，则可能取值为( )
A. B. C. 或 D. 或
3.圆的圆心到双曲线的一条渐近线的距离是( )
A. B. C. D.
4.已知，是一个随机试验中的两个事件，且，则( )
A. B. C. D.
5.已知不同的直线与直线，不同的平面与平面，则下列能使的是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
6.已知，是平面的一个法向量，且是平面内一点，则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
7.如图，，是双曲线与椭圆的公共焦点，点是，在第一象限内的交点，若，则( )
A. 双曲线的渐近线为
B. 的离心率为
C. 的方程为
D. 的面积为
8.已知点在圆上运动，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，若，则( )
A. B. C. D. 的坐标为
10.已知事件，，且，，则下列结论正确的是( )
A. 如果，则
B. 如果，则
C. 如果，相互独立，则
D. 如果，相互独立，则
11.已知直线：，圆：，则下列说法正确的是( )
A. 直线必过点
B. 直线与圆必相交
C. 圆与圆有条公切线
D. 当时，直线被圆截得的弦长为
12.如图，正方体棱长为，，分别是，的中点，则( )
A. 平面
B.
C. 直线与平面所成角的正弦值为
D. 直线与平面所成角的正弦值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.经过点且与直线平行的直线方程是______．
14.某校安排高一年级班共个班去，，，四个劳动教育基地进行社会实践，每个班去一个基地，每个基地至少安排一个班，则高班被安排到基地的排法总数为______种
15.过椭圆左焦点作轴的垂线，交椭圆于，两点，是椭圆与轴正半轴的交点，且，则该椭圆的离心率是______．
16.某学校有，两家餐厅，某同学第天等可能地选择一家餐厅用餐，如果第天去餐厅，那么第天去餐厅的概率为，如果第一天去餐厅，那么第天去餐厅的概率为，则该同学第天去餐厅的概率为______．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知二项式的展开式中共有项．
求展开式的第项的二项式系数；
求展开式中含的项．
18.本小题分
已知双曲线：的实轴长为，右焦点为．
求双曲线的方程；
已知直线与双曲线交于不同的两点，，求．
19.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点．
证明：平面；
求直线与平面所成角的余弦值．
20.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，是棱上一点．
求证：平面平面；
若是的中点，求平面和平面的夹角的余弦值．
21.本小题分
年月日第届国际数学奥林匹克竞赛结果公布，中国队名参赛选手全员金牌，再夺第一某班级为了选拔数学竞赛选手，举行初次选拔考试，共有排好顺序的两道解答题规定全部答对者，通过选拔考试设甲答对第一道和第二道题的概率分别为，，乙答对第一道和第二道题的概率分别为，，甲，乙相互独立解题，答对与否互不影响．
求甲，乙都通过考试的概率；
记事件“甲、乙共答对两道题”，求．
22.本小题分
已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边三角形，且椭圆的短轴长为．
求椭圆的标准方程；
是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点，，且满足为坐标原点若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：抛物线的标准方程为，，，开口向下，
故焦点坐标为：，
故选：．
把抛物线的方程化为标准方程，求出值，再根据开口方向求得焦点坐标．
本题考查抛物线的标准方程，把抛物线的方程化为标准方程是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：因为，则或，解得或．
故选：．
利用组合数的性质可得出关于实数的等式，解之即可．
本题主要考查组合数的的性质，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：根据题意，圆的圆心为，
双曲线的的渐近线，即，
则点到直线的距离，
即圆心到双曲线的渐近线的距离为．
故选：．
根据题意，由圆的一般式方程求得圆的圆心坐标，由双曲线的方程计算可得双曲线的渐近线方程，运用点到直线的距离公式，计算即可得到所求值．
本题考查双曲线的几何性质和圆的一般式方程，涉及点到直线的距离公式，关键是求出圆的圆心坐标以及双曲线的渐近线方程．
4.【答案】
【解析】解：，，．
故选：．
由条件概率计算公式直接计算即可．
本题考查条件概率的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：对于，若，，则或或与相交，故A错误；
对于，若，，则或或与相交，故B错误；
对于，由面面平行的性质及线面垂直的判定定理易证，故C正确；
对于，若，，则或或与相交，故D错误．
故选：．
根据直线与平面的位置关系判断即可．
本题考查直线与平面平行的性质应用，直线与平面的位置关系的判断，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由已知，又是平面的一个法向量，
则点到平面的距离为．
故选：．
求出的坐标，再利用点到面的距离公式求解即可．
本题考查利用向量法求解点到平面的距离，属基础题．
7.【答案】
【解析】解：设双曲线的方程为，椭圆的方程为，
则，，
所以，，，，
所以公共焦点为，，，
所以，
因为点是，在第一象限内的交点，所以，
根据双曲线的定义可得，，
所以，
根据椭圆的定义可得，，
所以，，
所以椭圆的方程为，
椭圆的离心率为，故BC项错误；
对于项，双曲线的渐近线方程为，故A项错误；
对于项，由余弦定理得，
又，所以，
所以，故D项正确．
故选：．
设双曲线的方程为，椭圆的方程为，根据已知，结合双曲线以及椭圆的定义求出，，，，的值，即可得出、、；根据余弦定理以及正余弦之间的关系求出的值，即可根据三角形的面积公式，得出答案．
本题考查双曲线的几何性质，椭圆的几何性质，焦点三角形问题，属中档题．
8.【答案】
【解析】解：设，即，
点在圆上运动，
直线与圆有交点，
又圆心为，半径为，
，解得，
经检验，满足题意，
的最大值为．
故选：．
将问题转化为直线与圆有交点，从而列式即可得解．
本题考查圆的方程的应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：抛物线：的焦点为，可得，所以不正确；
点在抛物线上，
所以，所以A正确；代入抛物线方程可得所以不正确；
所以C正确；
故选：．
求出抛物线的焦点坐标判断；利用抛物线的定义，求出，判断；求出判断，求解判断．
本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，因为，
所以，故A正确；
对于，因为，所以，故B正确；
对于，因为，相互独立，所以，故C错误；
对于，因为，相互独立，所以相互独立，
所以，故D正确．
故选：．
根据事件的运算及概率公式即可判断；根据相互独立事件的乘法公式即可判断．
本题主要考查独立事件的定义，并事件的概率公式，以及互斥事件的概率公式，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：：由：，则必过定点，错；
：将定点代入圆，有，
故点在圆内，即直线与圆必相交，对；
：由题设且半径为，而且半径为，
所以，即两圆外切，故两圆有条公切线，对；
：由题设：，则到直线的距离，
故直线被圆截得的弦长为，错．
故选：．
由直线方程确定过定点，判断定点与圆：位置关系判断、；根据两圆圆心距离与半径间的关系判断；应用点线距离及弦长的几何求法求弦长．
本题主要考查直线和圆的位置关系的判断，圆的切线问题，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
12.【答案】
【解析】解：由题意，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，，，，，，，
对于，因为，平面的一个法向量为，
因为，所以平面，故A正确；
对于，，故B正确；
因为，平面的一个法向量为，
设线与平面所成角为，所以，故C正确，D错误．
故选：．
项，求出和面的法向量即可得出结论；项，求出，的坐标即可求出的长；项，项，求出和平面的法向量即可求出直线与平面所成角的正弦值．
本题考查线面平行的判断，直线与平面所成角的求法，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：经过点且与直线平行的直线的斜率为：，
所求直线方程为：即：．
故答案为：．
求出直线的斜率，利用点斜式求解直线方程即可．
本题考查直线的平行关系，以及直线方程的求法，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：个班去，，，四个劳动教育基地进行社会实践，每个班去一个基地，每个基地至少安排一个班，
如果是只有高一班被安排到基地，那么总的排法是种，
如果是还有一个班和高一班一起被安排到基地，那么总的排法是种，
所以高一班被安排到基地的排法总数为种．
故答案为：．
高班分类，只有高一班被安排到基地，还有一个班和高一班一起被安排到基地，利用排列组合求解．
本题考查了两个计数原理应用问题，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：根据题意：当时，可得到，，
所以，
因为，所以，即，
整理得，即，
解得：．
故答案为：．
根据椭圆的几何特征得到，，再由求解即可．
本题考查椭圆的几何性质，属中档题．
16.【答案】
【解析】解：设事件表示“第天去餐厅”，事件表示“第天去餐厅”，
事件表示“第一天去餐厅”，事件表示“第天去餐厅”，
则，，，
则，
该同学第天去餐厅的概率为：
．
故答案为：．
利用全概率公式求解．
本题考查全概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
17.【答案】解：由题意可知，
第三项的二项式系数为；
设展开式的第项含有项，
，
，
，
．
【解析】直接使用二项式定理的展开式，即可解出；
利用二项式定理展开式，即可解出．
本题考查了二项式定理，学生的数学运算能力，属于基础题．
18.【答案】解：由已知，，
又，则，
所以双曲线方程为；
由，得，
则，
设，，则，，
所以．
【解析】根据实轴长可求，根据焦点坐标可求，然后可得方程；
联立直线与双曲线的方程，利用韦达定理和弦长公式可求答案．
本题主要考查直线与双曲线的综合，考查转化能力，属于中档题．
19.【答案】证明：建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，
所以，
因为是直棱柱，
所以平面，
因此平面的一个法向量为，
计算，所以，
又平面，所以平面；
解：因为，，，
设平面的法向量为，
则，即，令，得，
设直线与平面所成角为，则，
所以．
【解析】建立空间直角坐标系，利用平面法向量的性质进行运算证明即可；
利用空间向量夹角公式进行求解即可．
本题考查了线面平行的判定问题，也考查了直线与平面所成的角，是中档题．
20.【答案】解：因为，，，，
取中点，连接，则，
，，
所以，即，
又平面，平面，
所以，
又，，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面．
以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系：
因为是的中点，则，
所以，
设平面的法向量为，
则，
令，则，，
所以平面的法向量为，
显然，平面的法向量为，
设平面和平面的夹角为，为锐角，
则，
所以平面和平面的夹角的余弦值为．
【解析】利用面面垂直的判定定理证明．
利用空间向量的坐标运算，求平面与平面夹角的余弦值．
本题考查直线与平面的位置关系，二面角，解题关键是空间向量法的应用，属于中档题．
21.【答案】解：设甲答对第一道和第二道题的概率分别为，，
乙答对第一道和第二道题的概率分别为，，甲，乙相互独立解题，答对与否互不影响，
设事件“甲答对了道题”，事件“乙答对了道题”，，，，
由题意，，，
，，，
由题意得，甲，乙都通过考试的概率：．
由题意得，，
所以．
【解析】设事件“甲答对了道题”，事件“乙答对了道题”，，，，由相互独立事件概率乘法公式能求出甲，乙都通过考试的概率．
由题意得，，由此能求出．
本题考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
22.【答案】解：由题意得：，解得
椭圆的标准方程是；
当直线的斜率不存在时，，，不符合题意
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，
由消整理得：，
，
解得或，
，
解得，满足，
所以存在符合题意的直线，其方程为．
【解析】由椭圆的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边三角形，且椭圆的短轴长为，列出方程组，求出，，由此能求出椭圆的标准方程．
当直线的斜率不存在时，，，不符合题意当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，由，得：，利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积公式，结合已知条件能求出结果．
本题考查椭圆的标准方程的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的判断与求法，考查椭圆、直线方程、韦达定理、向量的数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．
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